第10章·整式加减·期中复习·基础巩固讲义 ·2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第10章·整式加减·期中复习·基础巩固讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解整式、单项式、多项式的概念，能准确判断一个代数式是否为整式 · 掌握单项式的系数、次数与多项式的项、项数、次数的确定方法 · 理解同类项的概念，能正确合并同类项并去括号 · 熟练进行整式的加减运算，能对代数式化简求值 · 能运用整式加减解决与图形、实际情境相关的简单问题 📚 知识梳理 ☆ 1.整式与单项式 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式，单独一个数或字母也是单项式 单项式的系数：单项式中的数字因数；单项式的次数：所有字母的指数和 多项式：几个单项式的和；多项式的项、常数项、次数（最高次项的次数） 整式：单项式与多项式统称整式；分母含字母的代数式（如 1/x）不是整式 概念辨析例题：在 0、x、a+b、、y 这些代数式中，哪些是整式？ 答案：0、x、a+b、y 是整式， 不是整式 解析：分母中含有字母的代数式不是整式，x 表示一个数时是整式；单独一个数或字母都是单项式，单项式与多项式统称整式 ☆ 2.同类项与合并同类项 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项 合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数保持不变 合并同类项的步骤：找同类项、提系数、合并、检查 概念辨析例题：计算：3a2b - 2ab2 + 5a2b + 4ab2 答案：8a2b + 2ab2 解析：3a2b 与 5a2b 是同类项，系数相加得 8a2b；-2ab2 与 4ab2 是同类项，得 2ab2 ☆ 3.去括号与整式的加减 去括号法则：括号前是「+」号，去括号后各项符号不变；括号前是「-」号，各项符号都改变 整式加减的实质：去括号、合并同类项 求代数式的值：先化简，再把字母的值代入计算 概念辨析例题：化简：2(3a-2b) - (4a-3b) 答案：2a - b 解析：去括号得 6a - 4b - 4a + 3b，合并同类项得 2a - b ☆ 4.整式加减的应用 用整式表示图形周长、面积等数量关系 利用整式加减解决「无关型」问题：结果与某个字母无关时，含该字母项的系数为 0 整体代入：将某个代数式看作整体进行化简求值 概念辨析例题：一个长方形长为 a+3，宽为 a-1，求它的周长 答案：4a + 4 解析：周长 = 2[(a+3)+(a-1)] = 2(2a+2) = 4a + 4 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 单项式 数与字母的乘积组成的代数式 单独一个数或字母也是单项式；分母含字母不是单项式 单项式的系数 单项式中的数字因数 含字母的项如 -xy 系数是 -1 单项式的次数 所有字母的指数和 指数是 1 时通常省略不写，计算次数时要算上 同类项 所含字母相同且相同字母指数分别相同 与系数、字母排列顺序无关 合并同类项 系数相加，字母及指数不变 不是同类项不能合并 整式的加减 去括号、合并同类项 括号前是「-」号去括号要变号 ⚠️ 核心考点 【考点1】整式与单项式的概念（第1-15题） · 判断整式先看分母是否含字母，再按单项式、多项式分类 · 求单项式次数是所有字母指数之和，系数是数字因数（含符号） · 多项式的次数是最高次项的次数，项数是所有项（含常数项）的个数 1．（24-25七年级上·山东滨州·期末）下列单项式：，，，中，的同类项的系数是（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【知识点】单项式的系数、次数、同类项的判断 【分析】本题考查了同类项和同类项的系数的定义，先根据同类项的定义找到的同类项，再确定其系数即可． 【详解】解：的同类项是，其系数是， 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）下列判断中，错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是单项式 C．是多项式 D．的次数是5 【答案】D 【知识点】单项式的判断、单项式的系数、次数、多项式的判断、多项式的项、项数或次数 【详解】解：A．的最高次项是，次数为，共有个项，是二次三项式，判断正确，不符合题意； B．单独的一个数是单项式，因此是单项式，判断正确，不符合题意； C．，是两个单项式的和，属于多项式，判断正确，不符合题意； D．中是常数，单项式的次数是所有字母的指数和，即，因此次数是不是，判断错误，符合题意． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．0不是单项式 B．的系数是 C．的次数是4 D．的系数是2 【答案】B 【知识点】单项式的判断、单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式及相关概念，根据单项式系数、次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：、单独一个字母和数字也是单项式， 是单项式，原选项不符合题意； 、单项式中的数字因数是这个单项式的系数， 的系数是，原选项符合题意； 、单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数， 的次数是，原选项不符合题意； 、单项式中的数字因数是这个单项式的系数， 的系数是，原选项不符合题意； 故选： ． 4．（24-25七年级上·黑龙江鸡西·阶段检测）已知多项式是关于的二次三项式，则k的值为（   ） A．2 B． C． D．无法确定 【答案】C 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义，根据多项式的次数为2可得，根据多项式的项数为3可得，据此求解即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25七年级上·广西南宁·阶段检测）多项式的次数、项数、最高次项的系数分别是（　　） A．2，4，3 B．3，4， C．3，4，5 D．2，4， 【答案】B 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】此题主要考查了多项式的次数、系数、项数的定义，利用几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，进而分别分析得出答案． 【详解】解：多项式的次数、项数、最高次项的系数分别是3，4，． 故选：B． 6．（25-26七年级上·吉林长春·期中）关于多项式的说法错误的是（    ） A．有三项，次数是4 B．常数项为9 C．不含一次项 D．各项分别是，，9 【答案】D 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的相关概念，根据多项式的相关定义逐项分析即可得解，熟练掌握多项式的相关定义是解此题的关键． 【详解】解：A、多项式有三项，次数是4，故原说法正确，不符合题意； B、多项式的常数项为9，故原说法正确，不符合题意； C、多项式中不含一次项，故原说法正确，不符合题意； D、多项式各项分别是，，9，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 7．（25-26七年级下·北京·课堂例题）有下列式子： ； ； ； ； ； ．其中属于单项式的有____，属于多项式的有____，属于整式的有____．（填序号） 【答案】 ①⑤ ②④⑥ ①②④⑤⑥ 【知识点】整式的判断、单项式的判断、多项式的判断 【分析】根据单项式是数与字母的乘积的形式表示的代数式，单独的数字与字母也是单项式，可以判断出是单项式；根据几个单项式的和叫做多项式，可以判断出属于多项式的有；根据单项式和多项式统称整式，可以判断出属于整式的有． 【详解】解：单项式是数与字母的乘积的形式表示的代数式，单独的数字与字母也是单项式， 是与的积， 是单项式， 是、、的积， 是单项式， 属于单项式的有； 几个单项式的和叫做多项式， ，是单项式与的和， 是多项式， 是单项式与的和， 是多项式， 是单项式与的和， 是多项式， 属于多项式的有； 单项式和多项式统称整式， 属于整式的有． 中的分母中含有字母， 是分式，既不是单项式也不是多项式，也不是整式． 【点睛】本题主要考查了单项式、多项式、整式．解决本题的关键是熟练地掌握单项式、多项式、整式的定义． 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）的系数是______，次数是_____；的系数是______，次数是______；的系数是______，次数是______． 【答案】 4 8 7 / 4 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式的系数和次数的概念，区分单项式的系数和次数是解决本题的关键． 由单项式的系数和次数的概念，即单项式的系数为：单项式中的数字因数；单项式的次数为：单项式中所有字母的指数和，根据概念判断即可． 【详解】解：的系数是4，次数是； 的系数是，次数是； 的系数是，次数是． 故答案为：①4；②8；③；④7；⑤；⑥4 ． 9．（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）写一个系数是，次数是4次的单项式：__________. 【答案】（答案不唯一） 【知识点】写出满足某些特征的单项式 【分析】本题主要考查了单项式的系数和次数，解题的关键在于熟知单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数． 根据单项式的相关定义进行解答即可． 【详解】解：由题意得，满足题意的单项式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 10．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期中）多项式是______次______项式，按的升幂排列为______． 【答案】 五 四 【知识点】多项式的项、项数或次数、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题主要考查了多项式的定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 【详解】解：多项式是五次四项式，按的升幂排列为， 故答案为：五；四； 11．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中多项式有________个，次数最高的多项式为________（请填写序号），整式有________个． 【答案】 3 ② 4 【知识点】整式的判断、多项式的项、项数或次数 【分析】本题主要考查了整式，多项式及其次数，根据多项式及其次数解答，再根据整式的定义判断即可． 【详解】多项式有，，，一共有3个； 因为是二次三项式，是三次三项式，是二次二项式，所以次数最高的多项式是②； 整式有，，，，一共有4个． 故答案为：3，②，4． 12．（22-23七年级上·重庆九龙坡·周测）；；；；；；0；其中单项式有________个，多项式有________个． 【答案】 4 3 【知识点】单项式的判断、多项式的判断 【分析】由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式． 【详解】解：其中单项式有，，，0，共4个； 多项式有，，，共3个． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）已知关于，的单项式与的次数相同，求的值； （2）若是关于的四次单项式，求，的值，并写出这个单项式． 【答案】（1）；（2），， 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式，单项式的次数是字母指数的和． （1）根据单项式的次数，可得方程，根据解方程，可得答案． （2）根据单项式的定义列方程求解即可． 【详解】解：（1）关于，的单项式与的次数相同，单项式的次数是4， ， 解得； （2）是关于的四次单项式， ，，， 解得，． 单项式是． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）解答题 (1)若单项式的次数与六次四项式的次数相同，求的值． (2)若关于的多项式与多项式的次数相同，且次数最高的项的系数也相同，求的值． 【答案】（1），；（2）． 【知识点】单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题主要考查多项式的次数、单项式的系数的定义，解决问题的关键是熟练掌握多项式的次数、单项式的系数的定义． （1）根据单项式和六次四项式次数相同求解； （2）先根据多项式的次数与最高次项的系数的定义求出的值． 【详解】解：（1）因为多项式的次数是6， ，解得． 由题意，得， 即， 解得． ． （2）多项式中次数最高的项是， 对于多项式， 当时，该多项式为，次数为，次数最高的项的系数为， 而多项式的次数最高的项的系数为，二者不相等，故； 当时，多项式中次数最高的项为， ， 解得． ． 15．（26-27七年级上·全国·课后作业）写出满足条件的单项式． (1)写出所有系数是2，且只含字母和的五次单项式； (2)系数是，含，两个字母，且的指数是2，单项式的次数是6； (3)系数是，次数是3，含，两个字母，且的指数是2． 【答案】(1)，，， (2) (3) 【知识点】写出满足某些特征的单项式 【分析】本题考查了单项式，利用单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和． （1）直接利用单项式的定义分析得出答案； （2）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案； （3）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，，，； （2）解：由题意可得：； （3）解：由题意可得：． 【考点2】同类项与合并同类项（第16-27题） · 同类项只看字母与指数，与系数、顺序无关 · 由同类项求字母的值：令相同字母的指数相等列方程 · 合并时系数带符号相加，字母及指数原样保留 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）合并同类项时，依据的运算律是（   ） A．加法交换律 B．乘法交换律 C．乘法对加法的分配律 D．乘法结合律 【答案】C 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，理解合并同类项法则是解题的关键． 合并同类项：系数相加减，字母连同指数不变，据此判断即可求解． 【详解】解：由题意得， 所以这个过程依据是乘法对加法的分配律， 故选：C． 17．（2025·浙江湖州·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，掌握整式的混合运算法则是关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘法运算法则计算即可求解． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故原选项错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故原选项错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故原选项错误，不符合题意； 故选：C ． 18．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据合并同类项法则逐项判断即可. 【详解】解：A. ，故该选项符合题意； B. 不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C. ，故该选项不符合题意； D. ，故该选项不符合题意； 故选：A. 19．（2024·河南新乡·模拟预测）下列整式与为同类项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查同类项的定义，根据字母及字母指数都相同的项叫同类项直接判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 与为同类项， 故选：D． 20．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各组式子中，不是同类项的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义是关键．把字母相同，且相同字母的指数也相同的项称为同类项，单独的两个常数项也是同类项；根据同类项的定义即可作出判断． 【详解】选项A，和字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项； 选项B，和字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项； 选项C，2025和两个常数项也是同类项； 选项D，和虽然字母顺序不同，但字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项． 故选：A 21．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）合并同类项：______． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项的法则计算即可得解，熟练掌握合并同类项的法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）单项式与的和是，则的值为______． 【答案】 【知识点】合并同类项、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了同类项的定义以及合并同类项法则，掌握这些是解题的关键． 根据同类项的定义，两个单项式的和仍是单项式，则它们必须是同类项，即所含字母相同，并且相同字母的指数也相同．列方程求解即可． 【详解】解：由题意得： ，解得 所以 ． 故答案为：． 23．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）某水库水位第一天连续下降了，平均每小时下降；第二天连续上升了，平均每小时上升，这两天水位总的变化情况为______． 【答案】下降了 【知识点】正负数的实际应用、合并同类项 【分析】本题考查了正数和负数的实际应用，合并同类项，根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】解：根据题意可得： ， 即这两天水位总的变化情况是下降了． 故答案为：下降了． 24．（2026·山东·中考真题）计算：________． 【答案】 【知识点】合并同类项 【详解】解：． 25．（25-26七年级上·上海·阶段检测）合并同类项：______． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项的运算法则计算，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为：． 26．（25-26六年级上·上海·单元复习）化简下列一次式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，解题的关键是掌握合并同类项法则：字母和字母指数不变，只把系数相加减． （1）直接合并同类项即可； （2）直接合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 27．（26-27七年级上·全国·课后作业）判断下列各题中的两项是不是同类项： (1)4与； (2)与； (3)与； (4)与； (5)与． 【答案】(1)是 (2)不是 (3)不是 (4)是 (5)不是 【知识点】同类项的判断 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项为同类项进行判断即可. 【详解】（1）解：4与都是常数项，是同类项； （2）解：与，所含字母不同，不是同类项； （3）解：与，所含字母不同，不是同类项； （4）解：与所含字母相同，且字母的指数均为1，也相同，是同类项； （5）解：与，相同字母的指数不同，不是同类项； 【考点3】整式加减运算与应用（第28-40题） · 先去括号再合并同类项，注意括号前为负号时变号 · 用整式表示图形数量关系时先设字母再列式 · 结果与某字母无关时，该字母相关项的系数为 0 28．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，剩余部分沿虚线剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查了整式的加减运算，根据图示，用含的式子表示出拼成长方形的长和宽，根据面积的计算即可求解，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据图示，拼成长方形的长为，宽为， ∴长方形的面积为， 故选：B ． 29．（24-25七年级上·广东深圳·期中）在横线上填入合适的一次式：（________）． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】根据整式的加减运算法则，即可求解， 本题考查了，整式的加减，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【详解】解：， 故答案为：． 30．（23-24七年级上·河南新乡·阶段检测）化简：______． 【答案】/ 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减．先去括号，再合并同类项，最后得出结果即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 31．（24-25七年级上·全国·课后作业）长方形的长是，周长是，则长方形的宽是________． 【答案】 【知识点】整式加减的应用 【分析】此题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解本题的关键．根据长方形的周长（长宽）列出关系式，即可得到结果． 【详解】解：长方形的长是，周长是， 长方形的宽为：， 故答案为：． 32．（2025·天津南开·二模）计算的结果为_______． 【答案】/ 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减．先去括号，再合并同类项，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 33．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段检测）定义：若，则称与是关于的“平衡数”．比如：3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与（为常数）始终关于常数的“平衡数”，则它们是关于_______的“平衡数”． 【答案】2 【知识点】整式加减的应用、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了整式的加减运算以及“平衡数”的定义，解题的关键是通过合并同类项后令含未知数的项的系数为0，求出常数k的值，进而确定平衡数n． 化简b的表达式，展开并整理；计算a与b的和，合并同类项；根据“始终关于常数n的平衡数”，令含项的系数为0，求出k；代入k的值，计算常数项，得到n． 【详解】解：由“平衡数”定义可知，为常数）． ∵ ∴ ∵a与b始终关于常数n的“平衡数” ∴含x的项系数必须为0（确保和为常数），即解得． 将代入常数项：，故． 故答案为：2． 34．（14-15七年级上·山东济宁·期末）计算： 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减．先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 35．（24-25七年级上·广东惠州·阶段检测）进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法，对于任何一种进制，就表示某一位置上的数运算时是逢 进一位．十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推， 进制就是逢 进一．为与十进制进行区分，我们常把用 进制表示的数写成． 类比于十进制，我们可以知道：进制表示的数中，右起第一位上的 1 表示，第二位上的 1 表示，第三位上的 1 表示，第四位上的 1 表示，故，即：转化为十进制表示的数为 如： ， ． 根据材料，完成以下问题： (1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数： ； ； (2)若一个六进制数与一个八进制数之和为666，则称这两个数互为“如意数”，试判断与是否互为“如意数”？若是，求出这两个数；若不是，说明理由． 【答案】(1)，， (2) 解：与不互为“如意数”，理由如下： ，， ∴， 令， ∴， ∵，， ∴，，不符合题意， ∴与不互为“如意数”． 【知识点】含乘方的有理数混合运算、整式加减的应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算、整式的加减的应用、列代数式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据进制的算法计算即可得解； （2）先表示出和，求出，令得出，结合，，即可得解． 【详解】（1）解：， ， ； 故答案为：． （2）略 36．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，为了方便学生停放自行车，学校建了一块长边靠墙的长方形停车场，其他三面用护栏围起，其中停车场的长为米，宽为米． (1)用含的代数式表示护栏的总长度． (2)若，每米护栏造价90元，求建此停车场所需护栏的费用． 【答案】(1)米 (2)5580元 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，整式加减运算的应用；解题的关键是理解题意，熟练掌握长方形的周长公式，整式加减运算法则． （1）先求出停车场的宽，然后再求出护栏的长度即可； （2）把，代入求值即可． 【详解】（1）解： 米， 即护栏的总长度为米； （2）解：当时， 元， 建此停车场所需护栏的费用为5580元． 37．（24-25八年级上·全国·期末）五千年文明，一座杭州城，溯源则见“良渚”．良渚便是这五千年文明的源头之一．如图是位于浙江省杭州市的良渚博物院的平面简化示意图，若良渚博物院的二分之一作为展厅，三分之一作为庭院，剩下的作为办公区域． (1)良渚博物院的面积是多少平方米？（用含a，b的式子表示） (2)若庭院地面的装修单价为每平方米m元，展厅和办公区域地面的装修单价为每平方米元，则良渚博物院地面装修费用为多少元？ 【答案】(1)平方米 (2)元 【知识点】整式加减的应用、单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）利用长方形的面积公式列式求解即可； （2）根据总费用=庭院地面的装修费用+展厅和办公区域地面的装修费用，即可求出结论． 【详解】（1）解： ． 答：良渚博物院的面积是平方米． （2）解： ． 答：良渚博物院地面装修费用为元． 38．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）与的差是________． （2）与的和为________． 【答案】（1）   （2） 【知识点】整式的加减运算 【分析】此题考查了整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键． （1）（2）列出关系式，去括号合并同类项即可得到结果． 【详解】解：（1）； （2） . 39．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）数学活动课上，小海利用列表法研究一次式、的值随着的取值的变化情况． 根据表格，完成下列问题： (1)表格中的______； (2)从表格中可以发现，当的取值增大时，一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”），一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”）； (3)小海在研究时，得到这样一个结论：“当的值每增加1时，一次式减去一次式的差就增加6”，你同意小海的结论吗？请利用所学知识说明理由． 【答案】(1) (2)增大；减小 (3) 解：我同意小海的结论． 理由如下： ∵， 所以当x的值每增加1时，一次式减去一次式的差就增加6． 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减、代数式求值； （1）将代入即可． （2）根据表格数据分析即可． （3）两个代数式求差，得到，然后判断下结论即可． 【详解】（1）解：将代入得：． 故答案为：． （2）解：从表格中可以发现，当x的取值增大时，一次式的值增大，一次式的值减小； 故答案为：增大；减小． （3）略 40．（24-25七年级上·河南濮阳·阶段检测）阅读理解 【方法】有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项． 例如： ，M经过处理器得到； 【应用】若关于x的二次多项式M经过处理器得到N，根据以上方法，解决下列问题： （1）若 求 N． 【延伸】（2）已知 M是关于x的二次多项式，若N是M经过处理器得到的一次多项式，且满足，求k的值． 【答案】（1）；（2）15 【知识点】多项式系数、指数中字母求值、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义，代数式求值，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． （1）根据题目所给的转化方法即可解答； （2）先根据二次多项式的定义，得出，再根据题目所给转化方法，得出以及，最后将的值代入进行计算即可． 【详解】解：（1）因为，所以； （2）因为是关于x的二次多项式， 所以，则， 因为N是M经过处理器得到的一次多项式，且， 所以，， 所以， 所以． 【考点4】化简求值与无关型（第41-45题） · 先化简再代入求值，避免先代入带来的计算量 · 「无关型」问题转化为对应项系数为 0 的方程 · 整体代入时注意符号与去括号的配合 41．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）若多项式的值与的值无关，则的值为______． 【答案】 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】此题考查了整式的加减，原式去括号合并后，根据结果与的值无关，确定出的值即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ∵多项式的值与的值无关， ∴，解得：， 故答案为：． 42．（23-24八年级下·浙江温州·开学考试）如果代数式，，那么代数式的值等于 _______ 【答案】2 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．将代数式变形为，再代入求值即可． 【详解】解：， 当，时， 原式， 故答案为：2． 43．（24-25九年级上·重庆黔江·阶段检测）我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式，，则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．已知多项式（a为常数），，M是N的“雅常式”，则M关于N的“雅常值”为____________． 【答案】4 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的加减运算，注意计算的准确性即可．计算，令含未知数的项的系数为零即可求解． 【详解】解： ， M是N的“雅常式”， ， ， ， ∴M是N的“雅常式”是4． 故答案为：4． 44．（20-21七年级上·江苏宿迁·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式去括号合并得到最简结果，代入与的值计算即可求出值． 【详解】解： ； 当时， 原式． 45．（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减中的化简求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查整式的混合运算，先根据整式的混合运算顺序和法则化简原式，再把x和y的值代入求值可得，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键． 【详解】解：原式 ． ， ， 当，时，原式． 【考点5】规律探索（第46-63题） · 图形规律：找图形序号与数量的对应关系，写成关于 n 的整式 · 数字规律：观察相邻项差、比、幂的变化归纳通项 · 用整式表示规律后再代入求指定项 46．（24-25七年级上·全国·单元测试）观察下列算式： ， 根据上述算式中的规律，请你猜想的末尾数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字规律，找出尾数规律是解题的关键． 根据乘方运算结果进行比较，每四次一循环，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴每四次一循环， ∴， ∴的尾数为， 故选：D ． 47．（24-25七年级下·重庆·阶段检测）下列图形是用黑色棋子摆成的，第①个图棋子数量为3个，第②个图棋子数量为6个，第③个图棋子数量为9个，…，按此规律推断，则第⑧个图棋子数量为（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】D 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形规律，理解图示，找出规律是解题的关键． 根据图形及数量关系找出规律即可． 【详解】解：第①个图棋子数量为3个，即， 第②个图棋子数量为6个，即， 第③个图棋子数量为9个，， ∴第⑧个图棋子数量为个， 故选：D ． 48．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，照样子摆三角形，摆12个三角形一共需要（　　）根小棒． A．24 B．25 C．36 【答案】B 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了考查了图形类的规律探索，观察图形可知，每多一个三角形就多2根小棒，据此规律求解即可． 【详解】搭一个三角形需要3根小棒， 搭两个三角形需要5根小棒， 搭三个三角形需要7根小棒， ……， 以此类推，可知搭n个三角形需要根小棒， ∴摆12个三角形一共需要根小棒， 故选；B． 49．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，一些点组成形如三角形的图形．如果图形的每条“边”上有n个点（包括两个顶点），那么这个图形中点的总数为s．当时，s的值为（    ） A．27 B．33 C．36 D．38 【答案】B 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现点的总数依次增加3是解题的关键． 根据所给图形，依次求出点的总数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 当时，， 当时，， 当时，， 可知 …， 当时，． 故选：B． 50．（25-26八年级上·全国·课后作业）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．已知有一种密码，将英文个小写字母，，…，依次对应，1，2，…，这个自然数（见表格）．例如，当明文中的字母对应的序号为时，将除以后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，如明文对应密文． 按上述规则，将明文“”译成密文后是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索，解决本题的关键是读懂题意，理清题目中数字和字母的对应关系和运算规则，然后套用题目提供的对应关系解决问题； 根据对应的数字是，，除以的余数仍然是，因此对应的字母是；对应的数字是，，除以的余数仍然是，因此对应的字母是；对应的数字是，，除以的余数仍然是，因此对应的字母是；…，所以本题译成密文后是． 【详解】解：、、、、分别对应的数字为、、、、，它们分别加除以所得的余数为、、、、，所对应的密文为． 故选：D 51．（24-25七年级上·全国·课后作业）观察图中五角星五个顶点所标的数字规律，可知数2024应在（   ） A．第404个五角星上的位置 B．第404个五角星上的位置 C．第405个五角星上的位置 D．第405个五角星上的位置 【答案】D 【知识点】图形类规律探索 【分析】此题考查图形的变化规律，找出数字循环的规律，利用规律解决问题． 先求出，再根据每个五角星上有5个数字以及排列顺序求解即可． 【详解】解：∵ 根据每个五角星上有5个数字以及排列顺序可知，数2024在第405个五角星上的位置， 故选：D． 52．（23-24七年级上·河南新乡·期中）找规律，并按规律填上第5个数：，，，________． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字的规律变化的有关知识，先通过观察已知条件，找出这列数字的规律即可求出结果，在解题时要能通过观察得出规律是本题的关键． 【详解】解：∵…… 根据观察可得第五个数为， 故答案为：． 53．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第6个“星阵”中的★的个数是______． 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形类规律探索，从所给图形中发现并总结出一般规律是解题的关键． 从所给图形中可发现并总结出一般规律：图（）中★的个数是，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意可得： 图（1）一共有个★， 图（2）一共有个★， 图（3）一共有个★， 图（4）一共有个★， 图（）中★的个数是：， 第个“星阵”中的★的个数是：， 故答案为：． 54．（2025·江西九江·二模）某景点的夜景灯图案是按一定规律连线组成的，如图，第①个图案一共有4个夜景灯，第②个图案一共有7个夜景灯，第③个图案一共有10个夜景灯…按此规律排列下去，第ⓝ个图案中夜景灯的个数为_____． 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】第①个图案中夜景灯的个数为；第②个图案中夜景灯的个数为；第③个图案中夜景灯的个数为所以第n个图案中夜景灯的个数为． 本题考查了整式的规律探解，掌握发现规律并表示规律是解题的关键 【详解】解： 第①个图案中夜景灯的个数为；第②个图案中夜景灯的个数为；第③个图案中夜景灯的个数为 所以第n个图案中夜景灯的个数为． 故答案为：． 55．（24-25七年级上·上海青浦·期末）探索规律，并回答问题：观察下面各图形，我们会发现：图①空白部分小正方形的个数是；图②空白部分小正方形的个数是；图③空白部分小正方形的个数是；像这样继续排列下去，可以用含有字母的代数式表示为：______．（其中为正整数） 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形变化的规律，能根据所给等式写出图n空白部分小正方形个数满足的等式是解题的关键．根据所给图形，依次求出图形中空白小正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 题①空白部分小正方形的个数为：； 题②空白部分小正方形的个数为：； 题③空白部分小正方形的个数为：； …， 所以图n空白部分小正方形的个数： 故答案为：． 56．（2024·山西长治·三模）如图是由相同的小木棒拼成的一组有规律的图案，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒…依此规律，第个图案中有 ___________根小木棒．（用含的代数式表示）    【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查列代数式，根据图案规律，写出第个图案中图形的个数是解题的关键； 根据图案找出规律即可． 【详解】解：第一个：， 第二个：， 第三个：， ∴第个图案中有个； 故答案为：． 57．（2025·山西运城·模拟预测）如图是用若干根相同长度的小木棒拼成的图案．第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒，，依此规律，第个图案中有______（用含的代数式表示）根小木棒． 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形规律；根据图案找出规律即可，根据图案规律，写出第个图案中图形的个数是解题的关键． 【详解】解：∵第个图案中有小木棒（根）， 第个图案中有小木棒（根）， 第个图案中有小木棒（根）， ， ∴第个图案中有小木棒（根）， 故答案为：． 58．（22-23七年级上·云南德宏·期末）观察下列图形：    它们是按一定规律排列的，依照此规律第15个图形共有多少______个★． 【答案】46 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形变化规律的问题，把★分成两部分进行考虑，并找出第个图形★的个数的表达式是解题的关键． 将每一个图案分成两部分，最下面位置处的一个不变，其它的分三条线，每一条线上后一个图形比前一个图形多一个，根据此规律找出第个图形中★的个数的关系式，然后把代入进行计算即可求解． 【详解】解：观察发现，第1个图形★的个数是，， 第2个图形★的个数是，， 第3个图形★的个数是，， 第4个图形★的个数是，， 以此类推，第个图形★的个数是，， 故当时，， 故答案为：46． 59．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中菱形的个数是______个． 【答案】23 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，后一个图形比前一个图形多3个菱形，进而求出第个图形中菱形的个数，进行求解即可． 【详解】解：第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形， 故后一个图形比前一个图形多3个菱形， 所以第个图形中有个菱形， ∴第⑧个图案中菱形的个数是个； 故答案为：23． 60．（2024·安徽亳州·三模）图1有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图2，有个三角形，记作；再分别连接图2中间的小三角形三边中点得到图3，有个三角形，记作；……．      根据上述规律，解答下面的问题： (1)图4中有______个三角形，记作______． (2)猜想图中有______个三角形，记作______；（用含的代数式表示） (3)求的值．（结果用含的代数式表示） 【答案】(1)13，13 (2)， (3) 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索、单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查了图形变化的一般规律问题，整式的乘法，能够通过观察，掌握其内在规律是解题的关键． （1）由第一个图中1个三角形，第二个图中5个三角形，第三个图中9个三角形，每次递增4个，即可得出第4个图形中有13个三角形； （2）根据（1）中的规律即可得出第n个图形中有个三角形； （3）根据题意得到，然后整理求解即可． 【详解】（1）∵第一个图中1个三角形， 第二个图中5个三角形， 第三个图中9个三角形， ∴图4中有13个三角形，记作 （2）由（1）可得， 图中有个三角形，记作； （3） ． 61．（24-25七年级上·山东临沂·期中）如图①是年月份的日历，小明在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图②所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图①中的结果为________；将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值为________； (2)数学思考：小明探索（1）中运算的规律，其过程如下，请你将其补充完整． 设，则________，________，________． 求的值． (3)拓广探究：同学们利用小明的方法，借助图①中的日历，继续进行如下探究． 在日历中用“型框”框住位置如图③所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)， (2)，，， (3) 解：的值均为，理由如下： 设，则，，， ∴ ． 【知识点】有理数的加减混合运算、数字类规律探索、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，有理数的加减混合运算，列代数式，整式的加减运算等知识点，通过观察日历发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算法，进行计算可求出，根据日历排序规律即可求出； （2）根据日历的排序规律：每一行相邻数字之间相差，每一列相邻数字之间相差，设，依次得到，，的代数式，进行计算，即可； （3）据日历的排序规律可发现规律，在日历中用“型框”框住位置如图所示的四个数，设，依次得到，，的代数式，进行计算，即可． 【详解】（1）解： ； 根据日历的排序规律：每一行相邻数字之间相差，每一列相邻数字之间相差， ∴，，， ∴ ． 故答案为：，． （2）解：每一行相邻数字之间相差，每一列相邻数字之间相差， 设， ∴，，， ∴ ． 故答案为：，，，． （3）略 62．（23-24八年级下·全国·课后作业）观察下面一列分式：，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 【答案】(1) (2) 由已知可得第n(n为正整数)个分式为∶． 理由如下： ∵分母的底数为y，次数是连续的正整数， 分子的底数是x，次数是连续的奇数， ∴第n(n为正整数)个分式为． 【知识点】数字类规律探索、分式的规律性问题 【分析】此题主要考查了分式的规律性问题以及数字规律的探索问题，得出分子与分母的变化规律即可解题． （1）根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系进而得出答案； （2）利用（1）中数据变化规律，进而得出答案． 【详解】（1）解：观察各分式的规律可得第5个分式为：， 第6个分式为． （2）略 63．（2024七年级上·吉林·专题练习）公园中的一条小路使用正六边形、正方形、正三角形三种地砖按照如下方式铺设． (1)每增加一块正六边形地砖，正方形地砖会增加__________块，正三角形地砖会增加__________块； (2)若铺设这条小路用去a块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为__________块，正三角形地砖的数量为__________块；（用含a的代数式表示） (3)为了增加道路的趣味性，计划将所有正方形地砖换成创意地砖，已知每块正方形地砖的边长为，若铺设这条小路用去a块正六边形地砖，求创意地砖的面积为多少？若，且每平方米创意地砖的成本为12元，则需要多少元？ 【答案】(1)5，4 (2)， (3)，967.68元 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、图形类规律探索 【分析】本题考查了平面镶嵌(密铺)问题，此题要注意能够分别找到三角形和正方形的个数的规律． （1）根据图形可以直接得结论； （2）正六边形地砖有1块，则正方形地砖的数量为，正三角形地砖的数量为；正六边形地砖有2块，则正方形地砖的数量为，正三角形地砖的数量为；正六边形地砖有3块，则正方形地砖的数量为，正三角形地砖的数量为…．由此可得结论； （3）创意地砖的面积数量每块的面积，总费用面积单价，代入公式可得结论． 【详解】（1）解∶由图形可知：每增加一块正六边形地砖，正方形地砖会增加5块，正三角形地砖会增加4块； 故答案为：5，4； （2）解：若铺设这条小路用去a块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为块，正三角形地砖的数量为块(用含a的代数式表示)； 故答案为∶，； （3）解：． 创意地砖的面积； 当时， 总费用 (元)； 答：创意地砖的面积为； 若，且每平方米创意地砖的成本为12元，则需要967.68元． 【考点6】绝对值化简与数轴（第64-70题） · 先判断绝对值内式子的正负，再按法则去绝对值 · 结合数轴判断字母与式子的符号 · 含字母的绝对值化简结果要写成整式形式 64．（24-25六年级上·山东淄博·期末）下列各式中，①a；②；③0；④；⑤，整式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】整式的判断 【分析】本题主要考查了整式的定义，掌握整式是单项式和多项式都统称成为解题的关键． 根据整式的概念逐个判断即可． 【详解】解：整式有a，0，，共3个． 故选B． 65．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【知识点】化简多重符号、带有字母的绝对值化简问题、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了化简多重符号以及有理数的乘方运算，化简绝对值，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，这一组不相等，故该选项是错误的； B、，这一组不相等，故该选项是错误的； C、，这一组相等，故该选项是正确的； D、，这一组不相等，故该选项是错误的； 故选：C 66．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，数轴上，，三点所表示的数分别为，，，且，，则下列计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，绝对值的含义，有理数的运算中的符号确定，熟练的利用绝对值的含义逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴，，，， 故A、B、D都不符合题意，C符合题意； 故选：C． 67．（24-25七年级上·黑龙江·单元测试）（1）已知，，则的值为______． （2）若，，且，则______． 【答案】 2或 或 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了绝对值的性质，解题关键在于掌握其性质：一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系． （1）根据绝对值的意义求出的值，然后代入计算即可． （2）根据绝对值的性质求出、的值，然后代入进行计算即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∴或． 故答案为：或． （2）∵，． ∴或；或． 又∵， ∴，或． ∴或． 故答案为：或． 68．（22-23七年级上·广东·单元测试）a，b在数轴上的位置如图，化简． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了运用数轴比较大小以及化简绝对值，先由数轴得，再化简，最后运算加减，即可作答． 【详解】解：依题意， ∴ ∴ 69．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图． (1)用“”或“”填空：________0，_________0，___________0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2)0 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、有理数的减法运算、整式的加减运算 【分析】（1）根据数轴上点的位置得到，由此根据有理数四则运算法则进行求解即可； （2）根据（1）所求先去绝对值，然后根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，化简绝对值，整式的加减计算，有理数的四则混合计算，正确推出是解题的关键． 70．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【初步尝试】 （1）如果点表示数，将点向右移动5个单位长度得到点，那么终点表示的数是______； （2）如果点表示数2，将点先向左移动5个单位长度，再向右移动10个单位长度得到点，那么终点表示的数是______； 【深入研究】 （3）甲、乙两人借助数轴和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．如图，两人分别在数轴上挑选一个点作为游戏的起点：甲选择的游戏起点表示的数是，乙选择的游戏起点表示的数是2；然后两人进行“剪刀、石头、布”，移动规则如下： 设甲、乙两人共进行了次“剪刀、石头、布”（为正整数）． ①当时，其中平局一次，甲胜两次，求点最终位置表示的数，点最终位置表示的数，、两点间的距离； ②若在次“剪刀、石头、布”中，平局有次，甲胜有次，请用含、、的式子表示点和点最终表示的数；点和点会重合吗？如果能重合，请求出的值． 【答案】（1）；（2）7；（3）①点最终位置表示的数为；点最终位置表示的数为；，、两点间的距离为；②点A最终表示的数为，点B最终表示的数为，当A、B重合时，；当点A和点B最终表示的数相距2时，或 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、整式加减的应用、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，解一元一次方程，整式的加减计算 （1）用点A表示的数加上移到的距离即可得到答案； （2）用点A表示的数减去向左移动的距离再加上向右移动的距离即可得到答案； （3）①当时，其中平局一次，甲胜两次，乙胜一次，再根据移到规律分别求出点A和点B最终表示的数，再根据两点距离计算公式求解即可；②在m次“剪刀、石头、布”中，平局有x次，甲胜有y次，则乙胜次，再根据移到规律分别求出点A和点B最终表示的数，再根据两点距离计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵点A表示数，将点A向右移动5个单位长度到达点B， ∴点B表示的数为， 故答案为：； （2）∵点A表示数2，将A点先向左移动5个单位长度，再向右移动10个单位长度到达点B， ∴点B表示的数为， 故答案为：7； （3）①当时，其中平局一次，甲胜两次，乙胜一次，则点A最终位置表示的数为，点B最终位置求示的数为， ∴此时两点间的距离为 ∴点最终位置表示的数为；点最终位置表示的数为；，、两点间的距离为； ②在m次“剪刀、石头、布”中，平局有x次，甲胜有y次，则乙胜次， ∴点A最终表示的数为， 点B最终表示的数为， 当A、B重合时，则， 解得； 当点A和点B最终表示的数相距2时，则， ∴， 解得或 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记整式、单项式、多项式的概念及系数、次数的求法 · 合并同类项先找同类项，注意系数带符号 · 去括号时注意括号前是负号要变号 · 化简求值题先化简再代入，避免繁琐计算 · 规律探索题先列前几项找规律，再写一般式并验证 【作业1】．（25-26七年级下·北京·课堂例题）有下列式子： ； ； ； ； ； ．其中属于单项式的有____，属于多项式的有____，属于整式的有____．（填序号） 【答案】 ①⑤ ②④⑥ ①②④⑤⑥ 【知识点】整式的判断、单项式的判断、多项式的判断 【分析】根据单项式是数与字母的乘积的形式表示的代数式，单独的数字与字母也是单项式，可以判断出是单项式；根据几个单项式的和叫做多项式，可以判断出属于多项式的有；根据单项式和多项式统称整式，可以判断出属于整式的有． 【详解】解：单项式是数与字母的乘积的形式表示的代数式，单独的数字与字母也是单项式， 是与的积， 是单项式， 是、、的积， 是单项式， 属于单项式的有； 几个单项式的和叫做多项式， ，是单项式与的和， 是多项式， 是单项式与的和， 是多项式， 是单项式与的和， 是多项式， 属于多项式的有； 单项式和多项式统称整式， 属于整式的有． 中的分母中含有字母， 是分式，既不是单项式也不是多项式，也不是整式． 【点睛】本题主要考查了单项式、多项式、整式．解决本题的关键是熟练地掌握单项式、多项式、整式的定义． 【作业2】．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）已知关于，的单项式与的次数相同，求的值； （2）若是关于的四次单项式，求，的值，并写出这个单项式． 【答案】（1）；（2），， 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式，单项式的次数是字母指数的和． （1）根据单项式的次数，可得方程，根据解方程，可得答案． （2）根据单项式的定义列方程求解即可． 【详解】解：（1）关于，的单项式与的次数相同，单项式的次数是4， ， 解得； （2）是关于的四次单项式， ，，， 解得，． 单项式是． 【作业3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）解答题 (1)若单项式的次数与六次四项式的次数相同，求的值． (2)若关于的多项式与多项式的次数相同，且次数最高的项的系数也相同，求的值． 【答案】（1），；（2）． 【知识点】单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题主要考查多项式的次数、单项式的系数的定义，解决问题的关键是熟练掌握多项式的次数、单项式的系数的定义． （1）根据单项式和六次四项式次数相同求解； （2）先根据多项式的次数与最高次项的系数的定义求出的值． 【详解】解：（1）因为多项式的次数是6， ，解得． 由题意，得， 即， 解得． ． （2）多项式中次数最高的项是， 对于多项式， 当时，该多项式为，次数为，次数最高的项的系数为， 而多项式的次数最高的项的系数为，二者不相等，故； 当时，多项式中次数最高的项为， ， 解得． ． 【作业4】．（2024·河南新乡·模拟预测）下列整式与为同类项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查同类项的定义，根据字母及字母指数都相同的项叫同类项直接判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 与为同类项， 故选：D． 【作业5】．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各组式子中，不是同类项的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义是关键．把字母相同，且相同字母的指数也相同的项称为同类项，单独的两个常数项也是同类项；根据同类项的定义即可作出判断． 【详解】选项A，和字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项； 选项B，和字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项； 选项C，2025和两个常数项也是同类项； 选项D，和虽然字母顺序不同，但字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项． 故选：A 【作业6】．（26-27七年级上·全国·课后作业）判断下列各题中的两项是不是同类项： (1)4与； (2)与； (3)与； (4)与； (5)与． 【答案】(1)是 (2)不是 (3)不是 (4)是 (5)不是 【知识点】同类项的判断 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项为同类项进行判断即可. 【详解】（1）解：4与都是常数项，是同类项； （2）解：与，所含字母不同，不是同类项； （3）解：与，所含字母不同，不是同类项； （4）解：与所含字母相同，且字母的指数均为1，也相同，是同类项； （5）解：与，相同字母的指数不同，不是同类项； 【作业7】．（24-25七年级上·全国·课后作业）长方形的长是，周长是，则长方形的宽是________． 【答案】 【知识点】整式加减的应用 【分析】此题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解本题的关键．根据长方形的周长（长宽）列出关系式，即可得到结果． 【详解】解：长方形的长是，周长是， 长方形的宽为：， 故答案为：． 【作业8】．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段检测）定义：若，则称与是关于的“平衡数”．比如：3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与（为常数）始终关于常数的“平衡数”，则它们是关于_______的“平衡数”． 【答案】2 【知识点】整式加减的应用、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了整式的加减运算以及“平衡数”的定义，解题的关键是通过合并同类项后令含未知数的项的系数为0，求出常数k的值，进而确定平衡数n． 化简b的表达式，展开并整理；计算a与b的和，合并同类项；根据“始终关于常数n的平衡数”，令含项的系数为0，求出k；代入k的值，计算常数项，得到n． 【详解】解：由“平衡数”定义可知，为常数）． ∵ ∴ ∵a与b始终关于常数n的“平衡数” ∴含x的项系数必须为0（确保和为常数），即解得． 将代入常数项：，故． 故答案为：2． 【作业9】．（24-25八年级上·全国·期末）五千年文明，一座杭州城，溯源则见“良渚”．良渚便是这五千年文明的源头之一．如图是位于浙江省杭州市的良渚博物院的平面简化示意图，若良渚博物院的二分之一作为展厅，三分之一作为庭院，剩下的作为办公区域． (1)良渚博物院的面积是多少平方米？（用含a，b的式子表示） (2)若庭院地面的装修单价为每平方米m元，展厅和办公区域地面的装修单价为每平方米元，则良渚博物院地面装修费用为多少元？ 【答案】(1)平方米 (2)元 【知识点】整式加减的应用、单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）利用长方形的面积公式列式求解即可； （2）根据总费用=庭院地面的装修费用+展厅和办公区域地面的装修费用，即可求出结论． 【详解】（1）解： ． 答：良渚博物院的面积是平方米． （2）解： ． 答：良渚博物院地面装修费用为元． 【作业10】．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）数学活动课上，小海利用列表法研究一次式、的值随着的取值的变化情况． 根据表格，完成下列问题： (1)表格中的______； (2)从表格中可以发现，当的取值增大时，一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”），一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”）； (3)小海在研究时，得到这样一个结论：“当的值每增加1时，一次式减去一次式的差就增加6”，你同意小海的结论吗？请利用所学知识说明理由． 【答案】(1) (2)增大；减小 (3) 解：我同意小海的结论． 理由如下： ∵， 所以当x的值每增加1时，一次式减去一次式的差就增加6． 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减、代数式求值； （1）将代入即可． （2）根据表格数据分析即可． （3）两个代数式求差，得到，然后判断下结论即可． 【详解】（1）解：将代入得：． 故答案为：． （2）解：从表格中可以发现，当x的取值增大时，一次式的值增大，一次式的值减小； 故答案为：增大；减小． （3）略 【作业11】．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）若多项式的值与的值无关，则的值为______． 【答案】 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】此题考查了整式的加减，原式去括号合并后，根据结果与的值无关，确定出的值即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ∵多项式的值与的值无关， ∴，解得：， 故答案为：． 【作业12】．（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减中的化简求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查整式的混合运算，先根据整式的混合运算顺序和法则化简原式，再把x和y的值代入求值可得，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键． 【详解】解：原式 ． ， ， 当，时，原式． 【作业13】．（2024·山西长治·三模）如图是由相同的小木棒拼成的一组有规律的图案，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒…依此规律，第个图案中有 ___________根小木棒．（用含的代数式表示）    【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查列代数式，根据图案规律，写出第个图案中图形的个数是解题的关键； 根据图案找出规律即可． 【详解】解：第一个：， 第二个：， 第三个：， ∴第个图案中有个； 故答案为：． 【作业14】．（2025·山西运城·模拟预测）如图是用若干根相同长度的小木棒拼成的图案．第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒，，依此规律，第个图案中有______（用含的代数式表示）根小木棒． 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形规律；根据图案找出规律即可，根据图案规律，写出第个图案中图形的个数是解题的关键． 【详解】解：∵第个图案中有小木棒（根）， 第个图案中有小木棒（根）， 第个图案中有小木棒（根）， ， ∴第个图案中有小木棒（根）， 故答案为：． 【作业15】．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中菱形的个数是______个． 【答案】23 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，后一个图形比前一个图形多3个菱形，进而求出第个图形中菱形的个数，进行求解即可． 【详解】解：第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形， 故后一个图形比前一个图形多3个菱形， 所以第个图形中有个菱形， ∴第⑧个图案中菱形的个数是个； 故答案为：23． 【作业16】．（23-24八年级下·全国·课后作业）观察下面一列分式：，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 【答案】(1) (2) 由已知可得第n(n为正整数)个分式为∶． 理由如下： ∵分母的底数为y，次数是连续的正整数， 分子的底数是x，次数是连续的奇数， ∴第n(n为正整数)个分式为． 【知识点】数字类规律探索、分式的规律性问题 【分析】此题主要考查了分式的规律性问题以及数字规律的探索问题，得出分子与分母的变化规律即可解题． （1）根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系进而得出答案； （2）利用（1）中数据变化规律，进而得出答案． 【详解】（1）解：观察各分式的规律可得第5个分式为：， 第6个分式为． （2）略 【作业17】．（24-25七年级上·黑龙江·单元测试）（1）已知，，则的值为______． （2）若，，且，则______． 【答案】 2或 或 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了绝对值的性质，解题关键在于掌握其性质：一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系． （1）根据绝对值的意义求出的值，然后代入计算即可． （2）根据绝对值的性质求出、的值，然后代入进行计算即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∴或． 故答案为：或． （2）∵，． ∴或；或． 又∵， ∴，或． ∴或． 故答案为：或． 【作业18】．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【初步尝试】 （1）如果点表示数，将点向右移动5个单位长度得到点，那么终点表示的数是______； （2）如果点表示数2，将点先向左移动5个单位长度，再向右移动10个单位长度得到点，那么终点表示的数是______； 【深入研究】 （3）甲、乙两人借助数轴和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．如图，两人分别在数轴上挑选一个点作为游戏的起点：甲选择的游戏起点表示的数是，乙选择的游戏起点表示的数是2；然后两人进行“剪刀、石头、布”，移动规则如下： 设甲、乙两人共进行了次“剪刀、石头、布”（为正整数）． ①当时，其中平局一次，甲胜两次，求点最终位置表示的数，点最终位置表示的数，、两点间的距离； ②若在次“剪刀、石头、布”中，平局有次，甲胜有次，请用含、、的式子表示点和点最终表示的数；点和点会重合吗？如果能重合，请求出的值． 【答案】（1）；（2）7；（3）①点最终位置表示的数为；点最终位置表示的数为；，、两点间的距离为；②点A最终表示的数为，点B最终表示的数为，当A、B重合时，；当点A和点B最终表示的数相距2时，或 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、整式加减的应用、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，解一元一次方程，整式的加减计算 （1）用点A表示的数加上移到的距离即可得到答案； （2）用点A表示的数减去向左移动的距离再加上向右移动的距离即可得到答案； （3）①当时，其中平局一次，甲胜两次，乙胜一次，再根据移到规律分别求出点A和点B最终表示的数，再根据两点距离计算公式求解即可；②在m次“剪刀、石头、布”中，平局有x次，甲胜有y次，则乙胜次，再根据移到规律分别求出点A和点B最终表示的数，再根据两点距离计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵点A表示数，将点A向右移动5个单位长度到达点B， ∴点B表示的数为， 故答案为：； （2）∵点A表示数2，将A点先向左移动5个单位长度，再向右移动10个单位长度到达点B， ∴点B表示的数为， 故答案为：7； （3）①当时，其中平局一次，甲胜两次，乙胜一次，则点A最终位置表示的数为，点B最终位置求示的数为， ∴此时两点间的距离为 ∴点最终位置表示的数为；点最终位置表示的数为；，、两点间的距离为； ②在m次“剪刀、石头、布”中，平局有x次，甲胜有y次，则乙胜次， ∴点A最终表示的数为， 点B最终表示的数为， 当A、B重合时，则， 解得； 当点A和点B最终表示的数相距2时，则， ∴， 解得或 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章·整式加减·期中复习·基础巩固讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解整式、单项式、多项式的概念，能准确判断一个代数式是否为整式 · 掌握单项式的系数、次数与多项式的项、项数、次数的确定方法 · 理解同类项的概念，能正确合并同类项并去括号 · 熟练进行整式的加减运算，能对代数式化简求值 · 能运用整式加减解决与图形、实际情境相关的简单问题 📚 知识梳理 ☆ 1.整式与单项式 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式，单独一个数或字母也是单项式 单项式的系数：单项式中的数字因数；单项式的次数：所有字母的指数和 多项式：几个单项式的和；多项式的项、常数项、次数（最高次项的次数） 整式：单项式与多项式统称整式；分母含字母的代数式（如 1/x）不是整式 概念辨析例题：在 0、x、a+b、、y 这些代数式中，哪些是整式？ 答案：0、x、a+b、y 是整式， 不是整式 解析：分母中含有字母的代数式不是整式，x 表示一个数时是整式；单独一个数或字母都是单项式，单项式与多项式统称整式 ☆ 2.同类项与合并同类项 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项 合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数保持不变 合并同类项的步骤：找同类项、提系数、合并、检查 概念辨析例题：计算：3a2b - 2ab2 + 5a2b + 4ab2 答案：8a2b + 2ab2 解析：3a2b 与 5a2b 是同类项，系数相加得 8a2b；-2ab2 与 4ab2 是同类项，得 2ab2 ☆ 3.去括号与整式的加减 去括号法则：括号前是「+」号，去括号后各项符号不变；括号前是「-」号，各项符号都改变 整式加减的实质：去括号、合并同类项 求代数式的值：先化简，再把字母的值代入计算 概念辨析例题：化简：2(3a-2b) - (4a-3b) 答案：2a - b 解析：去括号得 6a - 4b - 4a + 3b，合并同类项得 2a - b ☆ 4.整式加减的应用 用整式表示图形周长、面积等数量关系 利用整式加减解决「无关型」问题：结果与某个字母无关时，含该字母项的系数为 0 整体代入：将某个代数式看作整体进行化简求值 概念辨析例题：一个长方形长为 a+3，宽为 a-1，求它的周长 答案：4a + 4 解析：周长 = 2[(a+3)+(a-1)] = 2(2a+2) = 4a + 4 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 单项式 数与字母的乘积组成的代数式 单独一个数或字母也是单项式；分母含字母不是单项式 单项式的系数 单项式中的数字因数 含字母的项如 -xy 系数是 -1 单项式的次数 所有字母的指数和 指数是 1 时通常省略不写，计算次数时要算上 同类项 所含字母相同且相同字母指数分别相同 与系数、字母排列顺序无关 合并同类项 系数相加，字母及指数不变 不是同类项不能合并 整式的加减 去括号、合并同类项 括号前是「-」号去括号要变号 ⚠️ 核心考点 【考点1】整式与单项式的概念（第1-15题） · 判断整式先看分母是否含字母，再按单项式、多项式分类 · 求单项式次数是所有字母指数之和，系数是数字因数（含符号） · 多项式的次数是最高次项的次数，项数是所有项（含常数项）的个数 1．（24-25七年级上·山东滨州·期末）下列单项式：，，，中，的同类项的系数是（   ） A． B．1 C．2 D． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）下列判断中，错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是单项式 C．是多项式 D．的次数是5 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．0不是单项式 B．的系数是 C．的次数是4 D．的系数是2 4．（24-25七年级上·黑龙江鸡西·阶段检测）已知多项式是关于的二次三项式，则k的值为（   ） A．2 B． C． D．无法确定 5．（24-25七年级上·广西南宁·阶段检测）多项式的次数、项数、最高次项的系数分别是（　　） A．2，4，3 B．3，4， C．3，4，5 D．2，4， 6．（25-26七年级上·吉林长春·期中）关于多项式的说法错误的是（    ） A．有三项，次数是4 B．常数项为9 C．不含一次项 D．各项分别是，，9 7．（25-26七年级下·北京·课堂例题）有下列式子： ； ； ； ； ； ．其中属于单项式的有____，属于多项式的有____，属于整式的有____．（填序号） 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）的系数是______，次数是_____；的系数是______，次数是______；的系数是______，次数是______． 9．（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）写一个系数是，次数是4次的单项式：__________. 10．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期中）多项式是______次______项式，按的升幂排列为______． 11．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中多项式有________个，次数最高的多项式为________（请填写序号），整式有________个． 12．（22-23七年级上·重庆九龙坡·周测）；；；；；；0；其中单项式有________个，多项式有________个． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）已知关于，的单项式与的次数相同，求的值； （2）若是关于的四次单项式，求，的值，并写出这个单项式． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）解答题 (1)若单项式的次数与六次四项式的次数相同，求的值． (2)若关于的多项式与多项式的次数相同，且次数最高的项的系数也相同，求的值． 15．（26-27七年级上·全国·课后作业）写出满足条件的单项式． (1)写出所有系数是2，且只含字母和的五次单项式； (2)系数是，含，两个字母，且的指数是2，单项式的次数是6； (3)系数是，次数是3，含，两个字母，且的指数是2． 【考点2】同类项与合并同类项（第16-27题） · 同类项只看字母与指数，与系数、顺序无关 · 由同类项求字母的值：令相同字母的指数相等列方程 · 合并时系数带符号相加，字母及指数原样保留 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）合并同类项时，依据的运算律是（   ） A．加法交换律 B．乘法交换律 C．乘法对加法的分配律 D．乘法结合律 17．（2025·浙江湖州·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 19．（2024·河南新乡·模拟预测）下列整式与为同类项的是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各组式子中，不是同类项的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 21．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）合并同类项：______． 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）单项式与的和是，则的值为______． 23．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）某水库水位第一天连续下降了，平均每小时下降；第二天连续上升了，平均每小时上升，这两天水位总的变化情况为______． 24．（2026·山东·中考真题）计算：________． 25．（25-26七年级上·上海·阶段检测）合并同类项：______． 26．（25-26六年级上·上海·单元复习）化简下列一次式： (1)； (2) 27．（26-27七年级上·全国·课后作业）判断下列各题中的两项是不是同类项： (1)4与； (2)与； (3)与； (4)与； (5)与． 【考点3】整式加减运算与应用（第28-40题） · 先去括号再合并同类项，注意括号前为负号时变号 · 用整式表示图形数量关系时先设字母再列式 · 结果与某字母无关时，该字母相关项的系数为 0 28．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，剩余部分沿虚线剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 29．（24-25七年级上·广东深圳·期中）在横线上填入合适的一次式：（________）． 30．（23-24七年级上·河南新乡·阶段检测）化简：______． 31．（24-25七年级上·全国·课后作业）长方形的长是，周长是，则长方形的宽是________． 32．（2025·天津南开·二模）计算的结果为_______． 33．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段检测）定义：若，则称与是关于的“平衡数”．比如：3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与（为常数）始终关于常数的“平衡数”，则它们是关于_______的“平衡数”． 34．（14-15七年级上·山东济宁·期末）计算： 35．（24-25七年级上·广东惠州·阶段检测）进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法，对于任何一种进制，就表示某一位置上的数运算时是逢 进一位．十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推， 进制就是逢 进一．为与十进制进行区分，我们常把用 进制表示的数写成． 类比于十进制，我们可以知道：进制表示的数中，右起第一位上的 1 表示，第二位上的 1 表示，第三位上的 1 表示，第四位上的 1 表示，故，即：转化为十进制表示的数为 如： ， ． 根据材料，完成以下问题： (1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数： ； ； (2)若一个六进制数与一个八进制数之和为666，则称这两个数互为“如意数”，试判断与是否互为“如意数”？若是，求出这两个数；若不是，说明理由． 36．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，为了方便学生停放自行车，学校建了一块长边靠墙的长方形停车场，其他三面用护栏围起，其中停车场的长为米，宽为米． (1)用含的代数式表示护栏的总长度． (2)若，每米护栏造价90元，求建此停车场所需护栏的费用． 37．（24-25八年级上·全国·期末）五千年文明，一座杭州城，溯源则见“良渚”．良渚便是这五千年文明的源头之一．如图是位于浙江省杭州市的良渚博物院的平面简化示意图，若良渚博物院的二分之一作为展厅，三分之一作为庭院，剩下的作为办公区域． (1)良渚博物院的面积是多少平方米？（用含a，b的式子表示） (2)若庭院地面的装修单价为每平方米m元，展厅和办公区域地面的装修单价为每平方米元，则良渚博物院地面装修费用为多少元？ 38．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）与的差是________． （2）与的和为________． 39．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）数学活动课上，小海利用列表法研究一次式、的值随着的取值的变化情况． 根据表格，完成下列问题： (1)表格中的______； (2)从表格中可以发现，当的取值增大时，一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”），一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”）； (3)小海在研究时，得到这样一个结论：“当的值每增加1时，一次式减去一次式的差就增加6”，你同意小海的结论吗？请利用所学知识说明理由． 40．（24-25七年级上·河南濮阳·阶段检测）阅读理解 【方法】有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项． 例如： ，M经过处理器得到； 【应用】若关于x的二次多项式M经过处理器得到N，根据以上方法，解决下列问题： （1）若 求 N． 【延伸】（2）已知 M是关于x的二次多项式，若N是M经过处理器得到的一次多项式，且满足，求k的值． 【考点4】化简求值与无关型（第41-45题） · 先化简再代入求值，避免先代入带来的计算量 · 「无关型」问题转化为对应项系数为 0 的方程 · 整体代入时注意符号与去括号的配合 41．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）若多项式的值与的值无关，则的值为______． 42．（23-24八年级下·浙江温州·开学考试）如果代数式，，那么代数式的值等于 _______ 43．（24-25九年级上·重庆黔江·阶段检测）我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式，，则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．已知多项式（a为常数），，M是N的“雅常式”，则M关于N的“雅常值”为____________． 44．（20-21七年级上·江苏宿迁·期末）先化简，再求值：，其中． 45．（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中，． 【考点5】规律探索（第46-63题） · 图形规律：找图形序号与数量的对应关系，写成关于 n 的整式 · 数字规律：观察相邻项差、比、幂的变化归纳通项 · 用整式表示规律后再代入求指定项 46．（24-25七年级上·全国·单元测试）观察下列算式： ， 根据上述算式中的规律，请你猜想的末尾数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 47．（24-25七年级下·重庆·阶段检测）下列图形是用黑色棋子摆成的，第①个图棋子数量为3个，第②个图棋子数量为6个，第③个图棋子数量为9个，…，按此规律推断，则第⑧个图棋子数量为（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 48．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，照样子摆三角形，摆12个三角形一共需要（　　）根小棒． A．24 B．25 C．36 49．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，一些点组成形如三角形的图形．如果图形的每条“边”上有n个点（包括两个顶点），那么这个图形中点的总数为s．当时，s的值为（    ） A．27 B．33 C．36 D．38 50．（25-26八年级上·全国·课后作业）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．已知有一种密码，将英文个小写字母，，…，依次对应，1，2，…，这个自然数（见表格）．例如，当明文中的字母对应的序号为时，将除以后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，如明文对应密文． 按上述规则，将明文“”译成密文后是（   ） A． B． C． D． 51．（24-25七年级上·全国·课后作业）观察图中五角星五个顶点所标的数字规律，可知数2024应在（   ） A．第404个五角星上的位置 B．第404个五角星上的位置 C．第405个五角星上的位置 D．第405个五角星上的位置 52．（23-24七年级上·河南新乡·期中）找规律，并按规律填上第5个数：，，，________． 53．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第6个“星阵”中的★的个数是______． 54．（2025·江西九江·二模）某景点的夜景灯图案是按一定规律连线组成的，如图，第①个图案一共有4个夜景灯，第②个图案一共有7个夜景灯，第③个图案一共有10个夜景灯…按此规律排列下去，第ⓝ个图案中夜景灯的个数为_____． 55．（24-25七年级上·上海青浦·期末）探索规律，并回答问题：观察下面各图形，我们会发现：图①空白部分小正方形的个数是；图②空白部分小正方形的个数是；图③空白部分小正方形的个数是；像这样继续排列下去，可以用含有字母的代数式表示为：______．（其中为正整数） 56．（2024·山西长治·三模）如图是由相同的小木棒拼成的一组有规律的图案，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒…依此规律，第个图案中有 ___________根小木棒．（用含的代数式表示）    57．（2025·山西运城·模拟预测）如图是用若干根相同长度的小木棒拼成的图案．第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒，，依此规律，第个图案中有______（用含的代数式表示）根小木棒． 58．（22-23七年级上·云南德宏·期末）观察下列图形：    它们是按一定规律排列的，依照此规律第15个图形共有多少______个★． 59．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中菱形的个数是______个． 60．（2024·安徽亳州·三模）图1有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图2，有个三角形，记作；再分别连接图2中间的小三角形三边中点得到图3，有个三角形，记作；……．      根据上述规律，解答下面的问题： (1)图4中有______个三角形，记作______． (2)猜想图中有______个三角形，记作______；（用含的代数式表示） (3)求的值．（结果用含的代数式表示） 61．（24-25七年级上·山东临沂·期中）如图①是年月份的日历，小明在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图②所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图①中的结果为________；将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值为________； (2)数学思考：小明探索（1）中运算的规律，其过程如下，请你将其补充完整． 设，则________，________，________． 求的值． (3)拓广探究：同学们利用小明的方法，借助图①中的日历，继续进行如下探究． 在日历中用“型框”框住位置如图③所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 62．（23-24八年级下·全国·课后作业）观察下面一列分式：，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 63．（2024七年级上·吉林·专题练习）公园中的一条小路使用正六边形、正方形、正三角形三种地砖按照如下方式铺设． (1)每增加一块正六边形地砖，正方形地砖会增加__________块，正三角形地砖会增加__________块； (2)若铺设这条小路用去a块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为__________块，正三角形地砖的数量为__________块；（用含a的代数式表示） (3)为了增加道路的趣味性，计划将所有正方形地砖换成创意地砖，已知每块正方形地砖的边长为，若铺设这条小路用去a块正六边形地砖，求创意地砖的面积为多少？若，且每平方米创意地砖的成本为12元，则需要多少元？ 【考点6】绝对值化简与数轴（第64-70题） · 先判断绝对值内式子的正负，再按法则去绝对值 · 结合数轴判断字母与式子的符号 · 含字母的绝对值化简结果要写成整式形式 64．（24-25六年级上·山东淄博·期末）下列各式中，①a；②；③0；④；⑤，整式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 65．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 66．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，数轴上，，三点所表示的数分别为，，，且，，则下列计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 67．（24-25七年级上·黑龙江·单元测试）（1）已知，，则的值为______． （2）若，，且，则______． 68．（22-23七年级上·广东·单元测试）a，b在数轴上的位置如图，化简． 69．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图． (1)用“”或“”填空：________0，_________0，___________0． (2)化简：． 70．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【初步尝试】 （1）如果点表示数，将点向右移动5个单位长度得到点，那么终点表示的数是______； （2）如果点表示数2，将点先向左移动5个单位长度，再向右移动10个单位长度得到点，那么终点表示的数是______； 【深入研究】 （3）甲、乙两人借助数轴和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．如图，两人分别在数轴上挑选一个点作为游戏的起点：甲选择的游戏起点表示的数是，乙选择的游戏起点表示的数是2；然后两人进行“剪刀、石头、布”，移动规则如下： 设甲、乙两人共进行了次“剪刀、石头、布”（为正整数）． ①当时，其中平局一次，甲胜两次，求点最终位置表示的数，点最终位置表示的数，、两点间的距离； ②若在次“剪刀、石头、布”中，平局有次，甲胜有次，请用含、、的式子表示点和点最终表示的数；点和点会重合吗？如果能重合，请求出的值． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记整式、单项式、多项式的概念及系数、次数的求法 · 合并同类项先找同类项，注意系数带符号 · 去括号时注意括号前是负号要变号 · 化简求值题先化简再代入，避免繁琐计算 · 规律探索题先列前几项找规律，再写一般式并验证 【作业1】．（25-26七年级下·北京·课堂例题）有下列式子： ； ； ； ； ； ．其中属于单项式的有____，属于多项式的有____，属于整式的有____．（填序号） 【作业2】．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）已知关于，的单项式与的次数相同，求的值； （2）若是关于的四次单项式，求，的值，并写出这个单项式． 【作业3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）解答题 (1)若单项式的次数与六次四项式的次数相同，求的值． (2)若关于的多项式与多项式的次数相同，且次数最高的项的系数也相同，求的值． 【作业4】．（2024·河南新乡·模拟预测）下列整式与为同类项的是（    ） A． B． C． D． 【作业5】．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各组式子中，不是同类项的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【作业6】．（26-27七年级上·全国·课后作业）判断下列各题中的两项是不是同类项： (1)4与； (2)与； (3)与； (4)与； (5)与． 【作业7】．（24-25七年级上·全国·课后作业）长方形的长是，周长是，则长方形的宽是________． 【作业8】．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段检测）定义：若，则称与是关于的“平衡数”．比如：3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与（为常数）始终关于常数的“平衡数”，则它们是关于_______的“平衡数”． 【作业9】．（24-25八年级上·全国·期末）五千年文明，一座杭州城，溯源则见“良渚”．良渚便是这五千年文明的源头之一．如图是位于浙江省杭州市的良渚博物院的平面简化示意图，若良渚博物院的二分之一作为展厅，三分之一作为庭院，剩下的作为办公区域． (1)良渚博物院的面积是多少平方米？（用含a，b的式子表示） (2)若庭院地面的装修单价为每平方米m元，展厅和办公区域地面的装修单价为每平方米元，则良渚博物院地面装修费用为多少元？ 【作业10】．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）数学活动课上，小海利用列表法研究一次式、的值随着的取值的变化情况． 根据表格，完成下列问题： (1)表格中的______； (2)从表格中可以发现，当的取值增大时，一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”），一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”）； (3)小海在研究时，得到这样一个结论：“当的值每增加1时，一次式减去一次式的差就增加6”，你同意小海的结论吗？请利用所学知识说明理由． 【作业11】．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）若多项式的值与的值无关，则的值为______． 【作业12】．（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中，． 【作业13】．（2024·山西长治·三模）如图是由相同的小木棒拼成的一组有规律的图案，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒…依此规律，第个图案中有 ___________根小木棒．（用含的代数式表示）    【作业14】．（2025·山西运城·模拟预测）如图是用若干根相同长度的小木棒拼成的图案．第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒，，依此规律，第个图案中有______（用含的代数式表示）根小木棒． 【作业15】．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中菱形的个数是______个． 【作业16】．（23-24八年级下·全国·课后作业）观察下面一列分式：，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 【作业17】．（24-25七年级上·黑龙江·单元测试）（1）已知，，则的值为______． （2）若，，且，则______． 【作业18】．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【初步尝试】 （1）如果点表示数，将点向右移动5个单位长度得到点，那么终点表示的数是______； （2）如果点表示数2，将点先向左移动5个单位长度，再向右移动10个单位长度得到点，那么终点表示的数是______； 【深入研究】 （3）甲、乙两人借助数轴和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．如图，两人分别在数轴上挑选一个点作为游戏的起点：甲选择的游戏起点表示的数是，乙选择的游戏起点表示的数是2；然后两人进行“剪刀、石头、布”，移动规则如下： 设甲、乙两人共进行了次“剪刀、石头、布”（为正整数）． ①当时，其中平局一次，甲胜两次，求点最终位置表示的数，点最终位置表示的数，、两点间的距离； ②若在次“剪刀、石头、布”中，平局有次，甲胜有次，请用含、、的式子表示点和点最终表示的数；点和点会重合吗？如果能重合，请求出的值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $