专题02 二次根式的期中复习（高效培优期中专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级上学期

专题02 二次根式的期中复习 考点01 二次根式的相关概念 考点02 二次根式有意义的条件 考点03 二次根式的性质 考点04 最简二次根式 考点05 同类二次根式 考点06 有理化因式与分母有理化 考点07 二次根式的运算 考点08 二次根式运算的压轴题 考点01 二次根式的相关概念 1．（25-26八年级上·上海·期末）下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】二次根式需满足根指数为2，且被开方数大于等于0．据此逐项判断即可． 【详解】解：A．的被开方数，它不是二次根式，故本选项不合题意； B．的根指数为2，被开方数，它是二次根式，故本选项符合题意； C．的根指数为3，它不是二次根式，故本选项不合题意； D．是整数，不含二次根号，它不是二次根式，故本选项不合题意． 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列各式中，不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，二次根式的根指数为2，可省略不写． 【详解】解：选项A，，根指数为2，符合二次根式形式，是二次根式． 选项B，，根指数为2，被开方数，是二次根式． 选项C，，根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． 选项D，，，可得，且根指数为2，是二次根式． 3．（25-26八年级上·上海·期中）下列式子，，，中，二次根式的个数是________个． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，对各式子逐个判断． 【详解】解：，被开方数，满足，被开方数满足非负要求，是二次根式； ，被开方数，不满足定义，不是二次根式； ，由得，被开方数满足非负要求，是二次根式； ，根据平方的非负性，可得，被开方数满足非负要求，是二次根式； 综上所述，二次根式的个数是3个． 4．（25-26八年级上·上海·期中）下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的定义形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、，不是二次根式，不符合题意； C、是二次根式，符合题意； D、是三次根式，不是二次根式，不符合题意； 故选C． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列式子：．其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据被开方数为非负数，即可得出答案． 【详解】解：，不是二次根式； 是二次根式； 当时，不是二次根式； 当时，，不是二次根式； ，是二次根式； 不是二次根式． 综上，，是二次根式，一共2个． 故选：B． 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 7．（25-26八年级上·上海·期中）当时，二次根式的值是_______． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式求值，直接把代入二次根式，计算即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：3． 8．（25-26八年级上·上海·阶段检测）当的值为______时，的值最小，这个最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质解答即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，即，取最小值， 此时的值最小，最小值为， 故答案为：，． 考点02 二次根式有意义的条件 1．（26-27八年级上·上海·开学考试）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得关于的不等式，求解即可获得答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得． 2．（25-26八年级上·上海·期末）如果代数式在实数范围内有意义，那么的取值范围是：_____． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件及解不等式，熟记二次根式有意义的条件、分式有意义的条件是解决问题的关键． 根据二次根式的被开方数必须是非负数、分式的分母不能为零，列不等式组求解即可得到答案． 【详解】解：对于代数式在实数范围内有意义，需要被开方数，且分母 ， 解得； 要使，需要，解得； 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海崇明·期末）如果二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，列出不等式并求解即可． 【详解】解：二次根式 在实数范围内有意义，需满足被开方数 ， 解不等式 ，得， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）使有意义的的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数非负，分式有意义的条件是分母不为零，需同时满足这两个条件来确定的取值范围． 【详解】解：要使有意义， ∵二次根式有意义的条件是，解得； ∵分式有意义的条件是分母，解得； ∴综上，的取值范围是且． 故答案为：且． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如果 ，那么 ________． 【答案】 【分析】先根据二次根式的非负性求出的值，再代入式子求出的值，最后即可求解． 【详解】∵， ∴据题意可得，，解得：， ∴， ∴，解得：， ∴． 6．（25-26八年级上·上海·期中）下列说法正确的是（     ） A．无意义 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和化简判断即可． 【详解】解：， 有意义，故选项A错误； ，故选项B，D错误， 故选：C． 7．（25-26八年级上·上海松江·期中）若是整数，且有意义，则的值是（    ） A．1或3 B．0或1 C．2或 D．0或 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，确定整数x的取值范围，并分别计算即可． 【详解】解：∵ 和有意义， ∴ 且 ， 即 ． 又∵ 是整数， ∴ 可取1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，． ∴ 的值为或2， 故选：C． 8．（25-26八年级上·上海·期末）等式成立的条件是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据二次根式及分式有意义的条件列不等式求解． 【详解】解：要使成立，则， ∴． 考点03 二次根式的性质 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果为（   ） A． B．3 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握算术平方根的结果为非负数是解题的关键． 先计算根号内的结果，再根据二次根式的性质化简，最后逐一判断选项． 【详解】解：∵先计算根号内的式子：， ∴原式． ∵算术平方根的结果是非负的， ∴． 故选：B． 2．（25-26八年级上·上海·期中）若，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据二次根式的性质直接化简，根据条件，，简化根式，需利用平方根的性质和绝对值的意义进行化简． 【详解】解：∵，， ∴（负数的立方为负）， 故，从而，根式有意义． ∵， ∴， 又∵，且，∴， ∴原式， 即，与选项A一致． 故选：A． 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质．由可知，因此，代入原式，进行化简，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．（25-26八年级上·上海金山·期中）当时，化简（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的化简，利用完全平方公式和绝对值的非负性，结合取值范围简化表达式．将根号内的表达式化为完全平方形式，再根据x的取值范围化简绝对值． 【详解】解：∵， ∵， ∴， ∴， ∴原式， 故选：B． 5．（24-25八年级上·上海·期中）计算：__________． 【答案】12 【分析】根据二次根式的性质计算即可． 【详解】解：． 6．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：________． 【答案】/ 【分析】先根据数轴的定义可得，从而可得，再化简绝对值和二次根式，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴的定义得：， 则，， 因此 ， ． 7．（25-26八年级上·上海·期末）如果的化简结果与无关，那么的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，利用完全平方公式对原式进行变形是解此题的关键． 先将被开方数用完全平方公式进行变形，再根据二次根式的性质化简求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∵的化简结果与无关， ∴． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·上海青浦·期末）当时，化简_____． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质和化简，根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：要使根式有意义，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）当时，化简： 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式性质，熟练掌握二次根式性质，是解题的关键．根据，然后再根据二次根式性质，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 10．（25-26八年级上·上海·阶段检测）（1）试化简：； （2）已知a，b满足，，求． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）根据二次根式的概念分析出，即可根据二次根式的性质化简运算； （2）根据二次根式的性质化简运算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴； （2）∵， 若，则， 该方程无解，故不成立，则， ∴， ∴， ∵， ∴或， ∴把代入或运算解得：或， ∴． 考点04 最简二次根式 1．（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，为最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意． 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B、，被开方数含分母，不是最简二次根式； C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D、的被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式． 故选：D． 3．（25-26八年级上·上海·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，最简二次根式需满足被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式，选项A被开方数含分母，选项C可化简，选项D可化为完全平方形式，均不是最简；选项B被开方数无平方因子且不含分母，故为最简． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式； B、，被开方数中21不是完全平方数，a为变量，无平方因子，故为最简二次根式； C、，可化简，不是最简二次根式； D、，可化简，不是最简二次根式． 故选：B． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有_______个． 【答案】5 【分析】要确定满足是最简二次根式的正整数的值，需根据最简二次根式的定义，分析的取值，使得被开方数不含能开得尽方的因数，且为正整数． 【详解】∵是最简二次根式， ∴被开方数为不含完全平方因数的正整数， 由且为正整数，可知的可能取值为。 分别分析： 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式． ∴满足条件的正整数x的值为，共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需满足被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 5．（25-26八年级上·上海宝山·期中）下列二次根式、、、中，最简二次根式是______． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的意义是正确判断的关键． 根据最简二次根式的意义逐项进行判断即可． 【详解】 解：，因此是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海·期中）若和都是最简二次根式，则_____，_____． 【答案】 1 2 【分析】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：∵和都是最简二次根式， ∴， 解得， 故答案为：1；2． 7．（25-26八年级上·上海·阶段检测）化各式为最简二次根式：①___________；②__________； 【答案】 【分析】本题考查化简二次根式，根据化简即可． 【详解】解：① ②． 故答案为：，． 8．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查化简二次根式，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简即可； （2）利用二次根式的性质化简即可； （3）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 考点05 同类二次根式 1．（25-26八年级上·上海虹口·期末）下列二次根式中，与同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式，将二次根式化简后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式．将各选项的二次根式化简，再进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式； B、，与是同类二次根式； C、，与不是同类二次根式； D、与不是同类二次根式． 故选：B． 2．（25-26八年级上·上海·期末）下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的定义，二次根式的化简，判断二次根式是否为同类，需化简为最简二次根式后比较被开方数是否相同，据此判断各选项即可． 【详解】解：选项A：，， 被开方数均为2，是同类二次根式； 选项B： 已是最简根式，， 被开方数均为7，是同类二次根式； 选项C： ，，被开方数均为3，是同类二次根式； 选项D： ， 被开方数为3；， 被开方数为6，不是同类二次根式； 故选D． 3．（23-24八年级上·上海金山·阶段检测）最简根式与是同类二次根式，则___________． 【答案】10 【分析】本题考查同类二次根式，同类二次根式要求被开方数相同，据此列方程求解，并验证被开方数的非负性． 【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式， ∴， 解得 或 检验：当 时，，；当 时，，不符合二次根式定义， 故 ． 故答案为：10． 4．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如果最简根式与是同类二次根式，那么__________． 【答案】10 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式叫做同类二次根式． 根据给出的两个根式既是最简根式又是同类二次根式，由此可得出关于a、b的方程，进而可求出a、b的值． 【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式， ∴，， 解得：， ∴， 故答案为：10． 5．（25-26八年级上·上海·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义和最简二次根式的定义，根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式的被开方数必须相等，因此列出方程，求解后得到或，但需验证二次根式是否为最简形式，由此排除不满足条件的值即可． 【详解】解：由于两个二次根式均为最简二次根式且是同类二次根式， 被开方数相等，即， 整理得， ， 解得或， 当时，，不是最简二次根式，不符合题意，故舍去； 当时，和，均为最简二次根式，符合题意； ． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则______． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解二元一次方程组，代数式求值，根据同类二次根式的定义得到关于的方程组，解方程求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 化简得，， 解得， ∴， 故答案为：． 7．（26-27八年级·上海·暑假作业）合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式． 8．（25-26八年级上·上海金山·期中）已知、是实数，，且最简二次根式与是同类二次根式，求代数式的平方根． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、同类二次根式的定义、平方根，熟练掌握二次根式有意义的条件是解答的关键． 先根据二次根式和分式有意义的条件求得，进而得；再根据同类二次根式的被开方数相同求得，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：由题意，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的平方根为． 考点06 有理化因式与分母有理化 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）二次根式的一个有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理化因式的概念． 根据有理化因式的定义，将原式与选项式子相乘，若结果为有理式，则该选项为有理化因式，据此验证各选项即可． 【详解】解：有理化因式的定义是：两个含有根式的代数式相乘，若积不含根式，则这两个代数式互为有理化因式． A、，仍含根式，此选项不符合题意； B、，积仍含根式，此选项不符合题意； C、，积为有理式，此选项符合题意； D、，积仍含根式，此选项不符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）下列式子中，是的有理化因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理化因式的特点：单项式的有理化因式就是他本身，多项式的有理化因式就是与它配成平方差公式的那个多项式．然后根据题意就可以求出其解． 【详解】由题意，得的有理化因式是：， 故选：A． 【点睛】本题考查有理化因式，单项式的有理化因式就是他本身，多项式的有理化因式就是与它配成平方差公式的那个多项式． 3．（25-26八年级上·上海宝山·期中）如果，，那么、的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分母有理数化，先把分母有理数化即可得出答案. 【详解】解：。 ∵， ∴， 故选：B. 4．（25-26八年级上·上海·期中）把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分母有理化，涉及到了因式分解等知识，解题关键是掌握式子恒等变形的方法，注意分子分母同乘或除以一个不为零的数或式子，原式的值才不变，本题据此依次判断即可． 【详解】解：A、将式子的分子分母同乘以，式子的值不变，故该选项正确，不符合题意； B、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； C、因为有可能为0，所以分子分母同时乘以错误，故该选项符合题意； D、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； 故选：C ． 5．（25-26八年级上·上海闵行·期末）分母有理化：______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的分母有理化，关键是确定分母的有理化因式，通过分子分母同乘该因式消去分母中的根号． 【详解】解：分子分母同乘，得原式． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海·期中）分母有理化：_______． 【答案】 【详解】． 7．（25-26八年级上·上海·期中）比较大小：______（填“”，“”，“”）． 【答案】 【分析】根据，，比较解答即可． 【详解】解： ，， ， ∵， ∴， 故， 即， 因此， 即． 8．（25-26八年级上·上海·期中）不等式的解集是_______． 【答案】 【分析】按照解一元一次不等式步骤求解即可，最后需要进行分母有理化． 【详解】解： ， ． 考点07 二次根式的运算 1．（25-26八年级上·上海·单元测试）已知，则___________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，分母有理化，完全平方公式，进行解答，即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：_____． 【答案】 【详解】解：． 3．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）计算：________． 【答案】/ 【分析】先运用完全平方公式展开完全平方式，再化简二次根式，最后合并同类二次根式即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）计算：__ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算以及化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 先计算分母的差值，通过通分合并为单一分数，然后利用除以分数等于乘以倒数的规则，最后有理化分母得到结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·上海·期中）计算的结果是 ________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 利用二次根式的乘法法则及化简的法则进行运算即可． 【详解】解： ， ． 故答案为：． 6．（26-27八年级上·上海普陀·阶段检测）计算：． 【答案】 【详解】解：原式. 7．（26-27八年级上·上海普陀·阶段检测）化简：；（） 【答案】 【分析】将除法转化为乘法，利用二次根式乘法法则展开，逐步化简得到结果． 【详解】解： ． 8．（25-26八年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中：，． 【答案】 ， 【分析】先对括号内式子通分，再将除法转化为乘法，利用平方差公式化简后，代入、的值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，代入得： 原式． 9．（26-27八年级上·上海普陀·阶段检测）若的小数部分是，的小数部分是，求的值． 【答案】 【分析】先估算的取值范围，再分别确定和的小数部分、，最后代入代数式计算求值． 【详解】解： ∵， ∴， ∴的整数部分为， ∴ ∵， ∴， ∴的整数部分为， ∴ 将，代入， 得 ． 10．（25-26八年级上·上海·期中）阅读材料：已知，求的值． 解：∵ ． ∴． 解答问题： 已知．求：的值及的值． 【答案】， 【分析】利用平方差公式可得，进而得到，再结合解方程组即可． 【详解】解：由题意得： ． ∵， ∴， 由①，   ②， ①+②得：， 解得：， 综上，，． 11．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）若为实数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值，理解二次根式有意义的条件求出的值是解答关键． 根据二次根式的有意义的条件求出的值，再利用二次根式化简求值进行计算求解． 【详解】解：根据题意得， ， 解得， ∴ ． 12．（25-26八年级上·上海·期中）二次根式除法可以这样做：如果，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为 ③比较两个二次根式的大小： ④计算： 以上结论正确的是________．（写出所有正确的序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化． ①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化； ②估计无理数的整数部分，求出小数部分，进而分母有理化进行化简； ③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小； ④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值． 【详解】解：①， 故将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①正确； ②∵a是的小数部分， ∴， 故，故②错误； ③，， ，， ∵，， 故， ∴， 故 即，故③正确； ④， ， ， ， 故 ，故④正确． 故答案为：①③④． 考点08 二次根式运算的压轴题 1．（25-26八年级上·上海·期中）对于实数a，b定义一种新运算“○”，规定， 如． (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 【答案】(1)，4 (2) 【分析】本题以新定义运算为载体，主要考查了实数的运算和二次根式的运算，弄清新定义运算的法则是解题的关键； （1）根据新定义运算法则计算即可； （2）根据可得：，再解方程即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：，4； （2）解：由可得：， 解得：． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝ ；＝ ． （2）若，写出所有满足题意的x的整数值 ． 如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对200连续求根整数， 次之后结果为1． （4）只需进行4次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】（1）4，45；（2）1，2，3；（3）3；（4）． 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力． （1）先估算和的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知,即，可得满足题意的的整数值； （3）根据定义对200进行连续求根整数，可得3次之后结果为1； （4）最大的正整数是，根据操作过程进行解答即可． 【详解】解：（1）∵，， ，； 故答案为： （2），，且， ，2，3； 故答案为：，2，3； （3）第一次：， 第二次：， 第三次：， ∴对200连续求根整数，3次之后结果为1； 故答案为：3 （4）最大的正整数是， 理由是：∵，，，，， ∴，，，， 对只需进行4次操作后变为1， 只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的是． 3．（25-26八年级上·广东佛山·期中）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：这三个数，，， ，其结果 6，3，2都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”． (1)根据题意，直接写出一组“完美组合数”为 ______（不重复题目中出现的完美组合数） (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求 m的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，新定义，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可知，只要三个负数的绝对值都是一个完全平方数即可满足这三个数是一组“完美组合数”，据此求解即可； （2）根据算术平方根的定义可得这三个数中有两个数的乘积为144，再根据这三个数互不相同可得，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ， ∴是一组“完美组合数”； （2）解：∵三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12， ∴这三个数中有两个数的乘积为， ∵这三个数互不相等，且， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）阅读下列材料，并回答问题： 把形如与（a、b为有理数且，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数． (1)请你举出一对共轭实数：______和______； (2)和是共轭实数吗？若是，请指出a、b的值； (3)若两个共轭实数与的和是10，请求出这两个共轭实数差的绝对值及这两个共轭实数的积． 【答案】(1)与，（答案不唯一） (2)和是共轭实数， (3)，13 【分析】（1）根据定义举例即可； （2）根据定义进行变形，得出，，即可求解； （3）根据共轭实数的和求出的值，然后求解即可． 【详解】（1）解： 与，（答案不唯一）； （2）解：和是共轭实数， ∵，， ∴； （3）解：根据题意得，， ∴， 解得， ∴两个共轭实数为与， ∴， ． 5．（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______＝______； (2)利用以上规律计算：； (3)求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查规律型—数字的变化类，二次根式的混合运算， （1）先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第四个等式； （2）把所给式子相加，找出规律即可进行计算； （3）根据所给规律探索将原式转化为，再根据平方差公式易得结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：；； （2）解： ； （3）解： ． 6．（25-26八年级上·上海嘉定·阶段检测）请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： （1）__________； （2）__________； （3）__________； 根据你的阅读回答下列问题： （4）请根据上面式子的规律填空： ____________________（为正整数）； （5）请直接写出下列式子的结果 ____________． 【答案】（1），（2），（3）；（4），；（5）或． 【分析】本题考查了数字类规律的探索，此类规律探究问题一定要结合式子特点和数的规律进行探究，类比，一般要根据规律进行变形，往往会消去部分中间项，实现简化运算目的. （1）（2）（3）（4）计算题目中结果，并根据计算过程和结果，总结得到一般规律，作出猜想，并对猜想进行计算，即可进行证明；（5）根据规律进行变形，往往会消去部分中间项，实现简化运算. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4） 证明： ∵为正整数， ∴ ∴. （5） 故答案为（1），（2），（3）；（4），；（5）或． 7．（25-26八年级上·上海·单元测试）【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：_______． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了与实数运算有关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意可得规律，的正整数，据此求解即可； （2）根据（1）的规律求解即可． 【详解】（1）解：； ； ； …； ∴，的正整数， ∴． （2）解： ． 8．（24-25八年级上·山西临汾·阶段检测）先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，； （2）由，可求当一个等式的最右边的值是的等式； （3）由题意可推导一般性规律为，第n个等式为，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …… ∴第七个等式为； （2）解：∵， ∴当一个等式的最右边的值是，这个等式为； （3）解：由题意可推导一般性规律为，第n个等式为， ∴第n个等式为． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式的期中复习 考点01 二次根式的相关概念 考点02 二次根式有意义的条件 考点03 二次根式的性质 考点04 最简二次根式 考点05 同类二次根式 考点06 有理化因式与分母有理化 考点07 二次根式的运算 考点08 二次根式运算的压轴题 考点01 二次根式的相关概念 1．（25-26八年级上·上海·期末）下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D．4 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列各式中，不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海·期中）下列式子，，，中，二次根式的个数是________个． 4．（25-26八年级上·上海·期中）下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列式子：．其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 7．（25-26八年级上·上海·期中）当时，二次根式的值是_______． 8．（25-26八年级上·上海·阶段检测）当的值为______时，的值最小，这个最小值为______． 考点02 二次根式有意义的条件 1．（26-27八年级上·上海·开学考试）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 2．（25-26八年级上·上海·期末）如果代数式在实数范围内有意义，那么的取值范围是：_____． 3．（25-26八年级上·上海崇明·期末）如果二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围为__________． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）使有意义的的取值范围是_____． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如果 ，那么 ________． 6．（25-26八年级上·上海·期中）下列说法正确的是（     ） A．无意义 B． C． D． 7．（25-26八年级上·上海松江·期中）若是整数，且有意义，则的值是（    ） A．1或3 B．0或1 C．2或 D．0或 8．（25-26八年级上·上海·期末）等式成立的条件是（     ） A． B． C．或 D． 考点03 二次根式的性质 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果为（   ） A． B．3 C．9 D． 2．（25-26八年级上·上海·期中）若，则（） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·上海金山·期中）当时，化简（   ） A．0 B． C．2 D． 5．（24-25八年级上·上海·期中）计算：__________． 6．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：________． 7．（25-26八年级上·上海·期末）如果的化简结果与无关，那么的取值范围是____________． 8．（25-26八年级上·上海青浦·期末）当时，化简_____． 9．（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）当时，化简： 10．（25-26八年级上·上海·阶段检测）（1）试化简：； （2）已知a，b满足，，求． 考点04 最简二次根式 1．（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，为最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有_______个． 5．（25-26八年级上·上海宝山·期中）下列二次根式、、、中，最简二次根式是______． 6．（25-26八年级上·上海·期中）若和都是最简二次根式，则_____，_____． 7．（25-26八年级上·上海·阶段检测）化各式为最简二次根式：①___________；②__________； 8．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)． 考点05 同类二次根式 1．（25-26八年级上·上海虹口·期末）下列二次根式中，与同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海·期末）下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（23-24八年级上·上海金山·阶段检测）最简根式与是同类二次根式，则___________． 4．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如果最简根式与是同类二次根式，那么__________． 5．（25-26八年级上·上海·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则______． 7．（26-27八年级·上海·暑假作业）合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)． 8．（25-26八年级上·上海金山·期中）已知、是实数，，且最简二次根式与是同类二次根式，求代数式的平方根． 考点06 有理化因式与分母有理化 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）二次根式的一个有理化因式是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）下列式子中，是的有理化因式的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海宝山·期中）如果，，那么、的关系是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·上海·期中）把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·上海闵行·期末）分母有理化：______． 6．（25-26八年级上·上海·期中）分母有理化：_______． 7．（25-26八年级上·上海·期中）比较大小：______（填“”，“”，“”）． 8．（25-26八年级上·上海·期中）不等式的解集是_______． 考点07 二次根式的运算 1．（25-26八年级上·上海·单元测试）已知，则___________． 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：_____． 3．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）计算：________． 4．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）计算：__ ． 5．（25-26八年级上·上海·期中）计算的结果是 ________． 6．（26-27八年级上·上海普陀·阶段检测）计算：． 7．（26-27八年级上·上海普陀·阶段检测）化简：；（） 8．（25-26八年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中：，． 9．（26-27八年级上·上海普陀·阶段检测）若的小数部分是，的小数部分是，求的值． 10．（25-26八年级上·上海·期中）阅读材料：已知，求的值． 解：∵ ． ∴． 解答问题： 已知．求：的值及的值． 11．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）若为实数，求的值． 12．（25-26八年级上·上海·期中）二次根式除法可以这样做：如果，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为 ③比较两个二次根式的大小： ④计算： 以上结论正确的是________．（写出所有正确的序号） 考点08 二次根式运算的压轴题 1．（25-26八年级上·上海·期中）对于实数a，b定义一种新运算“○”，规定， 如． (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝ ；＝ ． （2）若，写出所有满足题意的x的整数值 ． 如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对200连续求根整数， 次之后结果为1． （4）只需进行4次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ． 3．（25-26八年级上·广东佛山·期中）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：这三个数，，， ，其结果 6，3，2都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”． (1)根据题意，直接写出一组“完美组合数”为 ______（不重复题目中出现的完美组合数） (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求 m的值． 4．（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）阅读下列材料，并回答问题： 把形如与（a、b为有理数且，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数． (1)请你举出一对共轭实数：______和______； (2)和是共轭实数吗？若是，请指出a、b的值； (3)若两个共轭实数与的和是10，请求出这两个共轭实数差的绝对值及这两个共轭实数的积． 5．（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______＝______； (2)利用以上规律计算：； (3)求的值． 6．（25-26八年级上·上海嘉定·阶段检测）请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： （1）__________； （2）__________； （3）__________； 根据你的阅读回答下列问题： （4）请根据上面式子的规律填空： ____________________（为正整数）； （5）请直接写出下列式子的结果 ____________． 7．（25-26八年级上·上海·单元测试）【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：_______． (2)计算：． 8．（24-25八年级上·山西临汾·阶段检测）先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $