专题01 二次根式的化简求值（六大题型）（专项训练）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题01 二次根式的化简求值 目录 A题型建模・专项突破 题型一、运用二次根式的非负性求值（重点） 1 题型二、运用数形结合法化简 3 题型三、巧用乘法公式化简求值（重点） 4 题型四、巧用分母有理化化简求值（难点） 6 题型五、巧用整体代换化简求值（难点） 10 题型六、巧用配方法化简双重二次根式（难点） 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、运用二次根式的非负性求值（重点） 1．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）化简二次根式正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 3．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）当时，化简（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． ． ． 故选：B． 4．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 则， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，化简 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）化简： ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）设a、b、c分别是三角形三边的长，则 ． 【答案】 【详解】解：∵a、b、c分别是三角形三边的长， ∴，， ∴，， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·上海长宁·期末）化简：＝ ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 题型二、运用数形结合法化简 9．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．b B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由实数在数轴上的位置可知， ， 故选：B． 10.实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C． D．-2 【答案】A 【详解】解∶由数轴知∶，， ∴， ∴ ， 故选：A． 11.已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ）． A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】解：根据题意，得， 故． 故选D． 12.如图，点P在数轴上对应的数为x，且点P在A，B两点之间．化简：． 【答案】4-2x 【详解】解：由数轴知-1＜x＜2， 原式=2-x-（3-x）+|2x-5| ， =2-x-3+x-2x+5， =4-2x． 题型三、巧用乘法公式化简求值（重点） 13．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如果，那么的化简结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 14．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）化简： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简：（，） ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ，， ， 原式， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 17．（24-25八年级上·上海·阶段练习）求代数式的值，其中，如图是小亮和小芳的解答过程：    (1)__________的解法是错误的； (2)求代数式的值，其中． 【答案】(1)小亮 (2)2030 【详解】（1）解：∵当时，， ∴， ∴小亮的计算错误，小芳的计算正确； （2）解： ， 当时，， ∴原式． 题型四、巧用分母有理化化简求值（难点） 18．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）已知实数x、y满足，则的值等于 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 19．（24-25八年级上·上海·阶段练习）求值： ． 【答案】 【详解】解： ， ∴原式 ， 故答案为：． 20．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）已知，，求的值． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，先化简a和b，求出，，代入化简后的式子计算即可，熟练掌握其相应的运算法则是解决此题的关键． 【详解】∵，， ∴，， ∴ ． 21．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）先化简再求值：，其中． 【答案】1 【详解】解： 原式 当时 原式 22．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）面对一些二次根式，其实可以用了因式分解中的分组分解法来解决问题： ， 则． 利用这种思想，解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式， ， ， ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 题型五、巧用整体代换化简求值（难点） 23．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知：，，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ， 24．（22-23八年级上·上海虹口·期中）先化简，再求值，已知，求代数式的值； 【答案】 【详解】解： ， ， ． 25．（22-23八年级上·上海·期中）已知，，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． 题型六、巧用配方法化简双重二次根式（难点） 26．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简： ． 【答案】 【详解】解： ， 27．（24-25八年级上·上海·期中）阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如： ． 请利用上述运算法则化简： ． 【答案】 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为：． 28．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简： ． 【答案】 【详解】解：设， 则 ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 29．（23-24八年级上·上海青浦·期中）观察下列等式 ； ； ； …… 请你直接写出以下计算结果： (1)请你猜测_________，_________； (2)针对上述各式显示的规律，请你猜测 ___________（，为整数）； (3)利用上述规律计算： ______（，为整数）． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：根据题意可得： ， ， 故答案为：，． （2）解：， 故答案为：． （3）解：根据题意可得： ， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 2．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知实数满足，那么 ． 【答案】 【详解】解：实数满足， ①当时，，不符合题意； ②当时，，不符合题意； ③当时，， ． 故答案为． 3．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）若为实数，求的值． 【答案】 【详解】解：根据题意得， ， 解得， ∴ ． 4．（22-23八年级上·上海青浦·期中）先化简再求值：，其中， ． 【答案】 【详解】解：原式 ＝ ， 当， 时： 原式． 5．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴代数式的值为． 6．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知、是实数，且，求的值． 【答案】 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知：，，求：的值． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ． 8．（24-25八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】， 【详解】解：， ， 将代入，原式． 9．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）已知，求代数式 的值． 【答案】， 【详解】解：由题意知，， ， 将代入得，原式． 10．（24-25八年级上·上海·期中）已知：，，求的平方根； 【答案】 【详解】解：，， ， ， 则， 的平方根为． 11．（24-25八年级上·上海·期中）当时，化简：． 【答案】 【详解】解： 12．（22-23八年级上·上海浦东新·期中）观察下列运算： ①由，得 ②由，得 …… 问题： (1)通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来； (2)利用（1）中发现的规律计算： ． 【答案】(1)（n为正整数） (2)2018 【详解】（1）由题目已给出的式子可得：（n为正整数）； （2） ． 13．（22-23八年级上·上海静安·期中）（1）式子与的值与有否关系? 请说明理由；当取不同的值时，代数式的值会发生什么变化? （2）设，易知，如果还有，问之间应满足什么关系? 指出结论，再说明理由 【答案】（1）与无关系，与有关系；当时，，当时，，当时，；（2） 【知识点】运用平方差公式进行运算、利用二次根式的性质化简 【分析】（1）根据二次根式的性质进行化简，最后去绝对值计算即可； （2）由可得，再变形处理即可． 【详解】（1）与有关系，与无关系．理由如下： ，与无关系； ，与有关系； ， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， 当时，， 当时，， （2），理由如下： ∵，， ∴， ∴， 两边平方，再整理得：， 继续平方，得：， ∴ ∵， ∴． 14．（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【答案】 【详解】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（24-25八年级上·上海·阶段练习）材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_______；（直接写结果） (2)计算：； (3)计算：； (4)计算：． 【答案】(1) (2)9 (3) (4) 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式的化简求值 目录 A题型建模・专项突破 题型一、运用二次根式的非负性求值（重点） 1 题型二、运用数形结合法化简 2 题型三、巧用乘法公式化简求值（重点） 2 题型四、巧用分母有理化化简求值（难点） 3 题型五、巧用整体代换化简求值（难点） 4 题型六、巧用配方法化简双重二次根式（难点） 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、运用二次根式的非负性求值（重点） 1．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）化简二次根式正确的是（      ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）当时，化简（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）若，则 ． 5．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，化简 ． 6．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）化简： ． 7．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）设a、b、c分别是三角形三边的长，则 ． 8．（24-25八年级上·上海长宁·期末）化简：＝ ． 题型二、运用数形结合法化简 9．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．b B． C． D． 10.实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C． D．-2 11.已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ）． A． B． C． D．2 12.如图，点P在数轴上对应的数为x，且点P在A，B两点之间．化简：． 题型三、巧用乘法公式化简求值（重点） 13．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如果，那么的化简结果是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）化简： ． 15．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简：（，） ． 16．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知，则 ． 17．（24-25八年级上·上海·阶段练习）求代数式的值，其中，如图是小亮和小芳的解答过程：    (1)__________的解法是错误的； (2)求代数式的值，其中． 题型四、巧用分母有理化化简求值（难点） 18．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）已知实数x、y满足，则的值等于 ． 19．（24-25八年级上·上海·阶段练习）求值： ． 20．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）已知，，求的值． 21．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）先化简再求值：，其中． 22．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）面对一些二次根式，其实可以用了因式分解中的分组分解法来解决问题： ， 则． 利用这种思想，解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)化简：． 题型五、巧用整体代换化简求值（难点） 23．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知：，，求代数式的值． 24．（22-23八年级上·上海虹口·期中）先化简，再求值，已知，求代数式的值； 25．（22-23八年级上·上海·期中）已知，，求代数式的值． 题型六、巧用配方法化简双重二次根式（难点） 26．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简： ． 27．（24-25八年级上·上海·期中）阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如： ． 请利用上述运算法则化简： ． 28．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简： ． 29．（23-24八年级上·上海青浦·期中）观察下列等式 ； ； ； …… 请你直接写出以下计算结果： (1)请你猜测_________，_________； (2)针对上述各式显示的规律，请你猜测 ___________（，为整数）； (3)利用上述规律计算： ______（，为整数）． 1．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）已知，则 ． 2．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知实数满足，那么 ． 3．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）若为实数，求的值． 4．（22-23八年级上·上海青浦·期中）先化简再求值：，其中， ． 5．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，求代数式的值． 6．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知、是实数，且，求的值． 7．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知：，，求：的值． 8．（24-25八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：已知，求的值． 9．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）已知，求代数式 的值． 10．（24-25八年级上·上海·期中）已知：，，求的平方根； 11．（24-25八年级上·上海·期中）当时，化简：． 12．（22-23八年级上·上海浦东新·期中）观察下列运算： ①由，得 ②由，得 …… 问题： (1)通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来； (2)利用（1）中发现的规律计算： ． 13．（22-23八年级上·上海静安·期中）（1）式子与的值与有否关系? 请说明理由；当取不同的值时，代数式的值会发生什么变化? （2）设，易知，如果还有，问之间应满足什么关系? 指出结论，再说明理由 14．（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 15．（24-25八年级上·上海·阶段练习）材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_______；（直接写结果） (2)计算：； (3)计算：； (4)计算：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$