专题12.1 因式分解的意义 提取公因式法（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题12.1因式分解的意义 提取公因式法 教学目标 1. 能判断是否属于因式分解； 2. 知道公因式的概念，会求公因式； 3. 掌握提取公因式法因式分解。 教学重难点 1.重点 （1）会判断是否属于因式分解； （2）由因数到因式；了解整式各项的公因式； （3）学会提取公因式进行因式分解。 2.难点 （1）利用因式分解求参数； （2）提取公因式的综合应用。 知识点1 因式分解 1.复习：整式的乘法 我们已经学习了整式的乘法，可以将几个整式的乘积化为一个整式.如： m(a+b+c)=ma+mb+mc; (a+b)(a-b)=a²-b²; (a-b)²=a²-2ab+b². 反过来，有时候我们需要将一个整式化为几个整式的积. 2.因式分解 ①思考：你能把下列整式化为几个整式的积吗? (1)ma+mb+mc=_________________； (2)a²-b²=_________________； (3)a2-2ab+b²=_________________. ②因式分解：几个整式相乘，其中每个整式都称为积的因式.把含多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解. 如：x²+x=x(x+1); x⁴-1=(x²+1)(x²-1)=(x²+1)(x+1)(x-1). ③因式：其中，x、x+1是x²+x的因式，x²+1、x+1、x-1是x⁴-1的因式. 要点： 因式分解一般要分解到每个因式都不能再分解为止，如在x⁴—1因式分解的过程中，因式x²+1不能继续因式分解，x²-1还能继续因式分解为 (x+1)(x-1). 【即学即练】 1．下列各式中，是整式乘法的是 ，是因式分解的是 ．（填序号） ①；②； ③；④． 2．下列整式变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ （1）；（2）； （3）；（4）； （5）（6）． 知识点2 提取公因式法 1.公因式 ①观察：ma+mb+mc的每一项，你有什么发现? 我们把含多个项的整式中的每一项都含有的公共的因式叫作这个整式各项的公因式. 由m(a+b+c)=ma+mb+mc,可得 ma+mb+mc=m(a+b+c). 这就将ma+mb+mc分解成两个整式的积.其中，m是ma+mb+mc各项的公因式. 要点： （1） 公因式必须是每一项中都含有的因式. （2） 公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个整式. （3） 公因式的确定分为数字系数和字母两部分： ①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 2.提取公因式法 如果含多个项的整式的各项含有非常数的公因式，那么可以把这个公因式提取出来，从而将这个整式化为两个次数更低的整式的积，这种因式分解的方法叫作提取公因式法. 要点： （1）提取公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即ma+mb+mc=m(a+b+c). （2）用提取公因式法分解因式的关键是准确找出整式各项的公因式. （3）当整式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时整式的各项都要变号. （4）用提取公因式法分解因式时，若整式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 3.举例分析 例1 如何将6xy²+9xy因式分解? 先找出6xy²+9xy各项的公因式，再用提取公因式法因式分解.这个整式有两项6xy²与9xy,这两项的系数6与9有最大公因数3,这两项的字母部分xy²与xy都含有字母x和y,且x和y的最低次数都是1,因此可提取公因式3xy,得6xy²+9xy=3xy·2y+3xy·3=3xy(2y+3). 如果含多个项的整式的各项的系数都是整数，提取公因式时，通常提取各项系数的最大公因数. 例2（整体法） 因式分解： (1)a(x+y)+b(x+y); (2)x(a-b)²-y(b-a)³. 解：(1)a(x+y)+b(x+y) =(x+y)(a+b). (2)x(a-b)²-y(b-a)³ =x(a-b)²+y(a-b)³ =(a-b)²(x+ay-by). 【即学即练】 1．用提公因式法分解因式． （1）4x2－ 4xy＋8xz ； （2）6x4－ 4x3＋2x2 ； （3）6m2n－15mn2＋30m3n ； （4）（a＋b）－（a＋b）2 ； （5）x（x－y）＋y （y－x） ； （6）（m＋n）2－2（m＋n） ． 2．整式分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 3．整式用提公因式法分解因式时提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则的值为（   ） A． B．84 C． D．300 5．整式提取公因式后，剩下的因式是（　　） A． B． C． D． 6． ． 7．用提公因式法将下列各式分解因式： (1)； (2)． 题型01 判断是否属于因式分解 【典例1】．判断下列各式从等号左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解． (1)a2－9b2＝(a＋3b)(a－3b)； (2)3y(x＋2y)＝3xy＋6y2； (3)(3a－1)2＝9a2－6a＋1； (4)4y2＋12y＋9＝(2y＋3)2； (5)x2＋x＝x2(1+)； (6)x2－y2＋4y－4＝(x－y)(x＋y)＋4(y－1)． 【变式1】．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】．下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型02 用提公因式法分解因式 【典例1】．用提公因式法分解因式：． 【变式1】．用提公因式法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】．用提取公因式法将下列各式分解因式： (1)6xyz－3xz2; (2)x4y－x3z； (3)x(m－x)(m－y)－m(x－m)(y－m)． 【变式3】．因式分解： (1)； (2)； (3)． 题型03 两个整式的公因式 【典例1】．下列整式中，没有公因式的是（  ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1】．整式与的公因式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．式子与的公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．整式与整式的公因式是（   ） A． B． C． D． 题型04 整式的各项公因式 【典例1】．将用提公因式法分解因式，应提的公因式是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．把整式分解因式时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．整式（，均为大于1的整数）各项的公因式是（     ） A． B． C． D． 题型05 提公因式后，求另一个因式 【典例1】．把因式分解时，提出公因式后，另一个因式是（） A． B． C． D． 【变式1】．把提公因式后一个因式是，则另一个因式是 ． 【变式2】．若整式分解因式，其中一个因式是，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．将整式提公因式后，另一个因式为（　　） A． B． C． D． 【变式4】．把整式提取公因式后得，括号中内容是（   ） A． B． C． D． 题型06 提取公式法求代数式的值 【典例1】．已知，，则的值是 ． 【变式1】．若，，则 ． 【变式2】．已知，求的值． 题型07 提取公式法的几何应用 【典例1】．如图，边长为的长方形，它的周长为10，面积为6，则的值为 ． 【变式1】．如图，“L形图形的面积为7，如果，那么 ． 【变式2】．已知，分别是长方形的长和宽，它的周长为，面积为，则的值为 ． 【变式3】．如图，长宽分别为、的长方形周长为16．面积为12，则的值为（   ） A．193 B． C．384 D． 题型08 由因式分解求参数的值 【典例1】．小明把整式分解因式，有一个因式是，则的值为（　　） A． B．40 C． D．15 【变式1】．已知关于的整式因式分解后有一个因式是，试求的值． 【变式2】．把整式因式分解时，提取的公因式是，则n的值可能为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式3】．若关于x的二次三项式分解因式的结果为，求的值． 【变式4】．已知关于的二次三项式能分解因式成两个一次整式的积，其中一个一次整式是，则另一个一次整式是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．下列变形属于因式分解的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．整式xyx的公因式是（   ） A．x B．x1 C．y D．xy 4．下列代数式中，不能用提公因式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 5．整式的公因式是（    ） A． B． C． D． 6．若，则、的值分别为（    ） A．，2 B．4， C． ， D．4，2 二、填空题 7．（1）整式的公因式是 ； （2）整式的公因式是 ； （3）整式的公因式是 ； （4）整式的公因式是 ． 8．因式分解： ． 9．因式分解： ． 10．如果整式 的一个因式是，那么另一个因式是 ． 11．若，则的值为 ． 三、解答题 12．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 13．将下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．已知，用因式分解法求的值． 15．已知a、b、x、y满足，，求： (1)； (2)． 16．观察下列因式分解的过程： ① ② ③ …… 根据上述因式分解的方法，尝试将下列各式进行因式分解： （1）； （2）． 17．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是______________，共应用了_________次； (2)将下列整式分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是_________． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12.1因式分解的意义 提取公因式法 教学目标 1. 能判断是否属于因式分解； 2. 知道公因式的概念，会求公因式； 3. 掌握提取公因式法因式分解。 教学重难点 1.重点 （1）会判断是否属于因式分解； （2）由因数到因式；了解整式各项的公因式； （3）学会提取公因式进行因式分解。 2.难点 （1）利用因式分解求参数； （2）提取公因式的综合应用。 知识点1 因式分解 1.复习：整式的乘法 我们已经学习了整式的乘法，可以将几个整式的乘积化为一个整式.如： m(a+b+c)=ma+mb+mc; (a+b)(a-b)=a²-b²; (a-b)²=a²-2ab+b². 反过来，有时候我们需要将一个整式化为几个整式的积. 2.因式分解 ①思考：你能把下列整式化为几个整式的积吗? (1)ma+mb+mc=m(a+b+c)； (2)a²-b²=(a+b)(a-b)； (3)a2-2ab+b²=(a-b)². ②因式分解：几个整式相乘，其中每个整式都称为积的因式.把含多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解. 如：x²+x=x(x+1); x⁴-1=(x²+1)(x²-1)=(x²+1)(x+1)(x-1). ③因式：其中，x、x+1是x²+x的因式，x²+1、x+1、x-1是x⁴-1的因式. 要点： 因式分解一般要分解到每个因式都不能再分解为止，如在x⁴—1因式分解的过程中，因式x²+1不能继续因式分解，x²-1还能继续因式分解为 (x+1)(x-1). 【即学即练】 1．下列各式中，是整式乘法的是 ，是因式分解的是 ．（填序号） ①；②； ③；④． 【答案】 ①②/②① ③④/④③ 【分析】本题主要考查了整式乘法与因式分解，将整式写成几个整式的积的形式，叫做将整式分解因式，整式的乘法是指单项式与单项式、单项式与整式以及整式与整式相乘，根据各自的定义判断即可． 【详解】解：①是整式乘法， ②是整式乘法， ③是因式分解， ④是因式分解． 故答案为：①②；③④． 2．下列整式变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是因式分解的定义，根据因式分解的定义，判断各选项是否将整式分解为几个整式的乘积形式即可． 【详解】解：A：左边为单项式，右边是单项式的乘积，因式分解的对象应为整式，而非单项式，故本选项不符合题意； B：左边为整式，右边写成，即两个相同整式的乘积，属于因式分解，故本选项符合题意； C：左边是乘积形式，右边展开为整式，属于整式乘法而非因式分解，故本选项不符合题意； D：右边为，未将整个整式写成乘积形式，仅部分分解，不符合因式分解要求，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个整式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意； B．，所以因式分解错误，故不符合题意； C．，所以因式分解错误，故不符合题意； D．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意． 故选：D． 4．下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ （1）；（2）； （3）；（4）； （5）（6）． 【答案】（3）（6）是因式分解，（1）（2）（4）（5）不是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个整式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，据此求解即可． 【详解】（1）左边不是整式，不是因式分解； （2）从左到右的变形属于整式乘法，不是因式分解； （3）从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解； （4）从左到右的变形不是化成整式积的形式，不是因式分解； （5）从左到右的变形不是化成整式积的形式，不是因式分解； （6）从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解． ∴（3）（6）是因式分解，（1）（2）（4）（5）不是因式分解 知识点2 提取公因式法 1.公因式 ①观察：ma+mb+mc的每一项，你有什么发现? 我们把含多个项的整式中的每一项都含有的公共的因式叫作这个整式各项的公因式. 由m(a+b+c)=ma+mb+mc,可得 ma+mb+mc=m(a+b+c). 这就将ma+mb+mc分解成两个整式的积.其中，m是ma+mb+mc各项的公因式. 要点： （1） 公因式必须是每一项中都含有的因式. （2） 公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个整式. （3） 公因式的确定分为数字系数和字母两部分： ①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 2.提取公因式法 如果含多个项的整式的各项含有非常数的公因式，那么可以把这个公因式提取出来，从而将这个整式化为两个次数更低的整式的积，这种因式分解的方法叫作提取公因式法. 要点： （1）提取公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即ma+mb+mc=m(a+b+c). （2）用提取公因式法分解因式的关键是准确找出整式各项的公因式. （3）当整式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时整式的各项都要变号. （4）用提取公因式法分解因式时，若整式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 3.举例分析 例1 如何将6xy²+9xy因式分解? 先找出6xy²+9xy各项的公因式，再用提取公因式法因式分解.这个整式有两项6xy²与9xy,这两项的系数6与9有最大公因数3,这两项的字母部分xy²与xy都含有字母x和y,且x和y的最低次数都是1,因此可提取公因式3xy,得6xy²+9xy=3xy·2y+3xy·3=3xy(2y+3). 如果含多个项的整式的各项的系数都是整数，提取公因式时，通常提取各项系数的最大公因数. 例2（整体法） 因式分解： (1)a(x+y)+b(x+y); (2)x(a-b)²-y(b-a)³. 解：(1)a(x+y)+b(x+y) =(x+y)(a+b). (2)x(a-b)²-y(b-a)³ =x(a-b)²+y(a-b)³ =(a-b)²(x+ay-by). 【即学即练】 1．用提公因式法分解因式． （1）4x2－ 4xy＋8xz ； （2）6x4－ 4x3＋2x2 ； （3）6m2n－15mn2＋30m3n ； （4）（a＋b）－（a＋b）2 ； （5）x（x－y）＋y （y－x） ； （6）（m＋n）2－2（m＋n） ． 【答案】（1）4x（x－y＋2z）；（2）2x2（3x2－2x＋1）；（3）3mn（2m－5n＋10m2）；（4）（a＋b）（1－a－b）；（5）＝（x－y）2；（6）（m＋n）（m＋n－2） 【解析】略 2．整式分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查提公因式法进行因式分解，观察整式发现两个单项式都含有2，提出2之后没有其他公因式，也不能用公式法进行因式分解，即可得出答案． 【详解】解：， 故选：C． 3．整式用提公因式法分解因式时提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，解题关键是准确找出各项的公因式．根据提公因式法，找出各项的公因式即可． 【详解】解：， 应提取的公因式为， 故选：B． 4．已知，，则的值为（   ） A． B．84 C． D．300 【答案】D 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，整式的因式分解，先整理，把，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：D． 5．整式提取公因式后，剩下的因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查公因式的定义，掌握找公因式的要点是解答此题的关键，即公因式的系数是整式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母，相同字母的指数取次数最低的． 通过观察知公因式为，提取后得即可判断． 【详解】解： ∴此整式的公因式为，提取公因式后，剩下的因式是． 故选C 6． ． 【答案】 【分析】提取公因式法分解因式，寻找相同的公因式即可． 【详解】原式= = ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了提公因式法分解因式，熟练掌握寻找公因式的方法是解题的关键． 7．用提公因式法将下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键； （1）提公因式法提取分解因式即可求解； （2）提公因式法提取分解因式即可求解； 【详解】（1）解： （2）解： ． 题型01 判断是否属于因式分解 【典例1】．判断下列各式从等号左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解． (1)a2－9b2＝(a＋3b)(a－3b)； (2)3y(x＋2y)＝3xy＋6y2； (3)(3a－1)2＝9a2－6a＋1； (4)4y2＋12y＋9＝(2y＋3)2； (5)x2＋x＝x2(1+)； (6)x2－y2＋4y－4＝(x－y)(x＋y)＋4(y－1)． 【答案】(2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解． 【分析】根据因式分解和整式乘法的定义即可解答. 【详解】(1)(4)的变形是把整式化为整式乘积的形式，是因式分解；(2)(3)是整式乘法；(5)虽然是把整式化为积的形式，但(1＋)不是整式，不是因式分解；(6)运用乘法公式，结果不是整式乘积的形式，故既不是整式乘法，也不是因式分解． (2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解． 【点睛】本题主要考查因式分解，因式分解是把一个整式转化成几个整式积的形式． 【变式1】．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的意义，解题的关键是掌握：把一个整式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个整式因式分解，也叫做分解因式．据此判断即可． 【详解】解：A．，该等式右边是整式的积的形式，符合因式分解的定义，故此选项符合题意； B．，原变形不是恒等变换，故此选项不符合题意； C．，该变形属于整式乘法而非因式分解，故此选项不符合题意； D．，该等式右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式2】．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查因式分解的定义，即把一个整式转化为几个整式的积的形式．需逐一分析各选项是否符合该定义． 【分析】解：A选项：左边为整式，右边为，即两个的乘积，符合因式分解的定义． B选项：左边为单项式，右边为，因式分解对象应为整式，故不符合． C选项：左边为的乘积，右边展开为整式，属于整式乘法，与因式分解方向相反． D选项：右边为，是乘积与单项式的和，未完全化为积的形式，不符合要求． 故选：A． 【变式3】．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义．分解因式就是把一个整式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定． 【详解】解：A.是整式的乘法，不是因式分解； B. 是整式的乘法，不是因式分解； C. 是因式分解； D. 最后运算加法，不是因式分解； 故选：C． 【变式4】．下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)不是因式分解 (2)不是因式分解 (3)是因式分解 (4)不是因式分解 (5)不是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的意义，注意因式分解是针对整式而言的，因式分解后，右边是整式积的形式． 根据分解因式的定义：把一个整式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个整式因式分解，也叫做分解因式 【详解】（1）解：因式分解是针对整式来说的，故不是因式分解； （2）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解； （3）解：是因式分解； （4）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解； （5）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解． 题型02 用提公因式法分解因式 【典例1】．用提公因式法分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，正确地找出整式各项的公因式是解题的关键． 根据提公因式法分解因式即可求解． 【详解】解：． 【变式1】．用提公因式法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是提公因式分解因式，掌握公因式的判定是解本题的关键； （1）提取公因式分解因式即可： （2）提取公因式分解因式即可： （3）提取公因式分解因式即可： （4）提取公因式分解因式即可： 【详解】（1）解： ． （2） ． （3） ． （4） ． 【变式2】．用提取公因式法将下列各式分解因式： (1)6xyz－3xz2; (2)x4y－x3z； (3)x(m－x)(m－y)－m(x－m)(y－m)． 【答案】 (1) 3xz(2y－z)； (2) x3(xy－z)； (3)－(m－x)2(m－y)． 【分析】分别提取公因式3xz，x3，(m－x)(m－y)即可得答案，注意符号. 【详解】解：(1)6xyz－3xz2＝3xz(2y－z)． (2)x4y－x3z＝x3(xy－z)． (3)x(m－x)(m－y)－m(x－m)(y－m) ＝x(m－x)(m－y)－m(m－x)(m－y) ＝(m－x)(m－y)(x－m)＝－(m－x)2(m－y)． 【点睛】本题考查的知识点是提公因式，解题的关键是熟练的掌握提公因式. 【变式3】．因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据分解因式的方法求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． （3）原式 ． 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 题型03 两个整式的公因式 【典例1】．下列整式中，没有公因式的是（  ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了公因式，掌握公因式是整式中每项都有的因式是解题关键．根据公因式的定义可得答案． 【详解】解：A、和有公因式，不符合题意； B、和没有公因式，符合题意； C、和有公因式，不符合题意； D、和有公因式，不符合题意； 故选：B． 【变式1】．整式与的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分解因式，利用平方差公式分解因式可得：，利用提公因式法分解因式可得：求两个整式的公因式，需先分别进行因式分解，再找出共同的因式。 【详解】解：把两个整式分别分解因式， 可得：，， 与分解后的形式分别为 和 ， 它们共同的因式为 ， 与的公因式为 ． 故选：A． 【变式2】．式子与的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分解因式，先由平方差公式分解因式得到、再由提公因式法分解因式得到，从而确定答案，熟练掌握提公因式法分解因式、公式法分解因式是解决问题的关键． 【详解】解：；， 式子与的公因式是， 故选：A． 【变式3】．整式与整式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是公因式的定义，对每个整式先因式分解，然后即可选出有公因式的项． 【详解】解：∵，， ∴整式与整式的公因式是， 故选：B． 题型04 整式的各项公因式 【典例1】．将用提公因式法分解因式，应提的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的定义及确定公因式的方法是解题的关键：公因式的定义：整式的各项都有一个公共的因式，我们把因式叫做这个整式的公因式；需要注意：公因式必须是每一项中都含有的因式；公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个整式；某个或某些项中含有，而其他项中没有的因数或因式不能成为公因式的一部分；确定公因式的方法：定系数，即确定各项系数的最大公因数；定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同整式因式）；定指数，即各项相同字母因式（或相同整式因式）的指数的最低次幂． 根据公因式的定义及确定公因式的方法即可直接得出答案． 【详解】解：将用提公因式法分解因式，应提的公因式是， 故选：． 【变式1】．把整式分解因式时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．公因式的确定方法：各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积． 【详解】解：把整式分解因式时，应提取的公因式是， 故选：C． 【变式2】．整式（，均为大于1的整数）各项的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了公因式，直接利用公因式的定义进而得出各项的公因式． 【详解】解：， ∴各项的公因式是， 故选B． 题型05 提公因式后，求另一个因式 【典例1】．把因式分解时，提出公因式后，另一个因式是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了提公因式法分解因式，解题的关键是正确找出公因式．直接提取公因式即可分解． 【详解】解：， 故选：D． 【变式1】．把提公因式后一个因式是，则另一个因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，先提取公因式把原式分解因式，从而可以得到另一个因式，掌握“利用提公因式的方法分解因式”是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】．若整式分解因式，其中一个因式是，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将整式因式分解，即可得到结果． 【详解】解：∵ = ∴另一个因式是， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了因式分解，熟练应用提公因式法解题关键． 【变式3】．将整式提公因式后，另一个因式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，先利用提公因式法法进行因式分解，即可确定公因式和另一个因式． 【详解】解： ， ∴公因式是，另一个因式为． 故选：B 【变式4】．把整式提取公因式后得，括号中内容是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 题型06 提取公式法求代数式的值 【典例1】．已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的应用，提取公因式法的运用，将进行因式分解，得出，再将，代入计算即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴ ， 故答案为：． 【变式1】．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，先提公因式，进而将已知代数式的值代入即可求解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：由， ∵，， ∴原式， 故答案为：． 【变式2】．已知，求的值． 【答案】 【详解】解：，， ， ． 题型07 提取公式法的几何应用 【典例1】．如图，边长为的长方形，它的周长为10，面积为6，则的值为 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键． 【详解】解：边长为，的长方形，它的周长为10，面积为6， ，， ． 故答案为：30． 【变式1】．如图，“L形图形的面积为7，如果，那么 ． 【答案】7 【分析】本题考查整式的乘法与图形的面积，以及因式分解的应用．将图形分成两个长方形，根据图形的面积列出算式，然后因式分解即可得到答案． 【详解】解：如图， 由题意，得：， 即 ∵， ∴， 故答案为：7． 【变式2】．已知，分别是长方形的长和宽，它的周长为，面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．根据长方形的周长和面积，可以得到和的值，然后将所求式子因式分解，即可求得所求式子的值． 【详解】解：，分别是长方形的长和宽，它的周长为，面积为， ，， 即， ， 故答案为：． 【变式3】．如图，长宽分别为、的长方形周长为16．面积为12，则的值为（   ） A．193 B． C．384 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查利用整体代入法求代数式的值，因式分解．根据题意得出，，然后将整式因式分解化简整体带入求解即可 【详解】解：∵边长为a，b的长方形周长为16，面积为12， ∴，， 则 ． 故选：B． 题型08 由因式分解求参数的值 【典例1】．小明把整式分解因式，有一个因式是，则的值为（　　） A． B．40 C． D．15 【答案】D 【分析】此题考查了整式的因式分解，设，将右边等式去括号展开后，再根据等式两边对应未知数的系数相等，即可求出的值及的值． 【详解】解：设， ∴ ∴ ∴， 故选：D 【变式1】．已知关于的整式因式分解后有一个因式是，试求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解的意义，解决此题的关键是灵活利用因式分解建立与方程之间的关系来解决问题． 设分解后的另一个因式为．根据题意得到，然后得出，，进而求解即可． 【详解】解：设分解后的另一个因式为． 由题意，得， ∴，， ∴， ∴． 【变式2】．把整式因式分解时，提取的公因式是，则n的值可能为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】利用提公因式法，即可解答． 【详解】解：把整式因式分解时，提取的公因式是，则：n≥5， 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解-提公因式法是解题的关键． 【变式3】．若关于x的二次三项式分解因式的结果为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式与整式乘法，熟练掌握整式乘整式的运算法则是解题的关键．对展开得到m，n的值，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 【变式4】．已知关于的二次三项式能分解因式成两个一次整式的积，其中一个一次整式是，则另一个一次整式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解．设另一个一次整式为，根据因式分解后与原式系数对应求解即可． 【详解】解：设另一个一次整式为， ∴， ∵能分解因式成两个一次整式的积，其中一个一次整式是， ∴， ∴， ∴， ∴另一个一次整式为， 故选：D 一、单选题 1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据因式分解的定义“将几个整式的和的性质变成几个因式积的形式”，由此即可求解． 【详解】解：、，是因式分解，符合题意； 、，不是因式分解，不符合题意； 、，不是因式分解，不符合题意； 、，不是因式分解，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查因式分解概念的理解，掌握其概念是解题的关键． 2．下列变形属于因式分解的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：①等式左边不是整式，不是因式分解；②等式右边不是整式，不是因式分解；③是整式的乘法，不是因式分解；④等式右边不是整式的乘法的形式，不是因式分解；⑤是因式分解； 故选D． 【点睛】本题考查因式分解的定义：把一个整式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个整式进行因式分解． 3．整式xyx的公因式是（   ） A．x B．x1 C．y D．xy 【答案】A 【分析】根据整式是各项都含有的公共的因式即可解得． 【详解】 公因式是：x 故选：A 【点睛】此题考查了公因式，解题的关键是熟悉公因式的概念． 4．下列代数式中，不能用提公因式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，根据提公因式法逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故能用提公因式法因式分解，不符合题意； B、，故能用提公因式法因式分解，不符合题意； C、，不能用提公因式法因式分解，符合题意； D、，故能用提公因式法因式分解，不符合题意； 故选：C． 5．整式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查找公因式，找数字的最大公因式，字母找相同字母最低指数即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 的公因式是：， 故选：B． 6．若，则、的值分别为（    ） A．，2 B．4， C． ， D．4，2 【答案】B 【分析】把式子展开，根据对应项系数相等，列式求解即可得到、的值． 【详解】解：， ， ，， ， ， 、的值分别为：4，． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了因式分解的意义；根据整式乘整式的法则，再根据对应项系数相等求解是解本题的关键． 二、填空题 7．（1）整式的公因式是 ； （2）整式的公因式是 ； （3）整式的公因式是 ； （4）整式的公因式是 ． 【答案】 ； ； ； ． 【分析】本题主要考查了公因式，根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数；字母取各项的相同的字母，各字母的指数取次数最低的；取相同的整式，整式的次数取最低的，进而得出答案，掌握公因式的定义是解题的关键． 【详解】（）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； 故答案为：（）；（）；（）；（）． 8．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的因式分解．直接提出公因式x即可． 【详解】解： 9．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式：系数，取各项系数的最大公因数，字母，取各项都含有的相同字母，并且相同字母的指数取次数最低的．准确的找出公因式是解题的关键．确定公因式即可即可求解． 【详解】 故答案为： 10．如果整式 的一个因式是，那么另一个因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了提取整式公因式；关键在于能够找到公因式并正确的提取公因式．该整式提取，即可求解． 【详解】解： ， ∴一个因式是，另一个因式是， 故答案为：． 11．若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了求代数式的值．由已知得到，将原式整理得，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：2． 三、解答题 12．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）提出公因式a即可分解因式； （2）提出公因式即可分解因式； （3）提出公因式即可分解因式； （4）提出公因式即可分解因式； （5）提出公因式即可分解因式； （6）提出公因式即可分解因式． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解： ； （6）解：． 【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，利用相反数确定的公因式是解题关键． 13．将下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）提取公因式因式分解解题即可； （2）提取公因式分解因式即可； （3）把看成整体提取公因式分解因式即可； （4）把看成整体提取公因式分解因式即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3）） ； （4） ． 【点睛】本题考查提取公因式因式分解，掌握提取公因式的方法是解题的关键． 14．已知，用因式分解法求的值． 【答案】 【分析】此题考查的是因式分解和整体代入法求值，先将原式提公因式进行因式分解，最后整体代入求解． 【详解】解： ∵， ∴原式 15．已知a、b、x、y满足，，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得出，计算求得即可； （2）首先将原式重新分组进行因式分解，进而代入，求出即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴ 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，提取公因式法分解因式以及代数式求值，正确分组分解因式是解题关键． 16．观察下列因式分解的过程： ① ② ③ …… 根据上述因式分解的方法，尝试将下列各式进行因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题中的方法，适当加减适合的数，再提取公因式，将各式分解即可； （2）根据题中的方法分解因式即可． 【详解】解：（1）； （2）． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提取公因式进行因式分解． 17．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是______________，共应用了_________次； (2)将下列整式分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是_________． 【答案】(1)提取公因式法；2 (2) (3)2023； 【分析】（1）根据题意可知题干的因式分解方法是提公因式法，一共应用了2次； （2）仿照题意进行提取公因式进行分解因式即可得到答案； （3）根据题意可得规律，提n次公因式，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，题干的因式分解方法是提公因式法，一共应用了2次， 故答案为：提公因式法；2； （2）解：原式 ； （3）解：，提1次公因式 ，提2次公因式 ，提3次公因式 …… ∴依次类推，，提n次公因式， ∴，提2023次公因式， 故答案为：2023；． 【点睛】本题主要考查了分解因式，正确理解题意掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$