专题02 一元二次方程的判别式、根与系数关系（9题型突破·举一反三）（题型专练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

**基本信息** 以9大题型为框架，通过“概念-方法-应用”递进逻辑，系统整合判别式与韦达定理的解题策略，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判别式应用|1典例+3变式|符号判断根的情况；根的情况列不等式求参数|从判别式定义到根的定性判断，再到参数范围确定| |韦达定理应用|1典例+3变式|代入法/韦达求参数及另一根；代数式恒等变形求值；逆用构造方程|从根与系数关系到直接应用，再到代数式转化与方程构造| |综合应用|1典例+3变式|判别式定范围+韦达求参数（回代检验）；配方求最值；完全平方结合计算；枚举验证整数根|从单一知识点到综合运用，逐步提升逻辑推理与模型应用能力|

专题02 一元二次方程的判别式、根与系数关系 （9题型突破·举一反三） 题型01 不解方程，用判别式判断根的情况 题型02 由根的情况确定字母的取值范围 题型03 已知方程的一根，求参数及另一根 题型04 利用根与系数关系求代数式的值 题型05 构造以给定数为根的一元二次方程 题型06 判别式与根与系数关系综合（含参数） 题型07 判别式 + 韦达定理求参数与代数式最值 题型08 与完全平方结合 题型09 整数根问题（判别式缩小范围 + 验证） ▌题型01 不解方程，用判别式判断根的情况 一元二次方程的一般形式为 （），其中 为二次项系数、 为一次项系数、 为常数项。定义判别式： 由判别式可直接判定方程根的情况，如下表： 判别式 根的情况 根的表达式（求根公式） 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 ——（不能套用求根公式） 易混辨析： 表示“有实数根”（含相等情形）； 才表示“有两个不相等的实数根”。两者务必区分！ 核心方法：只算 的符号，不需求根。注意先要把方程化为一般形式 （），再确定 、、。 【典例1】下列方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海虹口·期中）下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）求证：关于的方程总有实数根． 【变式1-3】（24-25八年级上·上海·期中）已知关于的方程有两个不相等的实数根，请判断关于的方程是否有两个相等的实数根，并说明理由． ▌题型02 由根的情况确定字母的取值范围 核心方法：先由“根的情况”列出关于 的不等式（或等式），再求解。务必看清题眼： 题目表述 对应的条件 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 有两个实数根（或“有实数根”） 没有实数根 【典例2】（25-26八年级上·上海普陀·期末）已知关于的方程有实数根，那么的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【变式2-1】（25-26八年级上·上海·期中）关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式2-2】如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____． 【变式2-3】已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． ▌题型03 已知方程的一根，求参数及另一根 法一（代入法）：根满足方程，代入求 ，再解方程求另一根；法二（韦达定理）：利用 与 直接求。 【典例3-1】（24-25八年级上·上海闵行·阶段检测）已知 是关于 的方程 的一个根，则另一个根是_____． 【典例3-2】（25-26八年级上·上海·期中）已知方程，有一个根是，则另外一个根是（   ）． A． B． C． D． 【变式3-1】若是一元二次方程的一个根，则另一个根为______． 【变式3-2】（25-26八年级上·上海普陀·期末）已知是关于的方程的一个根，那么方程的另一个根是___________． 【变式3-3】已知方程的一个根是6，则它的另一个根是___________． ▌题型04 利用根与系数关系求代数式的值 若 、 是一元二次方程 （）的两个实数根，则： 使用前提：方程必须有实数根，即 。 特别地，当二次项系数 （即 ）时：，。 常见代数式的恒等变形（高频考点）： 记忆口诀：“先求两根和与积，再代变形式子中；凡是出现韦达式，先验判别不为负。” 核心方法：先用韦达定理求出 与 ，再把所求式子恒等变形为“关于 与 的表达式”。 【典例4-1】已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【典例4-2】若方程的两个根分别是，则的值为________． 【典例4-3】若，是方程的两个实数根，则的值为___________． 【变式4-1】若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【变式4-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根，则=__________. ▌题型05 构造以给定数为根的一元二次方程 构造方程问题的本质是韦达定理的逆用——“和作一次项系数的相反数，积作常数项”。 【典例5-1】若一个一元二次方程的两个根分别为2和，请写出一个符合条件的方程______． 【典例5-2】请写出一个关于的一元二次方程，满足一根为2，另一根为，则这个方程可能是____． 【典例5-3】已知一个关于x的一元二次方程的两个根分别是和3，它的二次项系数是1，写出符合条件的方程：__________（写方程的一般形式）． 【变式5-1】（25-26八年级上·上海虹口·期中）写一个关于的一元二次方程使其满足：二次项系数为2，两根之和是，两根之积是，这样的方程是：___________． 【变式5-2】（25-26八年级上·上海·期中）写出一个一元二次方程使它有一个根为2，且两根之和是，这个一元二次方程是________（只要写出一个） 【变式5-3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知一元二次方程的两根分别为、． （1）值为_________； （2）写出一个以、为根的一元二次方程：_________． ▌题型06 判别式与根与系数关系综合（含参数） 先求参数范围（），再代韦达定理，求出参数后必须“回代检验”是否满足判别式条件——这是综合题的得分关键。 【典例6-1】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若方程的两实数根为满足，求k的值． 【典例6-2】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是原方程的两根，且满足，求m的值． 【典例6-3】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根为，，若，求m的值． 【变式6-1】已知关于x的一元二次方程 . (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根 ，满足 ，求k的值． 【变式6-2】已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 【变式6-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知关于方程. (1)如果方程只有一个实数根，求的值，并求出此时方程的根； (2)若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的值和的周长. ▌题型07 判别式 + 韦达定理求参数与代数式最值 含参数的两根代数式求最值，本质是“用参数配方”，且参数范围要受 约束（本题恰为任意实数，更须留意他题）。 【典例7】（25-26八年级上·上海杨浦·期末）已知、是关于的一元二次方程的两个实数根，求的最小值． 【变式7-1】关于的方程有两个不相等的实根和，则的最大值是_____． 【变式7-2】已知实数满足：．求的最小值_______________ 【变式7-3】将两个关于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程（）与方程是“同源二次方程”，且方程（）有两个根为、，则b－2c＝______，的最大值是______． ▌题型08 与完全平方结合 【典例8】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）已知，是方程的两实数根，求 (1)判别式的值； (2)和的值． 【变式8-1】已知方程的两根是、． (1)求的值； (2)求的值． 【变式8-2】已知关于的一元二次方程有两个异号的实数根． (1)求的取值范围； (2)设是该方程的两个根，且，求的值． 【变式8-3】已知关于的方程． (1)当该方程是一元一次方程时，求出该方程的解； (2)当该方程是一元二次方程时， ①求证：该方程有两个不相等的实数根； ②已知和是该方程的两个根，求出的值．（用含的代数式表示） ▌题型09 整数根问题（判别式缩小范围 + 验证） ①由 （根的情况）先确定参数的取值范围；②在范围内枚举有限个参数值；③回代验证两根是否满足“整数”等附加条件。 【典例9-1】关于的方程有两个整数根，则整数的值是__________． 【典例9-2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知关于的一元二次方程（是不等于1的整数）． (1)解这个关于的一元二次方程； (2)如果这个方程有两个不相等的正整数根，试求的值； (3)在（2）的条件下，如果一个三角形的三边、、满足，，且，试求这个三角形的面积． 【变式9-1】已知关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和，且，如果是正整数，则的值为______________． 【变式9-2】已知关于的一元二次方程（为实数）． (1)求证：无论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两个实数根为，，且满足，求的值； (3)在方程有两个整数根的情况下，求的值． 【变式9-3】已知关于x的一元二次方程M：． (1)判断是否是方程M的根，并说明理由； (2)现有一个关于x的一元二次方程N：，若方程M，N仅有一个相同的根，求证：； (3)若，方程M有两个整数根，求所有满足条件的实数对，并写出对应的整数根． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程的判别式、根与系数关系 （9题型突破·举一反三） 题型01 不解方程，用判别式判断根的情况 题型02 由根的情况确定字母的取值范围 题型03 已知方程的一根，求参数及另一根 题型04 利用根与系数关系求代数式的值 题型05 构造以给定数为根的一元二次方程 题型06 判别式与根与系数关系综合（含参数） 题型07 判别式 + 韦达定理求参数与代数式最值 题型08 与完全平方结合 题型09 整数根问题（判别式缩小范围 + 验证） ▌题型01 不解方程，用判别式判断根的情况 一元二次方程的一般形式为 （），其中 为二次项系数、 为一次项系数、 为常数项。定义判别式： 由判别式可直接判定方程根的情况，如下表： 判别式 根的情况 根的表达式（求根公式） 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 ——（不能套用求根公式） 易混辨析： 表示“有实数根”（含相等情形）； 才表示“有两个不相等的实数根”。两者务必区分！ 核心方法：只算 的符号，不需求根。注意先要把方程化为一般形式 （），再确定 、、。 【典例1】下列方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故原方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、，故原方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C、，故原方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、，故原方程没有实数根，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海虹口·期中）下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、中，，，故，无实数根，不符合题意； B、中，，，故，有两个相等的实数根，不符合题意； C、中，，，故，无实数根，不符合题意； D、中，，，故，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）求证：关于的方程总有实数根． 【答案】 证明：当时，方程为一元二次方程， ， ∵， ∴ ， ∴ 方程有实数根； 当时，即，方程化为， 解得， ∴方程有实数根； 综上，方程总有实数根． 【变式1-3】（24-25八年级上·上海·期中）已知关于的方程有两个不相等的实数根，请判断关于的方程是否有两个相等的实数根，并说明理由． 【答案】 解：有两个不相等的实数根，理由如下： ∵方程有两个不相等的实数根， ， ， 对于关于的方程， ， ， ∴，即， ∴方程一定有两个不相等的实数根． ▌题型02 由根的情况确定字母的取值范围 核心方法：先由“根的情况”列出关于 的不等式（或等式），再求解。务必看清题眼： 题目表述 对应的条件 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 有两个实数根（或“有实数根”） 没有实数根 【典例2】（25-26八年级上·上海普陀·期末）已知关于的方程有实数根，那么的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【详解】解：∵方程有实数根， ∴判别式， ∴， ∴. 故k的取值范围是． 故选：A． 【变式2-1】（25-26八年级上·上海·期中）关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴且， 即， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选：C． 【变式2-2】如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】且 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得且， 故答案为：且． 【变式2-3】已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】且 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， 即，且， ∴且． ▌题型03 已知方程的一根，求参数及另一根 法一（代入法）：根满足方程，代入求 ，再解方程求另一根；法二（韦达定理）：利用 与 直接求。 【典例3-1】（24-25八年级上·上海闵行·阶段检测）已知 是关于 的方程 的一个根，则另一个根是_____． 【答案】 【详解】解： ∵ 是关于 的方程 的一个根， 将代入该一元二次方程，得， 解得， 则该一元二次方程为， 即， 解得或， 该一元二次方程的另一个根是． 故答案为：． 【典例3-2】（25-26八年级上·上海·期中）已知方程，有一个根是，则另外一个根是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于方程，设另一个根为， 根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和为， 已知一个根是，则， 解得． 故选：D． 【变式3-1】若是一元二次方程的一个根，则另一个根为______． 【答案】 【详解】解：设方程的另一个根为，对于一元二次方程，根据根与系数的关系可得两根乘积为， ∵ 其中一个根为， ∴ ，解得 ，即另一个根为． 【变式3-2】（25-26八年级上·上海普陀·期末）已知是关于的方程的一个根，那么方程的另一个根是___________． 【答案】 【详解】解：设另一个根为， 由根与系数的关系，即， 解得． 故答案为：． 【变式3-3】已知方程的一个根是6，则它的另一个根是___________． 【答案】 【详解】解：设方程的另一个根为，根据根与系数的关系， 两根之积为 ． 已知一个根是 6， 所以， 解得 ． 故答案为：． ▌题型04 利用根与系数关系求代数式的值 若 、 是一元二次方程 （）的两个实数根，则： 使用前提：方程必须有实数根，即 。 特别地，当二次项系数 （即 ）时：，。 常见代数式的恒等变形（高频考点）： 记忆口诀：“先求两根和与积，再代变形式子中；凡是出现韦达式，先验判别不为负。” 核心方法：先用韦达定理求出 与 ，再把所求式子恒等变形为“关于 与 的表达式”。 【典例4-1】已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 【典例4-2】若方程的两个根分别是，则的值为________． 【答案】 【详解】解：∵方程的两个根分别为，， ∴，， ∴． 【典例4-3】若，是方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】4 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∵是方程的根，满足方程等式， ∴，即， ∴． 【变式4-1】若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 【变式4-2】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：是一元二次方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得，， ． 【变式4-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根，则=__________. 【答案】 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． ▌题型05 构造以给定数为根的一元二次方程 构造方程问题的本质是韦达定理的逆用——“和作一次项系数的相反数，积作常数项”。 【典例5-1】若一个一元二次方程的两个根分别为2和，请写出一个符合条件的方程______． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：设一元二次方程为，设两根分别为，， ∵，， 令，可得，，因此符合条件的一元二次方程可为（答案不唯一）； 【典例5-2】请写出一个关于的一元二次方程，满足一根为2，另一根为，则这个方程可能是____． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：设该一元二次方程的两根为，，取二次项系数为， 根据根与系数的关系可得： ，， ∴这个方程可能是，（答案不唯一，只要满足条件即可） 【典例5-3】已知一个关于x的一元二次方程的两个根分别是和3，它的二次项系数是1，写出符合条件的方程：__________（写方程的一般形式）． 【答案】 【详解】解：设该一元二次方程为，方程的两个根为，， 由根与系数的关系可得，， ∴， ∴因此方程为． 【变式5-1】（25-26八年级上·上海虹口·期中）写一个关于的一元二次方程使其满足：二次项系数为2，两根之和是，两根之积是，这样的方程是：___________． 【答案】 【详解】解：设一元二次方程为， 则两根之和为，两根之积为， 解得，， ∴该方程为：， 故答案为：． 【变式5-2】（25-26八年级上·上海·期中）写出一个一元二次方程使它有一个根为2，且两根之和是，这个一元二次方程是________（只要写出一个） 【答案】 【详解】解：设另一个根为， 由根与系数的关系，两根之和为， 解得． 两根之积为． 取（为了消除分母）， 则两根之和，两根之积， 故方程为：． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式5-3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知一元二次方程的两根分别为、． （1）值为_________； （2）写出一个以、为根的一元二次方程：_________． 【答案】 （答案不唯一） 【详解】解：（1）一元二次方程的两根分别为、， ，， ； （2）由（1）可知，，， 设符合条件的方程为， ，， ，， 符合条件的方程可以为（答案不唯一）． ▌题型06 判别式与根与系数关系综合（含参数） 先求参数范围（），再代韦达定理，求出参数后必须“回代检验”是否满足判别式条件——这是综合题的得分关键。 【典例6-1】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若方程的两实数根为满足，求k的值． 【答案】(1) 证明：关于x的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． （2）解：∵方程的两实数根为， ， ， ， 解得：． 【典例6-2】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是原方程的两根，且满足，求m的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵、是原方程的两根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得，． 【典例6-3】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根为，，若，求m的值． 【答案】(1) 证明：由题意可得： ， ∵， ∴， ∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵设的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理可得， 解得或． 【变式6-1】已知关于x的一元二次方程 . (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根 ，满足 ，求k的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意，， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【变式6-2】已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】(1) 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 【变式6-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知关于方程. (1)如果方程只有一个实数根，求的值，并求出此时方程的根； (2)若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的值和的周长. 【详解】（1）解：当时，方程化为， 解得． 当时，方程化为， ， 解得． 此时方程为，即 ， 解得． 综上，时，根为；时，根为． （2）解：当为腰时， 把代入方程， 得， 解得． 方程为，即， 解得， ． 周长为． 当为底时，方程有两个相等实根，由（1）知，方程根为，但，不满足三角形三边关系，舍去． 综上，，周长为． ▌题型07 判别式 + 韦达定理求参数与代数式最值 含参数的两根代数式求最值，本质是“用参数配方”，且参数范围要受 约束（本题恰为任意实数，更须留意他题）。 【典例7】（25-26八年级上·上海杨浦·期末）已知、是关于的一元二次方程的两个实数根，求的最小值． 【答案】49 【详解】解：、是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， ． 方程有两个实数根， ， ， ， ∴的最小值为49． 【变式7-1】关于的方程有两个不相等的实根和，则的最大值是_____． 【答案】8 【详解】解：因为关于的方程有两个不相等的实数根，. 可得，由根与系数的关系得： ， 即， 将代入得： 化简得： 将代入得： ， ， 故的最大值为． 【变式7-2】已知实数满足：．求的最小值_______________ 【答案】6 【详解】解：不妨设a是a，b，c中的最大者，即，，由题设知， 且，， 于是b，c是一元二次方程的两实根， ∴，即， 所以． 又当，时，满足题意． 故a，b，c中最大者的最小值为4． 因为，所以a，b，c为全大于0或一正二负． ①若a，b，c均大于0，a，b，c中的最大者不小于4，这与矛盾． ②若a，b，c为或一正二负， 不妨设，，，则， ∵， 故， 当，时，满足题设条件且使得不等式等号成立． 故的最小值为6． 故答案为：6． 【变式7-3】将两个关于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程（）与方程是“同源二次方程”，且方程（）有两个根为、，则b－2c＝______，的最大值是______． 【答案】 4； -3 【详解】解：根据新的定义可知，方程（）可变形为， ∴， 展开，， 可得，， ∴； ∵，， ∴， ∵方程（）有两个根为、， ∴，且， ∴， 设（），得， ∵方程有正数解， ∴， 解得，即， ∴． 故答案为：4，-3． ▌题型08 与完全平方结合 【典例8】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）已知，是方程的两实数根，求 (1)判别式的值； (2)和的值． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，是方程的两实数根， ∴，， ∴ ； ； ∵ ∴． 【变式8-1】已知方程的两根是、． (1)求的值； (2)求的值． 【详解】（1）解：（1）由韦达定理可得：，， ， 则的值为； （2）由（1）可知，， 且， ，， 则，， ， 由， ， 则的值为4． 【变式8-2】已知关于的一元二次方程有两个异号的实数根． (1)求的取值范围； (2)设是该方程的两个根，且，求的值． 【详解】（1）关于的一元二次方程有两个异号的实数根， 且， 解得：． （2）， ， 则， 又，， ， 整理得， 解得：，， 又， ． 【变式8-3】已知关于的方程． (1)当该方程是一元一次方程时，求出该方程的解； (2)当该方程是一元二次方程时， ①求证：该方程有两个不相等的实数根； ②已知和是该方程的两个根，求出的值．（用含的代数式表示） 【详解】（1）解：当，即时，该方程是一元一次方程， 把代入，得， 解得， ∴该方程的解为； （2）①证明：由题可得，，，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根； ②解：∵和是该方程的两个解， ∴，， ∴， 所以． ▌题型09 整数根问题（判别式缩小范围 + 验证） ①由 （根的情况）先确定参数的取值范围；②在范围内枚举有限个参数值；③回代验证两根是否满足“整数”等附加条件。 【典例9-1】关于的方程有两个整数根，则整数的值是__________． 【答案】或 【详解】解：设方程的两个整数根为，（令）， 根据根与系数的关系，得，， 将两式相减，得，，即， 由于，是整数，因此，也是整数，且乘积为5， 当时，，或当时， 解得： ，，或，， ， 或， 故答案为：或． 【典例9-2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知关于的一元二次方程（是不等于1的整数）． (1)解这个关于的一元二次方程； (2)如果这个方程有两个不相等的正整数根，试求的值； (3)在（2）的条件下，如果一个三角形的三边、、满足，，且，试求这个三角形的面积． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵是不等于1的整数， ∴， ∴，， （2）解：由（1）知方程的解为2和， ∵这个方程有两个不相等的正整数根， ∴的值为不是2的正整数， ∵是不等于1的整数， ∴， ∴； （3）解：当时，， 整理得， 同理且， ∴和是方程的两个根， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， ∴． 【变式9-1】已知关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和，且，如果是正整数，则的值为______________． 【答案】或 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和， ∴， ∵， ∴， 即可得出：，， ∵整数，是正整数， ∴或， 根据题意可知：， 当时，则，， 把，代入， 解得：， 当时，，满足题意， 当时，则，， 把，代入， 解得：， 当时，，满足题意， 综上：或． 故答案为：或． 【变式9-2】已知关于的一元二次方程（为实数）． (1)求证：无论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两个实数根为，，且满足，求的值； (3)在方程有两个整数根的情况下，求的值． 【答案】(1) 证明：， ∵， ∴， 故无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两个实数根为、， 则，， ∵， ∴， 即， 又∵， 代入，得， 即， 两边乘以4，得， 整理得， 解得， ∴或； （3）解：设方程的两个整数根为、， 则，． 由，得， 代入，得， 即， 两边加1，得， ∴． ∵、为整数， ∴、为整数，且乘积为， 可能情况如下：①，，得，，； ②，，得，，； ③，，得，，； ④，，得，，； ⑤，，得，，； ⑥，，得，，； 综上，的值为、、． 【变式9-3】已知关于x的一元二次方程M：． (1)判断是否是方程M的根，并说明理由； (2)现有一个关于x的一元二次方程N：，若方程M，N仅有一个相同的根，求证：； (3)若，方程M有两个整数根，求所有满足条件的实数对，并写出对应的整数根． 【答案】(1)解：不是方程的根，理由如下： 将代入方程的左边，得， 方程的右边为， ∵，等式不成立， 因此不是方程的根； (2)证明：设方程和相同的根为， 由题意得， 两式相减得，整理得， ∵方程，仅有一个相同的根， ∴， 若，两个方程完全相同，所有根都相同，不符合题意， 因此，得， 由（1）知不是方程的根，故公共根为， 将代入方程，得， 整理得，即，得证； （3）解：∵， ∴， 将代入方程，整理得， 设方程的两个整数根为，， 由根与系数的关系得，， 设，则， 消去得， 整理得， 配方得， ∵，是整数， ∴，都是整数， 列举所有可能的整数对： 当，解得， 代入得，，，，不符合，舍去； 当，解得， 代入得，，无解，舍去； 当，与上述情况结果相同，舍去； 当，解得， 代入得，，，，符合条件； 当，解得， 代入得，，，，符合条件； 当，与，结果相同，舍去； 综上，满足条件的实数对和对应整数根为： ，对应整数根为和； ，对应整数根为和． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $