21.5 一元二次方程的应用（讲义，2知识4拓展9题型+分层课时巩固）数学新教材沪教版五四制八年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的应用，系统整合二次三项式因式分解（基于方程根）与列方程解应用题两大核心知识点，梳理六大步骤、增长率/降低率及几何面积核心模型，辐射传播、循环、销售利润等拓展问题，构建完整知识支架。 资料以核心模型为载体，通过几何问题平移法、多解实际意义检验等培养数学眼光与思维，题型分类（高频+培优）结合随学随练，课中助教师高效授课，课后助学生巩固应用，提升模型意识与解决实际问题能力。

第21章 一元二次方程 21.5 一元二次方程的应用 课标要点 1.二次三项式的因式分解：将 在实数范围内分解为 ； 2.列方程解应用题：以几何问题、增长率问题为核心载体，辐射数字、循环、销售利润、传播等问题。 学习重难点 学习重点 1.掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤：审题、设元、列方程、解方程、检验、作答。 2.掌握平均增长率（降低率）、几何面积两大核心模型的数量关系： 增长率模型 ；降低率模型 。 3.会检验根的实际意义，正确舍去不符合题意的根。 4.会用求根公式将二次三项式在实数范围内因式分解。 学习难点 1.建模：从文字、图形信息中准确找出等量关系，合理设元并统一单位。 2.多解取舍：方程两个根往往只有一解符合实际（增长率为负、边长超墙、人数非整数等均应舍去）。 3.图形转化：道路平移、镶框整体面积法、靠墙围矩形“只围三边”的边长表示。 4.存在性判断：用判别式 判断“能否达到某目标”，渗透“无解即不可能”的思想。 知识点 二次三项式的因式分解 ，其中 、 为对应方程两根，需 ； 教材延伸 依据：若一元二次方程 的两根为 、， 则 条件：；当 时，在实数范围内不能分解。 示例：分解 。求根得 ，即 ，， 随学随练 1．在实数范围内因式分解：_____． 知识点 列方程解应用题 列方程解应用题六大步骤 步骤 要点 ① 审题 明确已知与所求；几何问题画出示意图帮助理解 ② 设元 设未知数 ，注明单位；选择恰当的量设元 ③ 列方程 依据等量关系（面积、周长、增长、利润、总量等）列出方程并化为一般式 ④ 解方程 选用因式分解、配方法或公式法 ⑤ 检验 一验是否为方程根；二验是否符合实际（长度为正、不超过墙长、、人数为正整数等），舍去不合实际的根 ⑥ 作答 结论完整，单位统一 一：平均增长率 / 降低率问题 设基数为 ，平均每次变化率为 ，连续变化 次后的量为 ： 增长率： 降低率： 注意：增长率、降低率均为百分数，一般满足 ；“连续两次”对应 ，即出现平方。 二：几何面积问题 三类常见情境： 1.靠墙围矩形：只围三边，设垂直于墙的边为 ，则平行于墙的边 栅栏总长 ，且须不超过墙长； 2.剪角折盒：设剪去小正方形边长为 ，则盒底边长 原边长 ，盒高 ； 3.镶框 / 修路：整体面积 内部图形面积 边框（道路）面积；修路题常用平移法将道路拼到边缘，使剩余部分拼成整块矩形。 随学随练 2．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）一件商品原价300元，连续两次降价后，现售价是243元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，可列方程为______． 拓展 传播问题的一般推广 1 人感染，每轮每人传染 人，经 轮后总感染人数为 ；两轮后为 ；第三轮新增人数 前两轮总人数 。此模型与增长率模型互为“正反”应用。 活学活用 3．（25-26八年级上·上海·期中）流感是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为________________． 拓展 单循环与双循环 单循环（握手、单循环赛）：每两人（队）相遇一次，总次数为 ； 双循环（主客场）：总次数为 。 列式的关键是区分“重复计一次”还是“计两次”。 4．（25-26八年级上·上海·期末）学校运动会期间，选拔了若干支球队进行篮球比赛，共比赛了场，每两队之间都比赛一场，设一共有支球队，那么可列出方程__________． 拓展 判别式的存在性功能 遇到“能否围出面积为 的长方形”“草坪能否达到某面积”等问题，整理方程后若 ，说明目标不可实现。这是用数学判断现实可行性，也是向高中“分类讨论＋存在性”过渡的衔接点。 5．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图所示，某社区计划利用一块长16米，宽为8米的长方形空地（长方形），建造一个长方形健身区域（长方形）和两个边长均为米的正方形休息亭．健身区域的上下两边与空地的边重合，休息亭紧贴健身区域两侧，且其左右两边与空地的边重合． (1)若要求健身区域的面积不小于64平方米，且两个休息亭内部需各放置一张长3米的长椅（即正方形边长不小于长椅长度）求满足条件的的取值范围； (2)在（1）的取值范围内，设计要求：整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍．判断是否存在符合要求的正方形休息亭，若存在，求出其边长；若不存在，请说明理由． 拓展 “每每问题”（销售利润）的普遍形式 单价每涨（降） 元，销量相应减少（增加） 件。设涨（降） 元，则： 单件利润 新售价 进价；销量 原销量 ；总利润 单件利润 销量。 出现两解时，按题目倾向（“让利消费者”“减少库存”）取较小涨价或较大降价的一支。 6． （25-26八年级上·上海松江·期末）新能源汽车采用电能作为动力来源，能减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．一汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元辆的某品牌新能源汽车，销售一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元辆时，平均每周售出8辆；如果售价每降低1万元，平均每周多售出2辆．若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且尽量让利于顾客，求该公司每辆车的下调价格． 题型平均增长率 / 降低率问题（高频） ▌例1 （24-25八年级上·上海奉贤·期末）某工厂为了提高生产效率，正对生产线进行技术改革，在第一试验阶段实现了日产量1500件的目标，第三试验阶段实现了日产量2160件的目标． (1)如果第二阶段、第三阶段日产量的增长率相同，求该生产线日产量的增长率； (2)按照（1）中的日产量增长率，该工厂期望第四试验阶段日产量能达到2500件，请通过计算说明他们的目标能否实现． ▌对点练1-1 学校阅览室每天中午放学时间都向师生开放．据统计，第一个月进阅览室128人次，若进阅览室人次逐月增加，且月平均增长率相同，预计到第三个月末累计进阅览室608人次．求进阅览室人次的月平均增长率．解题贴士 列 ； 为变化次数，连续两次对应 ；设 为百分数，用开方法求解，舍去不在 内的根。 ▌对点练1-2 某公司2020年经营总收入为1500万元， 该公司预计2022年经营总收入要达到2160万元，假设每年经营总收入的年增长率相同． (1)求每年经营总收入的增长率是多少？ (2)预计2021年经营总收入为多少万元？ ▌对点练1-3 （24-25八年级上·上海·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一天进馆人次，进馆人数逐日增加，到第三天结束累计进馆人次，若进馆人次的日平均增长率相同． (1)求进馆人次的日平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四天的进馆人次，并说明理由． 题型 几何面积问题（高频） 解题贴士 整体减内部；修路题用平移法，剩余部分拼成 型整块矩形。 ▌例2 （25-26八年级上·上海闵行·期末）如图，现需靠一段长为米的墙围一个所占地面为长方形的仓库(只围三面)，仓库的一角是一个正方形工作间，其他区域为存储仓、已知仓库的工作间四面都是用边长为5米的玻璃材料所围成，其余部分是用总长为米的防潮隔板来围．如果要使存储仓的面积为平方米，且防潮隔板正好用完(不计损耗)，求垂直于墙面的隔板的长． ▌对点练2-1 （25-26八年级上·上海·阶段检测）某学校在迎新活动中打算利用26米长的墙为一边围出一块面积为300平方米的长方形活动区域，另外三边用48米长的塑料围栏，如图，为了方便学生进出，在两边各空出一个长为1米的出入口（出入口不用塑料围栏），假设这个长方形区域平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少？ ▌对点练2-2 （25-26八年级上·上海·期末）寒假期间，同学们将进行丰富多彩的实践性活动，并制作完成实践性小报等成果，学校计划使用一块正方形场地布展．经过计算，发现长与宽之比为的长方形场地展览效果更好，因此需要把长增加4米，宽增加1米（如图1）． (1)直接写出长方形区域的长是__________米，宽是__________米． (2)现计划将长方形区域按图2的方式进行划分，展示六～九年级成果，在各展区之间留宽度相等的过道，如果各展区的总面积为，求过道的宽度． ▌对点练2-3 （25-26八年级上·上海·期末）如图是一排形状相同、大小相等的个长方形猪圈，总面积为平方米，一面靠墙（墙长米），其它各边用总长为米的木栅栏围成． (1)若，则和各为多少米？ (2)若，则和各为多少米？ 题型 销售利润（每每）问题（中考大题重点） 解题贴士 总利润 （售价 进价） 销量；“每涨 1 元少卖 件”则设涨 元、销量减少 件。 ▌例3 （25-26八年级上·上海黄浦·期末）市百一店童装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接新年，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出3件．为保持节后销售价格的稳定性，降价不能超过15元．要想平均每天销售这种童装盈利1800元，那么每件童装应降价多少元？ ▌对点练3-1 （25-26八年级上·上海崇明·期末）为弘扬崇明土布传统文化，展现匠人技艺魅力，瀛洲土布馆推出崇明土布刺绣“小马”挂件．该挂件每件成本25元，当售价定为35元时，每日可售出48件．市场调研显示，售价每降低1元，每日销量就会增加6件． (1)当该挂件降价元，每日售出的数量是_____件(用的代数式表示)； (2)当该挂件降价多少元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元． ▌对点练3-2 （24-25八年级上·上海·阶段检测）某种时装，平均每天销售20件，每件盈利44元；若每件降价1元，则每天可多售出5件． (1)若想达到每天盈利1600元，每件可降价多少元？ (2)若想盈利达到最大值，每件可降价多少元？ ▌对点练3-3 （24-25八年级上·上海嘉定·期中）上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 题型 数字问题 解题贴士 两位数 十位数字 个位数字；相邻奇数相差 2；注意区分“平方和”与“和”。 ▌例4 如果两个连续正偶数的积为120，则这两个数是______________． ▌对点练4-1 有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是__________． ▌对点练4-2 淇淇在计算两个正数和时，误计算成这两个数的积，结果由正确答案8变成了15，则这两个正数中，较大的正数是_______． ▌对点练4-3 一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大，求这个两位数． 题型 循环（握手 / 单循环）问题 解题贴士 个人两两握手一次，总次数为 ；单循环赛同理。 ▌例5-1 （25-26八年级上·上海·期末）某省举办的城市业余足球联赛采用主客场双循环赛制，每支球队与其他球队需进行两场比赛（主场和客场各一次）．本赛季该联赛共完成比赛156场．设参加联赛的球队有x支，根据题意，为求解x，以下列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． ▌例5-2 （25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）某校八年级举行篮球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，且两个班级之间只比赛一次，结果一共进行了21场比赛，设八年级共有x个班级，那么列出方程是________． ▌对点练5-1 某小组同学毕业前，每位同学都向小组内其他所有同学各送一件礼物，礼物数共计72件，那么该小组有_____人． ▌对点练5-2 某学校进行初二年级篮球比赛，赛制为单循环（两支队伍只赛一场），总共进行了45场比赛，那么这个学校初二年级有__________个班级． ▌对点练5-3 （25-26八年级上·上海闵行·期末）春节前夕一群学生举行一次聚会，聚会时每两个人之间都互赠一张贺卡，这样共送出了张贺卡．设这群学生共有人，根据题意可列一元二次方程是______． ▌对点练5-4 一个小组有若干人，中秋节互送贺卡，若全组共送90张贺卡，则这个小组共有多少人？ 题型 传播问题（培优） 解题贴士 1 人传染、每轮每人传染 人，两轮后总人数为 。 ▌例6 有2个人患了流感，经过两轮传染后共有72人患了流感，若设平均每轮传染x人，则可列方程为______． ▌对点练6-1 有一个人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮信息的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信过程中平均一个人向_________人发送短信． ▌对点练6-2 若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？ ▌对点练6-3 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)问每轮传染中平均个人传染了几个人？ (2)如果有两个人患了流感，若不及时控制，第三轮传染后共有多少人患流感？ 题型 动点 / 存在性问题（培优压轴） 解题贴士 设运动时间为 ，用含 的代数式表示相关线段（勾股、面积、周长），据“面积和 / 差 / 相等”列方程；解出 后必须检验 且点未跑出边界。 ▌例7 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，Q从点B开始沿边向C点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后，的面积等于？ ▌对点练7-1 在中，，动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为/秒，点N的速度为/秒，点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止．问经过几秒钟，的面积为？    ▌对点练7-2 如图，在中，，，，点P从点A出发沿边向点C以的速度移动，点Q从C点出发沿边向点B以的速度移动． (1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使的面积为8平方厘米？ (2)点P、Q在移动过程中，是否存在某时刻，使得的面积等于的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． ▌对点练7-3 （24-25八年级上·上海·阶段检测）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别是从、同时出发，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． (1)求经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)的面积能否等于10平方厘米，如果能求出运动的时间，如果不能，请说明理由． 题型 可化为一元二次方程的分式方程（培优） 解题贴士 分式方程先化整式方程——先对分母因式分解，找出最简公分母，方程两边同乘最简公分母去分母，化为整式方程（此处化为一元二次方程），解出后必须验根：把每个解代入最简公分母，若公分母为 ，则该解为增根，须舍去；只有使公分母不为 的解才是原分式方程的根。 ▌例8-1 解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是______． ▌例8-2 （24-25八年级下·上海·阶段检测）解方程：． ▌对点练8-1 （25-26八年级下·上海·期中）用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是（    ） A． B． C． D． ▌对点练8-2 解方程：． ▌对点练8-3 （2026·上海普陀·二模）解方程：． ▌对点练8-4 （24-25八年级下·上海·阶段检测）已知关于的方程无解，求的取值范围． 题型 行程、工程问题 解题贴士 用列表法梳理三量关系（速度、时间、路程，或效率、时间、总量），再以“时间差”“总量相等”列式；解出后注意验根。 ▌例9-1 2020年春以来，在党和政府的领导下，我国人民进行了一场抗击“新型冠状病毒”战役．为了控制疫情的蔓延，某卫生材料厂接到上级下达赶制19.2万只“医用口罩”的任务，为使口罩早日到达防疫第一线，工厂开工后每天比原计划多加工0.4万只，结果提前4天完成任务．请问该厂原计划每天加工多少万只口罩？ ▌例9-2 为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ ▌对点练9-1 一项工程，如果甲、乙两队单独完成，甲队比乙队多用5天，如果甲、乙两队合作，6天可以完成.求两队单独完成此项工程各需多少天？ ▌对点练9-2 北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？ ▌对点练9-3 周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 基础通关 1．（25-26八年级上·上海虹口·期末）用总长为6米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块8平方米的长方形，如图所示．设长方形的一边长为米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为22米．停车场内车道的宽度相等，若停车位的总占地面积为544平方米．求车道的宽度（单位：米）．设停车场内车道的宽度为米，根据题意所列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海·期末）学校要建设一个面积为375平方米的长方形游泳池，它的长比宽多10米，那么该长方形游泳池的周长等于________米． 4．（25-26八年级上·上海黄浦·期末）在实数范围内因式分解：______． 5．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）一次同学聚会，每个同学都给其他同学送一张贺卡，共互赠张贺卡，则参加聚会的同学共有_____人． 6．（25-26八年级上·上海静安·期末）某厂前年的产值为400万元，去年的产值比前年的增长率为x，如果这个增长率保持不变，预计今年的产值将达到600万元．根据题意可列出方程为__________． 7．（25-26八年级上·上海·阶段检测）会议上每两个参加会议的人都互握一次手，一共握手66次，设有人参加会议，则可列方程______． 8.为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 9．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）公安交警部门提醒市民，骑电动自行车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某商店销售的A款头盔的进价为40元/个，经测算，当售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 10．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）在“理财小课堂”中，小明了解到某理财产品按年计息，有单利和复利两种不同的计息方式： 单利法是指每年依据最初本金计算利息，不考虑前期利息所产生的利息； 复利法是指每年依据本金和前期利息之和计算利息． 小明准备将10000元购买该理财产品，银行提供如下两种方案（年利率相同）： 方案一：按单利法存2年； 方案二：按复利法存2年． 两年后，方案二得到的本利和比方案一多100元，请计算年利率． 素养提升 1．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如果二次三项式在实数范围内不能分解因式，那么的取值范围是（   ） A．且； B．且； C．； D．． 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列整式能在实数范围内因式分解的是(        ) A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海·阶段检测）曹杨影院七月份的票房10亿元，第三季度的票房共33.1亿元，若每个月的增长率相同，则这个增长率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·上海·阶段检测）若关于x的二次三项式在实数范围内不能分解因式，则关于的一元二次方程的根的情况为（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 5．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）小明家打算利用一面长15米的院墙，用铝合金靠墙搭建一个矩形遮阳棚辅助区域．如果用40米长的铝合金框架搭建遮阳棚（靠墙一侧无需框架），且要求遮阳棚的面积为150平方米，则遮阳棚垂直于院墙的边长为________米． 6．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）容器内盛满60升纯酒精，倒出一部分后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，则第一次倒出了酒精__ 升． 7.一种笔记本电脑，原来的售价是元，经过连续两年的降价，今年每台售价为元，每年降价的百分率相同． (1)年降价的百分率是多少？ (2)小明是去年购买这种笔记本的，那么与今年的售价相比，他多付了多少元？ 8．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）现准备用长的木板建一个面积为的长方形仓库，仓库的一边靠墙并在与墙垂直的一边留宽为的门． (1)当墙面足够长时，求仓库的长和宽； (2)在仓库一侧且离墙远处修一条小路，那么墙长至少为多少米，才能修建符合要求的仓库？ 9．（25-26八年级上·上海·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，经市场调查，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 迁移创新 1．（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）某建筑工程队，计划在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长100米），用170米长的建筑材料围成一个长方形仓库， (1)如果长方形仓库（如图1）占地面积为1500平方米，求与墙垂直的边的长； (2)为了便于分类存放和搬运货物，现决定改变计划，用原有建筑材料建造并分割出三个小仓库，并在与墙平行的边上，每个仓库预留出1个长度为2米的门（如图2），长方形面积扩大到2000平方米，若能，求与墙垂直的边的长；若不能，请说明理由． 2．（25-26八年级上·上海·期末）某市为美化环境，准备在2025年完成绿化面积60万亩．由于施工人数增加，因此平均每个月完成的绿化面积比原计划多2万亩．这样经测算，可以比原计划提前1个月完成任务． (1)求原计划平均每个月完成的绿化面积； (2)填空：已知该市在2025年完成了绿化面积60万亩的任务，并且预测2027年可以完成绿化面积135万亩．如果每年完成绿化面积的增长率相同，设2026年该市完成的绿化面积为y万亩，那么可以列出方程为________ 3．（25-26八年级上·上海虹口·期末）根据以下素材，完成探索任务． 情景 制定芯片生产线扩张方案． 素材一 2025年储存芯片成为了全球稀缺商品．某芯片公司引进了一条储存芯片生产线．开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． 素材二 经调查发现，一条生产线最大满负荷产能是300万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度． 问题解决 任务一 根据素材一，若该生产线每季度生产量的增长率相等，求第一季度到第三季度生产量的每季度增长率． 任务二 根据素材二，为迎接2026年的储存芯片需求，需要增加生产线，现该公司要保证每季度生产储存芯片最大总产能达到1200万个，在增加产能同时要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），请你为该公司决定应该增加多少条生产线． 4．（24-25八年级上·上海·阶段检测）如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形．如果要使四周彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？ (1)依题意可知正中央的长方形的长宽之比为 ；正中央的长方形面积是封面面积的 ． 请依据问题1的数量关系解决问题： 解：设正中央的长方形长宽分别为 、 ．（依题意列方程求解） (2)你还有其他的方法吗？（提示：可利用上、下边衬与左、右边衬的宽度比．） 解：设上、下边衬的宽度是 ，则左、右边衬的宽度是 ．（依题意列方程求解．） 5.商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价x元． (1)降价后每套拖把盈利______元，平均每天可销售______套（用含x的代数式表示）； (2)为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元？ (3)该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 6.如图，要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完），若设为x米． (1)的长为 米（用含x的代数式表示） (2)若仓库的面积为150平米，求； (3)仓库的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 一元二次方程 21.5 一元二次方程的应用 课标要点 1.二次三项式的因式分解：将 在实数范围内分解为 ； 2.列方程解应用题：以几何问题、增长率问题为核心载体，辐射数字、循环、销售利润、传播等问题。 学习重难点 学习重点 1.掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤：审题、设元、列方程、解方程、检验、作答。 2.掌握平均增长率（降低率）、几何面积两大核心模型的数量关系： 增长率模型 ；降低率模型 。 3.会检验根的实际意义，正确舍去不符合题意的根。 4.会用求根公式将二次三项式在实数范围内因式分解。 学习难点 1.建模：从文字、图形信息中准确找出等量关系，合理设元并统一单位。 2.多解取舍：方程两个根往往只有一解符合实际（增长率为负、边长超墙、人数非整数等均应舍去）。 3.图形转化：道路平移、镶框整体面积法、靠墙围矩形“只围三边”的边长表示。 4.存在性判断：用判别式 判断“能否达到某目标”，渗透“无解即不可能”的思想。 知识点 二次三项式的因式分解 ，其中 、 为对应方程两根，需 ； 教材延伸 依据：若一元二次方程 的两根为 、， 则 条件：；当 时，在实数范围内不能分解。 示例：分解 。求根得 ，即 ，， 随学随练 1．在实数范围内因式分解：_____． 【答案】 【详解】解：令， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为： 知识点 列方程解应用题 列方程解应用题六大步骤 步骤 要点 ① 审题 明确已知与所求；几何问题画出示意图帮助理解 ② 设元 设未知数 ，注明单位；选择恰当的量设元 ③ 列方程 依据等量关系（面积、周长、增长、利润、总量等）列出方程并化为一般式 ④ 解方程 选用因式分解、配方法或公式法 ⑤ 检验 一验是否为方程根；二验是否符合实际（长度为正、不超过墙长、、人数为正整数等），舍去不合实际的根 ⑥ 作答 结论完整，单位统一 一：平均增长率 / 降低率问题 设基数为 ，平均每次变化率为 ，连续变化 次后的量为 ： 增长率： 降低率： 注意：增长率、降低率均为百分数，一般满足 ；“连续两次”对应 ，即出现平方。 二：几何面积问题 三类常见情境： 1.靠墙围矩形：只围三边，设垂直于墙的边为 ，则平行于墙的边 栅栏总长 ，且须不超过墙长； 2.剪角折盒：设剪去小正方形边长为 ，则盒底边长 原边长 ，盒高 ； 3.镶框 / 修路：整体面积 内部图形面积 边框（道路）面积；修路题常用平移法将道路拼到边缘，使剩余部分拼成整块矩形。 随学随练 2．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）一件商品原价300元，连续两次降价后，现售价是243元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，可列方程为______． 【答案】 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 则第一次降价后价格为元，第二次降价后价格为元， 根据题意，得， 故答案为：． 拓展 传播问题的一般推广 1 人感染，每轮每人传染 人，经 轮后总感染人数为 ；两轮后为 ；第三轮新增人数 前两轮总人数 。此模型与增长率模型互为“正反”应用。 活学活用 3．（25-26八年级上·上海·期中）流感是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为________________． 【答案】 【详解】解：有1人患传染病，且每轮传染中平均一个人传染了个人， 第1轮传染中有x个人被传染，第一轮传染中有个人被传染， 第2轮：这人每人再传染x人，新增个患者， ∴两轮后总患病数为． ∵两轮后有121人患病， ∴列方程得：， 整理得：， 故答案为：． 拓展 单循环与双循环 单循环（握手、单循环赛）：每两人（队）相遇一次，总次数为 ； 双循环（主客场）：总次数为 。 列式的关键是区分“重复计一次”还是“计两次”。 4．（25-26八年级上·上海·期末）学校运动会期间，选拔了若干支球队进行篮球比赛，共比赛了场，每两队之间都比赛一场，设一共有支球队，那么可列出方程__________． 【答案】 【详解】解：设有x支球队，每两队之间比赛一场，则总比赛场数为， 根据题意，总场数为场，所以方程为． 故答案为：． 拓展 判别式的存在性功能 遇到“能否围出面积为 的长方形”“草坪能否达到某面积”等问题，整理方程后若 ，说明目标不可实现。这是用数学判断现实可行性，也是向高中“分类讨论＋存在性”过渡的衔接点。 5．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图所示，某社区计划利用一块长16米，宽为8米的长方形空地（长方形），建造一个长方形健身区域（长方形）和两个边长均为米的正方形休息亭．健身区域的上下两边与空地的边重合，休息亭紧贴健身区域两侧，且其左右两边与空地的边重合． (1)若要求健身区域的面积不小于64平方米，且两个休息亭内部需各放置一张长3米的长椅（即正方形边长不小于长椅长度）求满足条件的的取值范围； (2)在（1）的取值范围内，设计要求：整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍．判断是否存在符合要求的正方形休息亭，若存在，求出其边长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在符合要求的正方形休息亭，其边长为米 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：根据题意，得， 整理得， 解得，， ∵， ∴， ∴存在符合要求的正方形休息亭，其边长为米． 拓展 “每每问题”（销售利润）的普遍形式 单价每涨（降） 元，销量相应减少（增加） 件。设涨（降） 元，则： 单件利润 新售价 进价；销量 原销量 ；总利润 单件利润 销量。 出现两解时，按题目倾向（“让利消费者”“减少库存”）取较小涨价或较大降价的一支。 6．（25-26八年级上·上海松江·期末）新能源汽车采用电能作为动力来源，能减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．一汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元辆的某品牌新能源汽车，销售一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元辆时，平均每周售出8辆；如果售价每降低1万元，平均每周多售出2辆．若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且尽量让利于顾客，求该公司每辆车的下调价格． 【答案】该店每辆车的下调价格为5万元 【详解】解：设该店每辆车的下调价格x万元， 根据题意可得， 整理得， 解得，， 因为销售为了尽量让利于顾客，即下调价格应尽可能大， 所以（舍去）， ， 答：该店每辆车的下调价格为5万元． 题型平均增长率 / 降低率问题（高频） ▌例1 （24-25八年级上·上海奉贤·期末）某工厂为了提高生产效率，正对生产线进行技术改革，在第一试验阶段实现了日产量1500件的目标，第三试验阶段实现了日产量2160件的目标． (1)如果第二阶段、第三阶段日产量的增长率相同，求该生产线日产量的增长率； (2)按照（1）中的日产量增长率，该工厂期望第四试验阶段日产量能达到2500件，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【详解】（1）解：该生产线日产量的增长率， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该生产线日产量的增长率为； （2）解：能，理由如下： 依题意，（件）． 他们的目标能实现． ▌对点练1-1 学校阅览室每天中午放学时间都向师生开放．据统计，第一个月进阅览室128人次，若进阅览室人次逐月增加，且月平均增长率相同，预计到第三个月末累计进阅览室608人次．求进阅览室人次的月平均增长率．解题贴士 列 ； 为变化次数，连续两次对应 ；设 为百分数，用开方法求解，舍去不在 内的根。 【答案】进阅览室人次的月平均增长率为． 【详解】解：设进阅览室人次的月平均增长率为， 根据题意，得： 解得；（舍去）． 答：进阅览室人次的月平均增长率为． ▌对点练1-2 某公司2020年经营总收入为1500万元， 该公司预计2022年经营总收入要达到2160万元，假设每年经营总收入的年增长率相同． (1)求每年经营总收入的增长率是多少？ (2)预计2021年经营总收入为多少万元？ 【详解】（1）解：设每年经营总收入的增长率是， 根据题意可得： ， 解得，（舍去）， 答：每年经营总收入的增长率是； （2）解：(元) 答：2021年经营总收入为1800元． ▌对点练1-3 （24-25八年级上·上海·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一天进馆人次，进馆人数逐日增加，到第三天结束累计进馆人次，若进馆人次的日平均增长率相同． (1)求进馆人次的日平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四天的进馆人次，并说明理由． 【详解】（1）解：设进馆人次的日平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 进馆人次的日平均增长率为； （2）校图书馆能接纳第四天的进馆人次，理由： 第四天的进馆人次为：（人）， ， 校图书馆能接纳第四天的进馆人次． 题型 几何面积问题（高频） 解题贴士 整体减内部；修路题用平移法，剩余部分拼成 型整块矩形。 ▌例2 （25-26八年级上·上海闵行·期末）如图，现需靠一段长为米的墙围一个所占地面为长方形的仓库(只围三面)，仓库的一角是一个正方形工作间，其他区域为存储仓、已知仓库的工作间四面都是用边长为5米的玻璃材料所围成，其余部分是用总长为米的防潮隔板来围．如果要使存储仓的面积为平方米，且防潮隔板正好用完(不计损耗)，求垂直于墙面的隔板的长． 【答案】垂直于墙面的隔板的长为米 【详解】解：设垂直于墙面的隔板的长为米，则， 根据题意，，∴， ∴， 则， 展开并化简得， 因式分解得，解得. 验证：当时，米，(墙长)，符合题意. 答：垂直于墙面的隔板的长为米． ▌对点练2-1 （25-26八年级上·上海·阶段检测）某学校在迎新活动中打算利用26米长的墙为一边围出一块面积为300平方米的长方形活动区域，另外三边用48米长的塑料围栏，如图，为了方便学生进出，在两边各空出一个长为1米的出入口（出入口不用塑料围栏），假设这个长方形区域平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少？ 【答案】长方形的长为20米，宽为15米 【详解】解：设这个长方形的长为x米，则宽为米， 由题意得：， 即， 解得或， ∵平行于墙的一边为长，墙长为26米， ∴长方形的长不能超过26米， ∴， ∴， ∴长方形的长为20米，宽为15米． 答：长方形的长为20米，宽为15米． ▌对点练2-2 （25-26八年级上·上海·期末）寒假期间，同学们将进行丰富多彩的实践性活动，并制作完成实践性小报等成果，学校计划使用一块正方形场地布展．经过计算，发现长与宽之比为的长方形场地展览效果更好，因此需要把长增加4米，宽增加1米（如图1）． (1)直接写出长方形区域的长是__________米，宽是__________米． (2)现计划将长方形区域按图2的方式进行划分，展示六～九年级成果，在各展区之间留宽度相等的过道，如果各展区的总面积为，求过道的宽度． 【答案】(1)9，6 (2)1米 【详解】（1）解：设正方形的边长为米，则米，米， ∵长与宽之比为， ∴， 解得，， 经检验，是原方程的解， ∴，， 故答案为：9，6． （2）解：设过道的宽度为米， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴过道的宽度为1米． ▌对点练2-3 （25-26八年级上·上海·期末）如图是一排形状相同、大小相等的个长方形猪圈，总面积为平方米，一面靠墙（墙长米），其它各边用总长为米的木栅栏围成． (1)若，则和各为多少米？ (2)若，则和各为多少米？ 【答案】(1)米和米或米和米 (2)米和米 【详解】（1）解：设的长度为米，则猪圈的另一边的长表示为米， 依题意，得：， 解得：或， ∵长方形猪圈一面靠墙（墙长米）， ∴， 当时，得：， ∴， 当时，（米）； 当时，（米）； ∴和各为米和米或米和米； （2）解：设的长度为米，则猪圈的另一边的长表示为米， 依题意，得：， 解得：或， ∵长方形猪圈一面靠墙（墙长米）， ∴， 当时，得：， ∴， ∴， 此时，（米）， ∴和各为米和米． 题型 销售利润（每每）问题（中考大题重点） 解题贴士 总利润 （售价 进价） 销量；“每涨 1 元少卖 件”则设涨 元、销量减少 件。 ▌例3 （25-26八年级上·上海黄浦·期末）市百一店童装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接新年，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出3件．为保持节后销售价格的稳定性，降价不能超过15元．要想平均每天销售这种童装盈利1800元，那么每件童装应降价多少元？ 【答案】10元 【详解】解：设每件童装应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵降价不能超过15元， ∴， 答：每件童装应降价10元． ▌对点练3-1 （25-26八年级上·上海崇明·期末）为弘扬崇明土布传统文化，展现匠人技艺魅力，瀛洲土布馆推出崇明土布刺绣“小马”挂件．该挂件每件成本25元，当售价定为35元时，每日可售出48件．市场调研显示，售价每降低1元，每日销量就会增加6件． (1)当该挂件降价元，每日售出的数量是_____件(用的代数式表示)； (2)当该挂件降价多少元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元． 【答案】(1) (2)当该挂件降价4元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元 【详解】（1）解：∵售价每降低1元，每日销量就会增加6件， ∴当该挂件降价元，每日售出的数量是件， 故答案为：； （2）解： 整理得 解得或（不符合题意，舍去） 答：当该挂件降价4元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元． ▌对点练3-2 （24-25八年级上·上海·阶段检测）某种时装，平均每天销售20件，每件盈利44元；若每件降价1元，则每天可多售出5件． (1)若想达到每天盈利1600元，每件可降价多少元？ (2)若想盈利达到最大值，每件可降价多少元？ 【答案】(1)4元或36元 (2)20元 【详解】（1）解：解：设每件降价元， 由题意得，， 整理得 或， 答：想达到每天盈利1600元，每件可降价4元或36元； （2）解：解：设每件降价元，每天盈利为W元， 则 ， ∵， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴当时，盈利最大， 答：想盈利达到最大值，每件可降价20元． ▌对点练3-3 （24-25八年级上·上海嘉定·期中）上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔每个售价应定为60元 【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得： 解得（不合题意，舍去） 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，依题意，得： ， 整理，得 解得 因为尽可能让顾客得到实惠，所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为60元． 题型 数字问题 解题贴士 两位数 十位数字 个位数字；相邻奇数相差 2；注意区分“平方和”与“和”。 ▌例4 如果两个连续正偶数的积为120，则这两个数是______________． 【答案】10和12 【详解】解：设这两个连续正偶数分别为，，且， 根据题意，可得， 整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， 所以， 所以，这两个数是10和12． 故答案为：10和12． ▌对点练4-1 有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是__________． 【答案】23 【详解】解：设原两位数的十位数字为x， 根据题意得： ∴， 解得：，（不符合题意舍去） 答：这个两位数为23， 故答案为23． ▌对点练4-2 淇淇在计算两个正数和时，误计算成这两个数的积，结果由正确答案8变成了15，则这两个正数中，较大的正数是_______． 【答案】5 【详解】解：设其中一个正数为，则另一个正数为， 由题意得， 整理得，即， 解得，， ∴较大的正数是5， 故答案为：5． ▌对点练4-3 一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大，求这个两位数． 【答案】16或49 【详解】设一位数为，则两位数为． 则根据题意可得：，   整理得：． 分解得：， 解得：，． 答：这个两位数为16或49． 题型 循环（握手 / 单循环）问题 解题贴士 个人两两握手一次，总次数为 ；单循环赛同理。 ▌例5-1 （25-26八年级上·上海·期末）某省举办的城市业余足球联赛采用主客场双循环赛制，每支球队与其他球队需进行两场比赛（主场和客场各一次）．本赛季该联赛共完成比赛156场．设参加联赛的球队有x支，根据题意，为求解x，以下列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设有x支球队，则每支球队与其他支球队各进行两场比赛，总比赛场数为， 由题意得：， 故选B． ▌例5-2 （25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）某校八年级举行篮球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，且两个班级之间只比赛一次，结果一共进行了21场比赛，设八年级共有x个班级，那么列出方程是________． 【答案】 【详解】解：设八年级共有x个班级， 根据题意，每两个班级之间进行一场比赛，总比赛场数为； 因此，方程为 ， 故答案为： ． ▌对点练5-1 某小组同学毕业前，每位同学都向小组内其他所有同学各送一件礼物，礼物数共计72件，那么该小组有_____人． 【答案】 【详解】解：设该小组有人，根据题意，得： ， 整理得， 因式分解得， 解得，， 因为人数为正整数，所以舍去， 即该小组有9人． ▌对点练5-2 某学校进行初二年级篮球比赛，赛制为单循环（两支队伍只赛一场），总共进行了45场比赛，那么这个学校初二年级有__________个班级． 【答案】 【详解】解：设这个学校初二年级有个班级，则比赛总场次为， ，整理得， 因式分解得 ， 解得． 班级个数为正整数，不符合题意，舍去． 因此，即这个学校初二年级有个班级． ▌对点练5-3 （25-26八年级上·上海闵行·期末）春节前夕一群学生举行一次聚会，聚会时每两个人之间都互赠一张贺卡，这样共送出了张贺卡．设这群学生共有人，根据题意可列一元二次方程是______． 【答案】 【详解】解：设这群学生共有人， ∵每个人需要向除自己外的人各赠送1张贺卡， ∴总共送出的贺卡数为张． 已知共送出张贺卡， ∴可列方程为． 故答案为：． ▌对点练5-4 一个小组有若干人，中秋节互送贺卡，若全组共送90张贺卡，则这个小组共有多少人？ 【答案】这个小组共有个人 【详解】解：设这个小组共有个人，则可得每个人要送张贺卡， 由题意得， 解得（舍去）， 这个小组共有个人． 题型 传播问题（培优） 解题贴士 1 人传染、每轮每人传染 人，两轮后总人数为 。 ▌例6 有2个人患了流感，经过两轮传染后共有72人患了流感，若设平均每轮传染x人，则可列方程为______． 【答案】 【详解】解：∵有2个人患了流感，平均每轮传染x人， ∴第一轮传染中有个人被传染，第二轮中有个人被传染， ∴ 整理得，， 故答案为：． ▌对点练6-1 有一个人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮信息的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信过程中平均一个人向_________人发送短信． 【答案】9 【详解】解：设每轮发送短信平均一个人向x个人发送短信， 则：． 整理得： 解得或（舍去） 故答案为：9． ▌对点练6-2 若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？ 【答案】第四轮传染后共有7056人患流感 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，依题意有：， 故， ∴或， ∴，（不合题意，舍去）， （人）． 答：第四轮传染后共有7056人患流感． ▌对点练6-3 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)问每轮传染中平均个人传染了几个人？ (2)如果有两个人患了流感，若不及时控制，第三轮传染后共有多少人患流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均个人传染了个人 (2)第三轮传染后共有人患流感 【详解】（1）解：设每轮传染中平均每人传染了人， 根据题意可得：， 解得：或（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了个人． （2）解：有一个人传染到第三轮时，共患流感人数为：（人）， 当两个人传染到第三轮时，共患流感人数为：（人）， 答：第三轮传染后共有人患流感． 题型 动点 / 存在性问题（培优压轴） 解题贴士 设运动时间为 ，用含 的代数式表示相关线段（勾股、面积、周长），据“面积和 / 差 / 相等”列方程；解出 后必须检验 且点未跑出边界。 ▌例7 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，Q从点B开始沿边向C点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后，的面积等于？ 【答案】2秒或4秒后的面积等于 【详解】解：设x秒后的面积等于， 在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，Q从点B开始沿边向C点以的速度移动， ，， ， ， 解得：，， 即2秒或4秒后的面积等于． ▌对点练7-1 在中，，动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为/秒，点N的速度为/秒，点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止．问经过几秒钟，的面积为？    【答案】2秒或5秒 【详解】解： 设经过x秒钟后，的面积为， 当时， 由题意得，， ∴， ∴． ∵，即， ∴舍去，即； 当时，此时点与点重合，点停止运动 由题意得，， 解得， 综上：经过2秒或5秒，的面积为． ▌对点练7-2 如图，在中，，，，点P从点A出发沿边向点C以的速度移动，点Q从C点出发沿边向点B以的速度移动． (1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使的面积为8平方厘米？ (2)点P、Q在移动过程中，是否存在某时刻，使得的面积等于的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 【详解】（1）设x秒钟后，可使的面积为8平方厘米，由题意得： ， 或， 当2秒或4秒时，面积可为8平方厘米； （2）不存在． 理由：设y秒时，的面积等于的面积的一半，由题意得： ． ． 方程无实数根，所以不存在． ▌对点练7-3 （24-25八年级上·上海·阶段检测）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别是从、同时出发，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． (1)求经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)的面积能否等于10平方厘米，如果能求出运动的时间，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)2秒或4秒 【详解】（1）解：设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于8平方厘米； (2)不能，理由： 设运动时间为x秒，的面积等于10平方厘米， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于10平方厘米． 题型 可化为一元二次方程的分式方程（培优） 解题贴士 分式方程先化整式方程——先对分母因式分解，找出最简公分母，方程两边同乘最简公分母去分母，化为整式方程（此处化为一元二次方程），解出后必须验根：把每个解代入最简公分母，若公分母为 ，则该解为增根，须舍去；只有使公分母不为 的解才是原分式方程的根。 ▌例8-1 解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是______． 【答案】 【详解】解：设，则，， 原方程可化为， 两边同时乘以得， 整理得， 得到关于的整式方程是． ▌例8-2 （24-25八年级下·上海·阶段检测）解方程：． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的增根，舍去， ∴原方程的解为． ▌对点练8-1 （25-26八年级下·上海·期中）用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵设 ∴，将其代入原方程得： 方程两边同乘（）消去分母得： 整理得： ▌对点练8-2 解方程：． 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 检验，当时，，则是增根，舍去； 当时，，满足方程， ∴原方程的解为． ▌对点练8-3 （2026·上海普陀·二模）解方程：． 【答案】 【详解】解：原方程可化为 方程两边同乘最简公分母，得 展开整理得 因式分解得 解得， 检验：当时，，原分式方程分母为0，无意义，因此是增根，舍去 当时， 因此原方程的解为 ▌对点练8-4 （24-25八年级下·上海·阶段检测）已知关于的方程无解，求的取值范围． 【答案】 【详解】解：对分母因式分解得 ， 原分式方程若有增根，则满足， 即增根为或 方程化为整式方程得： 即 分情况讨论原方程无解： 情况1：整式方程无实根，原分式方程无解， 计算判别式得， 令，得， 解得 ； 情况2：整式方程有实根，且所有实根都是增根，原分式方程无解， 将代入整式方程得， 解得 此时整式方程另一根为，不是增根，原方程有解，不符合要求； 将代入整式方程得 ， 解得 此时整式方程为，根为，为增根，原方程无解，符合要求 综上，的取值范围是． 题型 行程、工程问题 解题贴士 用列表法梳理三量关系（速度、时间、路程，或效率、时间、总量），再以“时间差”“总量相等”列式；解出后注意验根。 ▌例9-1 2020年春以来，在党和政府的领导下，我国人民进行了一场抗击“新型冠状病毒”战役．为了控制疫情的蔓延，某卫生材料厂接到上级下达赶制19.2万只“医用口罩”的任务，为使口罩早日到达防疫第一线，工厂开工后每天比原计划多加工0.4万只，结果提前4天完成任务．请问该厂原计划每天加工多少万只口罩？ 【答案】1.2万 【详解】解：设原计划每天加工x万只口罩， 根据题意，得＝4， 整理，得x2+0.4x﹣1.92＝0， 解得x1＝1.2，x2＝﹣1.6， 经检验可知x1，x2都是原方程的解，因x2＜0不合题意，应舍去． 答：该厂原计划每天加工1.2万只口罩． ▌例9-2 为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 【答案】(1)小凤的跑步速度为每分钟； (2)小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【详解】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， 原方程的解为， ∴小凤的跑步速度为每分钟， 答：小凤的跑步速度为每分钟； （2）由（1）知，小凤的跑步速度为每分， 则小凤从地到地所用时间为（分钟）． 设小凤从地到地用时分钟， 根据题意，得， 解得或（舍去）， 则（分钟）． 答：小凤从地到地锻炼共用70分钟． ▌对点练9-1 一项工程，如果甲、乙两队单独完成，甲队比乙队多用5天，如果甲、乙两队合作，6天可以完成.求两队单独完成此项工程各需多少天？ 【答案】甲队单独完成此项工程需15天，乙队单独完成此项工程需10天． 【详解】解：设甲队单独完成此项工程需x天，则乙队完成此项工程需（x−5）天， 根据题意得：， 解得：x1＝2（不合题意舍去），x2＝15， 经检验：x＝15是原方程的解，且符合题意， 则x−5＝10， 答：甲队单独完成此项工程需15天，乙队单独完成此项工程需10天． ▌对点练9-2 北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？ 【答案】100箱 【详解】解：设该玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”，则该玩具厂改良生产线后每天生产箱“冰墩墩”， 根据题意得 整理得： 解得，(舍去) 经检验：，都是原方程的解，但不符合题意舍去， 故该玩具厂改良生产线前每天生产100箱“冰墩墩”． ▌对点练9-3 周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：设小红的速度为，则小明的速度为， 依据题意列方程得，， ， ， 经检验，是原式方程的解． ． 小红的速度为，小明的速度为． 故答案为：；． （2）解：小明的速度为， 小明从A地道B地需要的时间为：． 小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里， ． 设B地到C地的距离为，依据题意列方程得， ， ， ， ， 或（舍去）． A地到C地所需要时间为：． 故答案为：． 基础通关 1．（25-26八年级上·上海虹口·期末）用总长为6米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块8平方米的长方形，如图所示．设长方形的一边长为米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设长方形的一边长为米，根据题意可列方程． 故选：C． 2．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为22米．停车场内车道的宽度相等，若停车位的总占地面积为544平方米．求车道的宽度（单位：米）．设停车场内车道的宽度为米，根据题意所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设停车场内车道的宽度为米，则停车位可合并为一个长为米，宽为米的矩形， 根据题意：． 3．（25-26八年级上·上海·期末）学校要建设一个面积为375平方米的长方形游泳池，它的长比宽多10米，那么该长方形游泳池的周长等于________米． 【答案】80 【详解】解：设游泳池的宽为x米，则长为米， 根据题意，得， 整理得． 得或（舍去）． ∴宽为15米，长为25米． ∴周长为（米）． 故答案为：80 4．（25-26八年级上·上海黄浦·期末）在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【详解】解：方程， 其中，，， 判别式：， ∴， 即：，， 因此， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）一次同学聚会，每个同学都给其他同学送一张贺卡，共互赠张贺卡，则参加聚会的同学共有_____人． 【答案】 【详解】解：设参加聚会的同学有人． 依题意得：， ， ， 解得：，（舍）. 答：参加聚会的同学有人． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海静安·期末）某厂前年的产值为400万元，去年的产值比前年的增长率为x，如果这个增长率保持不变，预计今年的产值将达到600万元．根据题意可列出方程为__________． 【答案】 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·上海·阶段检测）会议上每两个参加会议的人都互握一次手，一共握手66次，设有人参加会议，则可列方程______． 【答案】 【详解】设参加会议有人，每个人都与其他人握手，共握手次数为，因为每对握手被重复计算了一次，所以实际握手次数为，根据题意，总握手次数为66次， 列方程． 故答案为：． 8.为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【答案】每天加固的长度还要再增加64米 【详解】解：设现在计划每天加固的长度为x米， 由题意知：， 整理可得：， 解得，（舍）， 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米， （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米． 9．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）公安交警部门提醒市民，骑电动自行车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某商店销售的A款头盔的进价为40元/个，经测算，当售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】元/个 【详解】解：设该头盔的售价上涨元/个，则实际售价为元/个， 单个利润为元/个，月销售量为个． 根据题意，列方程：， 化简得： 因式分解：， 解得：，． ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴选择较小的涨价金额，即． 实际售价为(元/个)． 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 10．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）在“理财小课堂”中，小明了解到某理财产品按年计息，有单利和复利两种不同的计息方式： 单利法是指每年依据最初本金计算利息，不考虑前期利息所产生的利息； 复利法是指每年依据本金和前期利息之和计算利息． 小明准备将10000元购买该理财产品，银行提供如下两种方案（年利率相同）： 方案一：按单利法存2年； 方案二：按复利法存2年． 两年后，方案二得到的本利和比方案一多100元，请计算年利率． 【答案】 【详解】解：设年利率为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：年利率为． 素养提升 1．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如果二次三项式在实数范围内不能分解因式，那么的取值范围是（   ） A．且； B．且； C．； D．． 【答案】C 【详解】解：∵ 二次三项式在实数范围内不能分解因式， ∴ 方程无实数根， ∴ 判别式， ∴ ， 故选：C． 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列整式能在实数范围内因式分解的是(        ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于二次多项式，判别式． 若，则能在实数范围内因式分解． 对于A∶，，，，，不能因式分解． 对于B∶，，，，，能因式分解． 对于C∶，，，，，不能因式分解． 对于D∶，，，1，，不能因式分解． ∴能在实数范围内因式分解的是B． 故选：B． 3．（25-26八年级上·上海·阶段检测）曹杨影院七月份的票房10亿元，第三季度的票房共33.1亿元，若每个月的增长率相同，则这个增长率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设每月增长率为， ∵第三季度总票房为33.1亿元， ∴， 化简得： 解得：，（舍去）， ∴增长率为. 故选：A. 4．（24-25八年级上·上海·阶段检测）若关于x的二次三项式在实数范围内不能分解因式，则关于的一元二次方程的根的情况为（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】C 【详解】解：∵关于x的二次三项式在实数范围内不能分解因式， ∴方程无解， ∴， 解得， 在关于的一元二次方程中， ， ∵， ∴， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 5．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）小明家打算利用一面长15米的院墙，用铝合金靠墙搭建一个矩形遮阳棚辅助区域．如果用40米长的铝合金框架搭建遮阳棚（靠墙一侧无需框架），且要求遮阳棚的面积为150平方米，则遮阳棚垂直于院墙的边长为________米． 【答案】15 【详解】解：设米，则米， 则 解得或 ∵院墙长15米， 则（舍去） 则遮阳棚垂直于院墙的边长为米． 故答案为：15． 6．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）容器内盛满60升纯酒精，倒出一部分后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，则第一次倒出了酒精__ 升． 【答案】10 【详解】解：设第一次倒出了酒精x升，则第二次倒出溶液升，根据题意得， 第一次倒出后，剩余纯酒精升，用水加满后浓度为； 第二次倒出的纯酒精为升， 倒出第二次后剩余纯酒精量为． 整理得， 解得， ∵， ∴，不符合题意，舍去， 故答案为：10． 7.一种笔记本电脑，原来的售价是元，经过连续两年的降价，今年每台售价为元，每年降价的百分率相同． (1)年降价的百分率是多少？ (2)小明是去年购买这种笔记本的，那么与今年的售价相比，他多付了多少元？ 【详解】（1）解：设每年降价的百分率是，根据题意可得： ， 解得，舍去 答：每年降价的百分率为． （2）解：， 答：他多付了元． 8．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）现准备用长的木板建一个面积为的长方形仓库，仓库的一边靠墙并在与墙垂直的一边留宽为的门． (1)当墙面足够长时，求仓库的长和宽； (2)在仓库一侧且离墙远处修一条小路，那么墙长至少为多少米，才能修建符合要求的仓库？ 【答案】(1)仓库的长和宽分别为和或和 (2)墙长至少为27米，才能修建符合要求的仓库 【详解】（1）解：设垂直于墙的边长为， ∵仓库的一边靠墙并在与墙垂直的一边留宽为的门， ∴平行于墙的边长为， 由题意得， 解得或， 当时，另一边长为； 当时，另一边长为， ∴仓库的长和宽分别为和或和； （2）解：∵小路离墙， ∴垂直于墙的宽， 故选择，对应的长为． ∴墙长至少为27米，才能修建符合要求的仓库． 9．（25-26八年级上·上海·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，经市场调查，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设售价上涨个元， 由题意可得：， 解得：，， 当时，售价为元， 当时，售价为元， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 迁移创新 1．（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）某建筑工程队，计划在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长100米），用170米长的建筑材料围成一个长方形仓库， (1)如果长方形仓库（如图1）占地面积为1500平方米，求与墙垂直的边的长； (2)为了便于分类存放和搬运货物，现决定改变计划，用原有建筑材料建造并分割出三个小仓库，并在与墙平行的边上，每个仓库预留出1个长度为2米的门（如图2），长方形面积扩大到2000平方米，若能，求与墙垂直的边的长；若不能，请说明理由． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为， 由题意可得：， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴与墙垂直的边的长为； （2）解：不能，理由如下： 设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为， 由题意可得， 整理可得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴不能使长方形面积扩大到2000平方米． 2．（25-26八年级上·上海·期末）某市为美化环境，准备在2025年完成绿化面积60万亩．由于施工人数增加，因此平均每个月完成的绿化面积比原计划多2万亩．这样经测算，可以比原计划提前1个月完成任务． (1)求原计划平均每个月完成的绿化面积； (2)填空：已知该市在2025年完成了绿化面积60万亩的任务，并且预测2027年可以完成绿化面积135万亩．如果每年完成绿化面积的增长率相同，设2026年该市完成的绿化面积为y万亩，那么可以列出方程为________ 【答案】(1)10万亩 (2) 【详解】（1）解：设原计划平均每个月完成的绿化面积为x万亩， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划平均每个月完成的绿化面积为10万亩； （2）解：设每年完成绿化面积的增长率为r， 则，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海虹口·期末）根据以下素材，完成探索任务． 情景 制定芯片生产线扩张方案． 素材一 2025年储存芯片成为了全球稀缺商品．某芯片公司引进了一条储存芯片生产线．开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． 素材二 经调查发现，一条生产线最大满负荷产能是300万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度． 问题解决 任务一 根据素材一，若该生产线每季度生产量的增长率相等，求第一季度到第三季度生产量的每季度增长率． 任务二 根据素材二，为迎接2026年的储存芯片需求，需要增加生产线，现该公司要保证每季度生产储存芯片最大总产能达到1200万个，在增加产能同时要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），请你为该公司决定应该增加多少条生产线． 【详解】解：任务一： 设第一季度到第三季度生产量的每季度增长率为， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：第一季度到第三季度生产量的每季度增长率为； 任务二： 设增加条生产线，则每条生产线产能为万个/季度， 根据题意得：， 整理得，即， 解得或， 在增加产能同时要节省投入成本， ． 答：应增加条生产线． 4．（24-25八年级上·上海·阶段检测）如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形．如果要使四周彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？ (1)依题意可知正中央的长方形的长宽之比为 ；正中央的长方形面积是封面面积的 ． 请依据问题1的数量关系解决问题： 解：设正中央的长方形长宽分别为 、 ．（依题意列方程求解） (2)你还有其他的方法吗？（提示：可利用上、下边衬与左、右边衬的宽度比．） 解：设上、下边衬的宽度是 ，则左、右边衬的宽度是 ．（依题意列方程求解．） 【答案】(1) 依题意可知正中央的长方形的长宽之比为， 正中央的长方形面积是封面面积的； 设正中央的长方形长宽分别为、， 列方程为：， 解得， ∴正中央的长方形长宽分别为、， ∴上、下边衬， 左、右边衬； (2) 依题意可知正中央的长方形的长宽之比为， 故上、下边衬与左、右边衬的宽度比， 设上、下边衬的宽度是，则左、右边衬的宽度是， 列方程为：， ∴(舍去)， ∴上、下边衬的宽度是，左、右边衬的宽度是． 5.商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价x元． (1)降价后每套拖把盈利______元，平均每天可销售______套（用含x的代数式表示）； (2)为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元？ (3)该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 【详解】（1）解：设每套拖把降价x元，则每天销售量增加套，即每天销售套， 每套拖把盈利元． 故答案为：，； （2）解：设每套拖把降价x元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 又∵需要尽快减少库存， ∴． 答：每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元； (3)不能， 理由如下： 设每套拖把降价y元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套， 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴此方程无实数解， 即不可能每天盈利1400元． 6.如图，要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完），若设为x米． (1)的长为 米（用含x的代数式表示） (2)若仓库的面积为150平米，求； (3)仓库的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由． 【详解】（1）解：设的长为米， ∵要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完）， ∴米， 故答案为： （2）解：根据题意得，， 解得：，， 当时，， 当时，（不合题意舍去）， ∴米； （3）解：不能，理由： 根据题意得，， ∴ ∴ 则 该方程无实数解 ∴仓库的面积不能为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $