专题01 整式的加减（高效培优期中专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级上学期

专题01 整式的加减 考点01 整式的有关概念 考点02 合并同类项 考点03 多项式及多项式的排列 考点04 数字、图形规律探索 考点05 整式的加减法 考点06 整式加减的综合 考点01 整式的有关概念 1．在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法正确的是（　　） A．是次单项式 B．的系数是 C．是单项式 D．的系数是 3．下列代数式中，是单项式的是（   ） A． B． C． D． 4．在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 5．下列代数式中整式有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 6．的系数为_____________． 7．若单项式的系数是m，它的次数是n，则______． 8．一个一次式满足：①只含有一个字母；②常数项为正数；③当字母的值取1时，这个一次式的值等于．写出满足要求的一次式________．（写出一个即可） 考点02 合并同类项 1．下列选项中与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组式子中，（    ）不是同类项． A．和 B．和 C．和 D．和 3．下列说法中，正确的是（   ） A．0是整式 B．两个单项式的和一定是单项式 C．一定是偶数 D．与一定是同类项 4．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．合并同类一次项：____________． 7．如果关于x、y的单项式与的和是一个单项式，那么___________ . 8．已知，是常数，如果和是同类项，那么它们合并同类项后得______． 9．先去括号，再合并同类项：． 10．“整体思想”是一种重要的数学思想，它在多项式化简与求值有极为广泛的应用．例如：把看成一个整体，则． (1)把看成一个整体，请化简 ； (2)已知，求的值． 考点03 多项式及多项式的排列 1．在代数式、、、5、、中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．在式子、、、、、5、中一次式有（   ）个 A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 3．多项式是________次________项式． 4．在代数式中，一次项系数是________． 5．是一个五次多项式，则的值为_____________． 6．将多项式按字母降幂排列得_____________． 7．将多项式，按x的升幂排列为_______． 8．把多项式按字母a的降幂排列，第2项的次数是______． 9．已知多项式是六次三项式，求代数式的值． 10．如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，多项式的二次项系数是，一次项系数是，常数项是． (1) ， ， ； (2)在点，之间是否存在一点，使得点到的距离是点到的距离的2倍，若存在，求点在数轴上对应的数，若不存在，请说明理由； (3)点，，同时开始在数轴上运动，若点和点分别以每秒4个单位长度和3个单位长度的速度向左运动，点先以每秒2个单位长度的速度向左运动，当点到达原点后，立即以原速度向右运动，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，求在运动过程中，的最大值． 考点04 数字、图形规律探索 1．如图是一组有规律的图案，第（1）个图案由4个基础图形组成，第（2）个图案由7个基础图形组成，…，则第（2026）个图案中基础图形的个数是（     ） A．6076 B．6077 C．6078 D．6079 2．如图1，数轴上方有1个方块，记图1为；图2的数轴上方有1个方块，数轴下方有2个方块，记图2为；图3的数轴上方有4个方块，数轴下方有2个方块，记图3为；同理，记图4为．按照此规律第2026个图记为（     ） A． B． C． D． 3．石墨烯是突破硅基芯片极限的关键材料．二维石墨烯的晶体结构如下图所示（黑色圆点表示碳原子）：第①个图中有个碳原子，第②个图中有个碳原子，第③个图中有个碳原子，…，按照此规律，第⑧个图中碳原子的个数是（     ） A．30 B．34 C．38 D．42 4．图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（     ） A．49 B．36 C．25 D．15 5．观察下列等式：，个位数字为；，个位数字为；，个位数字为；，个位数字为；，个位数字为；，个位数字为…，根据其中规律可得的结果的个位数字是（     ） A． B． C． D． 6．已知是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如，2的差倒数是，的差倒数是，如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，……，以此类推，那么等于（     ） A．4 B． C． D． 7．观察表一，寻找规律，表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则的值为（     ） A．45 B．46 C．48 D．49 8．探索规律：根据图中箭头指向的规律，从到再到，箭头的方向是（     ） A． B． C． D． 9．已知整数满足下列条件：，，，，…以此类推，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．设是个给定的数，从这个数中每次或者取一个，或者取几个不同的数求和（每个数只能取一次），可以得到一个新数，这样共得到个新数，如果把它们从小到大依次排列起来是...那么第个数是（     ）． A． B． C． D． 11．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成6个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推． (1)图1的阴影部分的面积是___________；受此启发，得到的值___________； (2)若按这个方式继续分割下去，受前面问题的启发，可求得的值为___________； (3)请你利用图2，再设计一个能求的值的几何图形（要求分割方式与图1不同）． 12．在解决数学问题时，我们经常会用到“数形结合”的思想方法，它的核心在于建立“数”与“形”之间的关系，从而将抽象的数量关系用直观的图形表现出来． (1)如图1，为了计算的值，我们构造以下图形共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有 个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有个点，由此可得 ，用此方法，可求得 ______； (2)如图3，观察点阵图，回答下列问题： ①， ， ， 则______，______， ② ______（用含的代数式表示）； (3)如图4是一个边长为1的正方形，请借助图形求的值．（要求：画出示意图，借助示意图求出式子的运算结果） 13．观察下列算式，回答下列问题： _______． _______， (1)请完成题干中的填空； (2)的个位数字是________； (3)求的个位数字． 14．小红用110根长短相同的小木棍按照下图所示的方式，连续摆正方形或六边形，要求相邻的图形只有一条公共边． (1)探究摆正方形的规律：如图，小红用m根小木棍摆出了p个小正方形，请探索正方形个数与木棍个数的关系： ①填写表格 小正方形个数p 1 2 3 4 …… 所需小木棍根数 …… ②找规律：从表中数据可知，p个正方形所需木棍数为：______（用含p的式子表示）． (2)探究摆六边形的规律：如图，小红用剩下的小木棍摆出了n个六边形（连续摆放，相邻六边形只有一条公共边）； 请仿照第（1）问，摆1个六边形需6根，摆2个需11根，摆3个需16根．．．．．．则连续摆n个六边形所需木棍数为：______（用含n的式子） (3)探究可能摆法：小红先用一部分小木棍摆正方形，再用剩下小木棍摆六边形，且两种图形都至少摆1个，最后恰好用完110根小木棍， ①按照上述规律，110根小木棍与正方形数p和六边形数n的关系是：______（用同时含有n和p的式子表示）； ②小红摆放的正方形数p和六边形数n可以各是多少个（找出满足条件2种摆法即可）? 15．解答以下问题 (1)填在下列各图形中的3个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值是__________． (2)用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： ①第5个图形中有__________颗黑色棋子； ②若表示黑色棋子的个数，表示第个图形，请写出关于的关系式； ③第几个图形中有6081颗黑色棋子？请说明理由． 考点05 整式的加减法 1．化简： (1) (2) 2．化简． (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中，． 3．先化简，再求值． ，其中． 4．先化简，再求值：，其中，． 5．已知、、都是一次式，且，，． (1)化简； (2)求出当，时的值． 考点06 整式加减的综合 1．如图，有理数a，b，c在数轴上，且． (1)判断正负（用“<”或“>”填空）：______0；______0；______0． (2)化简：． 2．已知整式，整式，且的结果中不含x的一次项，求k的值． 3．已知：，，的值与字母取值无关，求的值． 4．—个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，根据以上条件完成下列各题： (1)_______________． (2)计算：_______________． (3)计算： 5．已知：代数式，代数式，代数式． (1)化简所表示的代数式； (2)若代数式的值与的取值无关，求出的值． 6．已知，，当取任意数值时，的值一定是定值，请求出这个定值. 7．已知，，， (1)求： (2)当，求（1）中结果的值． 8．已知都是一次式，且．先化简，再求出当，时的值． 9．父亲看到嘉悦在做一道数学题：“化简：”．请帮助嘉悦完成下面这两个任务，并说明理由． (1)父亲说：“如果这个问题的标准答案是常数，你能得到a的值么？” (2)父亲又说：“若代入，则这个式子的值是，你能求出a的值么？” 10．定义：若，则称与是关于5的平衡数． (1)4与________是关于5的平衡数，与________是关于5的平衡数（填一个含的代数式）； (2)若，，判断与是不是关于5的平衡数，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若为最大的负整数，直接写出的值． 11．已知整式A和 B满足： (1)求整式A（用含a， b 的代数式表示）；当时，求整式A的值； (2)比较A与B的大小． 12．已知代数式． (1)化简：； (2)若，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求x的值． 13．已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 14．“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为广泛．如已知，求的值．根据已知条件我们虽无法直接求出a与b的值，但可以将看作一个整体，其值即为2，而，将整体代入，即可求得． (1)已知，则______； (2)若，求的值； (3)设多项式，，，若的结果与x的取值无关，求的值． 15．阅读材料并完成下列各题： 如果整式A与整式B的和为实数a，那么称为a的“友好整式”．例如：因为与的和为1，所以与是1的“友好整式”；因为与的和为5，所以与是5的“友好整式”． (1)与______（填“是”或“不是”）2的“友好整式”； (2)写出一组是6的“友好整式”的整式； (3)若关于x的整式与是n的“友好整式”，求n的值． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式的加减 考点01 整式的有关概念 考点02 合并同类项 考点03 多项式及多项式的排列 考点04 数字、图形规律探索 考点05 整式的加减法 考点06 整式加减的综合 考点01 整式的有关概念 1．在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义，解题思路为根据单项式定义逐个判断题干中的整式，统计单项式个数即可得到答案，单项式定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，几个单项式的和为多项式． 【详解】解：∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵，是两个单项式的差，属于多项式，不是单项式 ∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵是单独的一个字母，是单项式 ∵是单项式和单项式的和，属于多项式，不是单项式 综上，单项式共有个，因此选C． 2．下列说法正确的是（　　） A．是次单项式 B．的系数是 C．是单项式 D．的系数是 【答案】C 【分析】根据单项式的定义、单项式的次数与系数的定义，逐一判断选项即可． 【详解】解：、中是常数，所有字母的指数和为，因此它是次单项式，故本选项说法错误，不符合题意； 、的数字因数是，因此系数为，不是，故本选项说法错误，不符合题意； 、根据定义，单独的一个数是单项式，因此是单项式，故本选项说法正确，符合题意； 、的数字因数是，因此系数为，不是，故本选项说法错误，不符合题意． 3．下列代数式中，是单项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的定义，由数与字母的积和字母与字母的积组成的代数式叫做单项式，由此逐项分析即可得出结果，熟练掌握单项式的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，是多项式，不是单项式，故不符合题意； B、是单项式，符合题意； C、分母含字母，不是单项式，故不符合题意； D、是多项式，不是单项式，故不符合题意； 故选：B． 4．在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 【答案】B 【分析】根据定义逐个判断各代数式的类型，再对比选项得到正确结论． 【详解】①是数与字母的积，是单项式，属于整式； ②是两个单项式的差，是多项式，属于整式； ③分母含有字母a，是分式，不是单项式； ④分母含有字母，是分式，不是多项式； ⑤中分母是常数，属于单项式，因此原式是三个单项式的和，是多项式， ∴A选项中③不是单项式，错误； B选项中②⑤都是多项式，正确； C选项中④不是多项式，错误； D选项中③④是分式，不是整式，错误． 5．下列代数式中整式有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【分析】本题考查了整式的识别；整式是分母中不含字母的代数式．逐个检查每个代数式，判断分母是否含有字母． 【详解】解：：分母为3（常数），是整式； ：无分母，是整式； ：分母为n（字母），不是整式； ：常数，是整式； ：分母为5（常数），是整式； ：多项式，无分母，是整式； ：常数，是整式； ：分母为（含字母），不是整式； ：单项式，是整式． ∴ 整式有7个（第1、2、4、5、6、7、9个）． 故选：B． 6．的系数为_____________． 【答案】 【分析】找出单项式中的数字因数即可得到结果，注是常数，不属于字母因数. 【详解】解：的系数为. 7．若单项式的系数是m，它的次数是n，则______． 【答案】 【分析】此题主要考查了单项式的系数和次数，代数式求值，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数， 根据单项式的系数和次数的定义确定m和n的值，再计算m的n次方即可求解． 【详解】解：∵单项式的系数是m，它的次数是n， ∴，， ∴． 故答案为：． 8．一个一次式满足：①只含有一个字母；②常数项为正数；③当字母的值取1时，这个一次式的值等于．写出满足要求的一次式________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一次式的概念．熟悉一次式的概念，根据一次式的值，推导并写出符合要求的一次式，是解题的关键。 设一次式为，其中和为常数，为字母。根据条件常数项，且当时，值为，代入得．由此关系选择合适常数即可． 【详解】解：设一次式形式为，常数项， 当时，，即， ∵， ∴， ∴取，则，得一次式为， 验证：常数项，当时，，满足条件． 故答案为：（答案不唯一）． 考点02 合并同类项 1．下列选项中与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，需依据“所含字母相同，且相同字母的指数也相同”的特征判断选项． 【详解】∵同类项的定义为所含字母相同，且相同字母的指数分别相等 ∴对各选项分析如下： A选项与中的指数不同，不是同类项． B选项与中、的指数均不同，不是同类项． C选项与所含字母为、，且的指数为2，的指数为1，符合同类项定义，是同类项． D选项比多含字母，不是同类项． 故选：C． 2．下列各组式子中，（    ）不是同类项． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查的是同类项的定义，准确理解“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项”是解题的关键．根据同类项的定义，对每个选项逐一判断，从而找出不是同类项的式子． 【详解】同类项要求字母部分完全相同， 选项：和均为常数项，无字母，是同类项； 选项：和的字母部分均为，指数相同，是同类项； 选项：含有字母，为常数项，无字母，字母部分不同，不是同类项； 选项：即，与的字母部分均为，指数相同，是同类项； 故选：． 3．下列说法中，正确的是（   ） A．0是整式 B．两个单项式的和一定是单项式 C．一定是偶数 D．与一定是同类项 【答案】A 【分析】本题考查整式、单项式、偶数和同类项的概念，整式是单项式和多项式的统称，而0是单项式，据此可判断A；根据与的和为，但是不是单项式可判断B；当时，不是偶数，据此可判断C；所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此可判断D． 【详解】解：A、0是单项式，故0是整式，原说法正确，符合题意； B、两个单项式的和不一定是单项式，例如与的和为，但是不是单项式，原说法错误，不符合题意； C、不一定是偶数，例如当时，不是偶数，原说法错误，不符合题意； D、和不是单项式，故二者不是同类项，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 4．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项的法则，只有同类项才能合并，合并时系数相加减，字母和字母的指数保持不变，根据法则逐一判断选项即可． 【详解】解：对选项A：，A错误； 对选项B：与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，B错误； 对选项C：，C错误； 对选项D：，D正确． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项和去括号，合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，去括号时，先把括号前面的系数的绝对值与括号内的每一项都相乘，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 6．合并同类一次项：____________． 【答案】 【详解】解：． 7．如果关于x、y的单项式与的和是一个单项式，那么___________ . 【答案】13 【分析】根据题意可知两个单项式为同类项，根据同类项的定义，得 和 ，求得，再代入求解即可． 【详解】解：由题意，得单项式 与 是同类项， ∴，， 解得， ∴． 8．已知，是常数，如果和是同类项，那么它们合并同类项后得______． 【答案】 【分析】本题考查同类项的定义，根据相同字母的指数必须相等，因此建立关于m和n的方程并求解，再计算合并后的系数． 【详解】解：∵和是同类项， ∴x的指数相等，y的指数相等． 即，． 解得．， 所以合并后为． 9．先去括号，再合并同类项：． 【答案】 【分析】本题考查了去括号及合并同类项，注意：括号前面有负号的，去括号时，括号里面的每一项都要变号．先去小括号，再去中括号，然后去大括号，最后合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 10．“整体思想”是一种重要的数学思想，它在多项式化简与求值有极为广泛的应用．例如：把看成一个整体，则． (1)把看成一个整体，请化简 ； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查合并同类项，代数式求值，掌握“整体思想”是解题的关键． （1）将看成一个整体，合并同类项即可； （2）将变形为，再将代入求值即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：． 考点03 多项式及多项式的排列 1．在代数式、、、5、、中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查多项式的判断，根据多项式的定义，几个单项式的和的形式，进行判断即可． 【详解】解：在代数式、、、5、、中，多项式有、、，共3个； 故选B． 2．在式子、、、、、5、中一次式有（   ）个 A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了单项式和多项式的次数，单项式的次数是单项式中所有字母指数之和，多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，解决本题的关键是根据单项式的次数和多项式的次数的定义分别求出每一个整式的次数，然后再进行判断． 【详解】解：在式子、、、、、、中， 的次数为，的次数为，的次数为，的次数为，不为整式，的次数为，不是整式， 次数为的整式有个． 故选：D． 3．多项式是________次________项式． 【答案】 三 三 【详解】解：∵多项式中，的次数为 的次数为，常数项的次数为， ∴最高次数为，故为三次多项式， ∵共有项， ∴是三项式， ∴多项式是三次三项式． 4．在代数式中，一次项系数是________． 【答案】 【分析】先确定代数式中各项的次数，找到一次项，再提取一次项的数字因数即可． 【详解】解：代数式包含三项，分别为，，， 其中是二次项，是一次项，是常数项， 一次项的数字因数为，因此一次项系数是． 5．是一个五次多项式，则的值为_____________． 【答案】 【分析】根据题中多项式为五次多项式，得到最高次项的次数为，据此列方程求解即可． 【详解】解：多项式的两项分别为与，的次数为，的次数为， 该多项式是五次多项式， 最高次项的次数为，可得，解得． 6．将多项式按字母降幂排列得_____________． 【答案】 【详解】解：将多项式按字母降幂排列得． 7．将多项式，按x的升幂排列为_______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列． 按x的指数从小到大的顺序排列各项即可． 【详解】解：多项式 中，各项的指数分别为：常数项中x的指数是0，一次项中x的指数是1，二次项中x的指数是2，三次项中x的指数是3．按x的升幂排列，指数从低到高为0，1，2，3， 因此按x的升幂排列为． 故答案为． 8．把多项式按字母a的降幂排列，第2项的次数是______． 【答案】3 【分析】本题考查了多项式的降幂排列． 首先将多项式按字母的降幂排列，确定第2项为，然后计算该项的次数，即所有变量的指数之和． 【详解】解：多项式按字母的降幂排列为， 其中第2项是，该项中的指数为2，的指数为1， 因此次数为． 故答案为：3． 9．已知多项式是六次三项式，求代数式的值． 【答案】 【分析】首先根据多项式是六次三项式确定的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵是六次三项式， ∴，且， 即 ，且， 当时，； 当时，； 综上，代数式的值为． 10．如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，多项式的二次项系数是，一次项系数是，常数项是． (1) ， ， ； (2)在点，之间是否存在一点，使得点到的距离是点到的距离的2倍，若存在，求点在数轴上对应的数，若不存在，请说明理由； (3)点，，同时开始在数轴上运动，若点和点分别以每秒4个单位长度和3个单位长度的速度向左运动，点先以每秒2个单位长度的速度向左运动，当点到达原点后，立即以原速度向右运动，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，求在运动过程中，的最大值． 【答案】(1)，，6 (2)存在，点在数轴上对应的数为 (3)20 【分析】（1）利用多项式的定义，即可求出，，的值； （2）存在，设点在数轴上对应的数是，根据点到的距离是点到的距离的2倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设运动时间为秒，分为及两种情况考虑．当时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，利用数轴上两点间的距离的定义，可得出，，将其代入中，可得出，结合，可得出；当时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，利用数轴上两点间的距离的定义，可得出，，将其代入中，可得出，综上，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵多项式的二次项系数是，一次项系数是，常数项是， ∴，，． 故答案为：，，6； （2）解：存在，理由如下： 设点在数轴上对应的数是， 根据题意得：， 解得：． ∴存在，点在数轴上对应的数为； （3）解：点C到原点的时间为秒， 设运动时间为秒， 当时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ∴，， ∴； 当时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ∴，， ∴， 综上所述，在运动过程中，的最大值为20． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，多项式的系数的概念以及列代数式，解题的关键是用代数式表示出点的位置以及线段长． 考点04 数字、图形规律探索 1．如图是一组有规律的图案，第（1）个图案由4个基础图形组成，第（2）个图案由7个基础图形组成，…，则第（2026）个图案中基础图形的个数是（     ） A．6076 B．6077 C．6078 D．6079 【答案】D 【分析】找到前几个图形的规律，进而即可求解． 【详解】解：第1个图案由4个基础图形组成，即， 第2个图案由7个基础图形组成，即， 第3个图案由10个基础图形组成，即， …， ∴第n个图案中的基础图形个数为， ∴第2026个图案中的基础图形个数为． 2．如图1，数轴上方有1个方块，记图1为；图2的数轴上方有1个方块，数轴下方有2个方块，记图2为；图3的数轴上方有4个方块，数轴下方有2个方块，记图3为；同理，记图4为．按照此规律第2026个图记为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合所给的图形发现，该组图形的规律为，第个图记为，n为正整数，令，进行计算求解即可． 【详解】解：根据题意得，第1个图记为， 第2个图记为， 第3个图记为， 第4个图记为， 以此类推， 第个图记为，n为正整数， 当，即时，， ∴第2026个图记为． 3．石墨烯是突破硅基芯片极限的关键材料．二维石墨烯的晶体结构如下图所示（黑色圆点表示碳原子）：第①个图中有个碳原子，第②个图中有个碳原子，第③个图中有个碳原子，…，按照此规律，第⑧个图中碳原子的个数是（     ） A．30 B．34 C．38 D．42 【答案】D 【分析】由前三个图总结出规律即可． 【详解】解：∵第①个图中有个碳原子，第②个图中有个碳原子，第③个图中有个碳原子， ∴每个图会比前一个图多个碳原子， ∴第⑧个图中，碳原子个数为（个）． 4．图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（     ） A．49 B．36 C．25 D．15 【答案】B 【详解】解：根据题意得：三角形数的第n个图中点的个数为； 正方形数第n个图中点的个数为， A：∵， ∴， ∵，， ∴不是三角形数，故A不符合题意； B：∵， ∴， ∵， ∴是三角形数，故B符合题意； C：∵， ∴， ∵，， ∴25不是三角形数，故C不符合题意； D：显然15不是平方数，不是正方形数，故D不符合题意． 5．观察下列等式：，个位数字为；，个位数字为；，个位数字为；，个位数字为；，个位数字为；，个位数字为…，根据其中规律可得的结果的个位数字是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，找出规律：按照每个数字循环，再结合即可确定答案． 【详解】解：，个位数字为； ，个位数字为； ，个位数字为； ，个位数字为； ，个位数字为； ，个位数字为； … 个位数字变化规律：按照每个数字循环， ， 的个位数字和为， 则的结果的个位数字为． 6．已知是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如，2的差倒数是，的差倒数是，如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，……，以此类推，那么等于（     ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据差倒数的定义计算出，可得这列数每3个数为一个循环，依次为，再求出2026除以3的商和余数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ……， 以此类推，可知这列数每3个数为一个循环，依次为， ∵， ∴． 7．观察表一，寻找规律，表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则的值为（     ） A．45 B．46 C．48 D．49 【答案】D 【分析】由表一得表二中的上面的数比下面的数小，所以表二是第列，表三中左边的上面的数比下面的数小，所以表三是第和列，即可求解． 【详解】解：因为表二中的上面的数比下面的数小，所以表二是第列，所以， 因为表三中左边的上面的数比下面的数小，所以表三是第和列，所以， 所以． 8．探索规律：根据图中箭头指向的规律，从到再到，箭头的方向是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意找到方向的变化规律，根据变化规律进行解答即可． 【详解】解：由图形可知：0、4、8、12、…，每个点到对应的下一个点的方向相同； 1、5、9、13、…，每个点到对应的下一个点的方向相同； 2、6、10、14、…，每个点到对应的下一个点的方向相同； 3、7、11、15、…每个点到对应的下一个点的方向相同． ，到的方向与1到2的方向相同，到的方向与2到3的方向相同．由图形可知1到2的方向向右，2到3的方向向下，则到的方向向右，到的方向向下． 9．已知整数满足下列条件：，，，，…以此类推，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据给定的递推公式和初始值，依次计算前若干项的数值．观察计算得到的前几项数值，按n为奇数、n为偶数两种情况分类，归纳出对应情况下的通项规律．判断2026属于奇数还是偶数，代入对应的通项公式，即可得到的结果． 【详解】寻找规律： 已知， ， ， ， ， ， ……， 可以总结出规律：当为正偶数时，． 代入， 得． 10．设是个给定的数，从这个数中每次或者取一个，或者取几个不同的数求和（每个数只能取一次），可以得到一个新数，这样共得到个新数，如果把它们从小到大依次排列起来是...那么第个数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题中要求个新数中的第个数，从小到大数比较困难，所以采用逆向推理：从最大的数算起，逐步得到第四大的数即可． 【详解】解：∵最大的数是：， 第二大的数是：， 第三大的数是：， 第四大的数是：， ∴第个数是． 11．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成6个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推． (1)图1的阴影部分的面积是___________；受此启发，得到的值___________； (2)若按这个方式继续分割下去，受前面问题的启发，可求得的值为___________； (3)请你利用图2，再设计一个能求的值的几何图形（要求分割方式与图1不同）． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】根据正方形面积为，各部分面积依次为，阴影部分为最后剩余部分．各部分面积之和等于正方形面积减去阴影部分面积，即减去最后一项．由此规律解答（1）、（2），并设计（3）的图案即可． 【详解】（1）解：正方形面积为， 部分①面积为，部分②面积为，部分③面积为， 部分④面积为，部分⑤面积为， 阴影部分面积为； ． （2）解：按此规律继续分割，最后一项为， ． （3）解：设计如下：画一个边长为的正方形， 第一步：用一条竖直线将正方形平分为左右两个矩形，左边矩形①面积为； 第二步：用一条水平线将右边矩形平分为上下两个小矩形，上方正方形②面积为； 第三步：用一条竖直线将右下矩形平分为左右两个更小矩形，左边矩形③面积为； 第四步：用一条水平线将剩余矩形平分为上下两个，上方正方形④面积为，剩余下方小正方形面积也为． ． 图略． 12．在解决数学问题时，我们经常会用到“数形结合”的思想方法，它的核心在于建立“数”与“形”之间的关系，从而将抽象的数量关系用直观的图形表现出来． (1)如图1，为了计算的值，我们构造以下图形共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有 个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有个点，由此可得 ，用此方法，可求得 ______； (2)如图3，观察点阵图，回答下列问题： ①， ， ， 则______，______， ② ______（用含的代数式表示）； (3)如图4是一个边长为1的正方形，请借助图形求的值．（要求：画出示意图，借助示意图求出式子的运算结果） 【答案】(1) (2)①，② (3)， 【分析】（1）根据图1图2的计算方法找到规律求解即可； （2）①根据前三项的规律求解即可；②根据①的规律求解即可． （3）把正方形按分为和两部分，依次类推分割求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①， ， ， ，， ②由① 可得； （3）解：由题意画出图形如下： 第一次将正方形分割为和两部分， 第二次将正方形的部分分割为和两部分， 第三次将正方形的部分分割为和两部分， 第四次将正方形的部分分割为和两部分， 由分割图形可知． 13．观察下列算式，回答下列问题： _______． _______， (1)请完成题干中的填空； (2)的个位数字是________； (3)求的个位数字． 【答案】(1)97，793 (2)3 (3)的个位数字为8 【分析】（1）直接进行计算即可解答； （2）从所给的算式可得：个位数字以5，3，5，7这4个数循环出现，再分析所求的式子进行求解即可． （3）由原式变形为，再根据（2）发现的规律求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ，，… ∴每4组算式结果个位数字按照5，3，5，7循环， ， 则的个位数字是3． （3）解： ∵每4组算式结果个位数字按照5，3，5，7循环， ∴，即每四组算式结果个位数字为0， ∵， ∴的个位数字为． 14．小红用110根长短相同的小木棍按照下图所示的方式，连续摆正方形或六边形，要求相邻的图形只有一条公共边． (1)探究摆正方形的规律：如图，小红用m根小木棍摆出了p个小正方形，请探索正方形个数与木棍个数的关系： ①填写表格 小正方形个数p 1 2 3 4 …… 所需小木棍根数 …… ②找规律：从表中数据可知，p个正方形所需木棍数为：______（用含p的式子表示）． (2)探究摆六边形的规律：如图，小红用剩下的小木棍摆出了n个六边形（连续摆放，相邻六边形只有一条公共边）； 请仿照第（1）问，摆1个六边形需6根，摆2个需11根，摆3个需16根．．．．．．则连续摆n个六边形所需木棍数为：______（用含n的式子） (3)探究可能摆法：小红先用一部分小木棍摆正方形，再用剩下小木棍摆六边形，且两种图形都至少摆1个，最后恰好用完110根小木棍， ①按照上述规律，110根小木棍与正方形数p和六边形数n的关系是：______（用同时含有n和p的式子表示）； ②小红摆放的正方形数p和六边形数n可以各是多少个（找出满足条件2种摆法即可）? 【答案】(1)①表格 p 1 2 3 4 木棍 4 7 10 13 ②规律： (2) (3)①；②方案1：，；方案2：， 【分析】（1）①通过观察图形的变化得到小正方形的个数与木棍的数量关系求解；②依据表格，找出小正方形个数与所需木棍之间的相应公式； （2）根据图形特点及小木棍变化数量得每多1个六边形需加5根，由此得解； （3）①结合（1）与（2）得到，化简即可；②将①的结果变形，得到，根据，，且p、n均为正整数，据此得到对应值． 【详解】（1）①表格 p 1 2 3 4 木棍 4 7 10 13 ②根据表格可知，每多一个小正方形多加3根小木棍， ∴p个正方形所需木棍数为：； （2）六边形：1个六边形需6根，每多1个六边形需加5根，式子； （3）①总木棍：正方形木棍＋六边形木棍 ，化简： ②由①得， ∵，，且p、n均为正整数， ∴能被3整除，108是3的倍数，故5n是3的倍数， ∴n是3倍数， 取：，； 取：，∴； 取：；，；，；，；，； 两组示例： 方案1：， 方案2：，． 15．解答以下问题 (1)填在下列各图形中的3个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值是__________． (2)用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： ①第5个图形中有__________颗黑色棋子； ②若表示黑色棋子的个数，表示第个图形，请写出关于的关系式； ③第几个图形中有6081颗黑色棋子？请说明理由． 【答案】(1)900 (2)①18 ； ②； ③第2026个图形中有6081颗黑色棋子 理由：令， 解得， 第2026个图形中有6081颗黑色棋子． 【分析】（1）根据图形写出，，…，由此即可得出规律； （2）①由图形可得第1个图形有黑色棋子颗，第2个图形有黑色棋子颗，第3个图形有黑色棋子颗，由此即可得出第5个图形黑色棋子颗数；②根据①得出规律即可；③令，求出的值即可． 【详解】（1）解：由图形可得：，，，，，…， ． （2）解：①由图形可得：第1个图形有黑色棋子颗， 第2个图形有黑色棋子颗， 第3个图形有黑色棋子颗， ∴第5个图形有颗黑色棋子； ②由①可得第n个图形有黑色棋子颗， ∴； ③略． 考点05 整式的加减法 1．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．化简． (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) ， 【分析】（1）原式合并同类项，即可得解； （2）原式去括号合并得到最简结果，把，的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式， ，， 原式． 3．先化简，再求值． ，其中． 【答案】； 【详解】先根据式子，去括号，再合并同类项，最后代值即可． ； ∵，， ∴原式． 4．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0 【分析】将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 5．已知、、都是一次式，且，，． (1)化简； (2)求出当，时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将，，代入，去括号合并同类项求出整式； （2）将，代入（1）中化简得到的中即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：由（1）得，， 将，代入得， ． 考点06 整式加减的综合 1．如图，有理数a，b，c在数轴上，且． (1)判断正负（用“<”或“>”填空）：______0；______0；______0． (2)化简：． 【答案】(1)<；=；> (2)0 【分析】（1）本题考查数轴，由a、b、c在数轴上的位置，即可判断和求解； （2）本题考查绝对值的概念，由绝对值的概念即可化简． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， 故答案为：<，=，>； （2）解：∵，，， ∴ ． 2．已知整式，整式，且的结果中不含x的一次项，求k的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，利用整式的加减计算法则求出的结果，再根据的结果中不含x的一次项，即含x的一次项的系数为0列式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵的结果中不含x的一次项， ∴， ∴． 3．已知：，，的值与字母取值无关，求的值． 【答案】11 【分析】本题主要考查了整式的无关项问题，先根据整式的混合运算计算出的值，再根据无关项计算出的值，代入计算即可求解． 【详解】解： ， ∵的值与字母取值无关， ∴， ∴， ∴． 4．—个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，根据以上条件完成下列各题： (1)_______________． (2)计算：_______________． (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）原式利用绝对值的性质解答即可； （2）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （3）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值． 【详解】（1）； 故答案为：； （2）原式； 故答案为：； （3）原式． 故答案为：． 【点睛】此题考查了有理数减法，相反数，以及绝对值，正确脱去绝对值符号是解本题的关键． 5．已知：代数式，代数式，代数式． (1)化简所表示的代数式； (2)若代数式的值与的取值无关，求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减、整式的无关问题，关键是灵活运用知识点解决问题； （1）将整式代入计算即可； （2）将整式代入计算化简，然后令项和项的系数分别为零即可求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴       ； （2）解：∵，， ∴ ， ∵上式与的取值无关， ∴， 即：， ∴． 6．已知，，当取任意数值时，的值一定是定值，请求出这个定值. 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，代数式求值，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题； 本题先求出的代数式，然后根据取任意数值时，的值一定是定值，求得和的值，进而求解定值； 【详解】解： ， ∵当取任意数值时，的值一定是定值， ∴，， ∴，， 即当，时，取任意数值时，的值一定是定值，定值. 7．已知，，， (1)求： (2)当，求（1）中结果的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式加减运算顺序和运算法则． （1）先根据去括号，合并同类项进行化简可得， （2）再将��的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：当时， ． 8．已知都是一次式，且．先化简，再求出当，时的值． 【答案】， 【分析】该题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是正确计算． 根据先化简，再代入，进行计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， 当，时， ． 9．父亲看到嘉悦在做一道数学题：“化简：”．请帮助嘉悦完成下面这两个任务，并说明理由． (1)父亲说：“如果这个问题的标准答案是常数，你能得到a的值么？” (2)父亲又说：“若代入，则这个式子的值是，你能求出a的值么？” 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对原式进行去括号，合并同类项，根据最后的答案为常数，可知的系数为0，从而求出a的值． （2）将代入化简后的式子中，得到一个关于a的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：原式 ∵标准答案是常数， ∴ 解得：． （2）由（1）可知：原式，把代入， 得：， 解得：． 10．定义：若，则称与是关于5的平衡数． (1)4与________是关于5的平衡数，与________是关于5的平衡数（填一个含的代数式）； (2)若，，判断与是不是关于5的平衡数，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若为最大的负整数，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)与是关于5的平衡数，理由如下： ， 所以与是关于5的平衡数． (3)7 【分析】（1）根据平衡数的定义进行求解即可； （2）根据整式加减运算法则求出，然后再进行判断即可； （3）先根据平衡数定义得出，再根据，得出，最后代入数据求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴4与1是关于5的平衡数； ∵， ∴与是关于5的平衡数； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为最大的负整数， ∴， ∴． 11．已知整式A和 B满足： (1)求整式A（用含a， b 的代数式表示）；当时，求整式A的值； (2)比较A与B的大小． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式的加减运算，熟知整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据题意可得，据此根据整式的加减运算法则求出A，再代入a、b的值求解即可； （2）利用作差法求出的结果，再判断结果的符号即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， 当时，． （2）解：由（1）得， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 12．已知代数式． (1)化简：； (2)若，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用整式的加减即可解答； （2）根据绝对值和偶次方的非负性，可得，代入（1）中化简的结果即可； （3）根据题意可得含有的项相加得零，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 解得，， 把，代入， ； （3）解：∵， 且的值与y的取值无关， ， 解得． 13．已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)结果的大小与的取值无关，0 【分析】本题主要考查整式的加减，涉及的知识有：去括号、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）由得，将C、A代入计算可得； （2）将A、B代入计算即可； （3）由化简后的代数式中无字母c可知其值与c无关，将a、b的值代入计算即可. 【详解】（1）解：∵ ∴ . 故的表达式为. （2）解： . 故正确的结果的表达式为. （3）解：由（2）得 ∵代数式中无字母c ∴其值与c无关是对的 将，代入得： . 14．“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为广泛．如已知，求的值．根据已知条件我们虽无法直接求出a与b的值，但可以将看作一个整体，其值即为2，而，将整体代入，即可求得． (1)已知，则______； (2)若，求的值； (3)设多项式，，，若的结果与x的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将所求代数式变形后整体代入已知条件计算； （2）先化简代数式，再整体代入已知条件求值； （3）先计算并合并同类项，根据结果与取值无关，得到对应各次项的系数为，再整体代入计算所求代数式的值． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：； （3）解： ， ∵的结果与的取值无关， ∴，， ∴，， ∴． 15．阅读材料并完成下列各题： 如果整式A与整式B的和为实数a，那么称为a的“友好整式”．例如：因为与的和为1，所以与是1的“友好整式”；因为与的和为5，所以与是5的“友好整式”． (1)与______（填“是”或“不是”）2的“友好整式”； (2)写出一组是6的“友好整式”的整式； (3)若关于x的整式与是n的“友好整式”，求n的值． 【答案】(1)不是 (2) (3) 【分析】（1）根据定义进行解答即可； （2）根据定义写出一组答案即可； （3）先进行整式的加法得到计算结果，根据定义得到，求出，进一步即可得到答案． 【详解】（1）解： ∴与不是2的“友好整式”； （2）解：∵， ∴是6的“友好整式”的整式； （3） 依题意可知：， ， ∴， ． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $