第20章 二次根式（复习课件）数学新教材沪教版五四制八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了二次根式的概念、性质、运算及应用，通过单元知识图谱串联定义、性质、运算等核心内容，结合考点串讲（如二次根式有意义条件、最简与同类二次根式）和题型剖析（如化简求值、数形结合），帮助学生构建完整的知识网络。 其亮点在于融合数学思维与应用意识，设计“概念辨析-题型突破-综合应用”三阶复习活动，如利用数轴化简二次根式培养几何直观，通过配方法化简双重二次根式发展推理能力，针对训练包含基础题、新定义题等分层设计。这既巩固学生知识，又助力教师精准复习教学。

单元复习课件 第20章 二次根式 沪教版2024·八年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. 3.感受二次根式与平方根、实数的关联，建立数学知识的系统性认知；通过解决复杂运算或实际问题，增强学习成就感；培养 “先判断条件（如​a≥0）再进行操作” 的数学思维习惯，渗透数形结合、转化的思想。 2.能运用二次根式解决实际问题培养数学应用能力；在化简与运算中，锻炼细致审题、规范书写的严谨性。 单元学习目标 单元知识图谱 1．二次根式的概念 一般地，形如____(a≥0)的式子叫做二次根式； 对于二次根式的理解： ①带有根号；②被开方数是非负数,即a≥0. [易错点] 二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义. 2．二次根式的性质 考点串讲 3．最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． (1)被开方数不含_______； (2)被开方数中不含能___________的因数或因式． 开得尽方 分母 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫 同类二次根式. 考点串讲 5．二次根式的运算 ＝______(a≥0，b≥0)； ＝____(a≥0，b>0)． 二次根式加减时，可以先将二次根式化成_____________，再______________的二次根式进行合并． 被开方数相同 最简二次根式 6.分母有理化 1.分母有理化：把分母中的根号化去的过程称为分母有理化. 分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘同一个适当的代数式，使分母不含根号. 2.有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式。 考点串讲 考点1 二次根式的性质及有意义的条件 1.已知，化简 的结果为( ) B A. B.1 C. D. 【解析】，, ， ， 故选B. 先根据的取值范围判断和 的正负,再根据二次根式的 性质和绝对值的意义进行化简即可. 思路分析 考点串讲 8 3.若代数式在实数范围内有意义，则 的取值范围为______. 【解析】由题意，得，解得.故答案为 . 4.若式子有意义，则 的取值范围是_______________. 且 【解析】由题意得且，解得且，故答案为 且 . 2.(2023秋·浦东新区期末)化简： = 　　 ． 【解析】解：∵4＜5，∴2＜ ， ∴原式= -2．故答案为： -2． -2． 考点串讲 9 5.(2023秋·宝山区期末)在下列二次根式中，属于最简二次根式的是( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：A、 =2 ，不符合题意； C B、 = a,不符合题意； C、 是最简二次根式，符合题意； D、 = ，不符合题意； 故选：C． 考点2 最简二次根式与同类二次根式 考点串讲 10 6.(2023秋·浦东新区期末)在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是( ____ ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【解析】解：A、 =2 ，被开方数是3，与 的被开方数2不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意． B、 = ，被开方数是2，与 的被开方数2相同，是同类二次根式，故本选项符合题意． C、 =|b| ，被开方数是ab,与 的被开方数2ab不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意． D、 和 的被开方数分别是a-1、a+1，不是同类二次根式，故本选项不符合题意． 故选：B． B 11 7.已知，则与 最接近的整数为( ) B A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】 . , ，,, 与 最接近的整数为3，故选B. 先计算出,然后 由， 可得 , 即可得出结果. 思路分析 考点3 二次根式的运算 考点串讲 12 8.估计 的值应在( ) C A.8和9之间 B.9和10之间 C.10和11之间 D.11和12之间 【解析】 ， ，， .故选C. （1） （2） 9.计算下列式子： 解：（1） （2）()() （3） 将二次根式下的带分数化为假分数. 考点串讲 13 （1） （2） 解：（1） （2） 10.计算下列式子： 将二次根式下的带分数化为假分数 考点串讲 二次根式乘除混合运算的方法 （1）将式子中的除法转化为乘法； （2）利用乘法运算律转化为系数和被开方数的运算； （3）将系数和被开方数分别相乘； （4）结果化成最简二次根式（或整式）. （1） （2） 解：（1） （2） 11.计算下列式子： 考点串讲 12.计算： 解：原式= = = 利用完全平方公式和平方差公式进行运算. 考点串讲 14.(2023秋·静安区校级期末)化简 =　 　． 【解析】解： = = -1，故答案为： -1． 考点4 分母有理化 13．写出的一个有理化因式 ． 解：∵，∴的一个有理化因式为， 故答案为：（答案不唯一） 考点串讲 15．不等式的解集是 . 解：移项，得，合并同类项，得， 两边都除以，得；故答案为：． 16．计算：． 解： ． 考点串讲 17.先化简，再求值：已知x= ，求 + 的值． 【解析】解：∵x= =3-2 ，∴x-2=1-2 ＜0， 则原式=x-1+ =x-1-1=x-2=1-2 ． 考点5 二次根式的化简求值 18.形如的根式叫做复合二次根式，对 可进行如下化简： ， 利用上述方法化简： . 解： . 考点串讲 19 题型一、运用二次根式的非负性求值 1.（1）已知，是有理数，若，求 的平方根； 【解】由题意，得，，且，解得 ， ，，的平方根是 . （2）已知，是等腰的两边长，且满足 ，求 的周长. 【解】， ,即 ，，，，.当 为腰 长时，三边长分别为1，1，3，不符合三角形三边关系，舍去；当 为腰长时， 三边长分别为3，3，1，符合三角形三边关系，的周长为 . 题型剖析 20 题型二、运用数形结合法化简 2.如图，点在数轴上对应的数为，且点在， 两点之间.化简： . 【解】由数轴知 ， . 运用数形结合法化简 数形结合法化简二次根式时一般是与数轴结合，先根据字母对应的点在数轴上的 位置确定该字母的值或取值范围，再进行化简. 题型剖析 21 题型三、巧用乘法公式化简求值 3.已知， ，求代数式 的值. 【解】， 当， 时， 原式 . 巧用乘法公式化简求值 在化简二次根式时，有符合完全平方公式或平方差公式的形式的式子，可利用公式 进行解题.有时也可以利用配方法把被开方数写成完全平方形式，达到去根号的目的. 题型剖析 22 4.已知， ，试求下列式子的值： （1） ； 【解】，， . （2） . 【解】，， ，则 . 巧用分母有理化化简求值 当二次根式出现在分母中时，可通过分母有理化的方法进行化简： （1）若分母是单项二次根式，可利用 来进行分母有理化； （2）若分母是非单项二次根式，则可以利用平方差公式来进行分母有理化. 题型剖析 23 题型四、巧用分母有理化化简求值 5.已知，，则 的值为_____. 【解析】， ， , , . 6.已知，，则 的值为___. 2 【解析】， ， ， ， . 题型剖析 24 题型五、巧用整体代换化简求值 7.请阅读材料：问题：已知，求代数式 的值. 小明的做法：根据得，， . 把的值整体代入，得 .即把已知条件适当变形， 再整体代入解决问题. 仿照上述方法解决问题： （1）已知，求代数式 的值； 【解】，，，即 ， ， . （2）已知，求代数式 的值. 【解】，， ， ，，， ， . 题型剖析 25 题型六、巧用配方法化简双重二次根式 8.当 时，化简 的结果为___. 2 【解析】当 时， ， ， . 巧用配方法化简双重二次根式 当化简双重二次根式 时，可以巧用配方法将被开方数先配方成完全平方 的形式，然后再开方化简计算.可以找到两个数和，使且 ， 使被开方数变为，即变成，从而使得 化简. 题型剖析 26 9. ___. 2 【解析】 ， ， . 题型剖析 27 1.下列的取值中，可以使 有意义的是( ) D A.13 B.10 C.7 D.4 2.下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) B A. B. C. D. 3.[2024⋅上海浦东新区月考] 下列各组二次根式中，能合并的是( ) C A.和 B.和 C.和 D.和 针对训练 28 4.实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简 的 结果是( ) C A. B. C. D. 5.计算： ______. 6.已知，化简： _________. 7.已知，，则代数式 的值是____. 29 8.（23-24八年级上·上海崇明·期末）计算：． 解： ． 9．（24-25八年级上·上海松江·期末）计算：． 解： 10．（23-24八年级上·上海·期末）计算：． 解： ．   30 11. 有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上裁出面积分别为 、和 的三块正方形木板. （1）裁出的三块正方形木板的边长分别为____ ，_____和_____ . （2）求长方形木板的面积.（结果保留根号） 解：根据题意，得长方形的宽为，长为 , 长方形木板的面积为 . （3）如果木工师傅想从剩余的木板中裁出长为、宽为 的长方形木板， 最多能裁出多少块这样的木板？ 解：根据题意，得剩余的木板的长为 ，宽为 ， ， ， 最多能裁出2块这样的木板. 31 12. 任意一个二次根式（ 为正整数），都可以进行这样的分解： ，都是正整数，且，在 的所有这种分解中，若最小， 我们就称是 的最佳分解，并记为：.例如可以分解成， 或 ，显然是的最佳分解，此时.若正整数， 满足，，且，则 的值为___________. 或 [解析] 点拨： , 可设，其中为正整数， 则 ., . , 为一个正整数的平方., ， , 或4. 当时，；当时， . 32 13. 阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子 可以写成另一个式子的平方，如： ，善于思考的小明进行了以下 探索： 设（其中，，， 均为整数），则有 ，.这样小明就找到了一种把类似 的式子化为平方式的 方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当，，，均为正整数时，若 ，用含，的式子分别 表示，，得__________， ______； （2）试着把 化成一个完全平方式； 解： . （3）化简： . 解： . 33 感谢聆听! eq \r(a) eq \r(\f(a,b)) eq \r(ab) $$