第11章·整式的乘除·期中复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第11章·整式的乘除·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能灵活运用幂的运算法则及其逆用处理指数综合问题 · 掌握多项式乘法与乘法公式的深度综合应用 · 能解决完全平方公式变形求值、图形面积验证等压轴问题 · 会进行整式乘除混合运算与复杂化简求值 · 能利用乘法公式与规律探索解决阅读理解型问题 📚 知识梳理 ☆ 1.幂的运算综合 幂的运算三法则与零、负指数幂的综合运用 逆用幂法则比较大小、凑对计算 含参指数方程：化同底或同指数后列方程 科学记数法与幂运算结合的实际问题 概念辨析例题：已知 2x = 3，2y = 5，求 22x + y 答案：45 解析：22x + y = (2x)2·2y = 32 × 5 = 45 ☆ 2.整式乘法与公式综合 多项式乘法展开后合并，处理含参、恒等问题 平方差公式、完全平方公式的逆用与变形 平方差公式与几何图形面积互证 「不含某项」「恒等」问题转系数方程 概念辨析例题：若 (x2 + mx + n)(x - 2) 展开后不含 x2 项，且常数项为 -6，求 m、n 答案：m = 2，n = 3 解析：x2 项系数为 n - 2 = 0？展开：x3 + (m-2)x2 + (n-2m)x - 2n，不含 x2 则 m - 2 = 0 得 m = 2；常数项 -2n = -6 得 n = 3 ☆ 3.完全平方公式变形 a2 + b2、ab、a±b 三者的互化 (a+b)2 与 (a-b)2 的关系：相差 4ab 通过完全平方公式变形求式子的值 几何图形（正方形、长方形）验证公式 概念辨析例题：已知 (x + y)2 = 16，(x - y)2 = 4，求 xy 答案：3 解析：(x + y)2 - (x - y)2 = 4xy = 12，故 xy = 3 ☆ 4.规律探索与阅读理解 观察等式结构，归纳乘法公式的推广形式 杨辉三角、连续平方差等经典模型 阅读材料题：提取规则后按规则计算 用整式表示规律并验证 概念辨析例题：观察：(a-b)(a+b) = a2 - b2，(a-b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3，归纳 (a-b)(an-1 + ... + bn-1) 答案：an - bn 解析：每次相乘约去中间项，结果为 an - bn 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 幂的混合运算 指数相加减、相乘、分配 先乘方再乘除 零/负指数幂 a0 = 1，a-p = 底数不为 0 不含某项 该项系数为 0 展开合并后判断 完全平方变形 (a+b)2 - (a-b)2 = 4ab 两式相减消去平方项 平方差逆用 a2 - b2 = (a+b)(a-b) 凑成两数乘积形式 规律归纳 特殊到一般，再验证 代入特殊值检验 ⚠️ 核心考点 【考点1】幂的运算（第1-17题） · 化同底或同指数解决含参幂等式 · 逆用幂法则简便计算大指数幂 · 零指数、负指数幂注意底数限制 1．（25-26七年级上·上海·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海普陀·三模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·上海静安·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·上海宝山·阶段检测）若与互为倒数，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·上海·期中）在下列运算中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·上海·阶段检测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·江西南昌·阶段检测）已知a，b，c为自然数，且满足，则的取值不可能是（    ） A． B．2 C．1 D．7 8．（25-26七年级上·上海普陀·期中）已知，，那么________． 9．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）已知，则的值为___________________． 10．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）计算：___________． 11．（24-25七年级上·上海黄浦·阶段检测）若等式成立，则的值为________． 12．（25-26七年级上·上海青浦·期中）计算：． 13．（23-24七年级上·上海普陀·期中）计算：． 14．（23-24七年级上·上海宝山·阶段检测）计算： 15．（25-26七年级上·上海普陀·阶段检测）计算：． 16．（23-24七年级上·上海松江·阶段检测）计算：． 17．（23-24七年级上·上海金山·期末）计算：． 【考点2】整式的乘法（第18-21题） · 展开合并后由「不含项」列方程 · 单项式除法、多项式除法逐项处理 · 恒等式比较对应项系数 18．（23-24八年级上·海南海口·期末）下列算式计算结果为的是（ ） A． B． C． D． 19．（23-24七年级下·山东聊城·期末）已知多项式，，且，当多项式A中不含x的2次项时，a的值为（    ） A． B． C．0 D．1 20．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）已知单项式M，N满足，则_______． 21．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【考点3】乘法公式（第22-39题） · 平方差公式识别 a、b 后套用 · 完全平方公式变形求值用互化关系 · 几何图形面积验证公式，注意图形拼合 22．（24-25七年级上·上海普陀·期中）下列整式乘法中，可以运用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 23．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列两个整式相乘，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 24．（23-24七年级下·重庆北碚·期中）的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 25．（24-25七年级上·上海静安·期末）计算____________________． 26．（FHsx7x03）已知，且，则________． 27．（23-24八年级下·四川达州·期中）计算： ___________． 28．（24-25七年级上·上海·期中）式子，此时，叫做以为底的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如，则叫做以为底的对数，记为，则，同理，．由此可以得到下列式子：，根据以上的信息及运算关系，若，则______ 29．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）已知． （1）若，则自然数______； （2）若是一个完全平方数，则自然数______． 30．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：___________． 31．（25-26七年级上·上海宝山·期末）计算：． 32．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：． 33．（25-26七年级上·上海·单元测试）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形． (1)观察图2填空：正方形的边长为________，阴影部分的小正方形的边长为________； (2)观察图2，试猜想式子之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：设，若，求的值． 34．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：． 35．（24-25七年级上·上海·期中）简便运算：． 36．（25-26七年级上·上海崇明·期中）计算： 37．（23-24七年级下·山西晋中·期中）综合与实践 数学活动课上，王老师准备了若干个图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形. （）若小明想用图中的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要三种纸片共______张； （）小兰用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成了图所示的大正方形，在用两种不同的方法求此大正方形的面积时，小兰发现了代数式，，之间的等量关系式，这个关系式是：____________； （）小静用种纸片一张，种纸片一张，如图所示放置，连接，与边构成直角三角形，若，，根据（）题中的等量关系，请你帮小静求出直角三角形的面积． 38．（25-26七年级上·上海·期中）请完成以下题目： (1)如图，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积．方法①________；方法②_______由此可以验证的乘法公式是_____． (2)类似地，在棱长为a的正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积．方法①_______；方法②_______．由此可以得某个多项式因式分解的等式是______，并用所学过的知识说明这个等式成立． (3)结合并使用（2）得到的等式分解因式：． 39．（23-24七年级下·江苏常州·期末）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______； ②当时，类似上述过程进行割补； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______； （2）【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 【考点4】混合运算与化简求值（第40-42题） · 严格遵循运算顺序：乘方、乘除、加减 · 公式与分配律结合展开 · 化简求值先化简再代入 40．（23-24九年级下·重庆·阶段检测）已知、、、均为常数，、均为非零常数，若有两个整式，，下列结论中，正确个数为（    ） ①当为关于的三次三项式时，则； ②当多项式乘积不含时，则； ③； ④当能被整除时，； ⑤若或时，无论和取何值，值总相等，则． A．4 B．3 C．2 D．1 41．（24-25七年级上·上海·期中）如图：一套房子的客厅和房间分别是边长为a米和b米的正方形，厨房和卫生间分别是正方形和长方形． (1)求厨房和卫生间的面积（用含的代数式表示）； (2)当时，求卫生间的面积． 42．（23-24七年级上·陕西西安·期中）阅读理解： 我们通常学习的数都是十进制数，使用的数码共有10个：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，表示具体数时采用“逢十进一”的原则，比如：，（这里我们规定：a≠0时，），又如：．而现代的计算机和依赖计算机的设备都使用二进制数，用到的数码只有两个：0和1，表示具体数时“逢二进一”．二进制数和十进制数可以互相转化，二进制数的运算也和十进制数的运算类似． ①我们可以把十进制整数转化成二进制整数．比如：，所以103用二进制数码表示是1100111，记为； ②也可以把十进制分数或者小数转化为二进制小数，比如：，所以可以表示成二进制小数，记为． 这里还可以把分子1和分母8都转化为二进制数，在二进制下用分了除以分母得到的二进制小数表示： 由于，，所以，而可以类比十进制数一样做除法，只是商和余数都只能是0或1：，所以； ③与十进制数类似，二进制也有循环小数，比如： 问题解决： (1)将十进制数35化成二进制数为：（______）．二进制小数化为十进制分数是______． (2)将十进制分数化成二进制小数：；． (3)在十进制中，循环小数都可以化为分数，比如：将化为分数形式． 设（A）　　则（B）． 得：即，于是得到． 同样，二进制中的循环小数也可以用类似的方法化为十进制分数． 请二进制循环小数化成十进制分数，保留计算过程． 【考点5】规律与新定义（第43-45题） · 观察结构找规律，写成一般式 · 新定义运算按规则翻译成整式 · 阅读材料提取公式再应用 43．（24-25六年级上·上海·期末）下列代数式中，一次式是（   ） A． B． C． D． 44．（23-24八年级下·广东江门·开学考试）通过计算比较图1、图2中阴影部分的面积，可以验证的式子是（） A． B． C． D． 45．（23-24八年级上·四川眉山·期中）观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算： 的值是（   ） A． B． C． D． 💯 课后巩固 复习建议 · 幂综合题先化同底、同指数再比较 · 「不含某项」统一转系数为 0 方程 · 完全平方变形求值记住 (a+b)2 与 (a-b)2 相差 4ab · 压轴计算按运算顺序逐步进行，防止跳步 · 规律题从特殊入手归纳一般，再代入验证 【作业1】．（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知，则的值（    ） A．32 B．16 C．4 D．2 【作业2】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算的结果是（   ） A．2 B． C． D． 【作业3】．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【作业4】．（23-24七年级上·上海宝山·期末）如果，那么_________． 【作业5】．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）比较大小：______．（填“＞”、“＝”或“＜”） 【作业6】．（2025七年级上·上海·专题练习）计算：________． 【作业7】．（24-25七年级上·上海·期末）计算：_______． 【作业8】．（24-25八年级上·湖南·阶段检测）若的展开式中不含项，则的值是______． 【作业9】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：______． 【作业10】．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）如图，大正方形和小正方形面积之差是16，则阴影部分的面积是__________. 【作业11】．（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读材料：计算： 运用上述方法求__________． 【作业12】．（25-26七年级上·上海宝山·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据上述规律，解答下面的问题 (1)直接写出第6个等式____； (2)小明在验算第三个等式成立时，他的过程中写到：， 他的依据是哪个乘法公式？请用字母a、b表示这个公式：__________． (3)猜想第n个等式（用含n的式子表示）________． 【作业13】．（23-24七年级上·上海·阶段检测）若，那么a，b，c应为（     ） A． B． C． D． 【作业14】．（23-24七年级下·浙江金华·阶段检测）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将不重复的数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记、、，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为、、，则______；______． 【作业15】．（23-24七年级上·上海松江·阶段检测）先化简再求值：，其中． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章·整式的乘除·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能灵活运用幂的运算法则及其逆用处理指数综合问题 · 掌握多项式乘法与乘法公式的深度综合应用 · 能解决完全平方公式变形求值、图形面积验证等压轴问题 · 会进行整式乘除混合运算与复杂化简求值 · 能利用乘法公式与规律探索解决阅读理解型问题 📚 知识梳理 ☆ 1.幂的运算综合 幂的运算三法则与零、负指数幂的综合运用 逆用幂法则比较大小、凑对计算 含参指数方程：化同底或同指数后列方程 科学记数法与幂运算结合的实际问题 概念辨析例题：已知 2x = 3，2y = 5，求 22x + y 答案：45 解析：22x + y = (2x)2·2y = 32 × 5 = 45 ☆ 2.整式乘法与公式综合 多项式乘法展开后合并，处理含参、恒等问题 平方差公式、完全平方公式的逆用与变形 平方差公式与几何图形面积互证 「不含某项」「恒等」问题转系数方程 概念辨析例题：若 (x2 + mx + n)(x - 2) 展开后不含 x2 项，且常数项为 -6，求 m、n 答案：m = 2，n = 3 解析：x2 项系数为 n - 2 = 0？展开：x3 + (m-2)x2 + (n-2m)x - 2n，不含 x2 则 m - 2 = 0 得 m = 2；常数项 -2n = -6 得 n = 3 ☆ 3.完全平方公式变形 a2 + b2、ab、a±b 三者的互化 (a+b)2 与 (a-b)2 的关系：相差 4ab 通过完全平方公式变形求式子的值 几何图形（正方形、长方形）验证公式 概念辨析例题：已知 (x + y)2 = 16，(x - y)2 = 4，求 xy 答案：3 解析：(x + y)2 - (x - y)2 = 4xy = 12，故 xy = 3 ☆ 4.规律探索与阅读理解 观察等式结构，归纳乘法公式的推广形式 杨辉三角、连续平方差等经典模型 阅读材料题：提取规则后按规则计算 用整式表示规律并验证 概念辨析例题：观察：(a-b)(a+b) = a2 - b2，(a-b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3，归纳 (a-b)(an-1 + ... + bn-1) 答案：an - bn 解析：每次相乘约去中间项，结果为 an - bn 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 幂的混合运算 指数相加减、相乘、分配 先乘方再乘除 零/负指数幂 a0 = 1，a-p = 底数不为 0 不含某项 该项系数为 0 展开合并后判断 完全平方变形 (a+b)2 - (a-b)2 = 4ab 两式相减消去平方项 平方差逆用 a2 - b2 = (a+b)(a-b) 凑成两数乘积形式 规律归纳 特殊到一般，再验证 代入特殊值检验 ⚠️ 核心考点 【考点1】幂的运算（第1-17题） · 化同底或同指数解决含参幂等式 · 逆用幂法则简便计算大指数幂 · 零指数、负指数幂注意底数限制 1．（25-26七年级上·上海·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式、计算单项式除以单项式、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式的运算，单项式除以单项式的运算，积的乘方运算，合并同类项和负整数指数幂，根据相关运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 2．（2025·上海普陀·三模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】合并同类项、积的乘方运算、同底数幂的除法运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查幂的运算、合并同类项以及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． 分别对每个选项根据相应运算法则进行计算，判断其正确性． 【详解】A、，该选项正确； B、，而不是，该选项错误； C、，该选项错误； D、，该选项错误． 故选：A． 3．（23-24九年级上·上海静安·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算即可，正确计算是解题的关键． 【详解】解：A．，计算错误，故选项不符合题意； B．，计算错误，故选项不符合题意； C．，计算错误，故选项不符合题意； D．，计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 4．（23-24七年级上·上海宝山·阶段检测）若与互为倒数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】倒数、同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用 【分析】可求，可化为，即可求解． 【详解】解：由题意得 与互为倒数， ， ； 故选：D． 【点睛】本题考查了倒数的定义，同底数幂的乘法公式逆用，积的乘方公式逆用，理解定义，掌握公式是解题的关键． 5．（23-24七年级上·上海·期中）在下列运算中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题主要考查同底数幂，合并同类项，积的乘方，幂的乘方，利用法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、与不属于同类项，不能合并，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 6．（24-25七年级上·上海·阶段检测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】合并同类项、积的乘方运算、计算单项式乘单项式、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了整式乘法和除法，积的乘方和合并同类项，根据单项式乘单项式，单项式除单项式，积的乘方和合并同类项运算法则逐项判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、与不是同类项，不能合并，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 7．（24-25八年级上·江西南昌·阶段检测）已知a，b，c为自然数，且满足，则的取值不可能是（    ） A． B．2 C．1 D．7 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用，掌握相关运算法则是解题的关键． 将等式化简为，得到且，列举所有可能的自然数组合，计算的值，判断选项中不可能的结果． 【详解】解：原式可化为：， ， ， ，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 时，为负数，不符合自然数条件， 可能的结果为，，，而不在其中，故的取值不可能是1． 故选：C． 8．（25-26七年级上·上海普陀·期中）已知，，那么________． 【答案】27 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查同底数幂的除法的逆运算、幂的乘方，灵活运用相关运算法则是解答的关键． 根据同底数幂的除法和幂的乘方的运算法则，将已知条件转化为方程求解即可． 【详解】解：由同底数幂的除法的逆运算得，代入已知，得． 又因为，所以， 代入得，解得． 故答案为：27． 9．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）已知，则的值为___________________． 【答案】72 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方的逆运算．先利用幂的乘方求出和的值，再通过同底数幂的乘法公式计算即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ， ∴ ． 故答案为：72． 10．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）计算：___________． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了积的乘方逆运算以及同底数幂的乘法法则的逆用，熟练掌握积的乘方逆运算的性质是解题的关键． 根据积的乘方逆运算对原式进行变形，然后再进行计算，解题思路是先将与结合，再与进行运算． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·上海黄浦·阶段检测）若等式成立，则的值为________． 【答案】或或 【知识点】有理数的乘方运算、零指数幂 【分析】本题考查了零指数幂以及乘方运算，掌握相关运算法则是解题关键，注意分类讨论．根据零指数幂的性质，乘方的运算法则分类讨论求解即可． 【详解】解：①当时，解得：， ∴ 此时，符合题意； ②当时，解得：， ∴， 此时，符合题意； ③当时，解得：， ∴， 此时，符合题意； 综上可知，x的值为或或． 故答案为：或或． 12．（25-26七年级上·上海青浦·期中）计算：． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式、计算单项式除以单项式 【详解】解： ． 13．（23-24七年级上·上海普陀·期中）计算：． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式、计算单项式除以单项式 【分析】先计算积的乘方运算，再计算单项式的乘法，最后计算单项式的除法即可． 【详解】解： ； 【点睛】本题考查的是积的乘方运算，单项式乘以单项式，单项式除以单项式的运算，熟记运算法则与运算顺序是解本题的关键． 14．（23-24七年级上·上海宝山·阶段检测）计算： 【答案】 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘多项式及求值 【分析】先计算积的乘法，再利用单项式乘以多项式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， ． 【点睛】本题考查整式的乘法，熟练掌握积的乘方和单项式乘以多项式的乘法法则是解题的关键． 15．（25-26七年级上·上海普陀·阶段检测）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算、同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算、同底数幂乘法的逆运算及积的乘方的逆运算，根据运算顺序和运算法则直接计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ， ， ， ． 16．（23-24七年级上·上海松江·阶段检测）计算：． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算、计算单项式乘多项式及求值 【分析】根据单项式乘多项式，积的乘方，同底数幂的乘法，计算求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了单项式乘多项式，积的乘方，同底数幂的乘法．解题的关键在于正确的运算． 17．（23-24七年级上·上海金山·期末）计算：． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、零指数幂、分式乘除混合运算 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算、负整数次幂、幂的乘方、积的乘方等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据负整数次幂、幂的乘方、积的乘方化简，然后再运用分式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【考点2】整式的乘法（第18-21题） · 展开合并后由「不含项」列方程 · 单项式除法、多项式除法逐项处理 · 恒等式比较对应项系数 18．（23-24八年级上·海南海口·期末）下列算式计算结果为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查了多项式乘法，利用多项式乘以多项式法则计算各选项，即可得出结论． 【详解】解：A.，故不符合题意； B.，故不符合题意； C.，故符合题意； D.，故不符合题意， 故选：C． 19．（23-24七年级下·山东聊城·期末）已知多项式，，且，当多项式A中不含x的2次项时，a的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查的是整式的乘法—多项式乘多项式，正确进行多项式的乘法是解答此题的关键．根据题意列出整式相乘的式子，再计算多项式乘多项式，最后进行合并同类项，令二次项的系数等于0即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵多项式A中不含x的2次项时， ∴ ∴ 故选D． 20．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）已知单项式M，N满足，则_______． 【答案】 【知识点】合并同类项、已知同类项求指数中字母或代数式的值、计算单项式乘多项式及求值 【分析】根据单项式乘多项式的运算法则，展开等式左边后，分情况比较等式两边对应项，再将两个单项式相乘从而求解． 【详解】解：， ∵M，N为单项式， ∴，， ∴． 21．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【知识点】多项式除以单项式、计算单项式除以单项式 【分析】根据整式的除法运算法则即可求解，本题主要考查整式的除法运算，解题的关键是理解并运用整式除法法则． 【详解】解： ． 【考点3】乘法公式（第22-39题） · 平方差公式识别 a、b 后套用 · 完全平方公式变形求值用互化关系 · 几何图形面积验证公式，注意图形拼合 22．（24-25七年级上·上海普陀·期中）下列整式乘法中，可以运用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式， 根据平方差公式的特点判断即可，掌握平方差公式的特点是解题的关键． 【详解】解：A、符合平方差公式的特点，故选项符合题意； B、没有相同项，不能用平方差公式，故选项不符合题意； C、没有相同项，不能用平方差公式，故选项不符合题意； D、没有相同项，不能用平方差公式，故选项不符合题意； 故选：A． 23．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列两个整式相乘，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，关键是熟练掌握公式的适用形式； 根据平方差公式适用于形式为的表达式，其中和是整式，分析各选项进行选择即可. 【详解】解：选项A： 与即无相同项也无相反项，不能用平方差公式计算； 选项B： ∵ ， ∴可用平方差公式计算； 选项C： 与互为相反数，不能用平方差公式计算； 选项D： 与相同，乘积为完全平方式，不能用平方差公式计算； 故答案选：B. 24．（23-24七年级下·重庆北碚·期中）的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【知识点】乘方的应用、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，有理数的乘方．熟练掌握平方差公式进行运算是解题的关键． 由题意知， ，由，可知每4个3相乘为1个循环，由，可知的个位数字为9，然后作答即可． 【详解】解：由题意知， …… ， ∵， ∴每4个3相乘为1个循环， ∵， ∴的个位数字为9， 故选：D． 25．（24-25七年级上·上海静安·期末）计算____________________． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完 全平方公式是解题的关键；先将原式变形为，再利用完全平方公式展开得到；然后再次利用完全平方公式展开，从而得到结果． 【详解】原式 故答案为： 26．（FHsx7x03）已知，且，则________． 【答案】-42 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【详解】，①，②由①-②得． 27．（23-24八年级下·四川达州·期中）计算： ___________． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，通过乘以构造平方差公式，逐步简化计算即可． 【详解】原式 ， 故答案为：． 28．（24-25七年级上·上海·期中）式子，此时，叫做以为底的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如，则叫做以为底的对数，记为，则，同理，．由此可以得到下列式子：，根据以上的信息及运算关系，若，则______ 【答案】/ 【知识点】同底数幂相乘、运用完全平方公式进行运算、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查新定义，同底数幂的乘法，设，，，则，，，再根据同底数幂的乘法及新定义得到，和的关系，求解即可．正确理解新定义是解题的关键． 【详解】解：设，，， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 29．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）已知． （1）若，则自然数______； （2）若是一个完全平方数，则自然数______． 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的应用； （1）根据题意得出，进而即可求解； （2）根据完全平方公式得出，进而得出，即可求解． 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以自然数； 故答案为：． （2）， ∴只有时，原式为完全平方数，即自然数. 故答案为：． 30．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：___________． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了运用平方差公式，解决此题的关键是熟练掌握平方差公式；先根据式子形式把式子乘以，同时乘以，多次运用平方差公式得到答案即可； 【详解】解： ， ， ， ． 31．（25-26七年级上·上海宝山·期末）计算：． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式、完全平方公式，再计算整式的加减即可得． 【详解】解：原式 ． 32．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：． 【答案】 【知识点】整式乘法混合运算、计算多项式乘多项式、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握完全平方公式和多项式乘多项式运算法则，是解题的关键．根据完全平方公式和多项式乘多项式运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 33．（25-26七年级上·上海·单元测试）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形． (1)观察图2填空：正方形的边长为________，阴影部分的小正方形的边长为________； (2)观察图2，试猜想式子之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：设，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景进行求解是解决本题的关键． （1）根据图形，正方形的边长为等于小长方形两边的和，阴影部分的正方形的边长等于小长方形两边的差； （2）正方形可以直接用边长的平方求解，也可用阴影正方形的面积加上四个小长方形的面积，由此解答即可； （3）先求得，再利用（2）中的结论求出的值，然后求解即可． 【详解】（1）由图可知 正方形的边长为，阴影部分的正方形的边长为； 故答案为：； （2），理由如下： 由图可知： 正方形的面积为，也等于4个长为m，宽为n的长方形与边长为的阴影部分正方形面积的和，即为， 故得到 （3） ， 又 由（2）得： 34．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式． 根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】解： 35．（24-25七年级上·上海·期中）简便运算：． 【答案】9 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，将原式写成完全平方公式的形式成为解题的关键． 先把原式写成完全平方公式的形式，然后运用完全平方公式进行简便运算即可． 【详解】解： ． 36．（25-26七年级上·上海崇明·期中）计算： 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了乘法公式，先利用平方差公式再利用完全平方公式计算即可． 【详解】解： ． 37．（23-24七年级下·山西晋中·期中）综合与实践 数学活动课上，王老师准备了若干个图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形. （）若小明想用图中的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要三种纸片共______张； （）小兰用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成了图所示的大正方形，在用两种不同的方法求此大正方形的面积时，小兰发现了代数式，，之间的等量关系式，这个关系式是：____________； （）小静用种纸片一张，种纸片一张，如图所示放置，连接，与边构成直角三角形，若，，根据（）题中的等量关系，请你帮小静求出直角三角形的面积． 【答案】（）；（）；（）． 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（）利用多项式乘多项式的法则运算，观察各项的系数即可求解； （）利用图大正方形的面积等于部分面积之和解答即可求解； （）把，代入（）中的关系式，求出的值即可求解； 本题考查了完全平方公式，完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式和多项式乘多项式的法则是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴需要种纸片张，种纸片张，种纸片张，三种纸片共张， 故答案为：； （）∵图大正方形的面积等于部分面积之和， ∴， ∴， 故答案为：； （）∵，，， ∴， ∴， ∴， 即直角三角形的面积为． 38．（25-26七年级上·上海·期中）请完成以下题目： (1)如图，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积．方法①________；方法②_______由此可以验证的乘法公式是_____． (2)类似地，在棱长为a的正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积．方法①_______；方法②_______．由此可以得某个多项式因式分解的等式是______，并用所学过的知识说明这个等式成立． (3)结合并使用（2）得到的等式分解因式：． 【答案】(1)；；； (2) 方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：右边 左边 ； (3) 【知识点】平方差公式与几何图形、立方和与立方差公式分解因式 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，弄清楚图中阴影部分面积的求法是解题的关键． （1）阴影部分的面积可以直接求，也可以间接求，由此验证平方差公式即可； （2）阴影部分的面积可以直接求，也可以间接求，由此验证平方差公式即可； （3）可将看作，进而根据计算即可． 【详解】（1）解：方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：右边左边 ； 故答案为：；；； （2）略 故答案为：；；； （3）解： ． 39．（23-24七年级下·江苏常州·期末）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______； ②当时，类似上述过程进行割补； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______； （2）【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 【答案】（1）；；；9； （2）32 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，因式分解的应用，理解材料的用意及数形结合是解题的关键． （1）根据图形面积的求法整理算式即可得到答案； （2）先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】（1）解：如图2，长方形的一边长是，相邻一边长为， 如图3，阴影部分是一个边长为的正方形，长方形、和阴影部分组成一个边长为3的正方形， -， 当时，用类似上述过程进行割补，可以得到 -， 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是9． 故答案为：；；；9； （2）解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， 当时，该长方形为边长是4的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是16， 的最大值为． 【考点4】混合运算与化简求值（第40-42题） · 严格遵循运算顺序：乘方、乘除、加减 · 公式与分配律结合展开 · 化简求值先化简再代入 40．（23-24九年级下·重庆·阶段检测）已知、、、均为常数，、均为非零常数，若有两个整式，，下列结论中，正确个数为（    ） ①当为关于的三次三项式时，则； ②当多项式乘积不含时，则； ③； ④当能被整除时，； ⑤若或时，无论和取何值，值总相等，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】整式乘法混合运算、多项式除以单项式、整式四则混合运算 【分析】求出，可得当，时，为关于的三次三项式，此时，故说法①正确；求出，再由多项式乘积不含，可得，解得，故说法②错误；当时，可得，当时，可得，故③说法错误；设，可得，令得到，，故④说法正确；根据当或时，无论和取何值，值总相等，可得且，故⑤说法正确． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为关于的三次三项式，且为非零常数， ∴， 此时，故说法①正确； ， ∵多项式乘积不含， ∴，解得：，故说法②错误； ∵， 当时，， 即， 当时，， 即， ∴，故③说法不正确； ∵能被整除， ∴可设， ∵， ∴， 令得：，即， ∴，故④说法正确； 当时，， 当时，， ∵当或时，无论和取何值，值总相等， ∴且， 解得：，故⑤说法正确； 综上，正确的有：①④⑤，共个． 41．（24-25七年级上·上海·期中）如图：一套房子的客厅和房间分别是边长为a米和b米的正方形，厨房和卫生间分别是正方形和长方形． (1)求厨房和卫生间的面积（用含的代数式表示）； (2)当时，求卫生间的面积． 【答案】(1) (2)平方米 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式的乘法与图形面积， （1）根据题意，四边形、四边形及四边形为正方形，则，，可求卫生间的长，宽，再表示面积，根据厨房边长与卫生间的边长相等，即可求解； （2）将时，卫生间的面积的值． 【详解】（1）解：根据题意，厨房和卫生间分别是正方形和长方形且边长相等， 卫生间和厨房的面积为： （2）解：当时， 原式 平方米． 42．（23-24七年级上·陕西西安·期中）阅读理解： 我们通常学习的数都是十进制数，使用的数码共有10个：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，表示具体数时采用“逢十进一”的原则，比如：，（这里我们规定：a≠0时，），又如：．而现代的计算机和依赖计算机的设备都使用二进制数，用到的数码只有两个：0和1，表示具体数时“逢二进一”．二进制数和十进制数可以互相转化，二进制数的运算也和十进制数的运算类似． ①我们可以把十进制整数转化成二进制整数．比如：，所以103用二进制数码表示是1100111，记为； ②也可以把十进制分数或者小数转化为二进制小数，比如：，所以可以表示成二进制小数，记为． 这里还可以把分子1和分母8都转化为二进制数，在二进制下用分了除以分母得到的二进制小数表示： 由于，，所以，而可以类比十进制数一样做除法，只是商和余数都只能是0或1：，所以； ③与十进制数类似，二进制也有循环小数，比如： 问题解决： (1)将十进制数35化成二进制数为：（______）．二进制小数化为十进制分数是______． (2)将十进制分数化成二进制小数：；． (3)在十进制中，循环小数都可以化为分数，比如：将化为分数形式． 设（A）　　则（B）． 得：即，于是得到． 同样，二进制中的循环小数也可以用类似的方法化为十进制分数． 请二进制循环小数化成十进制分数，保留计算过程． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算、零指数幂、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据十进制与二进制间的关系求解即可； （2）根据十进制与二进制间的关系求解即可； （3），进而得，根据二进制与十进制间的关系解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （3）解：设，则 ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了乘方，二进制与十进制间的转化，一元一次方程的应用，有理数的混合运算，熟练掌握二进制与十进制的转化方法是解题的关键． 【考点5】规律与新定义（第43-45题） · 观察结构找规律，写成一般式 · 新定义运算按规则翻译成整式 · 阅读材料提取公式再应用 43．（24-25六年级上·上海·期末）下列代数式中，一次式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多项式的项、项数或次数、合并同类项、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了多项式的次数，整式的加法和除法，掌握相关定义是解题关键．先对多项式化简，再根据一次式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，是常数项，不符合题意，选项错误； B、，次数是1，符合题意，选项正确； C、，次数是2，不符合题意，选项错误； D、次数是2，不符合题意，选项错误； 故选：B． 44．（23-24八年级下·广东江门·开学考试）通过计算比较图1、图2中阴影部分的面积，可以验证的式子是（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了整式乘法的几何应用，图1中，阴影部分的长为，宽为，图2中，阴影部分的面积等于大长方形的面积减去长是a宽是x的长方形的面积减去长是b宽是x的长方形的面积加上边长是x的正方形的面积，分别表示出阴影部分的面积，即可得解． 【详解】解：图1中，阴影部分的长为，宽为， ∴图1中阴影部分的面积为：， 图2中，阴影部分的面积为： 大长方形的面积减去长是a宽是x的长方形的面积减去长是b宽是x的长方形的面积加上边长是x的正方形的面积， ∴图2中阴影部分的面积为：， ∴， 故选：D． 45．（23-24八年级上·四川眉山·期中）观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算： 的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数的乘方运算、多项式乘法中的规律性问题 【分析】根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，即可得到规律为，利用规律，当，时，代入其中即可求解． 本题考查了平方差公式、及数字类的规律题，解题的关键是认真阅读，总结规律，并利用规律解决问题． 【详解】解：由； ； ； … 观察发现： ， 当，时，得 ， ∴， ∴． 故选：A． 💯 课后巩固 复习建议 · 幂综合题先化同底、同指数再比较 · 「不含某项」统一转系数为 0 方程 · 完全平方变形求值记住 (a+b)2 与 (a-b)2 相差 4ab · 压轴计算按运算顺序逐步进行，防止跳步 · 规律题从特殊入手归纳一般，再代入验证 【作业1】．（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知，则的值（    ） A．32 B．16 C．4 D．2 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂乘法，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题关键．根据代入计算即可． 【详解】解：， ， 故选：C． 【作业2】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算的结果是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，积的乘方的逆用． 先逆用同底数幂的乘法将原式化为，再逆用积的乘方计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 【作业3】．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂的乘法法则进行变形即可求解，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则． 【详解】解：由， 故选：． 【作业4】．（23-24七年级上·上海宝山·期末）如果，那么_________． 【答案】2 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查同底数幂的除法、幂的乘方．同底数幂相除：底数不变，指数相减；幂的乘方：底数不变，指数相乘．由此列出关于k的一元一次方程，即可求出k的值． 【详解】解：， ， 解得， 故答案为：2． 【作业5】．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）比较大小：______．（填“＞”、“＝”或“＜”） 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，幂的乘方的逆运算．根据幂的乘方计算法则得到，，，再由即可得到答案． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业6】．（2025七年级上·上海·专题练习）计算：________． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握计算公式是解题的关键．根据同底数幂的乘法计算公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【作业7】．（24-25七年级上·上海·期末）计算：_______． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 【作业8】．（24-25八年级上·湖南·阶段检测）若的展开式中不含项，则的值是______． 【答案】4 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项得到的展开式，再根据展开式中不含项，即含项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含项， ∴， ∴， 故答案为：4． 【作业9】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：______． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查的是利用平方差公式，完全平方公式计算，先利用平方差公式，再利用完全平方公式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 【作业10】．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）如图，大正方形和小正方形面积之差是16，则阴影部分的面积是__________. 【答案】8 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，平方差公式的几何应用，设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，直接利用正方形的性质结合三角形面积求法得出答案． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ， 故答案为：8． 【作业11】．（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读材料：计算： 运用上述方法求__________． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，通过观察原式，仿照阅读材料的方法，将原式分子分母同时乘以，利用平方差公式逐步化简，最终得到结果． 【详解】解： ． 故答案为：2． 【作业12】．（25-26七年级上·上海宝山·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据上述规律，解答下面的问题 (1)直接写出第6个等式____； (2)小明在验算第三个等式成立时，他的过程中写到：， 他的依据是哪个乘法公式？请用字母a、b表示这个公式：__________． (3)猜想第n个等式（用含n的式子表示）________． 【答案】(1) (2)依据的是平方差公式， (3) 【知识点】数字类规律探索、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了数字的变化规律以及平方差公式，熟练掌握分析数字规律的方法和平方差公式的形式是解题的关键． （1）通过观察已知等式，找出等式中数字随序号变化的规律，进而写出第6个等式． （2）分析小明的验算过程，确定所依据的乘法公式，再用字母表示该公式． （3）根据前面等式的规律，归纳出第个等式． 【详解】（1）解：第1个等式：，即； 第2个等式：，即； 第3个等式：，即； …… 则第个等式中，， ； 故第6个等式为． （2）解：小明的过程中，依据的是平方差公式，用字母、表示为： ； （3）解：由规律可得，第个等式为： ； 故第个等式为． 【作业13】．（23-24七年级上·上海·阶段检测）若，那么a，b，c应为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多项式系数、指数中字母求值、整式的加减运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】将等式右边展开整理，根据多项式相等时对应项系数相等，列方程求解a，b，c的值. 【详解】展开整理等式右边得：， ∵等式对应项系数相等 ， ∴，，， 将代入，得，解得， 将，代入，得，解得， 即． 【作业14】．（23-24七年级下·浙江金华·阶段检测）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将不重复的数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记、、，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为、、，则______；______． 【答案】 【知识点】有理数加法运算、有理数的乘方运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】根据、、的位置可知这三个数每个都加了两次，三个圆圈上的数字之和是，但是这个数字之和是，所以可得，从而求出的值；因为，，可以得到，配方得，把代入即可求出的值． 【详解】解：每个圆圈上的四个数字的和都等于， 三个圆上的数字之和应为， 其中的、、这三个数每个都加了两次， ， ， 则有， 解得：； 每个圆圈上的四个数字的平方和分别记、、，且， ， ， ， ， 整理得：， ， ； ， ， ， 解得：． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了整式的运算、完全平方公式以及有理数的乘方运算．解决本题的关键是理解、、这三个数每个都加了两次，并且能把凑成完全平方式． 【作业15】．（23-24七年级上·上海松江·阶段检测）先化简再求值：，其中． 【答案】，2 【知识点】整式四则混合运算、多项式乘多项式——化简求值 【分析】首先根据整式的乘法混合运算法则化简，然后代入求解即可． 【详解】 ， ∵， ∴原式． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握去括号、合并同类项法则是解本题的关键． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $