第10章 ·整式加减·期中复习·满分压轴讲义 ·2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第10章·整式加减·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能综合判断整式、单项式、多项式概念及同类项条件 · 掌握利用数轴与绝对值性质化简含字母的式子 · 熟练进行较复杂的整式加减运算与化简求值 · 能归纳数字与图形规律，用整式表示通项 · 会分析新定义运算与数轴动点等综合压轴问题 📚 知识梳理 ☆ 1.整式与同类项的综合判断 整式概念辨析：单项式、多项式、整式的包含关系 同类项判断：字母相同、相同字母指数分别相同 由同类项、系数次数条件建立方程求参数 概念辨析例题：若 2xa+1y3 与 -3x2yb 是同类项，求 a、b 答案：a = 1，b = 3 解析：同类项相同字母指数相等：a + 1 = 2 得 a = 1，b = 3 ☆ 2.绝对值化简与数轴 先由数轴确定字母的大小关系与正负 判断绝对值内代数式的符号，再脱绝对值 脱绝对值后合并同类项，结果写成整式 概念辨析例题：有理数 a、b 在数轴上对应点如图，a < 0 < b 且 |a| < |b|，化简 |a| - |a + b| 答案：a + 2b 的相反形式需要根据 |a| < |b| 判断 a + b > 0，结果为 -a - (a + b) = -2a - b 解析：a < 0 则 |a| = -a；a + b > 0 则 |a + b| = a + b，故原式 = -a - (a + b) = -2a - b ☆ 3.整式加减与化简求值 复杂整式加减：多重括号从内向外去 整体思想：把多项式看作整体合并、代入 无关型问题：结果与某字母无关则其系数为 0 概念辨析例题：若整式 (2x2 + ax - 3) - (bx2 + 2x - 1) 与 x 无关，求 a、b 答案：a = 2，b = 2 解析：合并得 (2 - b)x2 + (a - 2)x - 2，与 x 无关则 2 - b = 0、a - 2 = 0 ☆ 4.规律探索 图形规律：图形序号与元素个数建立函数式 数字规律：差分、倍数、幂次、杨辉三角等模型 用整式表示一般规律并代入求值 概念辨析例题：第 1 个图形有 3 个圆，第 2 个有 5 个，第 3 个有 7 个，第 n 个有几个圆？ 答案：2n + 1 解析：每次增加 2 个，第 n 个为 3 + 2(n - 1) = 2n + 1 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 同类项 字母相同且相同字母指数分别相同 与系数、顺序无关 绝对值化简 |x| = x(x≥0)，-x(x<0) 先定号再脱绝对值 整体代入 把多项式整体看作一个量 注意去括号变号 无关型 含某字母项系数为 0 系数为 0 时与字母无关 图形规律 个数 = f(n) 验证 n = 1、2 时成立 杨辉三角 两侧为 1，中间为两肩之和 按行展开系数对称 ⚠️ 核心考点 【考点1】整式与同类项的概念（第1-10题） · 逐项判断概念，警惕分母含字母的代数式 · 同类项与系数次数条件列方程求参 · 多项式的次数由最高次项决定 1．（2025·云南·三模）下列单项式中，的同类项是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）在0、x、、、、、这些代数式中，整式的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25七年级上·上海·期中）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）单项式的系数及次数分别是（   ） A．0，4 B．，4 C．3，4 D．－3，0 5．（23-24七年级上·河南郑州·期中）下列说法正确的是（　　） A．不是整式 B．系数是 C．的次数是6 D．不是单项式 6．（24-25七年级上·上海闵行·期中）下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·上海·期中）将整式按y降幂排列是_____________． 8．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）将整式按x的升幂排列为______． 9．（23-24七年级上·上海·单元测试）单项式的系数是_________，次数是_______． 10．（25-26七年级上·湖北黄石·期中）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”，例如：与是“强同类项”． (1)给出下列四个单项式：①，②，③，④．其中与是“强同类项”的是______（填写序号）； (2)若与是“强同类项”，求m的值． 【考点2】绝对值化简与数轴（第11-18题） · 先由数轴定号，再判断绝对值内式子的符号 · 脱绝对值后用整式表示，合并同类项 · 注意 |a - b| 的几何意义：数轴上两点距离 11．（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）下列说法正确的有（    ）个． ①互为相反数的两数的绝对值相等；②若，则a是负数；③有理数a的倒数是；④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 12．（23-24七年级上·四川达州·期中）若，则的值可能是（    ） A．1和3 B．和3 C．1和 D．和 13．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且，则下列结论中： ①；②；③；④．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（25-26六年级上·上海·期末）如图，已知有理数在数轴上的位置，则____． 15．（24-25六年级上·上海·期中）已知在数轴上点所对应的数为，点所对应的数为，…，点所对应的数为（为正整数）．请解答下列问题： (1)试写出点和所对应的数并比较它们的大小： _____，______，比较大小：______．（填入“＞”或者“＜”）． (2)如果我们把数轴上的点和点的距离记为且，点和点的距离记为且，…，点和点的距离记为且．请根据理解以下回答（直接写出结果）： ①_____； ②使成立的正整数共有_____个． 16．（23-24七年级上·山东德州·阶段检测）数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，若规定， (1)当时，则___ ， ___ ． (2)当时，则___ ． (3)当，且，求c的值． 17．（25-26六年级上·上海·阶段检测）【定义新知】 数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示的点与原点（即表示的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，也就是说，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是______，若，则的值为______； (2)当取最小值时，可以取的所有整数是______； 【解决问题】 (3)如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和市民广场，居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．小区有居民人，居民区有居民人，居民区有居民人，现因物流需要，需要在该公路上建一个菜鸟驿站，用于接收这个小区的快递．若快递的运输成本为元（千份•千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 18．（23-24七年级上·广东湛江·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点，，开始在数轴上运动，若点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为． ①_____，________．（用含的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． ③若点，，与三点同时开始在数轴上运动，点从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运动，请含的式子表示． 【考点3】整式加减运算与化简求值（第19-29题） · 多重括号由内向外去，符号逐层处理 · 无关型问题转系数为 0 的方程组 · 整体代入减少计算量 19．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，为直线上从左到右的三个点，，动点分别从两点同时出发，向右运动，点的速度是点的速度的3倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（     ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）边长分别为和a的两个正方形按如图所示的位置摆放，则图中的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 21．（2023·重庆铜梁·模拟预测）对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，如：，其中称a为“数1”，b为“数2”，+c为“数3”，为“数4”，为“数5”，若将任意两个数交换位置，则称这个过程为“换位运算”，例如：对上述代数式的“数1”和“数5”进行“换位运算”，得到：，则下列说法中正确的个数是（　　） ①代数式进行1次“换位运算”后，化简后结果可能不发生改变 ②代数式进行1次“换位运算”，化简后只能得到 ③代数式进行1次“换位运算”，化简后可能得到7种结果 A．0 B．1 C．2 D．3 22．（25-26七年级上·上海·期末）若，那么____． 23．（24-25七年级上·全国·期末）若多项式是关于的五次四项式，则________． 24．（25-26七年级上·上海·单元复习）计算：． 25．（第11讲一次式（四类知识点 六大题型 强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年六年级数学上册同步学与练（沪教版2024））中国古代窗花图案设计得简约又美观．如图（1），有一种图案是由 1个小正方形和4个形状相同的小长方形拼成的1个正方形窗花．如果窗花内小正方形的边长为，小长方形的长为，那么如图（2）， 由4个这样的窗花做成的正方形窗户的周长是多少？     26．（23-24六年级上·山东青岛·阶段检测）计算： (1)； (2) 27．（24-25七年级上·广东江门·期中）小亮准备完成题目“化简：”时，发现系数“▲”印刷不清楚． (1)小亮猜“▲”是3，请你化简：． (2)小亮的老师说：“你猜错了，我看到这道题标准答案的化简结果是一个固定的数．”那么原题中的“▲”是几？ 28．（25-26六年级上·上海·单元复习）甲、乙两车相距，同时出发，相向而行，甲车的速度是，乙车的速度是． (1)用一次式表示经过后两车的距离； (2)经过，两车的距离是多少？ 29．（25-26七年级上·河南新乡·期末）把看作一个整体，对下面的式子进行化简：．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， (1)把看成一个整体，求将合并的结果； (2)①已知，则 ； ②已知，求的值， (3)已知，求代数式的值． 【考点4】规律探索（第30-42题） · 图形规律写成关于 n 的整式 · 数字规律找差分、倍数、幂次关系 · 用特殊值验证通项 30．（25-26七年级上·上海松江·期中）如图所示的“杨辉三角”告诉了我们展开式的各项系数规律，如：第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数，恰好对应展开式中各项的系数．根据数表中前四行的数字所反映的规律计算：（      ）． A． B． C． D． 31．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段检测）我国宋代数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中记载了一个用数字排成的三角形，后人称之为“杨辉三角”（如图），此图揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，例如： 利用上述规律计算：（    ） A． B． C． D． 32．（25-26六年级上·上海松江·期末）如图所示，是一组玻璃杯子叠放的情形．观察图形并完成以下问题：有1个杯子时，高度为5厘米；有2个杯子叠放时，总高度为7厘米；有3个杯子叠放时，总高度为9厘米．按此规律，当叠放的杯子总高度为25厘米时，则杯子的个数是____． 33．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）如图是一根起点为1的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上第一行的数是1，第二行的数是13，第三行的数是43，…依此规律，第五行的数是______． 34．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，点C是线段上的一点，分别以为边在的同侧作正方形和正方形，连接、当时，三角形的面积记为；当时，三角形的面积记为；⋯；以此类推，当时，三角形的面积记为，那么的值为________． 35．（2024·上海杨浦·模拟预测）杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”： 则从上往下数第行，左边第二个数是_____． 36．（24-25六年级下·上海宝山·阶段检测）如图，圆的直径是，按图中各图规律画下去，第（）个图的周长（外围）是______（结果保留） 37．（25-26八年级上·上海虹口·阶段检测）已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……则的值为__________． 38．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）现有一列数，满足任意相邻三个数的和为同一常数，当，，时，________． 39．（22-23七年级上·浙江温州·期中）排球比赛时，甲方6名队员开始站位如图所示，比赛开始由甲方1号位的选手发球，再轮到甲方选手发球时是第二轮发球，此时甲方全体队员按顺时针方向转一个位置（转一圈），即1号位的队员到6号位置，6号位到5号位，，此时2号位队员到1号位置发球，以此类推，如果甲方选手小花开场时站在6号位置，记；甲方第二轮发球时，小花站在号位置，，这场比赛甲方发了21轮球，则的值为_______． 40．（25-26七年级上·上海·期末）以下节选的是教材第11章的阅读材料《贾宪三角》的部分内容．我们除了发现等式右边各项系数有规律之外，右边各项的次数也存在着规律． (1)请根据发现的规律尝试直接写出的计算结果： ． (2)有了以上的经验，我们可以进一步探究式子（n为大于1的正整数）计算结果的次数和系数的规律： i）它的计算结果是一个______次______项式；（分别用含n的式子填写） ii）它的计算结果各项系数之和为：______（用幂的形式表示） 41．（25-26七年级上·上海·期中）观察下面三行数： 2，，8，，32，，…； 4，，10，，34，，…； ，3，，15，，63，…． (1)每一行的第8个数分别为________，________，________； (2)第一行中相邻三个数的和为1536，求这三个数； (3)取每行数的第n个数，这3个数中最大的数记为a，最小的数记为b，若，求n的值． 42．（25-26六年级上·上海·阶段检测）黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”． (1)该“卡普雷卡尔黑洞数”为______； (2)设任选的三位数，不妨设，试说明其均可产生该黑洞数． 【考点5】新定义与综合（第43-45题） · 新定义按规则转化为整式或方程 · 数轴动点问题设参数表示位置 · 综合题拆分成若干基本问题逐段解决 43．（24-25七年级上·上海闵行·阶段检测）计算：． 44．（23-24七年级上·江西南昌·期末）我们定义：对于有理数数和，若，则称，互为“和积友好数”． 如：因为，所以和互为“和积友好数”． (1)下列各组数中，互为“和积友好数”的是________；（填序号） ①和    ②和 (2)若和互为“和积友好数”，求的值； (3)若和互为“和积友好数”，求式子的值． 45．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图，在正方形中放入两张边长分别为和的正方形纸片，已知，正方形的面积记为，阴影部分面积分别记为，． (1)用含，，的代数式分别表示，； (2)若，且，求的值； (3)若，试说明 是完全平方式． 💯 课后巩固 复习建议 · 压轴题先归类：概念、绝对值、规律、新定义 · 绝对值化简永远先定符号再动手 · 规律题务必用 n = 1、2 验证通项 · 无关型、含参问题转化为方程（组）求解 · 整式运算细心，去括号变号是失分重灾区 【作业1】．（25-26七年级上·全国·周测）下列说法中，正确的是（   ） A．0不是整式 B．与不是同类项 C．单项式的系数是-1，次数是4 D．是三次三项式 【作业2】．（23-24七年级上·上海闵行·阶段检测）下列各对单项式中不是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【作业3】．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如果单项式与单项式是同类项，那么这两个单项式的和是（　　） A． B． C． D．无法确定 【作业4】．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）单项式的系数和次数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【作业5】．（22-23七年级上·江苏南京·阶段检测）若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【作业6】．（23-24七年级上·广东佛山·阶段检测）探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和的两点距离为________； 则的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？ ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？ 结论应用（填空）： ①代数式的最小值是________； ②代数式的最小值是________； ③代数式的最小值是________． 【作业7】．（22-23七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）点 A、B在数轴上分别表示有理数a、b，点A与原点O两点之间的距离表示为 ，则 ，类似地，点B与原点O两点之间的距离表示为，则，点 A 与点B两点之间的距离表示为，请结合数轴，思考并回答以下问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示m和的两点之间的距离是 ； (3)数轴上表示m和的两点之间的距离是4，则有理数m是 ； (4)若x满足，则满足条件的所有整数x的和是 ． 【作业8】．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算：_____． 【作业9】．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）如图是小智同学当堂检测填空题的完成情况，她最后的得分是_________分． 姓名小智  得分________ 填空题（评分标准：每小题5分） （1） （2） （3） （4） 【作业10】．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如果与的和是单项式，那么________． 【作业11】．（25-26六年级上·上海宝山·期末）计算：． 【作业12】．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）某次社团活动中的有奖竞猜游戏共有4道单选题，分别有、、、四个选项，每道题10分，满分40分，答对得10分，答错得0分．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，已知乙同学答对了一半以上，则的值为（   ） A．50 B．40 C．30 D．20 【作业13】．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）将正整数按如下方式排列： 1 2   3   4 5   6   7   8   9 10  11  12  13  14  15  16 …… 则第45行倒数第二个数是_______． 【作业14】．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）探索下列式子的规律：，，，…，请计算： __________． 【作业15】．（23-24七年级上·广东惠州·期末）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事非”．如图，在边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为，，，…，的长方形彩色纸片（n为大于1的整数），运用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，可计算出__________． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章·整式加减·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能综合判断整式、单项式、多项式概念及同类项条件 · 掌握利用数轴与绝对值性质化简含字母的式子 · 熟练进行较复杂的整式加减运算与化简求值 · 能归纳数字与图形规律，用整式表示通项 · 会分析新定义运算与数轴动点等综合压轴问题 📚 知识梳理 ☆ 1.整式与同类项的综合判断 整式概念辨析：单项式、多项式、整式的包含关系 同类项判断：字母相同、相同字母指数分别相同 由同类项、系数次数条件建立方程求参数 概念辨析例题：若 2xa+1y3 与 -3x2yb 是同类项，求 a、b 答案：a = 1，b = 3 解析：同类项相同字母指数相等：a + 1 = 2 得 a = 1，b = 3 ☆ 2.绝对值化简与数轴 先由数轴确定字母的大小关系与正负 判断绝对值内代数式的符号，再脱绝对值 脱绝对值后合并同类项，结果写成整式 概念辨析例题：有理数 a、b 在数轴上对应点如图，a < 0 < b 且 |a| < |b|，化简 |a| - |a + b| 答案：a + 2b 的相反形式需要根据 |a| < |b| 判断 a + b > 0，结果为 -a - (a + b) = -2a - b 解析：a < 0 则 |a| = -a；a + b > 0 则 |a + b| = a + b，故原式 = -a - (a + b) = -2a - b ☆ 3.整式加减与化简求值 复杂整式加减：多重括号从内向外去 整体思想：把多项式看作整体合并、代入 无关型问题：结果与某字母无关则其系数为 0 概念辨析例题：若整式 (2x2 + ax - 3) - (bx2 + 2x - 1) 与 x 无关，求 a、b 答案：a = 2，b = 2 解析：合并得 (2 - b)x2 + (a - 2)x - 2，与 x 无关则 2 - b = 0、a - 2 = 0 ☆ 4.规律探索 图形规律：图形序号与元素个数建立函数式 数字规律：差分、倍数、幂次、杨辉三角等模型 用整式表示一般规律并代入求值 概念辨析例题：第 1 个图形有 3 个圆，第 2 个有 5 个，第 3 个有 7 个，第 n 个有几个圆？ 答案：2n + 1 解析：每次增加 2 个，第 n 个为 3 + 2(n - 1) = 2n + 1 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 同类项 字母相同且相同字母指数分别相同 与系数、顺序无关 绝对值化简 |x| = x(x≥0)，-x(x<0) 先定号再脱绝对值 整体代入 把多项式整体看作一个量 注意去括号变号 无关型 含某字母项系数为 0 系数为 0 时与字母无关 图形规律 个数 = f(n) 验证 n = 1、2 时成立 杨辉三角 两侧为 1，中间为两肩之和 按行展开系数对称 ⚠️ 核心考点 【考点1】整式与同类项的概念（第1-10题） · 逐项判断概念，警惕分母含字母的代数式 · 同类项与系数次数条件列方程求参 · 多项式的次数由最高次项决定 1．（2025·云南·三模）下列单项式中，的同类项是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查了同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键．同类项定义中的两个“相同”：①所含字母相同；②相同字母的指数相同．注意几个常数项也是同类项，同类项定义中的两个“无关”：①与字母的顺序无关，②与系数无关．据此解答即可． 【详解】解：A．与，相同字母的指数相同，是同类项，故符合题意； B．与相同字母的指数不同，故不符合题意；     C．与 字母的指数不同，故不符合题意； D．与字母的指数不同，故不符合题意； 故选A． 2．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）在0、x、、、、、这些代数式中，整式的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【知识点】整式的判断 【分析】此题考查了整式的定义，整式为单项式和多项式的统称，是有理式的一部分，在有理式中可以包含加、减、乘、除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母．据此进行判断即可． 【详解】解：在0、x、、、、、这些代数式中，整式有：0、x、、、，共5个， 故选：D 3．（24-25七年级上·上海·期中）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查整式的运算，包括同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等．根据相关运算法则计算即可． 【详解】解：∵ 选项A：，故A错误； ∵ 选项B：，故B错误； ∵ 选项C：，故C错误； ∵ 选项D：，与右边相等，故D正确． ∴ 正确的是D． 故选：D． 4．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）单项式的系数及次数分别是（   ） A．0，4 B．，4 C．3，4 D．－3，0 【答案】B 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题主要考查单项式，熟练掌握单项式的系数与次数的求法是解题的关键． 根据单项式的系数与次数可直接进行解答． 【详解】解：由单项式可得：系数为，次数为4； 故选B． 5．（23-24七年级上·河南郑州·期中）下列说法正确的是（　　） A．不是整式 B．系数是 C．的次数是6 D．不是单项式 【答案】D 【知识点】整式的判断、单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式，整式，根据单项式，整式的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A．是多项式，属于整式，故A不符合题意； B．系数是，故B不符合题意； C．的次数是7，故C不符合题意； D．不是单项式，是分式，故D符合题意； 故选：D． 6．（24-25七年级上·上海闵行·期中）下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，合并同类项，将各选项分别计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意； B、，原式计算错误，故B选项不符合题意； C、，原式计算错误，故C选项不符合题意； D、，原式计算正确，故D选项符合题意． 故选：D． 7．（24-25七年级上·上海·期中）将整式按y降幂排列是_____________． 【答案】 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题主要考查了多项式的排列问题，按照y的次数从高到低重新排列多项式即可得到答案． 【详解】解：将整式按y降幂排列是， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）将整式按x的升幂排列为______． 【答案】 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题主要考查了多项式的定义，注意把一个多项式按某一个字母的升幂排列是指按此字母的指数从小到大依次排列，常数项应放在最前面．按x的升幂排列，即根据x的指数从小到大排列各项，保持原有符号． 【详解】解：整式中，各项x的指数分别为：中x的指数为0，中x的指数为1，中x的指数为4，中x的指数为5. 所以，按x的指数升序排列为 ， 故答案为：， 9．（23-24七年级上·上海·单元测试）单项式的系数是_________，次数是_______． 【答案】 / 8 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式的知识，属于基础题．根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，即可得出答案． 【详解】解：单项式的系数是，次数是． 故答案为：，8 10．（25-26七年级上·湖北黄石·期中）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”，例如：与是“强同类项”． (1)给出下列四个单项式：①，②，③，④．其中与是“强同类项”的是______（填写序号）； (2)若与是“强同类项”，求m的值． 【答案】(1)①④ (2)或或5． 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查新定义，绝对值，单项式和同类项，理解新定义是解题的关键． （1）根据“强同类项”的概念判断即可； （2）根据“强同类项”的概念即可确定m的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴①与是“强同类项”， ∵， ∴②与不是“强同类项”， ∵， ∴③与是不“强同类项”， ∵，， ∴④与是“强同类项”， ∴①④与是“强同类项”， 故答案为：①④； （2）解：∵与是“强同类项”， ∴，，， ∴，，5． 【考点2】绝对值化简与数轴（第11-18题） · 先由数轴定号，再判断绝对值内式子的符号 · 脱绝对值后用整式表示，合并同类项 · 注意 |a - b| 的几何意义：数轴上两点距离 11．（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）下列说法正确的有（    ）个． ①互为相反数的两数的绝对值相等；②若，则a是负数；③有理数a的倒数是；④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、倒数 【分析】本题涉及相反数与绝对值的关系，倒数的定义，负数比较绝对值的大小． 判断每个说法的正误：①正确；②正确；③错误；④正确，共3个正确． 【详解】解：互为相反数的两个数在数轴上位于原点的两侧，且到原点的距离相等， 互为相反数的两数绝对值相等，①正确； 当时，， ，则为负数，②正确； 当时，有理数的倒数为，并非， 当时，有理数没有倒数，③错误； ，则，， 由得， ，④正确. 正确的有3个． 故选：． 12．（23-24七年级上·四川达州·期中）若，则的值可能是（    ） A．1和3 B．和3 C．1和 D．和 【答案】B 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，根据，即a、b全为正数时，或a、b为一正一负时，或a、b全负时分类讨论计算即可． 【详解】解：， 设时， ， 或时， ，或， 时， ， 综上可得：或， 故选：B． 13．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且，则下列结论中： ①；②；③；④．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、数轴上两点之间的距离、带有字母的绝对值化简问题、等式的性质1 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值化简，整式的加减应用，等式性质应用的知识﹒由数轴可得，，根据，得到，即可得到，故①错误；根据变形为，故②正确；根据得到，故③正确；根据，化简得故④错误，问题得解﹒ 【详解】解：由数轴可得，， ∵， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②正确； ∵ ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误﹒ 故选：B 14．（25-26六年级上·上海·期末）如图，已知有理数在数轴上的位置，则____． 【答案】/ 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减运算，根据数轴判断出的符号，再去绝对值，最后根据整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15．（24-25六年级上·上海·期中）已知在数轴上点所对应的数为，点所对应的数为，…，点所对应的数为（为正整数）．请解答下列问题： (1)试写出点和所对应的数并比较它们的大小： _____，______，比较大小：______．（填入“＞”或者“＜”）． (2)如果我们把数轴上的点和点的距离记为且，点和点的距离记为且，…，点和点的距离记为且．请根据理解以下回答（直接写出结果）： ①_____； ②使成立的正整数共有_____个． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、数字类规律探索、分式加减的实际应用 【分析】本题考查了新定义，绝对值的性质，数字规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据分别算出，，再比较与，即可作答． （2）①依题意，先得出，再分别代入，进行裂项加减，即可作答． ②由①得出，即，因为为正整数，故当时，则；当时，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，； ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①依题意， ； ； ， 依次类推： ． 故答案为：； ②由①得出， ∵ 则， 即， ∵为正整数， ∴当时，则； 当时，则； ∵， ∴， ∵为正整数， ∴使成立的正整数共有个． 故答案为：． 16．（23-24七年级上·山东德州·阶段检测）数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，若规定， (1)当时，则___ ， ___ ． (2)当时，则___ ． (3)当，且，求c的值． 【答案】(1)3，7 (2)2或 (3)c的值为或或或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、带有字母的绝对值化简问题、绝对值方程 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，化简绝对值，绝对值方程．熟练掌握化简绝对值，并分类讨论是解题的关键． （1）将值代入，计算求解即可； （2）由题意知，分当时，当时，当时，三种情况化简绝对值，计算求解即可； （3）由题意知，当时，，，然后分当时；当时；当时；三种情况化简绝对值，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， 故答案为：3，7； （2）解：由题意知，当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，， ∴， 当时，解得，； 当时，解得，； 故答案为：2或； （3）解：当时，，， 当时，，则， 解得，； 当时，，则， 解得，； 当时，，， ∴， 当时，解得，； 当时，解得，； 综上所述，c的值为或或或 ． 17．（25-26六年级上·上海·阶段检测）【定义新知】 数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示的点与原点（即表示的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，也就是说，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是______，若，则的值为______； (2)当取最小值时，可以取的所有整数是______； 【解决问题】 (3)如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和市民广场，居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．小区有居民人，居民区有居民人，居民区有居民人，现因物流需要，需要在该公路上建一个菜鸟驿站，用于接收这个小区的快递．若快递的运输成本为元（千份•千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离；或 (2) (3)菜鸟驿站建在点，点之间（包括B，C）才能使总运输和包装成本最低，最低成本是元． 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示有理数，综合性较强，难度较大，理清题意是解题的关键． ()根据点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离即可得解答； ()根据，即的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点之间的距离，按照题意即可得其值； ( )设菜鸟驿站在处，运输成本为元，根据题意可得，运输距离为，运输成本为，进一步对的取值范围分情况，比较值，求其最小值即可． 【详解】（1）解：式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离， ∵， 当在的左边时，则， ∴， 则； 当在的右边时，则， ∴， 则； 综上，的值为：或； 故答案为：数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离；或； （2）解：根据题意可得，，即的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点之间的距离， 当取最小值时， 则在和之间， ∴当时， 即可以取整数； 故答案为：． （3）设菜鸟驿站在处，运输成本为元，在市民广场左侧，则表示的数为；在市民广场右侧，则表示的数为；在市民广场右侧，则表示的数为； 根据题意可得，运输距离为：， ∵小区有居民人，居民区有居民人，居民区有居民人， 又∵快递的运输成本为元（千份•千米）， ∴运输成本为， ①当时，， 因为，所以随的增大而减小，当时，取得最小值，； ② 当时， 因为，所以随的增大而减小，当时，取得最小值，； ③当时 ，此时的值恒为； ④当时 ， 因为，所以随的增大而减大，当时，取得最小值，； 综合以上情况，菜鸟驿站建在点，点之间（包括B，C）才能使总运输和包装成本最低，最低成本是元． 18．（23-24七年级上·广东湛江·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点，，开始在数轴上运动，若点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为． ①_____，________．（用含的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． ③若点，，与三点同时开始在数轴上运动，点从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运动，请含的式子表示． 【答案】(1)，3 (2)①；；②不变，16；③或． 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、整式加减中的无关型问题 【分析】（1）根据最大的负整数是，单项式的次数是3，得到，得到，3即可． （2）①根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为，根据公式计算解答即可． ②根据题意，得，，代入，化简计算说明即可． ③根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，点M运动路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，点M起始数为0，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为，点M表示的数是，分点M在点A的左侧和右侧两种情形解答即可． 本题考查了最大的负整数，单项式的次数，数轴上运动路程，两点间的距离，分类思想，代数式的无关问题，熟练掌握运动路程与表示数的关系，两点间的距离公式是解题的关键． 【详解】（1）根据最大的负整数是，单项式的次数是3， 得，， 故答案为：，3． （2）①根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， 故答案为：；． ②根据题意，得，， ∴． 故的值不变，这个常数是16． ③根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，点M运动路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，点M起始数为0，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为，点M表示的数是，分点M在点A的左侧和右侧两种情形解答即可． 当在的右侧时，根据题意，得，， ∴． 当在的左侧时，根据题意，得，， ∴． 【考点3】整式加减运算与化简求值（第19-29题） · 多重括号由内向外去，符号逐层处理 · 无关型问题转系数为 0 的方程组 · 整体代入减少计算量 19．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，为直线上从左到右的三个点，，动点分别从两点同时出发，向右运动，点的速度是点的速度的3倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】整式加减的应用、线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差关系，根据题意可设，，则，，分点在线段上和点在线段的延线上，根据线段的和差可得出，即可得出答案． 【详解】解：设，则， ∵动点分别从两点同时出发，向右运动，点的速度是点的速度的3倍， ∴， 设，则， 当点在线段上时，如图， ， ， ∴； 当点在线段的延长线上时，且点M在点N的左侧，如图， ， ， ∴； 当点在线段的延长线上时，且点M在点N的右侧，如图， ， ， ∴； 综上，，即要知道的长，则只要线段的长即可． 20．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）边长分别为和a的两个正方形按如图所示的位置摆放，则图中的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】整式加减的应用、单项式乘多项式的应用 【分析】本题主要考查了整式的运算的应用，关键是用代数式表示出阴影部分的面积．根据已知图形得出阴影部分的面积是：求出即可． 【详解】解：边长分别为和a的两个正方形，阴影部分的面积是： ， 故选：A． 21．（2023·重庆铜梁·模拟预测）对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，如：，其中称a为“数1”，b为“数2”，+c为“数3”，为“数4”，为“数5”，若将任意两个数交换位置，则称这个过程为“换位运算”，例如：对上述代数式的“数1”和“数5”进行“换位运算”，得到：，则下列说法中正确的个数是（　　） ①代数式进行1次“换位运算”后，化简后结果可能不发生改变 ②代数式进行1次“换位运算”，化简后只能得到 ③代数式进行1次“换位运算”，化简后可能得到7种结果 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减，理解新定义及整式的运算是解题的关键．根据括号外面是“+”，去括号不改变括号里面式子的符号；括号外面是“”，去括号改变括号里面式子的符号；依此即可求解． 【详解】解：①代数式进行一次“换位运算”，当b、c进行“换位运算“，时，与原结果相等， 故①符合题意； ②在代数式中，将任意两个数交换位置，均不会改变每个数的符号，故化简后只能得到一种结果，均为，故②符合题意； ③代数式中，有三种情况： （1）a与b进行换位思考以及三个数中任意两个进行换位思考，化简后只有1种结果，均为：； （2）a与分别进行换位思考，化简后得到3种结果，分别为： ； （3）b与分别进行换位思考，化简后得到3种结果，分别为：， 故该代数式共得到7种结果，故③符合题意； 故选：D． 22．（25-26七年级上·上海·期末）若，那么____． 【答案】/ 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，根据题意可得，据此根据整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 23．（24-25七年级上·全国·期末）若多项式是关于的五次四项式，则________． 【答案】 【知识点】多项式系数、指数中字母求值、合并同类项 【分析】本题考查了多项式的项、项的系数和次数的定义．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数，根据多项式的项、项的次数和系数的定义解答即可． 【详解】解：由于是关于的五次四项式， 多项式中最高次项的次数是5次，二次项的系数的值是0， ∴，， ∴， 则． 故答案为：． 24．（25-26七年级上·上海·单元复习）计算：． 【答案】 【知识点】合并同类项、去括号 【分析】本题考查了去括号、合并同类项，熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则是解题的关键．根据去括号、合并同类项的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 25．（第11讲一次式（四类知识点 六大题型 强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年六年级数学上册同步学与练（沪教版2024））中国古代窗花图案设计得简约又美观．如图（1），有一种图案是由 1个小正方形和4个形状相同的小长方形拼成的1个正方形窗花．如果窗花内小正方形的边长为，小长方形的长为，那么如图（2）， 由4个这样的窗花做成的正方形窗户的周长是多少？     【答案】 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式以及整式加减的应用，根据图形先得出一个窗花的边长，再得出窗户的边长，即可得出周长． 【详解】解：小正方形的边长为，小长方形的长为， ∴小长方形的宽为， ∴由4个这样的窗花做成的正方形窗户的边长为， ∴由4个这样的窗花做成的正方形窗户的周长为． 26．（23-24六年级上·山东青岛·阶段检测）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】 本题考查整式的加减运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． （1）根据整式的加减运算法则即可求出答案． （2）根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 27．（24-25七年级上·广东江门·期中）小亮准备完成题目“化简：”时，发现系数“▲”印刷不清楚． (1)小亮猜“▲”是3，请你化简：． (2)小亮的老师说：“你猜错了，我看到这道题标准答案的化简结果是一个固定的数．”那么原题中的“▲”是几？ 【答案】(1)． (2)5． 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了整式加减的不含与无关型问题，理解整式的特征是解题的关键． （1）根据整式减法的运算直接计算即可； （2）根据结果是常数进行化简整理即可得到结果． 【详解】（1） ； （2） ∵化简结果是一个固定的数 ∴，解得： 28．（25-26六年级上·上海·单元复习）甲、乙两车相距，同时出发，相向而行，甲车的速度是，乙车的速度是． (1)用一次式表示经过后两车的距离； (2)经过，两车的距离是多少？ 【答案】(1)经过，两车的距离为 (2)经过，两车的距离是 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查了整式的加减的应用，解决本题的关键是根据题意正确列出代数式， （1）根据题意列出代数式，并进行计算即可； （2）代入求值即可； 【详解】（1）根据题意，经过后两车的距离为 ． 答：经过，两车的距离为； （2）因为，时， 有． 答：经过，两车的距离是 29．（25-26七年级上·河南新乡·期末）把看作一个整体，对下面的式子进行化简：．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， (1)把看成一个整体，求将合并的结果； (2)①已知，则 ； ②已知，求的值， (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)①2025；② (3) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、合并同类项 【分析】本题考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则以及整体代入思想． （1）把看成一个整体，根据乘法分配律的逆运算，即可进行化简； （2）①把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可；②把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； （3）将代数式提取一个，化为，再将，整体代入计算即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：① ， ， 故答案为：2025； ②， ； （3）解： ，， ． 【考点4】规律探索（第30-42题） · 图形规律写成关于 n 的整式 · 数字规律找差分、倍数、幂次关系 · 用特殊值验证通项 30．（25-26七年级上·上海松江·期中）如图所示的“杨辉三角”告诉了我们展开式的各项系数规律，如：第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数，恰好对应展开式中各项的系数．根据数表中前四行的数字所反映的规律计算：（      ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、数字类规律探索 【分析】本题考查了整式中数字类规律探索,求代数式的值，理解“杨辉三角”关于展开式的系数规律是解题的关键．根据数表中第四行的数字所反映的规律，及，令，，即可求解． 【详解】解：由数表可知 令，， 则 ． 故选：A． 31．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段检测）我国宋代数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中记载了一个用数字排成的三角形，后人称之为“杨辉三角”（如图），此图揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，例如： 利用上述规律计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了多项式乘方的系数规律问题，根据图形得出，进而代入计算即可求解，解题的关键是根据题意正确分析出各项系数的有关规律． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 32．（25-26六年级上·上海松江·期末）如图所示，是一组玻璃杯子叠放的情形．观察图形并完成以下问题：有1个杯子时，高度为5厘米；有2个杯子叠放时，总高度为7厘米；有3个杯子叠放时，总高度为9厘米．按此规律，当叠放的杯子总高度为25厘米时，则杯子的个数是____． 【答案】11 【知识点】图形类规律探索、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知杯子数每增加1，则总高度增加2厘米，进而可得有n个杯子叠放时，总高度为厘米，再根据题意建立方程求解即可． 【详解】解：有1个杯子时，高度为厘米； 有2个杯子叠放时，总高度为厘米； 有3个杯子叠放时，总高度为厘米； ……， 以此类推，可知有n个杯子叠放时，总高度为厘米； 当叠放的杯子总高度为25厘米时，则，解得， ∴当叠放的杯子总高度为25厘米时，则杯子的个数是11， 故答案为：11． 33．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）如图是一根起点为1的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上第一行的数是1，第二行的数是13，第三行的数是43，…依此规律，第五行的数是______． 【答案】157 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了数字变化的规律探索，找出隐含的规律是解题的关键．观察数轴可得，所有的数字都是奇数，第一行的数是1，第二行的数是1向右数第个数，第三行的数是13向右数第个数，第四行的数是43向右数第个数……按照这样的规律依次计算即可得到结论． 【详解】解：第一行的数是1， 第二行的数是1向右数第个数，为第个奇数，即， 第三行的数是13向右数第个数，为第个奇数，即， 第四行的数是43向右数第个数，为第个奇数，即， 第五行的数是91向右数第个数，为第个奇数，即， ∴第五行的数是157． 故答案为：157． 34．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，点C是线段上的一点，分别以为边在的同侧作正方形和正方形，连接、当时，三角形的面积记为；当时，三角形的面积记为；⋯；以此类推，当时，三角形的面积记为，那么的值为________． 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及三角形的面积，令的长为a，进一步表示出，据此进行计算即可． 【详解】解：由题知， 令， 则     ， 所以 故答案为： 35．（2024·上海杨浦·模拟预测）杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”： 则从上往下数第行，左边第二个数是_____． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律题，根据题意可知第行左边第个数为，由此可得第行第个数为，据此求解即可，正确找到规律是解题的关键． 【详解】解：由第行左边第个：， 第行左边第个：， 第行左边第个：， 第行左边第个：， 第行左边第个：， ∴第行左边第个：， 则第行第个数为， 故答案为：． 36．（24-25六年级下·上海宝山·阶段检测）如图，圆的直径是，按图中各图规律画下去，第（）个图的周长（外围）是______（结果保留） 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查圆的周长，规律的探索，熟练根据题意找出图形周长的规律是解题的关键．先根据图形得出图形外围部分的圆弧可以通过平移组成一个完整圆，再找出图形外围部分的线段长总和的规律，即可解答． 【详解】解：如图， 图中图形外围部分的圆弧可以通过平移组成一个完整圆，周长为， 图1中图形外围部分的线段长总和为； 图2中图形外围部分的线段长总和为； 图3中图形外围部分的线段长总和为； 图4中图形外围部分的线段长总和为； 图中图形外围部分的线段长总和为； 则第个图的周长（外围）是， 故答案为：． 37．（25-26八年级上·上海虹口·阶段检测）已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……则的值为__________． 【答案】2025 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类规律，准确计算、发现规律是解题的关键． 先计算前几组数据，然后发现每三次变换为一个循环，然后运用规律解答即可． 【详解】解：根据题意，得，，故数组； ，，故数组； ，，故数组； ，，故数组； ∴每3次变换一个循环，且，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2025． 38．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）现有一列数，满足任意相邻三个数的和为同一常数，当，，时，________． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、数字类规律探索、数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据题意得，，，依次可求出这一列数的所有的数，代入即可求解． 【详解】解：满足任意相邻三个数的和为同一常数， ， ， ， 解得：， ， ， 同理可求： ， ， ， ． 39．（22-23七年级上·浙江温州·期中）排球比赛时，甲方6名队员开始站位如图所示，比赛开始由甲方1号位的选手发球，再轮到甲方选手发球时是第二轮发球，此时甲方全体队员按顺时针方向转一个位置（转一圈），即1号位的队员到6号位置，6号位到5号位，，此时2号位队员到1号位置发球，以此类推，如果甲方选手小花开场时站在6号位置，记；甲方第二轮发球时，小花站在号位置，，这场比赛甲方发了21轮球，则的值为_______． 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】此题主要考查了图形的变化规律，根据题意列举发现发球轮数与所占位置的规律是解题关键．分别列举出发球与所占位置的规律，进而得出两者之间的数字规律进而得出答案． 【详解】解：小花上场时，站在6号位置，第1轮发球时，站在⑥号位置，则； 第2轮发球时，站在⑤号位置，则； 第3轮发球时，站在④号位置，则； 第4轮发球时，站在③号位置，则； 第5轮发球时，站在②号位置，则； 第6轮发球时，站在①号位置，则； 第7轮发球时，站在⑥号位置，则； 第8轮发球时，站在⑤号位置，则； 由此可得，每6轮重复出现相应的位置上， ，， ． 故答案为：78 40．（25-26七年级上·上海·期末）以下节选的是教材第11章的阅读材料《贾宪三角》的部分内容．我们除了发现等式右边各项系数有规律之外，右边各项的次数也存在着规律． (1)请根据发现的规律尝试直接写出的计算结果： ． (2)有了以上的经验，我们可以进一步探究式子（n为大于1的正整数）计算结果的次数和系数的规律： i）它的计算结果是一个______次______项式；（分别用含n的式子填写） ii）它的计算结果各项系数之和为：______（用幂的形式表示） 【答案】(1) (2)i）n，；ii） 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索、多项式的项、项数或次数、计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查了数字变化的规律、列代数式及多项式，能根据题意得出各式计算结果的系数变化规律是解题的关键． （1）根据所给式子，观察其各项系数，发现规律即可解决问题． （2）①根据所给式子，观察计算结果分别为几次几项式，发现规律即可解决问题；②分别求出所给式子计算结果的各项系数之和，发现规律即可解决问题． 【详解】（1）解：观察所给各式可知， 计算结果中的各项系数依次为1，1， 计算结果中的各项系数依次为1，2，1， 计算结果中的各项系数依次为1，3，3，1， 计算结果中的各项系数依次为1，4，6，4，1， 由此可知，计算结果中的各项系数依次为1，5，10，10，5，1， 即． 故答案为：． （2）解：i）由题知， 计算结果是一个一次二项式， 计算结果中是一个二次三项式， 计算结果中是一个三次四项式， 计算结果是一个四次五项式， 所以计算结果是一个n次项式． 故答案为：n，． ii）计算结果各项系数之和为， 计算结果各项系数之和为， 计算结果各项系数之和为， 计算结果各项系数之和为， 所以计算结果各项系数之和为． 故答案为：． 41．（25-26七年级上·上海·期中）观察下面三行数： 2，，8，，32，，…； 4，，10，，34，，…； ，3，，15，，63，…． (1)每一行的第8个数分别为________，________，________； (2)第一行中相邻三个数的和为1536，求这三个数； (3)取每行数的第n个数，这3个数中最大的数记为a，最小的数记为b，若，求n的值． 【答案】(1) ，，255 (2)512，，2048 (3)8 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查数字规律的探索和代数式的求解。第一行数的规律是第n个数为，第二行数的规律是第一行对应数加2，第三行第n个数为． （1）直接计算第8个数； （2）通过设未知数，利用相邻三个数的和列方程求解； （3）需要分n为奇数和偶数两种情况讨论大小关系，再解方程． 【详解】（1）解：第一行第n个数为，第8个数为； 第二行第n个数为第一行第n个数加2，第8个数为； 第三行第n个数为，第8个数为． 故答案为：，，255． （2）设第一行第n个数为，则相邻三个数之和为． 令， 解得． ∵且， ∴． 这三个数分别为： 第9个数， 第10个数， 第11个数． （3）设第一行第n个数为， 第二行第n个数为， 第三行第n个数为． 当n为奇数时，，，，最大数，最小数． 则， 解得，无整数解． 当n为偶数时，，最大数，最小数． 则， 解得，， ∴． 42．（25-26六年级上·上海·阶段检测）黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”． (1)该“卡普雷卡尔黑洞数”为______； (2)设任选的三位数，不妨设，试说明其均可产生该黑洞数． 【答案】(1)495 (2) 设任选的三位数，不妨设，由题意可知：，则有该三位数可表示为， 把该三位数重新排列后，最大的数为，最小的数为，它们的差为， ∵互不相等， ∴， ∴， 令，则的首位为，十位为9，个位为， 当时，则有， ∴可分：当时，则， ∴该数重新排列后，最大数与最小数的差为， 当时，则， ∴此时该数重新排列后，最大数与最小数的差为， 继续进行上述换元操作，可以发现，在重复上述过程， 最终当时，数值不再变化， 即最后留下的数字为． 【知识点】数字类规律探索、整式加减的应用 【分析】本题主要考查整式加减的应用，解题的关键是理解“卡普雷卡尔黑洞数”的定义； （1）根据题意直接进行求解即可； （2）由题意易得该三位数可表示为，则有最大的数为，最小的数为，它们的差为，然后根据上述进行换元操作，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：297重新排列后，最大的数是972，最小的数是279，作差得：； 再把693重新排列后，同理可得最大数与最小数的差为594； 再把594重新排列后，同理可得最大数与最小数的差为495； 再把495重新排列后，同理可得最大数与最小数的差为495； …..； 综上可知：该“卡普雷卡尔黑洞数”为495； 故答案为495； （2）略 【考点5】新定义与综合（第43-45题） · 新定义按规则转化为整式或方程 · 数轴动点问题设参数表示位置 · 综合题拆分成若干基本问题逐段解决 43．（24-25七年级上·上海闵行·阶段检测）计算：． 【答案】 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂相乘法则，合并同类项，先根据幂的乘方，同底数幂相乘法则计算，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 44．（23-24七年级上·江西南昌·期末）我们定义：对于有理数数和，若，则称，互为“和积友好数”． 如：因为，所以和互为“和积友好数”． (1)下列各组数中，互为“和积友好数”的是________；（填序号） ①和    ②和 (2)若和互为“和积友好数”，求的值； (3)若和互为“和积友好数”，求式子的值． 【答案】(1)②； (2)； (3)． 【知识点】有理数乘法的实际应用、合并同类项、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查解一元一次方程，整式的加减—化简求值： （1）根据“和积等数对”的定义即可得到结论； （2）根据“和积等数对”的定义列方程即可得到结论； （3）将原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式并化简，最后代入求值． 【详解】（1）解：①∵ ∴和不是“和积友好数”； ②∵ ∴和是“和积友好数”. 故答案为：②. （2）解：∵和互为“和积友好数”， ∴ 解得：. （3）解： 45．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图，在正方形中放入两张边长分别为和的正方形纸片，已知，正方形的面积记为，阴影部分面积分别记为，． (1)用含，，的代数式分别表示，； (2)若，且，求的值； (3)若，试说明 是完全平方式． 【答案】(1)，； (2)； (3) 解：当时，， ， ∴， ， ∴ 是完全平方式． 【知识点】整式加减的应用、多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（）通过，计算； （）先找到，的关系，再计算； （）根据完全平方公式的特征判断； 本题考查了完全平方公式的几何背景，正确表示线段的长度是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：四边形、为长方形，四边形为正方形， ∴，； （2）解：，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）略 💯 课后巩固 复习建议 · 压轴题先归类：概念、绝对值、规律、新定义 · 绝对值化简永远先定符号再动手 · 规律题务必用 n = 1、2 验证通项 · 无关型、含参问题转化为方程（组）求解 · 整式运算细心，去括号变号是失分重灾区 【作业1】．（25-26七年级上·全国·周测）下列说法中，正确的是（   ） A．0不是整式 B．与不是同类项 C．单项式的系数是-1，次数是4 D．是三次三项式 【答案】D 【知识点】整式的判断、多项式的项、项数或次数、同类项的判断 【分析】本题主要考查单项式、多项式、整式、同类项的定义，熟练掌握以上相关概念是关键． 分别根据单项式、多项式、整式及同类项的定义逐项判定即可． 【详解】解：A．是整式，故说法错误，不符合题意； B．与是同类项，故说法错误，不符合题意； C．单项式的系数是，次数是，故说法错误，不符合题意； D．是三次三项式，故说法正确，符合题意． 故选：D． 【作业2】．（23-24七年级上·上海闵行·阶段检测）下列各对单项式中不是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【知识点】同类项的判断 【分析】直接利用同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，进而分析得出答案． 【详解】解：A．与是同类项，故A不符合题意； B．与是同类项，故B不符合题意； C．与不是同类项，故C符合题意； D．与是同类项，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同；是易混点．同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关． 【作业3】．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如果单项式与单项式是同类项，那么这两个单项式的和是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】合并同类项、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了合并同类项、单项式和多项式，掌握合并同类项法则是解答本题的关键．直接利用同类项的定义分析得出，再根据合并同类项法则计算即可． 【详解】解：单项式与单项式是同类项， ， ． 故选：A． 【作业4】．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）单项式的系数和次数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】此题主要考查了单项式，熟练掌握单项式中系数和次数的定义是解题关键． 直接利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而得出答案． 【详解】解：单项式的系数， 单项式的次数为； 故选：A 【作业5】．（22-23七年级上·江苏南京·阶段检测）若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题 【分析】先根据、、均为整数，且，可得，或，，然后分两种情况分别求出的值即可． 此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键． 【详解】解：，，均为整数，且， ，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，， ； 综上，的值为2． 故选：B． 【作业6】．（23-24七年级上·广东佛山·阶段检测）探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和的两点距离为________； 则的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？ ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？ 结论应用（填空）： ①代数式的最小值是________； ②代数式的最小值是________； ③代数式的最小值是________． 【答案】探索材料1（填空）：，6，，，． 探索材料2（填空）：：与之间，处，之间 结论应用（填空）：，， 【知识点】数轴上两点之间的距离、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查数轴上两点间的距离的意义，绝对值化简，通过数形结合，分别得到数轴上有2个点，3个点，4个点时，动点在什么位置，到这几个点的距离之和最小，并会求最小的距离之和是解决本题的关键． 探索材料1（填空）：按照化简绝对值的求法即可得到数3和的两点距离；将化为，将化为，再根据数轴上两点间的距离的意义可知其表示哪两个点之间的距离； 探索材料2（填空）： ①通过观察，比较可得点P设在与之间时，可P到A的距离与P到B的距离之和最小，为线段长； ②通过观察，比较可得点P应设在处时，P到A，B，C三点的距离之和最小，为线段的长； ③通过观察，比较可得点P应设在之间，才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小，为的长； 结论应用（填空）： ①结合（2）中的①，可得最小距离为4和之间的距离； ②结合（2）中的②，可得最小距离为和2之间的距离； ③结合（2）中的③，可得最小距离为和5，和2的距离之和． 【详解】解：探索材料1（填空）： ， 的意义可理解为数轴上表示数6和这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离； 故答案为：，6，，，． 探索材料2（填空）： ①由题知， 材料供应点P应设在的左侧时，P到A的距离与P到B的距离之和； 材料供应点P应设在B的右侧时，P到A的距离与P到B的距离之和； 材料供应点P应设在与之间，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小为； ②材料供应点P应设在处时，P到A，B，C三点的距离之和为最小； ③材料供应点P应设在之间，才能使P到A，B，C，D四点的距离之和为最小； 故答案为：与之间，处，之间． 结论应用（填空）： ①代数式表示x到的距离与x到的距离之和， 的最小值是； ②代数式表示x到的距离与x到与x到的距离之和， 的最小值是； ③代数式表示x到的距离与x到与x到与x到的距离之和， 的最小值是． 故答案为：，，． 【作业7】．（22-23七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）点 A、B在数轴上分别表示有理数a、b，点A与原点O两点之间的距离表示为 ，则 ，类似地，点B与原点O两点之间的距离表示为，则，点 A 与点B两点之间的距离表示为，请结合数轴，思考并回答以下问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示m和的两点之间的距离是 ； (3)数轴上表示m和的两点之间的距离是4，则有理数m是 ； (4)若x满足，则满足条件的所有整数x的和是 ． 【答案】(1)6 (2) (3)3或 (4) 【知识点】数轴上两点之间的距离、带有字母的绝对值化简问题、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的定义和有理数的加法，理解题意掌握数轴、绝对值的定义及有理数的加法法则是解题的关键． 根据给定的定义计算即可； 结合给定得定义计算即可； 根据给定的定义列出方程，结合求一个数得绝对值求解即可； 根据题意表示的是表示的点到表示2和距离之和为6的数，分别求得满足题意的数，再求它们的和即可． 【详解】（1）解：表示1和的两点之间的距离是， 故答案为：6； （2）解：表示和的两点之间距离是， 故答案为：； （3）解：表示和的两点之间的距离是4，则， 即或， 解得：或 故答案为：3或； （4）解：的所有整数的值为，，，，0，1，2， 满足的所有整数的和为， 故答案为：． 【作业8】．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算：_____． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【作业9】．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）如图是小智同学当堂检测填空题的完成情况，她最后的得分是_________分． 姓名小智  得分________ 填空题（评分标准：每小题5分） （1） （2） （3） （4） 【答案】15 【知识点】合并同类项 【分析】本题主要考查了同类项的定义以及合并同类项，同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项，据此定义将同类项合并即可求解． 【详解】解：（1），正确，得分； （2），正确，得分； （3），错误，得分； （4），正确，得分； ∴小智的得分为分， 故答案为：15． 【作业10】．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如果与的和是单项式，那么________． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、合并同类项、已知同类项求指数中字母或代数式的值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查同类项，根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出、的值，再代入计算即可．解题的关键是掌握同类项的概念． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 【作业11】．（25-26六年级上·上海宝山·期末）计算：． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减，先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【作业12】．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）某次社团活动中的有奖竞猜游戏共有4道单选题，分别有、、、四个选项，每道题10分，满分40分，答对得10分，答错得0分．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，已知乙同学答对了一半以上，则的值为（   ） A．50 B．40 C．30 D．20 【答案】B 【知识点】有理数加法运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了逻辑推理，有理数加减运算，根据乙同学答对了一半以上，得出乙同学至少答对了3道题，即，求出，然后根据四个同学的答案，进行推理，得出答案即可． 【详解】解：∵乙同学答对了一半以上， ∴乙同学至少答对了3道题， ∴， ∴， ∴甲、丙至少答对了2道题， 假设乙同学第3题答错，则另外3题都答对，而甲、丙的答案中另外3题答案都与乙不同，因此甲、丙一道题也没有答对，即，不符合题意； ∴第3题的答案一定是B， 假设乙同学4道题都答对，则甲、丙最多答对1道题，即，不符合题意； ∴乙同学答对了3道题， 假设第1题甲答对，乙答错，丙也答错了，则丙只答对了1道题，不符合题意； 假设第4题甲答对，乙答错，丙也答错了，则丙只答对了1道题，不符合题意； 假设第1题丙答对，乙答错，甲也答错了，则甲只答对了1道题，不符合题意； 假设第4题丙答对，乙答错，甲也答错了，则甲只答对了1道题，不符合题意； 假设第2题甲答对，乙答错，丙也答对了，则甲丙都答对了2道题，符合题意； ∴第1，4两个题甲、丙都答错，第2题甲、丙都答对了，乙答错了，即乙答对了另外3个题， ∴第1题答案为D，第2题答案为C，第3题答案为B，第4题答案为A， ∴甲、丙、丁都答对了2题，即，， ∴． 故选：B． 【作业13】．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）将正整数按如下方式排列： 1 2   3   4 5   6   7   8   9 10  11  12  13  14  15  16 …… 则第45行倒数第二个数是_______． 【答案】2024 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查可规律探究，可根据数据得第行数字的个数为，前行数字的个数和为，即可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解：第行数字的个数为：， 第行数字的个数为：， 第行数字的个数为：， 第行数字的个数为：， 第行数字的个数为：， 前行数字的个数和为： ， 当时， 前行数字的个数和为：， 第45行倒数第二个数是：； 故答案：． 【作业14】．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）探索下列式子的规律：，，，…，请计算： __________． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了整式的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意可推导一般性规律为：，即，，，……，，将等式左右同时相加得，，即，计算求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴可推导一般性规律为：， ∴， ， ， …… ， ， 将等式左右同时相加得，， ∴， 解得，， 故答案为：． 【作业15】．（23-24七年级上·广东惠州·期末）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事非”．如图，在边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为，，，…，的长方形彩色纸片（n为大于1的整数），运用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，可计算出__________． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、图形类规律探索 【分析】本题考查了数形结合的思想，规律题的探究．可以看做面积为1正方形减去一半的面积，所可以看做面积为1正方形减去的面积， 可以看做面积为1正方形减去的面积，……，可以看做面积为1正方形减去的面积，据此即可求解． 【详解】解：可以看做面积为1正方形减去一半的面积，所以； 可以看做面积为1正方形减去的面积，所以； 可以看做面积为1正方形减去的面积，所以； ……， ∴可以看做面积为1正方形减去的面积，所以． 故答案为： 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $