第11章· 整式的乘除·期中复习·培优提升讲义 ·2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第11章·整式的乘除·期中复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练运用幂的运算法则及其逆用进行简便计算 · 掌握多项式乘法中含参、不含某项等进阶问题 · 灵活运用平方差、完全平方公式解决变形求值问题 · 能进行整式乘除的混合运算与复杂化简求值 · 会利用整式乘法与公式解决几何图形与规律问题 📚 知识梳理 ☆ 1.幂的运算与逆用 幂的运算法则的正用与逆用：am·an = am+n 可逆用 积的乘方逆用：anbn = (ab)n 常用于简便计算 同底数幂除法逆用：am-n = am ÷ an 含参幂等式：化同底或同指数后比较 概念辨析例题：计算：0.1252021 × (-8)2022 答案：8 解析：逆用积的乘方：0.1252021 × 82021 × 8 = (0.125×8)2021 × 8 = 12021 × 8 = 8 ☆ 2.整式的乘除进阶 多项式乘法展开后合并，注意符号与漏项 「展开式不含某项」：该项系数为 0 列方程 多项式除以单项式：逐项相除、符号逐项处理 利用乘法展开建立恒等式求字母 概念辨析例题：若 (x2 + ax + 1)(x - 1) 的展开式中不含 x 项，求 a 答案：a = 1 解析：展开含 x 的项：ax·x - x2 与 1·(-1)... 整理 x 项系数为 a - 1，令为 0 得 a = 1 ☆ 3.乘法公式与变形求值 平方差公式、完全平方公式的灵活套用 a2 + b2、ab 与 a±b 的互化：a2 + b2 = (a±b)2 ∓ 2ab 凑完全平方式：中间项 = ±2ab 列方程求系数 几何图形面积验证乘法公式 概念辨析例题：已知 a + b = 5，ab = 3，求 a2 + b2 答案：19 解析：a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = 25 - 6 = 19 ☆ 4.混合运算与化简求值 先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号 整式混合运算注意公式与分配律结合使用 化简求值先化简再代入，整体代入减少计算 概念辨析例题：先化简，再求值：(2x + 1)2 - (2x + 1)(2x - 1)，其中 x = 2 答案：4x + 2；代入得 10 解析：(4x2 + 4x + 1) - (4x2 - 1) = 4x + 2，代入 x = 2 得 10 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 幂的逆用 am+n = am·an，anbn = (ab)n 逆用用于简便计算与比较大小 不含某项 该项系数为 0 展开后合并同类项再判断 完全平方变形 a2 + b2 = (a±b)2 ∓ 2ab 注意符号选择 完全平方式 x2 ± 2ax + a2 中间项系数是 2a 平方差公式 (a+b)(a-b) = a2 - b2 a、b 可为单项式或多项式 混合运算 先乘方、再乘除、后加减 公式与分配律结合 ⚠️ 核心考点 【考点1】幂的运算（第1-19题） · 正用与逆用结合，寻找底数或指数的共同点 · 积的乘方逆用凑 (ab)n 简化大数幂 · 比较幂的大小：化为同底或同指数 1．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）下列说法正确的是(       ) A．是四次三项式 B．若，，则 C．是完全平方式 D．把分式的分子和分母中的和同时扩大2倍，分式的值不变 2．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）已知，，则的值为（    ） A．16 B．4 C． D． 3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段检测）已知，求的值是（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 4．（2025·安徽·二模）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·上海·阶段检测）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·上海虹口·期中）若、均为正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级上·上海·期中）计算：___________． 8．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段检测）若，，则的值是 _______． 9．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）卫星绕地球运动的速度是米/秒，那么卫星绕地球运行秒走过的路程是______米． 10．（24-25七年级上·上海·期中）计算：_____． 11．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段检测）材料，一般的，若（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可转化为指数式，根据以上材料，解决下列问题： (1)计算： ， ， ； (2)猜想 （且，，）； (3)已知，求和的值．（且） 12．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 13．（2024八年级上·全国·专题练习）若（且是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)若，求x的值． (2)若，，用含x的代数式表示y． 14．（26-27七年级上·上海·期中）计算：． 15．（23-24七年级下·广西崇左·期中）若（且，m，n都是正整数），则． 利用上述结论解决下列问题： (1)若，求n的值； (2)若，求x的值． 16．（YHmlsjsxXJ749）解答下列各题： (1)已知，求的值； (2)比较的大小． 17．（24-25七年级下·河北沧州·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： 19．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）若（且，、是正整数），则． 利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，则___________； (2)如果，求的值． (3)如果，求的值． 【考点2】整式的乘除（第20-25题） · 展开后合并同类项，关注含参项系数 · 不含某项 → 系数为 0 列方程 · 多项式除以单项式逐项相除 20．（25-26七年级上·上海·期中）如图是一个运算程序，若输入的为，输出的为，则为______． 21．（24-25七年级下·陕西西安·期末）计算______． 22．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如果，那么__________． 23．（25-26七年级上·上海·期中）计算：________． 24．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知的展开式中不含和项． (1)求m与n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 25．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【考点3】乘法公式与混合运算（第26-52题） · 变形求值：用 (a±b)2 与 ab 互化 · 完全平方式求系数：中间项 = ±2ab · 混合运算先化简再求值，注意公式识别 26．（24-25七年级上·上海·期中）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（   ） A． B． C． D． 27．（23-24八年级上·福建泉州·阶段检测）已知多项式除以时，所得的余数是1，除以时所得的余数是3，那么多项式除以时，所得的余式是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 29．（23-24八年级下·全国·暑假作业）已知．则多项式的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 30．（24-25七年级上·上海·阶段检测）若（    ）成立，则括号内的式子等于（    ） A． B． C． D． 31．（25-26七年级上·上海·期中）已知，则的值是（   ） A．24 B．25 C．26 D．27 32．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）已知，则的值是（　　） A． B．8 C． D．6 33．（24-25七年级上·上海·期中）计算：_____． 34．（25-26七年级上·上海宝山·期中）计算：__________． 35．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）实数，，满足，则_____0．（填“”、“”、“”、“”、“”） 36．（24-25七年级上·上海闵行·期末）已知，，那么的值为______． 37．（2024·江苏南通·二模）已知实数a，b满足，若，则p的最小值为__________． 38．（25-26七年级上·上海·期末）某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如下图所示的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”，以下四种方法中能够验证“平方差公式”的有______（填图中的序号）． 39．（25-26七年级上·上海·期中）已知，则________． 40．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为正数，为的小数部分，且，则的值为______． 41．（25-26七年级上·上海·阶段检测）若代数式是关于x，y的五次单项式，则代数式的值为_____． 42．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）______． 43．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）有两块正方形纸片，较大的面积比较小的面积大28，较大纸片的边长比较小的纸片的边长大2，则两个纸片的面积分别是_______和_______． 44．（25-26七年级上·上海·期中）计算：_______． 45．（24-25七年级上·上海松江·阶段检测）计算：． 46．（25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）计算： (1) (2) 47．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形． (1)分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是 　　． A．     B． C．     D． (2)应用这个公式完成下列各题． ①已知，，求的值； ②计算：． 48．（22-23八年级上·四川成都·开学考试）先化简，再求值， ，其中， 49．（23-24七年级下·江西九江·阶段检测）观察下列一组等式： ； ； ； ． 利用你从以上这些等式中发现的规律： (1)填空：______； ______； （______）． (2)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是______． A．    B． C．    D． (3)计算：． 50．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 51．（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算：． 52．（24-25七年级上·上海宝山·期中）如图，，是线段上一点，分别以、为边作正方形． (1)设，求两个正方形的面积之和；（用含的代数式表示） (2)当时，两个正方形的面积之和为；当时，两个正方形的面积之和为，试比较与的大小． 💯 课后巩固 复习建议 · 幂的逆用是简便计算的关键，注意凑底数 · 不含某项问题统一转化为系数为 0 · 变形求值熟记 a2 + b2 与 a±b、ab 的互化 · 完全平方式求系数用中间项 ±2ab 列方程 · 混合运算按顺序进行，先化简再代入 【作业1】．（2024·四川南充·模拟预测）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【作业2】．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知，则下列给出之间的数量关系式中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【作业3】．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）计算：___________． 【作业4】．（23-24七年级上·上海静安·期中）计算：__________； 【作业5】．（25-26七年级上·上海普陀·期中）计算：________． 【作业6】．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）使 乘积中不含 与 项，则 的值为（    ） A． B． C． D．8 【作业7】．（23-24七年级下·山东聊城·期末）已知多项式，，且，当多项式A中不含x的2次项时，a的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【作业8】．（23-24七年级上·上海青浦·期中）（_____） 【作业9】．（24-25七年级上·上海·期中）计算：______ 【作业10】．（25-26七年级上·上海·期末）用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a、b，）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为81，中间空缺的小正方形的面积为9，那么下列关系式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【作业11】．（23-24七年级下·陕西西安·开学考试）若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（    ） A． B． C． D． 【作业12】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若是完全平方式，则单项式m可以是________． 【作业13】．（25-26七年级上·上海松江·阶段检测）计算：________． 【作业14】．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）若，求______． 【作业15】．（24-25七年级上·上海·期中）简便运算：． 【作业16】．（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算：． 【作业17】．（25-26七年级上·上海金山·期中）我国北宋数学家贾宪在研究乘法公式时，发现了为非负数展开式的各项系数的规律．例如：，它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1、1；，它有三项，系数分别为1、2、1；，它有四项，系数分别为1、3、3、1；根据以上系数规律，展开式中各项系数之和是（   ） A． B． C． D． 【作业18】．（24-25七年级上·上海·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中用“杨辉三角”揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的规律：                  1               1    1           1     2    1       1     3     3    1    1     4    6      4   1 1     5    10    10    5   1             …… …… 则的展开式中所有项的系数和是（   ） A．64 B．128 C．256 D．512 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章·整式的乘除·期中复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练运用幂的运算法则及其逆用进行简便计算 · 掌握多项式乘法中含参、不含某项等进阶问题 · 灵活运用平方差、完全平方公式解决变形求值问题 · 能进行整式乘除的混合运算与复杂化简求值 · 会利用整式乘法与公式解决几何图形与规律问题 📚 知识梳理 ☆ 1.幂的运算与逆用 幂的运算法则的正用与逆用：am·an = am+n 可逆用 积的乘方逆用：anbn = (ab)n 常用于简便计算 同底数幂除法逆用：am-n = am ÷ an 含参幂等式：化同底或同指数后比较 概念辨析例题：计算：0.1252021 × (-8)2022 答案：8 解析：逆用积的乘方：0.1252021 × 82021 × 8 = (0.125×8)2021 × 8 = 12021 × 8 = 8 ☆ 2.整式的乘除进阶 多项式乘法展开后合并，注意符号与漏项 「展开式不含某项」：该项系数为 0 列方程 多项式除以单项式：逐项相除、符号逐项处理 利用乘法展开建立恒等式求字母 概念辨析例题：若 (x2 + ax + 1)(x - 1) 的展开式中不含 x 项，求 a 答案：a = 1 解析：展开含 x 的项：ax·x - x2 与 1·(-1)... 整理 x 项系数为 a - 1，令为 0 得 a = 1 ☆ 3.乘法公式与变形求值 平方差公式、完全平方公式的灵活套用 a2 + b2、ab 与 a±b 的互化：a2 + b2 = (a±b)2 ∓ 2ab 凑完全平方式：中间项 = ±2ab 列方程求系数 几何图形面积验证乘法公式 概念辨析例题：已知 a + b = 5，ab = 3，求 a2 + b2 答案：19 解析：a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = 25 - 6 = 19 ☆ 4.混合运算与化简求值 先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号 整式混合运算注意公式与分配律结合使用 化简求值先化简再代入，整体代入减少计算 概念辨析例题：先化简，再求值：(2x + 1)2 - (2x + 1)(2x - 1)，其中 x = 2 答案：4x + 2；代入得 10 解析：(4x2 + 4x + 1) - (4x2 - 1) = 4x + 2，代入 x = 2 得 10 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 幂的逆用 am+n = am·an，anbn = (ab)n 逆用用于简便计算与比较大小 不含某项 该项系数为 0 展开后合并同类项再判断 完全平方变形 a2 + b2 = (a±b)2 ∓ 2ab 注意符号选择 完全平方式 x2 ± 2ax + a2 中间项系数是 2a 平方差公式 (a+b)(a-b) = a2 - b2 a、b 可为单项式或多项式 混合运算 先乘方、再乘除、后加减 公式与分配律结合 ⚠️ 核心考点 【考点1】幂的运算（第1-19题） · 正用与逆用结合，寻找底数或指数的共同点 · 积的乘方逆用凑 (ab)n 简化大数幂 · 比较幂的大小：化为同底或同指数 1．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）下列说法正确的是(       ) A．是四次三项式 B．若，，则 C．是完全平方式 D．把分式的分子和分母中的和同时扩大2倍，分式的值不变 【答案】C 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、求完全平方式中的字母系数、利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查多项式的定义，幂的乘方和同底数幂的除法，完全平方式，分式的性质等知识，根据多项式的定义判断A选项，根据幂的乘方和同底数幂的除法判断B选项，根据完全平方式的定义判断C选项，利用分式的性质判断D，掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：A、是两次多项式，此选项错误，不符合题意； B、由于，，故，此选项错误，不符合题意； C、，是完全平方式，此选项正确，符合题意； D、把分式的分子和分母中的和同时扩大2倍，可得：，故分式的值扩大两倍，此选项错误，不符合题意；． 故选：C． 2．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）已知，，则的值为（    ） A．16 B．4 C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂除法的逆用、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了同底数幂的除法，完全平方公式的变形求值，根据已知可得，得出，进而根据完全平方公式变形求值即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴ ∴ 故选：D． 3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段检测）已知，求的值是（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，根据幂的乘方法则和同底数幂的除法法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 4．（2025·安徽·二模）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，积的乘方，合并同类项等知识，根据以上运算法则进行计算即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、与不能合并，故选项不符合题意； D、，计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 5．（24-25七年级上·上海·阶段检测）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、判断分式变形是否正确、负整数指数幂 【分析】本题考查分式的基本性质、负整数指数幂、幂的乘方和同底数幂除法，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质、负整数指数幂、幂的乘方和同底数幂除法即可求解． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项符合题意； 故选：D． 6．（24-25七年级上·上海虹口·期中）若、均为正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】该题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法解题的关键是掌握以上运算法则． 根据，，列出等式即可解答． 【详解】解：， ， ∵，、均为正整数， ∴， 故选：D． 7．（23-24七年级上·上海·期中）计算：___________． 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方的逆用．根据积的乘方的逆用法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段检测）若，，则的值是 _______． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂相乘、求代数式的值，由幂的乘方与积的乘方得出，，由同底数幂相乘得出，即，从而得出，代入计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）卫星绕地球运动的速度是米/秒，那么卫星绕地球运行秒走过的路程是______米． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、用科学记数法表示数的乘法 【分析】根据路程=速度×时间，即可求解． 【详解】解：根据题意可得： 2（米）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了乘方的运算，同底数幂相乘，科学记数法，解题的关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加；以及科学记数法的表示方法． 10．（24-25七年级上·上海·期中）计算：_____． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，幂的乘方，根据积的乘方，幂的乘方进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段检测）材料，一般的，若（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可转化为指数式，根据以上材料，解决下列问题： (1)计算： ， ， ； (2)猜想 （且，，）； (3)已知，求和的值．（且） 【答案】(1)2；4；6 (2) (3)； 【知识点】有理数乘方逆运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查同底数幂的乘法，理解题中定义，弄懂对数式与指数式的关系以及相互转化的关系是解答的关键． （1）根据题中定义求解即可； （2）设，，根据题中定义将对数式转化为指数式，利用同底数幂的乘法法则求解即可； （3）利用（2）中结论求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， 故答案为：2；4；6． （2）解：设，， 则，， ∴，， 即， 故答案为：； （3）解：由（2）知，， ∵， ∴ ． 12．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、积的乘方和幂的乘方、合并同类项，按运算顺序正确计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 13．（2024八年级上·全国·专题练习）若（且是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)若，求x的值． (2)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用； （1）把左边都换成以为底数的幂，再根据底数相同指数相等列方程计算即可； （2）根据计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴． 14．（26-27七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【知识点】幂的混合运算、整式四则混合运算、同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】根据幂的乘方的运算法则：，同底数幂相乘的运算法则：，积的乘方的运算法则：，先乘方，再乘除，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 15．（23-24七年级下·广西崇左·期中）若（且，m，n都是正整数），则． 利用上述结论解决下列问题： (1)若，求n的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)3 (2)2 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方逆运算法则，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形． （1）根据幂的乘方逆运算法则把与化为底数为3的幂，再根据同底数幂的乘除法法则解答即可； （2）根据同底数幂的乘法逆运算法则把变形为即可解答． 【详解】（1）解：， ， 即，解得． n的值为3． （2）解：， ， 即， 解得． x的值为2． 16．（YHmlsjsxXJ749）解答下列各题： (1)已知，求的值； (2)比较的大小． 【答案】(1)135 (2) 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算、幂的乘方的逆用 【详解】解：（1）当时，． （2）因为，，，显然，所以． 17．（24-25七年级下·河北沧州·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用、同底数幂的除法运算、加减消元法 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，解二元一次方程组，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先把原式变形为，再根据同底数幂乘法计算法则得到，据此可得答案； （2）先由已知条件得到，进而得到，再根据（1）所求建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ， ， ； （2）解：， ， ， ． ∴， 解得， ． 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算、积的乘方运算、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握与灵活运用．先将式子拆分成同次数的形式，再利用进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 19．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）若（且，、是正整数），则． 利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，则___________； (2)如果，求的值． (3)如果，求的值． 【答案】(1)4 (2) (3) 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方对式子进行变形． （）根据（且，是正整数），则即可求解； （）根据幂的乘方法则计算即可； （）根据同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方法则计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：4 （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3） ∵， ∴， ， ∴， ∴， 解得：． 【考点2】整式的乘除（第20-25题） · 展开后合并同类项，关注含参项系数 · 不含某项 → 系数为 0 列方程 · 多项式除以单项式逐项相除 20．（25-26七年级上·上海·期中）如图是一个运算程序，若输入的为，输出的为，则为______． 【答案】 【知识点】多项式除以单项式 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据题意列出除法算式，利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案，掌握多项式除以单项式的法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 21．（24-25七年级下·陕西西安·期末）计算______． 【答案】 【知识点】计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 22．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如果，那么__________． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、积的乘方运算、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查单项式除以单项式，积的乘方，代入求值，先根据积的乘方运算除数，然后根据单项式除以单项式法则得到，，求出a，b的值，然后代入解题即可． 【详解】∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 23．（25-26七年级上·上海·期中）计算：________． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查整式的化简，熟练掌握同底数幂的除法和积的乘方是解题的关键，先计算除数的值，然后将多项式中的每一项分别除以该除数，利用同底数幂的除法法则和有理数运算进行化简即可得到答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 24．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知的展开式中不含和项． (1)求m与n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练运用整式的乘法运算法则和完全平方公式的变形求解代数式的值是解题的关键． （1）根据整式的运算法则进行化简，使得项和项的系数为0即可求出答案； （2）先利用完全平方公式的变型得到，然后代入即可求出答案． 【详解】（1）解： 由于展开式中不含项和项， ∴且， ∴解得：， （2）由（1）可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】计算单项式乘单项式、计算单项式乘多项式及求值、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键， （1）利用单项式乘单项式法则计算即可； （2）利用单项式乘多项式法则计算即可； （3）根据多项式乘多项式计算即可； （4）根据多项式乘多项式计算即可； 【详解】（1）； （2） ； （3） ； （4） ． 【考点3】乘法公式与混合运算（第26-52题） · 变形求值：用 (a±b)2 与 ab 互化 · 完全平方式求系数：中间项 = ±2ab · 混合运算先化简再求值，注意公式识别 26．（24-25七年级上·上海·期中）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用两种方法表示出图形的面积，即可得解． 【详解】解：在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形， ∴第一个图形中剩余的面积为：， 由第一个图形可知，大平行四边形的高为：, ∴第二个图形的大平行四边形的面积为， ∴； 故选：C． 27．（23-24八年级上·福建泉州·阶段检测）已知多项式除以时，所得的余数是1，除以时所得的余数是3，那么多项式除以时，所得的余式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】整式四则混合运算 【分析】先设，除以时所得的余式为，商式为，再分别令、即可求出m、n的值，代入余式，即可求解． 【详解】解：设，除以时所得的余式为，商式为， 当时，， 当时，， ∴，， ∴多项式除以时，所得的余式为， 故选：A． 【点睛】本题考查带余数的除法，解题的关键是设出原式除以时所得的余式为，商式为，再用取特殊值法求解即可． 28．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，完全平方公式具有以下特征：①左边是两个数的和或差的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍，其符号与左边的运算符号相同． 根据完全平方公式的特点逐项判断即可． 【详解】解：A、，不能表示两数和或差的平方的形式，不能用完全平方公式计算，不符合题意； B、，能表示两数和或差的平方的形式，能用完全平方公式计算，符合题意； C、，，不能表示两数和或差的平方的形式，不能用完全平方公式计算，不符合题意； D、，不能表示两数和或差的平方的形式，不能用完全平方公式计算，不符合题意． 故选B． 29．（23-24八年级下·全国·暑假作业）已知．则多项式的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，观察知可先把多项式转化为完全平方形式，再代入值求解即可，关键在于灵活思维，对多项式扩大2倍是利用完全平方公式的关键． 【详解】由题意可知，，， ， 故选：D． 30．（24-25七年级上·上海·阶段检测）若（    ）成立，则括号内的式子等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了完全平方公式和多项式的混合运算．利用完全平方公式展开 即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴， 故选：A． 31．（25-26七年级上·上海·期中）已知，则的值是（   ） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】B 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式混合运算，结合完全平方公式计算是解题的关键． 通过引入中间变量，将原方程转化为关于的方程，简化后直接求解． 【详解】 ，且， 。 设，则，， 代入得：， 展开：左边， 右边， ， 移项得：， 即， ，， ， ． 故选． 32．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）已知，则的值是（　　） A． B．8 C． D．6 【答案】A 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式的求值 【分析】本题主要考查了已知式子的值，求代数式的值等知识点，灵活对代数式进行变形是解题的关键． 由可得进而得到，然后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即，则， ∴． 故选A． 33．（24-25七年级上·上海·期中）计算：_____． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题可利用平方差公式来进行简便计算，需要将和进行适当变形，构造出平方差公式的形式．本题主要考查了平方差公式的实际应用，通过将带分数变形构造出平方差公式的形式来进行简便运算．熟练掌握平方差公式的结构特征以及带分数的变形方法是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 34．（25-26七年级上·上海宝山·期中）计算：__________． 【答案】 【知识点】整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查多项式平方公式的应用，熟练掌握多项式平方公式计算是解题的关键．注意细心计算．使用多项式平方公式展开计算． 【详解】根据多项式平方公式 ，其中，，， 代入公式： ． 故答案为：． 35．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）实数，，满足，则_____0．（填“”、“”、“”、“”、“”） 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变形进行求值，运用完全平方公式结合已知等式进行变形求解即可，正确进行变形，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 36．（24-25七年级上·上海闵行·期末）已知，，那么的值为______． 【答案】26 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查完全平方公式，利用完全平方公式进行变形，再代入即可． 【详解】解： ． 故答案为：26． 37．（2024·江苏南通·二模）已知实数a，b满足，若，则p的最小值为__________． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式的运用、平方式的非负性，先利用完全平方公式将已知等式化为，再将配方为，利用平方式的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ ， 当时取等号， ∴p的最小值为， 故答案为：． 38．（25-26七年级上·上海·期末）某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如下图所示的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”，以下四种方法中能够验证“平方差公式”的有______（填图中的序号）． 【答案】①②③ 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式以及等面积法是解题的关键． 用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可． 【详解】解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为，∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为，∴，故图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为，∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为，∴ ，故图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故答案为：①②③． 39．（25-26七年级上·上海·期中）已知，则________． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． 设，，则已知条件为，需求，利用完全平方公式 变形得，将和的值代入计算即可． 【详解】解：设，， 则，且， 所以， 即． 故答案为：． 40．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为正数，为的小数部分，且，则的值为______． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】此题考查了完全平方公式的应用；利用已知结合完全平方公式得出的取值范围，进而求出的值，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴，，， 又∵， ∴， 故答案为：． 41．（25-26七年级上·上海·阶段检测）若代数式是关于x，y的五次单项式，则代数式的值为_____． 【答案】 10 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、单项式的系数、次数、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查单项式的次数、完全平方公式及代数式的值，熟练掌握单项式的次数及完全平方公式是解题的关键；根据单项式次数的定义，得出，然后化简代数式并代入求值． 【详解】解：由于代数式是关于，的五次单项式，因此单项式的次数为，化简得． ∴ ． 故答案为：10． 42．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）______． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了利用平方差公式进行简便运算，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 把原式化为，再计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 43．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）有两块正方形纸片，较大的面积比较小的面积大28，较大纸片的边长比较小的纸片的边长大2，则两个纸片的面积分别是_______和_______． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、构造二元一次方程组求解 【分析】此题考查了平方差公式及解方程组的能力，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据题意得出 ，，求解即可得出答案． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 根据题意得：， 可得 解得：， 则大正方形的边长为，小正方形的边长为． 大正方形的面积为，小正方形的面积为． 故答案为：，． 44．（25-26七年级上·上海·期中）计算：_______． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式的应用，把看成，然后根据完全平方公式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 45．（24-25七年级上·上海松江·阶段检测）计算：． 【答案】 【知识点】整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．先计算完全平方公式、多项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得． 【详解】解：原式 ． 46．（25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了乘法公式的应用，掌握通过变形构造完全平方公式或平方差公式来进行计算是解题的关键． （1）把看作，利用完全平方公式展开计算； （2）把变形为，再利用乘法公式展开． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 47．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形． (1)分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是 　　． A．     B． C．     D． (2)应用这个公式完成下列各题． ①已知，，求的值； ②计算：． 【答案】(1)A (2)①；② 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景以及平方差公式的计算； （1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即，而图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，可表示出面积为； （2）①用平方差公式分解，将已知值代入可求解； ②原式乘以，应用平方差公式展开后合并同类项即可． 【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积为，图②阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为， 由图①，图②中阴影部分的面积相等可得，， 故选：A； （2）① ， ， 又， ； ② ． 48．（22-23八年级上·四川成都·开学考试）先化简，再求值， ，其中， 【答案】，6 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、整式的混合运算 【分析】先根据整式的混合运算法则化简，再将，代入化简以后的式子当中求值即可． 本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 当，时， 原式 ． 49．（23-24七年级下·江西九江·阶段检测）观察下列一组等式： ； ； ； ． 利用你从以上这些等式中发现的规律： (1)填空：______； ______； （______）． (2)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是______． A．    B． C．    D． (3)计算：． 【答案】(1)，，； (2)B (3) 【知识点】多项式乘法中的规律性问题、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查整式乘法的规律： （1）根据题意得到，，即可得到答案； （2）根据，判断即可得到答案； （3）根据，计算，再结合平方差公式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ，， ∴，， ， 故答案为：，，； （2）解：由题意可得， ， 故选：B； （3）解：原式 ． 50．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据运算法则“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的运算顺序进行计算”即可求解﹒ 【详解】解： ﹒ 51．（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查整式的乘法混合运算，涉及完全平方公式和平方差公式等，运用相关运算法则和公式计算即可． 【详解】解：原式 ． 52．（24-25七年级上·上海宝山·期中）如图，，是线段上一点，分别以、为边作正方形． (1)设，求两个正方形的面积之和；（用含的代数式表示） (2)当时，两个正方形的面积之和为；当时，两个正方形的面积之和为，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】列代数式、整式加减的应用、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算，完全平方公式； （1）根据题意求得，进而根据正方形的面积公式，即可求解； （2）分别将和代入（1）中结论，分别求得比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， （2）解：当时，， 当时，， ∵， ∴ 💯 课后巩固 复习建议 · 幂的逆用是简便计算的关键，注意凑底数 · 不含某项问题统一转化为系数为 0 · 变形求值熟记 a2 + b2 与 a±b、ab 的互化 · 完全平方式求系数用中间项 ±2ab 列方程 · 混合运算按顺序进行，先化简再代入 【作业1】．（2024·四川南充·模拟预测）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法及同底数幂的除法进行计算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类项，不能合并，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 【作业2】．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知，则下列给出之间的数量关系式中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，根据已知条件式得到，进而推出，则，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四个选项中只有C选项的关系式错误，符合题意； 故选C． 【作业3】．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）计算：___________． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了积的乘方逆运算以及同底数幂的乘法法则的逆用，熟练掌握积的乘方逆运算的性质是解题的关键． 根据积的乘方逆运算对原式进行变形，然后再进行计算，解题思路是先将与结合，再与进行运算． 【详解】解： ， 故答案为：． 【作业4】．（23-24七年级上·上海静安·期中）计算：__________； 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算 【分析】先根据积的乘方计算，然后再根据同底数幂的积进行计算即可解答． 【详解】解：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了积的乘方、同底数幂的积等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键． 【作业5】．（25-26七年级上·上海普陀·期中）计算：________． 【答案】/ 【知识点】有理数的乘方运算、同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题考查同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算，灵活运用运算法则是解答的关键． 通过观察底数的倒数关系和负号的处理，利用相关运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【作业6】．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）使 乘积中不含 与 项，则 的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】D 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把p、q看作常数，合并关于 与 的同类项，令其系数为0，得出p与q的值，即可求出结果． 【详解】解： 乘积中不含 与 项， ，则 ， 故选：D． 【作业7】．（23-24七年级下·山东聊城·期末）已知多项式，，且，当多项式A中不含x的2次项时，a的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查的是整式的乘法—多项式乘多项式，正确进行多项式的乘法是解答此题的关键．根据题意列出整式相乘的式子，再计算多项式乘多项式，最后进行合并同类项，令二次项的系数等于0即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵多项式A中不含x的2次项时， ∴ ∴ 故选D． 【作业8】．（23-24七年级上·上海青浦·期中）（_____） 【答案】 【知识点】多项式除以单项式 【分析】此题考查了多项式除以单项式，由“因数因数积”，转化为多项式除以单项式的运算法则计算即可，解题的关键是熟练掌握运算法则． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【作业9】．（24-25七年级上·上海·期中）计算：______ 【答案】 【知识点】多项式除以单项式 【分析】本题考查多项式除以单项式，解题的关键是掌握：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加．据此解答即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【作业10】．（25-26七年级上·上海·期末）用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a、b，）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为81，中间空缺的小正方形的面积为9，那么下列关系式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．用代数式表示图形中各个部分的面积，再由图形中面积之间的和差关系逐项进行判断即可． 【详解】解：∵大正方形的面积为81，中间空缺的小正方形的面积为9， ∴，， 又∵， ∴，， 解得，， ∴，， 因此选项D符合题意， 故选：D． 【作业11】．（23-24七年级下·陕西西安·开学考试）若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了新概念和平方差公式，两个连续奇数分别为，，利用平方差公式计算，得到两个连续奇数构造的“好数”是的倍数，据此解答即可，熟练掌握平方差公式：是解题的关键． 【详解】设两个连续奇数分别为，， ∴， ∴两个连续奇数构造的“好数”是的倍数， 、是的倍数，符合题意； 、不是的倍数，不符合题意； 、不是的倍数，不符合题意； 、不是的倍数，不符合题意； 故选：． 【作业12】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若是完全平方式，则单项式m可以是________． 【答案】或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查完全平方公式、多项式乘多项式．先化简，再根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：原式， ∵是完全平方式， ∴是完全平方式， ∴或， ∴或， 故答案为：或（答案不唯一） 【作业13】．（25-26七年级上·上海松江·阶段检测）计算：________． 【答案】/ 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式计算． 将原式变形为，利用平方差公式进行计算即可得解． 【详解】解： ． 故答案是：． 【作业14】．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）若，求______． 【答案】3 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式的求值 【分析】本题考查分式的基本性质、完全平方公式变形求值，解答的关键是分式的基本性质的灵活运用．先将化为，进而求得，将分子、分母同除以得到，进而代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴，则， 两边平方，得，则， ∵ ． 故答案为：3． 【作业15】．（24-25七年级上·上海·期中）简便运算：． 【答案】9 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，将原式写成完全平方公式的形式成为解题的关键． 先把原式写成完全平方公式的形式，然后运用完全平方公式进行简便运算即可． 【详解】解： ． 【作业16】．（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先利用完全平方公式和多项式乘以多项式以及平方差公式分别展开，再进行整式的加减计算即可． 【详解】解： ． 【作业17】．（25-26七年级上·上海金山·期中）我国北宋数学家贾宪在研究乘法公式时，发现了为非负数展开式的各项系数的规律．例如：，它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1、1；，它有三项，系数分别为1、2、1；，它有四项，系数分别为1、3、3、1；根据以上系数规律，展开式中各项系数之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意得出展开式中各项系数之和为是解题的关键． 根据题意，依次求出展开式中各项系数之和，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 展开式中各项系数之和为2； 展开式中各项系数之和为4； 展开式中各项系数之和为8； …， 所以展开式中各项系数之和为 当时， 展开式中各项系数之和是 故选：C． 【作业18】．（24-25七年级上·上海·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中用“杨辉三角”揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的规律：                  1               1    1           1     2    1       1     3     3    1    1     4    6      4   1 1     5    10    10    5   1             …… …… 则的展开式中所有项的系数和是（   ） A．64 B．128 C．256 D．512 【答案】B 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律是解题的关键． 根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出（n为非负整数）展开式的项系数和为，求出系数之和即可． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 由此可知展开式的各项系数之和为， 则展开式中所有项的系数和是， 故选：B． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $