专题12.3 十字相乘法（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题12.3 十字相乘法 教学目标 1. 熟练掌握首项系数为1的形如型的二次三项式的因式分解； 2. 进一步掌握首项系数不为1的简单的整系数二次三项式的因式分解； 3. 会解十字相乘法因式分解有关应用题。 教学重难点 1.重点 （1）利用十字相乘法进行因式分解； （2）利用十字相乘法因式分解求参数； （3）十字相乘法因式分解的应用。 2.难点 （1）二次项系数不为1的二次三项式的因式分解； （2）常数项的因数分解往往有多种情况；分类讨论思想。 知识点1 二次三项式的因式分解 1.观察 关于x的整式x²+(a+b)x+ab有什么特征? x²+(a+b)x+ab是一个关于x的二次三项式，其中二次项系数为1,常数项是两个数a与b的积，而一次项系数恰好是这两个数a与b的和. 由(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab,可得x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 这就将x²+(a+b)x+ab分解成两个整式的积. 如果关于x的二次三项式x²+px+q的常数项q能分解成两个因数a与b的积，且一次项系数p又恰好等于a+b,那么x²+px+q就可以进行如下的因式分解： x²+px+q=x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 2.思考 如何将二次三项式x²+3x+2因式分解? 观察x²+3x+2的系数，它的二次项系数是1,常数项2=1×2,一次项系数3=1+2,所以x²+3x+2=x²+(1+2)x+1×2=(x+1)(x+2). 上述将x²+3x+2因式分解的过程，可以形象地表示为 先分解二次项系数1=1×1,分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项2=1×2,分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘并求和，看它是否等于一次项系数3. 一般地，如果二次三项式x²+px+q=x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b), 那么这样的因式分解的过程可以表示为 像这样，通过适当地分解系数，把二次三项式因式分解的方法叫作十字相乘法. 要点： 常数项的因数分解往往有多种情况，此时选择的关键在于判断哪两个因数的和恰好等于一次项的系数. 【即学即练】 1．十字相乘法分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 2．分解因式： (1)； (2)． 3．因式分解，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 4．因式分解： ． 5．把分解因式得，则的值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 知识点2 二次项系数不为1的十字相乘法 二次项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 要点： （1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 【即学即练】 1．运用十字相乘法分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 2．用十字相乘法分解下列因式． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 3．整式分解因式得 4．小明把整式分解因式，有一个因式是，则的值为（　　） A． B．40 C． D．15 题型01 十字相乘法因式分解二次项系数为1的二次三项式 【典例1】．用十字相乘法解方程： (1)； (2)． 【变式1】．分解因式： (1)； (2)． 【变式2】．将下列各式分解因式： (1)； (2)； (3) 题型02 十字相乘法因式分解二次项系数不为1的二次三项式 【典例1】．因式分解：． 【变式1】．因式分解：． 题型03 十字相乘法因式分解二次三项式（综合） 【典例1】．分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式1】．分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式2】．分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式3】．用十字相乘法分解因式： (1)； (2)； (3)． 【变式4】．用十字相乘法分解下列因式． （1） （2） （3） （4） （5） （6） 题型04 辨析十字相乘法因式分解二次三项式 【典例1】．下列各式因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．下列算式中，计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．下列不可利用分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．将在实数范围内因式分解，正确的结果是（　　） A． B． C． D． 题型05 根据十字相乘法因式分解求参数 【典例1】．若，则p，q的值分别为（    ） A．p＝3，q＝4 B．p＝－3，q＝4 C．p＝3，q＝－4 D．p＝－3，q＝－4 【变式1】．若分解因式则的值为（    ） A． B．5 C． D．2 【变式2】．若与的公因式为，则c之值为何？（    ） A． B． C．1 D．3 【变式3】．已知，则 ． 题型06 “看错”问题 【典例1】．两位同学将一个二次三项式分解因式时，其中一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成,则原来的整式为 【变式1】．因式分解，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．在对整式进行因式分解时，M同学看错了b，分解为；N同学看错了a，分解为．（两人后面因式分解没有错误），则 ， ． 题型07 分类讨论 【典例1】．已知二次三项式能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数的取值有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】．若能分解成两个因式的积，则整数a的取值可能有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．无数个 【变式2】．已知在整数范围内可以分解因式，则整数a的值有 个 题型08 材料题 【典例1】．阅读下列材料，回答问题．（1）形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1：②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和． 把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： ． 因此，可以得． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式； (1)________； (2)________； (3)分解因式： (4)分解因式：； 【变式1】．仔细阅读下面例愿，并解答问思：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：．另一个因式为． (1)若二次三项式可分解为，则 ； (2)若二次三项式可分解为，则 ； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 题型09 十字相乘法的几何应用 【典例1】．做一做计算： 探究归纳，如图甲、图乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据图甲、图乙的特征用不同的方法计算长方形的面积，得到关于字母 x 的系数是 1 的 两个一次式相乘的计算规律，用数学式表达式为 ． (2)尝试运用，利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解．若，则 ． (3)若可以分解成关于 x 的两个一次式乘积的形式，则整数 p 的值一定是 ． 【变式1】．小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据图②的面积关系可得等式：，即使用拼图将分解因式． (1)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片________张，3号卡片________张； (2)当他拼成如图③所示的长方形，根据图③的拼图可以把整式分解因式，其结果是________； (3)动手操作，请依照小刚的方法，在④的方框中画出面积为的长方形拼图，并利用拼图分解因式． 【变式2】．我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． 情境一如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含、的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境一    情境二乙同学用1块木片、4块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含、的式子表示），并求所用木片的数量； 情境二          情境三丙同学声称自己用以上的，，三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 一、单选题 1．不能用十字相乘法分解的是（    ）. A． B． C． D． 2．下列各式因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 3．把整式分解因式，其结果是（   ） A． B． C． D． 4．把整式分解因式，得，则的值是（   ） A．1 B．-1 C．5 D．-5 5．要使能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．对于一个正整数n，若能找到正整数，使得，则称n为一个“好数”，例如：，则就是一个“好数”，那么从到这个正整数中“好数”有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 二、填空题 7．分解因式：= ． 8． 9．因式分解： ． 10．分解因式：（1）3a2-6a+3= ；（2）x2+7x+10 = ． 11．分解因式： ． 12．因式分解,甲看错了a的值,分解的结果是,乙看错了b的值,分解的结果为,那么分解因式正确的结果为 ． 13．已知，，，则代数式的值是 ． 14．如图所示，若用2张1号正方形卡片，2张2号正方形卡片，5张3号长方形卡片拼成一个大的长方形，则这个大的长方形的长和宽可分别表示为 ， ． 三、解答题 15．分解因式 (1)． (2) (3) 16．分解因式 (1)； (2)； (3)； (4)． 17．在因式分解的学习中我们知道对二次三项式可用十字相乘法方法得出，用上述方法将下列各式因式分解： (1)__________． (2)__________． (3)__________． (4)__________． 18．阅读下面的材料，解答提出的问题： 已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为，由题意，得 ， ， 所以，解得． 所以另一个因式为，的值为． 提出问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，另一个因式是________； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 19．阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）． 第一步：二次项； 第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；    第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项． 即． 像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 运用结论： (1)将整式进行因式分解，可以表示为_______________； (2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12.3 十字相乘法 教学目标 1. 熟练掌握首项系数为1的形如型的二次三项式的因式分解； 2. 进一步掌握首项系数不为1的简单的整系数二次三项式的因式分解； 3. 会解十字相乘法因式分解有关应用题。 教学重难点 1.重点 （1）利用十字相乘法进行因式分解； （2）利用十字相乘法因式分解求参数； （3）十字相乘法因式分解的应用。 2.难点 （1）二次项系数不为1的二次三项式的因式分解； （2）常数项的因数分解往往有多种情况；分类讨论思想。 知识点1 二次三项式的因式分解 1.观察 关于x的整式x²+(a+b)x+ab有什么特征? x²+(a+b)x+ab是一个关于x的二次三项式，其中二次项系数为1,常数项是两个数a与b的积，而一次项系数恰好是这两个数a与b的和. 由(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab,可得x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 这就将x²+(a+b)x+ab分解成两个整式的积. 如果关于x的二次三项式x²+px+q的常数项q能分解成两个因数a与b的积，且一次项系数p又恰好等于a+b,那么x²+px+q就可以进行如下的因式分解： x²+px+q=x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 2.思考 如何将二次三项式x²+3x+2因式分解? 观察x²+3x+2的系数，它的二次项系数是1,常数项2=1×2,一次项系数3=1+2,所以x²+3x+2=x²+(1+2)x+1×2=(x+1)(x+2). 上述将x²+3x+2因式分解的过程，可以形象地表示为 先分解二次项系数1=1×1,分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项2=1×2,分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘并求和，看它是否等于一次项系数3. 一般地，如果二次三项式x²+px+q=x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b), 那么这样的因式分解的过程可以表示为 像这样，通过适当地分解系数，把二次三项式因式分解的方法叫作十字相乘法. 要点： 常数项的因数分解往往有多种情况，此时选择的关键在于判断哪两个因数的和恰好等于一次项的系数. 【即学即练】 1．十字相乘法分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【分析】本题主要考查十字法因式分解的应用： （1），从而运用十字相乘法可分解因式； （2），从而运用十字相乘法可分解因式； （3），从而运用十字相乘法可分解因式； （4），从而运用十字相乘法可分解因式； （5），从而运用十字相乘法可分解因式； （6），从而运用十字相乘法可分解因式； （7），从而运用十字相乘法可分解因式； （8），从而运用十字相乘法可分解因式； （9），从而运用十字相乘法可分解因式； （10），从而运用十字相乘法可分解因式； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） （8） ； （9） ； （10） ； 2．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用十字相乘法因式分解即可； （2）利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解题的关键． 3．因式分解，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次三项式的因式分解，需找到两个数满足乘积为常数项6，和为一次项系数即可． 【详解】解：将二次三项式 分解为 的形式，需满足： 且． ∴，且 ，符合条件． 因此，原式可分解为 ，对应选项B． 故选：B． 4．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查十字相乘法分解因式，直接利用十字相乘法分解因式即可．二次项的系数是1时；常数项是两个数的积，一次项系数是这两个数的和． 【详解】解：原式． 故答案为：． 5．把分解因式得，则的值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解与整式乘法的关系是解决本题的关键．利用整式乘整式法则先计算，根据因式分解和整式乘法的关系确定． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 知识点2 二次项系数不为1的十字相乘法 二次项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 要点： （1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 【即学即练】 1．运用十字相乘法分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）直接运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可； （2）ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）； （3）同（2）； （4）把()当作一个整体，运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可 【详解】（1）． （2）． （3）． （4）． 【点睛】本题主要考查了十字相乘法分解因式；熟练掌握十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键． 2．用十字相乘法分解下列因式． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）用十字相乘法分解因式即可； （2）用十字相乘法分解因式即可； （3）用十字相乘法分解因式即可； （4）用十字相乘法分解因式即可； （5）用十字相乘法分解因式即可； （6）将看作一个整体，用十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴ （3）解： ∴ （4）解： ∴ （5）解： ∴ （6）解： ∴． 【点睛】本题主要考查了用十字相乘法分解因式，正确分解二次项系数及常数项是解题关键．有时要把某个字母看作常数或把某个整式看作一个整体． 3．整式分解因式得 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法和十字相乘法分解因式，先提公因式，再利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】， 故答案为：． 4．小明把整式分解因式，有一个因式是，则的值为（　　） A． B．40 C． D．15 【答案】D 【分析】此题考查了整式的因式分解，设，将右边等式去括号展开后，再根据等式两边对应未知数的系数相等，即可求出的值及的值． 【详解】解：设， ∴ ∴ ∴， 故选：D 题型01 十字相乘法因式分解二次项系数为1的二次三项式 【典例1】．用十字相乘法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】根据十字相乘法可分别求解（1）（2）． 【详解】（1）解： ， 或， 或； （2）解：， ， 或， 或． 【点睛】本题主要考查利用因式分解进行求解方程，熟练掌握因式分解是解题的关键． 【变式1】．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用十字相乘法即可得出答案； （2）利用十字相乘法即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，要求灵活使用各种方法对整式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 【变式2】．将下列各式分解因式： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用十字相乘法，分解因式即可； （2）用十字相乘法，分解因式即可； （3）用十字相乘法，分解因式即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴； （2）解：∵，即， ∴； （3）解：， ∵，即， ∴原式． 【点睛】本题主要考查了利用十字相乘法分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握十字相乘法：常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号． 二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上． 题型02 十字相乘法因式分解二次项系数不为1的二次三项式 【典例1】．因式分解：． 【答案】 【分析】根据十字相乘法分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题的关键． 【变式1】．因式分解：． 【答案】 【分析】根据十字相乘法可进行求解． 【详解】解：． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用十字相乘法进行因式分解是解题的关键． 题型03 十字相乘法因式分解二次三项式（综合） 【典例1】．分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）十字相乘法分解因式即可； （2）十字相乘法分解因式即可； （3）十字相乘法分解因式即可； （4）十字相乘法分解因式即可； （5）十字相乘法分解因式即可； （6）十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴； （3）解： ∴； （4）解： ∴； （5）解： ∴； （6）解： ∴． 【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解此题的关键． 【变式1】．分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1） =； （2） =； （3） =； （4） =； （5） = =； （6） = =． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解此题的关键． 【变式2】．分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； （3）根据十字相乘法分解因式即可； （4）根据十字相乘法分解因式即可； （5）根据十字相乘法分解因式即可； （6）根据十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴； （3）解： ∴； （4）解： ∴； （5）解： ∴； （6）解： ∴． 【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解此题的关键． 【变式3】．用十字相乘法分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】用十字相乘法分解因式求解即可． 【详解】（1）原式． （2）原式 ． （3）原式 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 【变式4】．用十字相乘法分解下列因式． （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】（1）把6分成-6与-1的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可； （2）把-15分成-5与3的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可； （3）把3分成1与的3积，把10分成-2与-5的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可； （4）把b看作常数，把分成-3b与2b的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可； （5）把y看作常数，把12分成4与3的积，把分成3y与-5y的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可； （6）把看作一个整体，把-10分成-5与2的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可． 【详解】解：（1） = （2） = （3） = （4） = （5） = （6） = 【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解二次项系数及常数项是解题关键．有时要把某个字母看作常数或把某个整式看作一个整体. 题型04 辨析十字相乘法因式分解二次三项式 【典例1】．下列各式因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据十字相乘法进行分解，即可作出判断． 【详解】解：A、，故此选项正确； B、，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，熟练掌握十字相乘的结构特征是解题的关键． 【变式1】．下列算式中，计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，将整式分解为两个一次因式的乘积，需找到两个数满足和为1（一次项系数）、积为（常数项），通过分析确定这两个数为4和，从而分解为． 【详解】解：， 故选：C． 【变式2】．下列不可利用分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给出的公式将值代入即可得出答案． 【详解】解：A.可以分解，不符合题意； B.可以分解，不符合题意； C. 可以分解，不符合题意； D.不能分解，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了分解因式，确定的值是解题的关键． 【变式3】．将在实数范围内因式分解，正确的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据十字相乘法分解因式，即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：D． 【点睛】本题考查十字相乘法因式分解，熟记十字相乘法因式分解是解决问题的关键． 题型05 根据十字相乘法因式分解求参数 【典例1】．若，则p，q的值分别为（    ） A．p＝3，q＝4 B．p＝－3，q＝4 C．p＝3，q＝－4 D．p＝－3，q＝－4 【答案】B 【分析】根据因式分解，进而即可求得的值 【详解】解：， p，q的值分别为 故选：B 【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【变式1】．若分解因式则的值为（    ） A． B．5 C． D．2 【答案】D 【分析】已知等式右边利用整式乘以整式法则计算，再利用整式相等的条件求出的值即可． 【详解】解：已知等式整理得：， 可得，， 解得：，， 故答案为：D． 【点睛】此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式2】．若与的公因式为，则c之值为何？（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】首先将原式分解因式，进而得出其公因式即可． 【详解】解：∵x2-2x+1=（x-1）（x-1） 与x2+2x-3=（x-1）（x+3）， ∴公因式为x-c=x-1， 故c=1． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了分解因式的应用，正确分解因式是解题关键． 【变式3】．已知，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解，十字相乘法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 利用因式分解化简式子运算即可． 【详解】解：∵ ∴或 ∴或 故答案为：或 题型06 “看错”问题 【典例1】．两位同学将一个二次三项式分解因式时，其中一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成,则原来的整式为 【答案】 【分析】由于看错了一次项系数即值看错而与的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将运用整式的乘法法则展开求出与的值；同样，看错了常数项即值看错而与的值正确，可将运用整式的乘法法则展开求出的值，进而得出答案．本题考查的是因式分解的应用，掌握求解的方法是解题的关键． 【详解】解： ， ，； 又， ． ∵二次三项式为： 原整式为， 故答案为：． 【变式1】．因式分解，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据甲看错了a的值可以知道，甲的分解结果中b的值是正确的，根据乙看错了b的值可以知道，乙的分解结果中a的值是正确的，据此即可得到a、b的值，进而得到答案． 【详解】解：∵甲看错了a的值， ∴， ∴； ∵乙看错了b的值， ∴， ∴， ∴分解因式正确的结果为： ， 故选：C． 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是正确理解因式分解的定义． 【变式2】．在对整式进行因式分解时，M同学看错了b，分解为；N同学看错了a，分解为．（两人后面因式分解没有错误），则 ， ． 【答案】 6 9 【分析】此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 分别根据甲乙因式分解的结果确定出与的值，即可作答． 【详解】解：依题意，由甲的结果得：， 由乙的结果得：， 可得，， 故答案为：． 题型07 分类讨论 【典例1】．已知二次三项式能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数的取值有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】把常数项分为两个整数相乘，其和即为的值，即可确定出整数的个数． 【详解】解：根据题意得：， 可得，，2，， 解得：，14，，2，共4个， 故选：D． 【点睛】此题考查了因式分解中的十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键． 【变式1】．若能分解成两个因式的积，则整数a的取值可能有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．无数个 【答案】B 【分析】把18分解为两个整数的积的形式，a等于这两个整数的和． 【详解】解：18=1×18=2×9=3×6=（-1）×（-18）=（-2）×（-9）=（-3）×（-6）， 所以a=1+18=19或2+9=11或3+6=9或（-1）+（-18）=-19或（-2）+（-9）=-11或（-3）+（=6）=-9． ∴整数a的值是±9或±11或±19，共有6个． 故选：B． 【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解题的关键． 【变式2】．已知在整数范围内可以分解因式，则整数a的值有 个 【答案】8 【分析】此题考查因式分解—十字相乘法，解题关键在于理解．把分成两个整数的积，则等于这两个数的和，进而得到答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 同理可求：，，， 综上所述：的取值是、、或，共8个． 故答案为：8． 题型08 材料题 【典例1】．阅读下列材料，回答问题．（1）形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1：②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和． 把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： ． 因此，可以得． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式； (1)________； (2)________； (3)分解因式： (4)分解因式：； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意根据，进行分解因式即可； （2）仿照题意根据，进行分解因式即可； （3）仿照题意根据，进行分解因式即可； （4）把看做一个整体，仿照题意根据，进行分解因式即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】．仔细阅读下面例愿，并解答问思：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：．另一个因式为． (1)若二次三项式可分解为，则 ； (2)若二次三项式可分解为，则 ； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1)4 (2)1 (3)另一个因式是，的值为 【分析】（1）根据整式乘整式法则计算，由此可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得； （2）根据整式乘整式法则计算，再与进行比较即可得； （3）设另一个因式为，根据整式乘整式法则计算，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以， 所以， 解得， 故答案为：4． （2）解：由题意得：， 所以， 所以， 故答案为：1． （3）解：设另一个因式为， 则， 所以， 所以，， 解得，， 所以另一个因式是，的值为． 【点睛】本题主要考查了整式乘整式、因式分解，熟练掌握整式乘整式的运算法则是解题关键． 题型09 十字相乘法的几何应用 【典例1】．做一做计算： 探究归纳，如图甲、图乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据图甲、图乙的特征用不同的方法计算长方形的面积，得到关于字母 x 的系数是 1 的 两个一次式相乘的计算规律，用数学式表达式为 ． (2)尝试运用，利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解．若，则 ． (3)若可以分解成关于 x 的两个一次式乘积的形式，则整数 p 的值一定是 ． 【答案】(1) (2) (3)0或 【分析】（1）根据甲图形的面积等于乙图形的面积，分别计算出两个图形的面积即可得到答案； （2）根据整式乘以整式的计算法则得到，由此即可得到答案； （3）根据，即可得到或或，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式，， ∴或或， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了整式乘法在几何图形中的应用，整式乘以整式与因式分解，灵活运用所学知识是解题的关键． 【变式1】．小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据图②的面积关系可得等式：，即使用拼图将分解因式． (1)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片________张，3号卡片________张； (2)当他拼成如图③所示的长方形，根据图③的拼图可以把整式分解因式，其结果是________； (3)动手操作，请依照小刚的方法，在④的方框中画出面积为的长方形拼图，并利用拼图分解因式． 【答案】(1)2，3 (2) (3)作图见解析， 【分析】此题考查整式乘以整式计算法则，整式因式分解， （1）计算长方形的面积，即可得到所需需要2号卡片，3号卡片的数量；    （2）根据因式分解方法分解即可； （3）利用因式分解得，即可画出图形． 【详解】（1）解：拼成的一个长为，宽为的大长方形的面积为， ∴需要2号卡片2张，3号卡片3张， 故答案为：2，3； （2）解： 故答案为； （3）利用拼图分解因式： 如图所示： ． 【变式2】．我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． 情境一如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含、的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境一    情境二乙同学用1块木片、4块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含、的式子表示），并求所用木片的数量； 情境二          情境三丙同学声称自己用以上的，，三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 【答案】情境一：；情境二：所拼正方形的边长为，所用木片的数量为；情境三：赞同丁同学的说法，该情况下所拼长方形的长为，宽为，长方形如图 【分析】情境一：设等腰梯形的高为，可求，分别表示出图和图的面积，即可求解； 情境二：可得，由拼成了一个正方形可得，能用完全平方公式进行因式分解，即可求解； 情境三：能构成长方形，则要能进行分解，故去掉个后即可进行因式分解，从而可求解． 【详解】解：情境一 如图，设等腰梯形的高为，   ， ， 图的面积： ， 图的面积：， ， ， 故可得到的乘法公式为：； 情境二 ， 拼成了一个正方形， 当时， ， 所拼正方形的边长为，所用木片的数量为； 情境三 赞同丁同学的说法； 去掉个以后， ， 该情况下所拼长方形的长为，宽为， 长方形如图：    【点睛】本题考查了因式分解，平方差公式、完全平方公式的几何意义，等积转换，掌握等积转换的方法是解题的关键． 一、单选题 1．不能用十字相乘法分解的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据十字相乘法逐一判断可得． 【详解】A、x2+x-2=（x-1）（x+2），此选项不符合题意； B、3x2-10x2+3x不能利用十字相乘法分解，此选项符合题意； C、x2-3x+2=（x-1）（x-2），此选项不符合题意； D、x2-6xy-7y2=（x-7y）（x+y），此选项不符合题意； 故选B． 【点睛】此题考查因式分解-十字相乘法，解题的关键是掌握某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）． 2．下列各式因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据十字相乘法进行分解，即可作出判断． 【详解】解：A、，故此选项正确； B、，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，熟练掌握十字相乘的结构特征是解题的关键． 3．把整式分解因式，其结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为−6×9＝−54，−6＋9＝3，所以利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：x2+3x−54＝（x−6）（x＋9）； 故选：B． 【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程． 4．把整式分解因式，得，则的值是（   ） A．1 B．-1 C．5 D．-5 【答案】D 【分析】利用整式乘以整式法则计算，再利用整式相等的条件求出a与b的值，即可求出a+b的值． 【详解】根据题意得：x2+ax+b=(x+1)(x−3)=x2−2x−3， 可得a=−2，b=−3， 则a+b=−5， 故选D. 【点睛】本题考查因式分解，解决本题的关键是要理解两个整式相等的条件，两个整式分别经过合并同类项后,如果他们的对应项系数都相等,那么称这两个整式相等. 5．要使能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据把-6分解成两个因数的积，m等于这两个因数的和，分别分析得出即可． 【详解】解：∵-1×6=-6，-6×1=-6，-2×3=-6，-3×2=-6， ∴m=-1+6=5或m=-6+1=-5或m=-2+3=1或m=-3+2=-1， ∴整数m的值有4个， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，对常数16的正确分解是解题的关键． 6．对于一个正整数n，若能找到正整数，使得，则称n为一个“好数”，例如：，则就是一个“好数”，那么从到这个正整数中“好数”有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题意得出，进而可得只要是合数，就是好数，即可求解． 【详解】解：由，可得 ， 所以，只要是合数，就是好数， 以内的好数有：、、、、 故选：C． 二、填空题 7．分解因式：= ． 【答案】(x-1)(x+7) 【分析】利用十字相乘法即可求出该题答案. 【详解】由题意得，b＝6，利用十字相乘法可拆分为-7＋1， 符合a＝1，c＝-7， 即可求出x2＋6x－7＝（x－1）（x＋7）. 故答案为（x－1）（x＋7）. 【点睛】本题考查了十字相乘法，熟练掌握该方法是本题的解题关键. 8． 【答案】 【详解】试题分析：常数项-36=-9×4，一次项系数-5=-9+4，由此即可进行因式分解. 试题解析：p2-5p-36=(p+4)(p-9). 9．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用十字相乘法进行因式分解成为解题的关键． 直接运用十字相乘法进行因式分解即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 10．分解因式：（1）3a2-6a+3= ；（2）x2+7x+10 = ． 【答案】 3（a-1）2 (x+2)(x+5) 【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可； （2）原式利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：（1）3a2-6a+3=3（a2-2a+1）=3（a-1）2 (2) x2+7x+10 =(x+2)(x+5) 故答案为：3（a-1）2；（x+2）（x+5） 【点睛】此题考查了提公因式法，公式法及十字相乘法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 11．分解因式： ． 【答案】 【分析】先提公因式，再按十字乘法分解因式即可得到答案． 【详解】解： 【点睛】本题考查的是提公因式法，十字乘法分解因式，掌握相关的知识点是解题的关键． 12．因式分解,甲看错了a的值,分解的结果是,乙看错了b的值,分解的结果为,那么分解因式正确的结果为 ． 【答案】(x-6)(x+2) 【分析】分别将甲乙两人的分解结果利用整式乘法公式进行计算，然后取两人没看错的系数进行组合，重新分解因式. 【详解】甲错了a的值，, , 乙看错了b的值，, ． 分解因式正确的结果：． 故答案为． 【点睛】本题考查了因式分解，根据两人的分解结果得到原本的整式是解题的关键. 13．已知，，，则代数式的值是 ． 【答案】24 【分析】用提公因式法和十字相乘法把代数式进行因式分解后，把，，，整体代入即可求值． 【详解】∵，，， ∴ ＝xy（x2－2xy－3y2） ＝xy（x－3y）（x＋y） ＝2×3×4 ＝24 故答案为：24 【点睛】此题考查了代数式的求值和因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 14．如图所示，若用2张1号正方形卡片，2张2号正方形卡片，5张3号长方形卡片拼成一个大的长方形，则这个大的长方形的长和宽可分别表示为 ， ． 【答案】 2a+b a+2b 【分析】先计算出拼成的长方形的面积，根据所拼成的长方形面积，因式分解可解决本题． 【详解】解：由题意知，拼成的长方形面积为：2a2+2b2+5ab ＝（2a+b）（a+2b） 所以拼成的大长方形的长和宽分别为：2a+b、a+2b． 故答案为：2a+b，a+2b． 【点睛】本题考查了整式的因式分解．理解拼成的长方形的面积与各个小长方形的面积间关系是解决本题的关键． 三、解答题 15．分解因式 (1)． (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用十字相乘法分解即可； （2）用十字相乘法分解即可； （3）用十字相乘法分解即可． 【详解】（1）∵， ∴原式． （2）∵， ∴原式． （3）∵ ∴原式． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个整式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 16．分解因式 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）利用十字相乘法分解因式即可； （3）首先提取公因式，然后再用十字相乘法分解因式即可； （4）利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了因式分解，解本题的关键在熟练掌握利用十字相乘法分解因式． 17．在因式分解的学习中我们知道对二次三项式可用十字相乘法方法得出，用上述方法将下列各式因式分解： (1)__________． (2)__________． (3)__________． (4)__________． 【答案】(1)(x-y)(x+6y) (2)(x-3a)(x-a-2) (3)(x+a-3b)(x-a-2b) (4)(20182x2+1)(x-1) 【分析】（1）将-6y2改写成-y·6，然后根据例题分解即可； （2）将3a2+6a改写成，然后根据例题分解即可； （3）先化简，将改写，然后根据例题分解即可； （4）将改写成(2018-1)(2018+1)，变形后根据例题分解即可； 【详解】（1）解：原式= =(x-y)(x+6y)； （2）解：原式= =(x-3a)(x-a-2)； （3）解：原式= = = =(x+a-3b)(x-a-2b)； （4）解：原式= = = =(20182x+1)(x-1) ． 【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，熟练掌握二次三项式可用十字相乘法方法得出是解答本题的关键． 18．阅读下面的材料，解答提出的问题： 已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为，由题意，得 ， ， 所以，解得． 所以另一个因式为，的值为． 提出问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，另一个因式是________； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 【答案】(1) (2)另一个因式为，的值为85 【分析】（1）设另一个因式为，由题意得，从而得到，进行计算即可得到答案； （2）设另一个因式为，由题意得： ，从而得到，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：设另一个因式为， 由题意得：， 则， ， 解得：， 另一个因式为， 故答案为：； （2）解：设另一个因式为， 由题意得：， 则， ， 解得：， 另一个因式为，的值为85． 【点睛】本题主要考查了因式分解—十字相乘法，解二元一次方程组，正确设出另一个因式是解题的关键． 19．阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）． 第一步：二次项； 第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；    第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项． 即． 像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 运用结论： (1)将整式进行因式分解，可以表示为_______________； (2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值． 【答案】(1) (2)图见解析，，，，16 【分析】（1）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可； （2）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可． 【详解】（1）解：，常数项， ， ， 故答案为：； （2）解：，常数项， 画“十字图”如下：   ，，，16． 【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$