专题二·期中综合复习·满分压轴讲义（整式计算乘法公式因式分解）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

专题二·期中综合复习·满分压轴讲义（整式计算乘法公式因式分解） （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 深入理解单项式、多项式次数与项数的辨析 · 灵活运用幂的运算及逆用技巧 · 熟练运用平方差与完全平方公式解决复杂计算 · 掌握综合提公因式、分组分解、十字相乘的因式分解 · 能处理整式与规律探究、新定义阅读相结合的综合题 📚 知识梳理 ☆ 1.整式的概念辨析 单项式系数含符号，次数为字母指数之和；单独的数或字母也是单项式 多项式次数取最高次项的次数，项数是单项式个数 A·B的次数与A、B的次数关系：次数相加（最高次项不抵消时） 概念辨析例题：若A、B都是次数不同的单项式且A·B是八次单项式，则A-B的次数与A+B的次数是否一定相同？ 答案：不一定相同 解析：A、B次数不同时，A-B与A+B的项数相同，但次数可能因最高次项相消而不同 ☆ 2.乘法公式的灵活运用 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，善于构造共轭因式 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2 整体思想：把复合项视为一个整体套用公式 概念辨析例题：计算：199×200 答案：39999 解析：原式=(200-)(200+)=40000-=39999 ☆ 3.因式分解 常用方法：提公因式、平方差、完全平方、十字相乘、分组分解 整体换元：把x2-2等结构看作整体再分解 二次三项式ax2+bx+c可十字相乘：找a、c的因数组合使交叉积之和为b 概念辨析例题：因式分解：(x2-2)2+5x(x2-2)-6x2 答案：(x2+6x-2)(x2-x-2) 解析：把x2-2看作整体，十字相乘得(x2-2+6x)(x2-2-x)，整理即得 ☆ 4.幂的运算与逆用 am·an=am+n、am÷an=am-n、(am)n=amn、(ab)n=anbn 逆用：(ab)n=anbn使不同底数幂结合，am+n=am·an拆分指数 零指数、负整数指数：a0=1（a≠0），a-n= 概念辨析例题：计算：22021×(-)1010 答案：2 解析：22021=2×41010，原式=2×[4×(-)]1010=2×(-1)1010=2 📋 知识总结表 核心概念 定义与公式 注意事项 单项式 数与字母的积 次数为字母指数之和 多项式 几个单项式的和 次数取最高次项 平方差 (a+b)(a-b)=a2-b2 构造共轭因式 完全平方 (a±b)2=a2±2ab+b2 认清a、b整体 因式分解 与整式乘法互逆 分解要彻底 幂的运算 同底数幂乘除、幂乘方、积乘方 可逆用结合化简 ⚠️ 核心考点 【考点1】整式概念与幂的运算 · 次数、系数、项数辨析 · 幂的乘方与积的乘方符号规律 · 逆用公式结合计算 1．（25-26七年级上·上海·期中）如果成立，则（    ） A．m是偶数，n是奇数 B．m、n都是奇数 C．m是奇数，n是偶数 D．n是偶数 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）如果整式和整式满足：整式的次数是次，那么整式的次数不可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江西南昌·阶段检测）已知a，b，c为自然数，且满足，则的取值不可能是（    ） A． B．2 C．1 D．7 4．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）若，（为整数），则的值是_____．（用含、的代数式表示结果） 5．（23-24八年级上·四川内江·期中）设为正整数，且，则等于_____________． 【考点2】乘法公式 · 平方差构造共轭因式 · 完全平方找清a、b · 整体套用公式 6．（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）如图1所示，有两张完全相同的大正方形纸片、，从纸片的四个角裁剪四个完全相同的小正方形，并将四个小正方形纸片拼放在纸片的四个顶点处．图2中已标出裁剪后、纸片尺寸，并且记裁剪后的面积分别为、（图2中阴影部分）． 小海认为：；乐乐认为：． 关于小海和乐乐观点，下列说法正确的是（    ） A．小海正确、乐乐正确； B．小海错误、乐乐正确； C．小海正确、乐乐错误； D．小海错误、乐乐错误． 7．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列两个整式相乘，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·浙江金华·期末）将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：， ， ，当时，多项式有最小值． 已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为______． 9．（23-24七年级下·浙江金华·阶段检测）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将不重复的数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记、、，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为、、，则______；______． 10．（22-23七年级下·陕西西安·自主招生）如图，在一个大正方形的一个角上剪去一个小正方形，剩余部分剪拼出一个长方形，由此可以得到一个结论．根据这个结论解决下面的问题：若两个自然数的平方的差为2023，则这两个自然数的乘积最小为_____． 【考点3】因式分解 · 先提公因式 · 公式法、十字相乘、分组分解 · 整体换元分解 11．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）设，，满足，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．8 D．9 12．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为__________． 13．（21-22九年级下·上海·自主招生）已知实数x，y，z满足，，则______． 14．（2025·北京·中考真题）多项式可分解为______． 15．（24-25七年级上·上海青浦·阶段检测）已知，则______． 16．（25-26七年级上·上海·期中）若取图中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为_______． 17．（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知长方形周长8米，长方形的长和宽满足，则长方形面积为___________平方米． 18．（24-25九年级上·上海·自主招生）已知x，y为正整数，满足，则_____________． 19．（25-26七年级上·上海普陀·阶段检测）一个正整数如果加上50或减去31都是一个完全平方数，则这个正整数是______． 【考点4】整式的实际应用与绝对值化简 · 用代数式表示图形关系 · 作差法比较大小 · 绝对值化简先判符号 20．（22-23七年级上·江苏南京·阶段检测）若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 21．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，在长方形中放入一个大正方形和两个大小相同的小正方形及，其中在边上，与在同一条直线上且，延长交于点K，三个阴影部分的面积分别记为，，，已知长方形的面积，则下列式子可计算出的是（   ） A． B． C． D． 22．（23-24七年级上·四川达州·期中）若，则的值可能是（    ） A．1和3 B．和3 C．1和 D．和 23．（25-26七年级上·重庆·期中）有理数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示．则在下列选项中，正确个数是（   ） ①若，则 ②若，，则或 ③若且，则 ④若为一个五位自然数，则的最大值是 A． B． C． D． 24．（23-24七年级下·福建三明·期中）长方形内，未被小长方形覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变化时，按照同样的方式放置，S始终不变，则a，b应满足（    ） A． B． C． D． 25．（25-26八年级上·江苏南通·期中）由于科技创新与产业结构的优化，某种产品的原材料实现了一定幅度的降价，因而厂家决定对产品进行降价，现有两种方案：①第一次降价，第二次降价；②第一、二次降价均为．其中是互不相等的正数，记降价后方案①的产品价格为，方案②的产品价格为，则___________（填“”“”或“”） 26．（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列说法正确的序号是______． ①已知是有理数，且，时，则的值为或； ②四个数、、、满足，则最小的数是，最大的数是； ③如果定义，当，，时，的值为． 27．（25-26七年级上·辽宁鞍山·阶段检测）已知，，且，求_____． 28．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，把图1中周长为8的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A，B，C，D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为13的长方形中，则正方形A的周长与阴影部分的周长之比为_________． 29．（25-26七年级上·上海·阶段检测）如图为某正方形的房屋结构平面图，其中主卧(面积较大)与客卧都为正方形，它们的面积之和比其余面积(阴影部分)多 ，则主卧与客卧的周长差_____ ． 【考点5】数字规律探究 · 观察项与序号关系 · 错位相减求数列和 · 递推与周期规律 30．（2023·重庆铜梁·模拟预测）已知，，规定从第二个式子开始，每一个式子的倍等于它前、后两个式子的和例如：，，则下列说法正确的有（ ） （） （） （） A．个 B．个 C．个 D．个 31．（2024·重庆渝北·二模）已知代数式，，从第三个式子开始，每一个代数式都等于前两个代数式的和，，，…，则下列说法正确的是（    ） ①若，则 ② ③前2024个式子中，a的系数为偶数的代数式有674个 ④记前n个式子的和为，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．（24-25七年级上·上海·期中）如图，动点从到原点距离为的点处向原点方向跳动，第一次跳到的中点处，第二次从点跳到的中点处，第三次从点跳到的中点处，如此不断跳动下去，第次跳动后，该动点到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 33．（23-24七年级下·重庆江北·期末）有依次排列的2个整式：a，，对任意相邻的两个整式，每次都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生第一个整式串：a，2，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串，称为第二个整式串；以此类推．通过下列实际操作： ①第二次操作后整式串为：a，2，a，； ②第12个整式串中，从右往左第二个整式为； ③第2025次操作后，所有的整式的和为； ④第n个整式串比第个整式串少个整式． 以上结论中正确的有（    ）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 34．（23-24九年级上·重庆·期中）有依次排列的两个整式，，用后一个整式B与前一个整式A作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式B求和操作得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式求和操作得到新的整式，……，依次进行作差、求和的交替操作得到新的整式．下列说法：①整式；②整式与整式相同；③；④若，则．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 35．（23-24七年级下·重庆·期中）有依次排列的两个整式：，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得的差写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式串：，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：，该整式串包含5个整式；以此类推．记第次操作得到的整式串之和为．以下四个结论：①第三次操作后的整式串中共有8个整式；②第次操作后的整式串共有个整式（为正整数）；③第2024次操作后的整式串中所有整式的和为；④的值为3．正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 36．（22-23七年级上·浙江温州·期中）排球比赛时，甲方6名队员开始站位如图所示，比赛开始由甲方1号位的选手发球，再轮到甲方选手发球时是第二轮发球，此时甲方全体队员按顺时针方向转一个位置（转一圈），即1号位的队员到6号位置，6号位到5号位，，此时2号位队员到1号位置发球，以此类推，如果甲方选手小花开场时站在6号位置，记；甲方第二轮发球时，小花站在号位置，，这场比赛甲方发了21轮球，则的值为_______． 37．（25-26八年级上·上海虹口·阶段检测）已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……则的值为__________． 38．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： 【初步感知】______；______； 【归纳规律】表中的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就减少类似地，的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就______； 【问题解决】请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就减小3：______； 若要求x的值每增加1，代数式的值就增加5，且当时，代数式的值为你能找到这样的满足条件的代数式吗？请直接写出这个代数式______； 【计算验证】当x的值从a增加到时，猜想关于x的代数式（为一次项的系数），且的值会怎样变化，并通过计算加以说明； 【模型应用】某商店销售一种商品，每件进价为20元，当售价为40元时，每天仅能售出20件．若商店作降价促销，发现每降价1元，可多售出2件．当售价为______正整数元时，每天的销售利润最大． 【考点6】新定义与阅读探究 · 严格按定义运算 · 赋值法发现规律 · 迁移阅读方法解题 39．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）某次社团活动中的有奖竞猜游戏共有4道单选题，分别有、、、四个选项，每道题10分，满分40分，答对得10分，答错得0分．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，已知乙同学答对了一半以上，则的值为（   ） A．50 B．40 C．30 D．20 40．（2023·重庆铜梁·模拟预测）对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，如：，其中称a为“数1”，b为“数2”，+c为“数3”，为“数4”，为“数5”，若将任意两个数交换位置，则称这个过程为“换位运算”，例如：对上述代数式的“数1”和“数5”进行“换位运算”，得到：，则下列说法中正确的个数是（　　） ①代数式进行1次“换位运算”后，化简后结果可能不发生改变 ②代数式进行1次“换位运算”，化简后只能得到 ③代数式进行1次“换位运算”，化简后可能得到7种结果 A．0 B．1 C．2 D．3 41．（24-25八年级上·重庆·开学考试）在整式，，前添加“”或“”，先求和，再求和的绝对值的操作，称为“优绝对值”操作，将操作后的化简结果记为M．例如： ，则，当时，M的化简求值结果为：．下列说法正确的个数为（    ） ①至少存在一种“优绝对值”操作，使得操作后的化简结果为常数； ②把所有可能的“优绝对值”操作后的式子化简，共有8种不同的结果； ③在所有可能的“优绝对值”操作中，若操作后的化简求值的结果为17，则满足条件的a有且只有一个，此时． A．0 B．1 C．2 D．3 42．（24-25七年级上·上海·期中）式子，此时，叫做以为底的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如，则叫做以为底的对数，记为，则，同理，．由此可以得到下列式子：，根据以上的信息及运算关系，若，则______ 43．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·阶段检测）对于一个三位正整数，如果满足：百位数字、十位数字与个位数字之和等于15，那称这个数为“月圆数”，例如：，，是“月圆数”； ，，不是“月圆数”．若，都是“月圆数”， ，，，均为的整数），规定，若是去掉百位数字后剩余部分组成的一个两位数，是去掉其百位数字后剩余部分组成的一个两位数，若与的和能被11整除，则的值为________． 44．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）【方法】有一种整式处理器，能将二次三项式处理成一次式，处理方法是：将二次三项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次式的一次项系数，将二次三项式的常数项作为一次式的常数项．例如：经过处理器得到． 【应用】若关于的二次三项式经过处理器得到，根据以上方法，解决下列问题： （1）填空：若，则 ； （2）若，经过处理器得到结果，求的值． 【延伸】 （3）已知是关于的二次三项式，若是经过处理器得到的一次式，且关于的方程的解为正整数，求整数的值． 💯 课后巩固 复习建议 · 概念辨析题逐项验证定义 · 乘法公式套用前先识别结构 · 因式分解先提公因式再选方法 · 规律题多算几项寻找周期 · 压轴题按步骤书写并检验 【作业1】．（23-24七年级下·重庆北碚·期中）的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【作业2】．（25-26七年级上·四川成都·期中）如果 A、B 都是关于 x 的次数不同的单项式（ A，B 都不是常数项），且 是一个八次单项式，则下列说法中正确的是（ ） ①可能是一个单项式；②可能是七次二项式；③的项数与 的项数一定相同； ④的次数与 的次数不一定相同． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【作业3】．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，如果，则M、N的值的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【作业4】．（21-22七年级上·江苏扬州·期中）已知有理数．我们把称为的差倒数，如的差倒数是，的差倒数是，若，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依次类推，那么的和是 （    ） A． B． C． D． 【作业5】．（25-26七年级上·上海普陀·期中）下列单项式中，与整式相加后不能组成某个整式的平方的是（    ） A． B． C． D． 【作业6】．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）现有一列数，满足任意相邻三个数的和为同一常数，当，，时，________． 【作业7】．（25-26七年级上·上海·期中）如果正整数，，满足，这样的正整数对共有______个 【作业8】．（23-24七年级下·重庆丰都·期末）现在一个四位数，如果它的个位数字与百位数字相差为1，十位数字与千位数字相差为2，那么称为“二一差数”，则最小的“二一差数”为_____________；如果一个“二一差数”能被6整除，将其千位数字与个位数字之和记为，百位数字与十位数字之和记为，当能够被整除时，满足条件的“二一差数”的最大值与最小值之和为____________． 【作业9】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知，则___________． 【作业10】．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第行、第列的数是________． 【作业11】．（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读材料：计算： 运用上述方法求__________． 【作业12】．（25-26七年级上·上海闵行·期中）【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图2可得等式：_______；由图3可得等式：_______； (2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，求的值； (3)如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则_______； (4)如图4，若有张边长为的正方形纸片，张边长分别为、的长方形纸片，张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为_______． (5)已知正数、、和、、，满足．试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明． 【作业13】．（23-24七年级上·江苏镇江·阶段检测）观察下列各式：；；；；； (1)探索式子的规律，试写出第个等式； (2)运用上面的规律，计算； (3)计算：． 【作业14】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）用简便方法进行计算： 【作业15】．（25-26七年级上·上海·期中）观察下面三行数： 2，，8，，32，，…； 4，，10，，34，，…； ，3，，15，，63，…． (1)每一行的第8个数分别为________，________，________； (2)第一行中相邻三个数的和为1536，求这三个数； (3)取每行数的第n个数，这3个数中最大的数记为a，最小的数记为b，若，求n的值． (1)如图，用含的代数式表示两个正方形纸片的面积之和：______； 当时，两个正方形纸片的面积之和：______． (2)如图，如果两个正方形纸片的面积之和为，阴影部分的面积为，试求的值． (3)现将正方形纸片并排放置后构成新的正方形（图），将正方形放在正方形的内部（图），如果图和图中阴影部分的面积分别是和，那么两个正方形纸片的面积之和为：______． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． (1)如图，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积．方法①________；方法②_______由此可以验证的乘法公式是_____． (2)类似地，在棱长为a的正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积．方法①_______；方法②_______．由此可以得某个多项式因式分解的等式是______，并用所学过的知识说明这个等式成立． (3)结合并使用（2）得到的等式分解因式：． (1)当时，某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费． (2)设某户月用水量为立方米，当时，则该用户应缴纳的水费．（用含有的整式表示）． (3)当时，甲、乙两用户一个月共用水，已知甲用户缴纳的水费超过了元，设甲用户这个月用水，试求甲、乙两用户一个月共缴纳的水费（用含的整式表示）． （2）已知，求的值． (1)双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下表： 现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． (3)若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为a元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变．求此时a的值和总费用． （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：用含a、b的代数式表示出来： 图1表示：______；图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）请直接写出下列问题答案： ①若，，则______； ②若，则______． （3）如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 数学活动课上，王老师准备了若干个图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形. （）若小明想用图中的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要三种纸片共______张； （）小兰用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成了图所示的大正方形，在用两种不同的方法求此大正方形的面积时，小兰发现了代数式，，之间的等量关系式，这个关系式是：____________； （）小静用种纸片一张，种纸片一张，如图所示放置，连接，与边构成直角三角形，若，，根据（）题中的等量关系，请你帮小静求出直角三角形的面积． 分解因式： 解： 以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值相等，必须减去同样的一项.请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【问题背景】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）用“算两次”的方法计算图2中阴影部分的面积：第一次列式为_______，第二次列式为_______．因为两次所列算式表示的是同一个图形的面积．所以可以得出等式_______； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值； 【知识迁移】 （3）根据图3，写出一个代数恒等式：_______； 【思维创新】 （4）利用（3）中得出的恒等式，解决下面的问题： 若，，则的值是_______ 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为6，． (1)原点O （填“是”或“不是”）“关联点”； (2)若点C是“关联点”，则点C所表示的数 ； (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动1个单位长度，则运动时间为 秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为 ； (4)点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子为定值，求出m，n满足的数量关系． 经过研究，这个问题的一般性结论是，其中ｎ是正整数．现在我们来研究一个类似的问题： 观察下面三个特殊的等式 将这三个等式的两边相加，可以得到 读完这段材料，请你思考后回答： (1)　　　　　； (2)　　　　　　　　； (3) ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二·期中综合复习·满分压轴讲义（整式计算乘法公式因式分解） （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 深入理解单项式、多项式次数与项数的辨析 · 灵活运用幂的运算及逆用技巧 · 熟练运用平方差与完全平方公式解决复杂计算 · 掌握综合提公因式、分组分解、十字相乘的因式分解 · 能处理整式与规律探究、新定义阅读相结合的综合题 📚 知识梳理 ☆ 1.整式的概念辨析 单项式系数含符号，次数为字母指数之和；单独的数或字母也是单项式 多项式次数取最高次项的次数，项数是单项式个数 A·B的次数与A、B的次数关系：次数相加（最高次项不抵消时） 概念辨析例题：若A、B都是次数不同的单项式且A·B是八次单项式，则A-B的次数与A+B的次数是否一定相同？ 答案：不一定相同 解析：A、B次数不同时，A-B与A+B的项数相同，但次数可能因最高次项相消而不同 ☆ 2.乘法公式的灵活运用 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，善于构造共轭因式 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2 整体思想：把复合项视为一个整体套用公式 概念辨析例题：计算：199×200 答案：39999 解析：原式=(200-)(200+)=40000-=39999 ☆ 3.因式分解 常用方法：提公因式、平方差、完全平方、十字相乘、分组分解 整体换元：把x2-2等结构看作整体再分解 二次三项式ax2+bx+c可十字相乘：找a、c的因数组合使交叉积之和为b 概念辨析例题：因式分解：(x2-2)2+5x(x2-2)-6x2 答案：(x2+6x-2)(x2-x-2) 解析：把x2-2看作整体，十字相乘得(x2-2+6x)(x2-2-x)，整理即得 ☆ 4.幂的运算与逆用 am·an=am+n、am÷an=am-n、(am)n=amn、(ab)n=anbn 逆用：(ab)n=anbn使不同底数幂结合，am+n=am·an拆分指数 零指数、负整数指数：a0=1（a≠0），a-n= 概念辨析例题：计算：22021×(-)1010 答案：2 解析：22021=2×41010，原式=2×[4×(-)]1010=2×(-1)1010=2 📋 知识总结表 核心概念 定义与公式 注意事项 单项式 数与字母的积 次数为字母指数之和 多项式 几个单项式的和 次数取最高次项 平方差 (a+b)(a-b)=a2-b2 构造共轭因式 完全平方 (a±b)2=a2±2ab+b2 认清a、b整体 因式分解 与整式乘法互逆 分解要彻底 幂的运算 同底数幂乘除、幂乘方、积乘方 可逆用结合化简 ⚠️ 核心考点 【考点1】整式概念与幂的运算 · 次数、系数、项数辨析 · 幂的乘方与积的乘方符号规律 · 逆用公式结合计算 1．（25-26七年级上·上海·期中）如果成立，则（    ） A．m是偶数，n是奇数 B．m、n都是奇数 C．m是奇数，n是偶数 D．n是偶数 【答案】D 【知识点】幂的乘方的逆用、幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方与符号的性质，解题关键是根据幂的运算规则分析的符号与的符号关系，从而确定n的奇偶性． 根据指数运算法则，将左边化简后，等式成立的条件仅与n的奇偶性有关，需n为偶数． 【详解】∵ = = ， 又∵ = ， ∴ = ． 假设 ，则两边除以 ，得 ， ∴ n 是偶数． 因此，n是偶数． 故选D． 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）如果整式和整式满足：整式的次数是次，那么整式的次数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多项式的项、项数或次数、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了整式的概念，整式的运算，设整式的次数为和整式的次数为，由整式的次数是次，然后分 ，， ，且最高次项抵消，两种情况分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设整式的次数为和整式的次数为， ∵整式的次数是次， ∴ ，， 则 ， ∴整式的次数可能是次或次， ，且最高次项抵消，则 （偶数）， ∴整式的次数不可能是， 综上可得：整式的次数不可能是， 故选：． 3．（24-25八年级上·江西南昌·阶段检测）已知a，b，c为自然数，且满足，则的取值不可能是（    ） A． B．2 C．1 D．7 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用，掌握相关运算法则是解题的关键． 将等式化简为，得到且，列举所有可能的自然数组合，计算的值，判断选项中不可能的结果． 【详解】解：原式可化为：， ， ， ，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 时，为负数，不符合自然数条件， 可能的结果为，，，而不在其中，故的取值不可能是1． 故选：C． 4．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）若，（为整数），则的值是_____．（用含、的代数式表示结果） 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】根据题意，得，公式变形后代入计算解答即可． 本题考查了幂的运算，完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式，正确变形是解题的关键． 【详解】解：由，得 ， 故， 又， 所以，， 故， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·四川内江·期中）设为正整数，且，则等于_____________． 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用、因式分解的应用、平方差公式分解因式 【分析】将，转化为关于同一底数幂的形式，再代入中试解即可． 【详解】解：因为，所以只能是，只能是．（为整数） 同理，（为整数）． 由，得 ， ， 故，， 所以，． 因此，，．， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了整数问题的综合运用，将题目条件进行转化，再进行试解是解题的关键，体现了转化思想在解题中的应用． 【考点2】乘法公式 · 平方差构造共轭因式 · 完全平方找清a、b · 整体套用公式 6．（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）如图1所示，有两张完全相同的大正方形纸片、，从纸片的四个角裁剪四个完全相同的小正方形，并将四个小正方形纸片拼放在纸片的四个顶点处．图2中已标出裁剪后、纸片尺寸，并且记裁剪后的面积分别为、（图2中阴影部分）． 小海认为：；乐乐认为：． 关于小海和乐乐观点，下列说法正确的是（    ） A．小海正确、乐乐正确； B．小海错误、乐乐正确； C．小海正确、乐乐错误； D．小海错误、乐乐错误． 【答案】A 【知识点】整式加减的应用、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了乘法公式与几何图形，设四个小正方形的边长为x，根据原正方形的边长不变可列方程求出，然后根据割补法分别求出、，最后计算、，即可判断． 【详解】解：设四个小正方形的边长为x， 根据题意，得， 解得， ∴， ， ∴， ， ∴小海正确、乐乐正确， 故选：A． 7．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列两个整式相乘，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，关键是熟练掌握公式的适用形式； 根据平方差公式适用于形式为的表达式，其中和是整式，分析各选项进行选择即可. 【详解】解：选项A： 与即无相同项也无相反项，不能用平方差公式计算； 选项B： ∵ ， ∴可用平方差公式计算； 选项C： 与互为相反数，不能用平方差公式计算； 选项D： 与相同，乘积为完全平方式，不能用平方差公式计算； 故答案选：B. 8．（23-24七年级下·浙江金华·期末）将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：， ， ，当时，多项式有最小值． 已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为______． 【答案】3 【知识点】完全平方公式分解因式、计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，多项式乘以多项式，根据题意得出，，进而根据，可得，然后得出，根据配方法，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴当时，的最大值为， 故答案为：3． 9．（23-24七年级下·浙江金华·阶段检测）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将不重复的数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记、、，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为、、，则______；______． 【答案】 【知识点】有理数加法运算、通过对完全平方公式变形求值、有理数的乘方运算 【分析】根据、、的位置可知这三个数每个都加了两次，三个圆圈上的数字之和是，但是这个数字之和是，所以可得，从而求出的值；因为，，可以得到，配方得，把代入即可求出的值． 【详解】解：每个圆圈上的四个数字的和都等于， 三个圆上的数字之和应为， 其中的、、这三个数每个都加了两次， ， ， 则有， 解得：； 每个圆圈上的四个数字的平方和分别记、、，且， ， ， ， ， 整理得：， ， ； ， ， ， 解得：． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了整式的运算、完全平方公式以及有理数的乘方运算．解决本题的关键是理解、、这三个数每个都加了两次，并且能把凑成完全平方式． 10．（22-23七年级下·陕西西安·自主招生）如图，在一个大正方形的一个角上剪去一个小正方形，剩余部分剪拼出一个长方形，由此可以得到一个结论．根据这个结论解决下面的问题：若两个自然数的平方的差为2023，则这两个自然数的乘积最小为_____． 【答案】 【知识点】加减消元法、平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查了平方差公式，解二元一次方程组，根据图形面积之间的关系可证明，设自然数m与自然数n的平方差为2023，则，根据，得到或或，解方程组求出m、n的值，进而求出对应的的值即可得到答案． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 则左边那幅图中红色部分的面积为，右边那幅图中红色部分的面积为， 因为两幅图中红色部分的面积相等， 所以， 设自然数m与自然数n的平方差为2023， 所以， 因为m、n都是自然数， 所以都是自然数， 所以， 所以或或， 所以或或， 所以或或， 因为， 所以的最小值为， 故答案为：． 【考点3】因式分解 · 先提公因式 · 公式法、十字相乘、分组分解 · 整体换元分解 11．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）设，，满足，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】分式的求值、平方差公式分解因式 【分析】此题考查了分式的加减法，利用已知条件和，将表达式的分子用平方和表示，再通过因式分解简化每个分式，最后求和． 【详解】解：∵ ，，   ∴ ， 同理，，， 又 ∵ ， ∴ （注：由条件知 ，同理其他分母也不为零）， 同理，，， ∴ 原式． 故选：C． 12．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为__________． 【答案】或 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了因式分解的意义，可根据已知条件设出这两个一次因式分别是与，相乘后根据多形式相等可求出、的值，从而得到答案． 【详解】解：设， ， ， 解得，或 或． 故答案为：或． 13．（21-22九年级下·上海·自主招生）已知实数x，y，z满足，，则______． 【答案】3 【知识点】绝对值非负性、代入消元法、完全平方公式分解因式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】先把化为， 再代入可得，利用非负数的性质求解， 从而可得的值，再代入代数式求值即可. 本题考查的是非负数的性质，二元方程组的代换思想，求解代数式的值，运用完全平方公式分解因式，掌握“把原条件转化为非负数的和”是解题的关键. 【详解】解：， ， 代入得：， 整理得：， ，， 可得：，， ， 所以． 14．（2025·北京·中考真题）多项式可分解为______． 【答案】 【知识点】分组分解法、十字相乘法、提公因式法分解因式 【分析】根据分解因式的方法，先把变成，再根据提公因式法和十字相乘法分解因式即可． 【详解】解析：原式， ， ， ． 【点睛】本题考查了因式分解的方法——提公因式法和十字相乘法，解决此题的关键是要想到把分开用． 15．（24-25七年级上·上海青浦·阶段检测）已知，则______． 【答案】或 【知识点】十字相乘法、因式分解的应用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】利用完全平方公式以及因式分解法变形方程即可得解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或 ∴或． 16．（25-26七年级上·上海·期中）若取图中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为_______． 【答案】9或12或21 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得或或，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴或 或 ， ∴的值可以是9或12或21， 故答案为：9或12或21． 17．（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知长方形周长8米，长方形的长和宽满足，则长方形面积为___________平方米． 【答案】2 【知识点】因式分解的应用、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用整体和换元的思想是解题的关键． 由长方形周8米可得长与宽之和为4米，即。将给定方程展开并整理，利用 和的关系代入化简，得到关于的二次方程，解之得，即长方形面积为2平方米． 【详解】由周长公式得： 设，则，且 ， 代入方程： 故长方形面积为平方米。 故答案为：2． 18．（24-25九年级上·上海·自主招生）已知x，y为正整数，满足，则_____________． 【答案】或 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题主要考查了因式分解的应用以及正整数的性质，熟练掌握因式分解（分组分解法）并结合正整数的范围分析是解题的关键． 先对已知等式展开化简，得到关于、的关系式，再结合正整数的条件确定、的值，进而求出． 【详解】解：， ， ， ， ， 为正整数 ， ∴，， 分情况讨论： 当，时，，，则， 当，时，，，则， 同理，交换、可得， 当，时，，，则； 当，时，，，则． 故答案为：或． 19．（25-26七年级上·上海普陀·阶段检测）一个正整数如果加上50或减去31都是一个完全平方数，则这个正整数是______． 【答案】31或175或1631 【知识点】构造二元一次方程组求解、因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用．设此数为a，则，，，再将81分解成为3和27，或1和81，或9和9，分别列得二元一次方程组，求得x、y的值，即可求得a的值． 【详解】解：设这个正整数为a，则，，， ， 对81因式分解，可以分解为3和27，或1和81，或9和9， 所以：，， 所以：, 由得：； 或，， 所以：, 由得：； 或，， 所以：, 由得：； 故答案为：31或175或1631． 【考点4】整式的实际应用与绝对值化简 · 用代数式表示图形关系 · 作差法比较大小 · 绝对值化简先判符号 20．（22-23七年级上·江苏南京·阶段检测）若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值的几何意义 【分析】先根据、、均为整数，且，可得，或，，然后分两种情况分别求出的值即可． 此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键． 【详解】解：，，均为整数，且， ，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，， ； 综上，的值为2． 故选：B． 21．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，在长方形中放入一个大正方形和两个大小相同的小正方形及，其中在边上，与在同一条直线上且，延长交于点K，三个阴影部分的面积分别记为，，，已知长方形的面积，则下列式子可计算出的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查了整式与几何图形，延长交于点，得到，即四边形的面积为，再得到，即四边形的面积为，再利用得到四边形的面积为4，即可解答，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， 两个大小相同的小正方形及， ， ， 即， 四边形的面积等于， 同理可得， ， 四边形的面积等于， ， ， 即， ， ， 四边形为正方形，两个大小相同的小正方形及， ，， ， 即， 正方形的面积为4， 长方形的面积已知， 已知， 故答案为：D． 22．（23-24七年级上·四川达州·期中）若，则的值可能是（    ） A．1和3 B．和3 C．1和 D．和 【答案】B 【知识点】有理数的除法运算、带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算 【分析】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，根据，即a、b全为正数时，或a、b为一正一负时，或a、b全负时分类讨论计算即可． 【详解】解：， 设时， ， 或时， ，或， 时， ， 综上可得：或， 故选：B． 23．（25-26七年级上·重庆·期中）有理数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示．则在下列选项中，正确个数是（   ） ①若，则 ②若，，则或 ③若且，则 ④若为一个五位自然数，则的最大值是 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减，正确通过数轴判断绝对值符号里式子的正负是解题的关键．利用数轴可得，再根据每项的关键信息，逐一判断各项对错即可解答． 【详解】解：①若，则或， 当时，，则， 当时，，则，故①不正确； ②若，，由图可知，则或， 当时，， 当时，，故②正确； ③∵， ∴，，， 则， ∵， ∴，，为一负二正或两负一正， 其中两种情况为，或，， 当，时， 当，时，故③不正确； ④∵为一个五位自然数，由数轴可得，， 则 当，，时取最大值为17，故④正确； ∴正确的有②④； 故选B． 24．（23-24七年级下·福建三明·期中）长方形内，未被小长方形覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变化时，按照同样的方式放置，S始终不变，则a，b应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查整式的运算，得到图形中的关系是解题的关键．对图形进行点标注，则左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为，再结合图形信息表示出；然后根据面积公式求出面积差，根据始终保持不变，即可得到、满足的关系式． 【详解】解：对图形进行点标注，如图所示： 左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为， ，即，， ，即， 阴影部分面积之差， 因为当BC的长度变化时，按照同样的方式放置，S始终不变，故，即． 故选：B． 25．（25-26八年级上·江苏南通·期中）由于科技创新与产业结构的优化，某种产品的原材料实现了一定幅度的降价，因而厂家决定对产品进行降价，现有两种方案：①第一次降价，第二次降价；②第一、二次降价均为．其中是互不相等的正数，记降价后方案①的产品价格为，方案②的产品价格为，则___________（填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】整式加减的应用、运用完全平方公式进行运算、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了整式混合运算的应用，完全平方公式的运用，作差法比较大小，解题的关键在于理解题意列出，的表达式．记产品原价为，根据题意分别表示出，，用作差法比较大小，即可解题． 【详解】解：记产品原价为， 则，， ， ∵互不相等的正数， ， ， 故答案为：． 26．（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列说法正确的序号是______． ①已知是有理数，且，时，则的值为或； ②四个数、、、满足，则最小的数是，最大的数是； ③如果定义，当，，时，的值为． 【答案】②③ 【知识点】带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查绝对值的意义、等式的性质等知识点，理解绝对值的意义成为解题的关键．根据绝对值的意义以及题中条件逐个分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴两个为正一个为负， 当两个为正一个为负时，不妨假设， ∴； 综上，则的值为，即①错误； ②∵， ∴各式同时加上得： ， 即， ∴最小的数是，最大的数是，即②正确； ③∵， ∴异号， 又∵， ∴负数的绝对值大于正数的绝对值， 又∵， ∴， ∴， 根据定义， ∴，即③正确． 故答案为：②③． 27．（25-26七年级上·辽宁鞍山·阶段检测）已知，，且，求_____． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、多个有理数的乘法运算、有理数加法中的符号问题 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，有理数的加法，有理数的乘法，熟练掌握以上性质是解题的关键．由条件和可知，，，均不为零，且其中恰好有一个负数，两个正数，然后分类讨论，根据绝对值的性质化简x的式子，求值即可解答． 【详解】解： 和， ，， 中恰好一个为负，两个为正， 当，，时， 可得：，，，，，， 。 当，，时， 可得：，，，，，， ， 当，，时， 可得：，，，，，， ， 综上，． 故答案为： 0． 28．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，把图1中周长为8的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A，B，C，D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为13的长方形中，则正方形A的周长与阴影部分的周长之比为_________． 【答案】/ 【知识点】整式加减的应用 【分析】设D号正方形的边长为x，C号正方形的边长为y，则A号正方形的边长为，B号正方形的边长为，E号长方形的长为，宽为，根据图1中长方形的周长为，求得，即可得出正方形A的周长，由图2求得，根据图2中长方形的周长为13求得，没有覆盖的阴影部分的周长为，计算即可得到答案． 【详解】解：设D号正方形的边长为x，C号正方形的边长为y， 则A号正方形的边长为，B号正方形的边长为， E号长方形的长为，宽为， 由图1中长方形的周长为8，可得，， 解得：， ∴正方形A的周长为； 如图， ， ∵图2中长方形的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴没有覆盖的阴影部分的周长为：， ∴正方形A的周长与阴影部分的周长之比为． 故答案为：． 【点睛】此题考查整式加减的应用，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题． 29．（25-26七年级上·上海·阶段检测）如图为某正方形的房屋结构平面图，其中主卧(面积较大)与客卧都为正方形，它们的面积之和比其余面积(阴影部分)多 ，则主卧与客卧的周长差_____ ． 【答案】 【知识点】整式加减的应用、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了二元一次方程的应用问题，完全平方公式，掌握解二元一次方程的方法是解题的关键． 假设主卧的边长为，客卧的边长为，且，根据面积列出方程求解即可． 【详解】解：假设主卧的边长为，客卧的边长为，且， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（负值已舍）， ∴主卧与客卧的周长差为， 故答案为：． 【考点5】数字规律探究 · 观察项与序号关系 · 错位相减求数列和 · 递推与周期规律 30．（2023·重庆铜梁·模拟预测）已知，，规定从第二个式子开始，每一个式子的倍等于它前、后两个式子的和例如：，，则下列说法正确的有（ ） （） （） （） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据所定义的运算，可求出，，，分析存在的规律，再逐项进行分析即可判断求解，解题的关键是求得，，，总结出存在的规律． 【详解】解：，，规定从第二个式子开始，每一个式子的倍等于它前、后两个式子的和， ， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ， ∴， ∴()，故()正确； ()，故()错误； () ， ， ， ，故()正确； 综上所述，正确的有个， 故选：． 31．（2024·重庆渝北·二模）已知代数式，，从第三个式子开始，每一个代数式都等于前两个代数式的和，，，…，则下列说法正确的是（    ） ①若，则 ② ③前2024个式子中，a的系数为偶数的代数式有674个 ④记前n个式子的和为，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】数字类规律探索、合并同类项 【分析】本题主要考查整式的规律，理解题意并根据已有代数式归纳出规律是解题的关键． 根据题目找出规律逐个判断即可解答． 【详解】解：由题意得：，，，，，，，，，， 若，则，故①正确； ，故②正确； 推理得：奇，偶，奇，三个为一个周期，故前2024个式子中，，则a的系数为偶数的代数式有675个，故③错误． 记前n个式子的和为，则，， 所以， 因为 ， ∴， 故④错误． 故选B． 32．（24-25七年级上·上海·期中）如图，动点从到原点距离为的点处向原点方向跳动，第一次跳到的中点处，第二次从点跳到的中点处，第三次从点跳到的中点处，如此不断跳动下去，第次跳动后，该动点到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数字类规律探索、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查了点的运动规律，根据计算可得每次运动后点距原点的距离是上一个点距原点距离的一半，据此即可求解，根据计算找到点的运动规律是解题的关键． 【详解】解：第一次跳动到的中点处，得， 第二次从跳到的中点处，得， 第三次从点跳到的中点处，得， ， ∴第次跳动后，该质点到原点的距离为， ∴第次跳动后，该质点到原点的距离为， ∵， ∴， 故选：． 33．（23-24七年级下·重庆江北·期末）有依次排列的2个整式：a，，对任意相邻的两个整式，每次都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生第一个整式串：a，2，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串，称为第二个整式串；以此类推．通过下列实际操作： ①第二次操作后整式串为：a，2，a，； ②第12个整式串中，从右往左第二个整式为； ③第2025次操作后，所有的整式的和为； ④第n个整式串比第个整式串少个整式． 以上结论中正确的有（    ）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】整式的加减运算、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了整式的加减运算法则，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 根据整式的加减运算法则进行计算即可解答． 【详解】 第一次操作后的整式串：，，， 第二次操作后的整式串：，，，， 故结论正确． 由题意得：第一个整式串：，，； 第二个整式串：，，，，； 第三个整式串：，，，，，，，，； 第四个整式串：，，，，，，，，，，，，，，，，； ．．．．．． 观察可得：第奇数个整式串，从右往左第二个整式为；第偶数个整式串，从右往左第二个整式为； 即第个整式串中，从右往左第二个整式为； 故结论错误． 第次操作后，所有的整式的和为，第次操作后，所有的整式的和为，第次操作后，所有的整式的和为，第次操作后，所有的整式的和为， ．．．．．． 依照规律可得第次操作后，所有的整式的和为； 第2025次操作后，所有的整式的和为； 故结论正确． 观察可得：第个整式串比第个整式串多个整式，第个整式串比第个整式串多个整式，第个整式串比第个整式串多个整式， ．．．．．． 依照规律可得第个整式串比第个整式串多个整式． 故结论正确； 故选：B． 34．（23-24九年级上·重庆·期中）有依次排列的两个整式，，用后一个整式B与前一个整式A作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式B求和操作得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式求和操作得到新的整式，……，依次进行作差、求和的交替操作得到新的整式．下列说法：①整式；②整式与整式相同；③；④若，则．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】整式的加减运算、数字类规律探索 【分析】本题考查整式加减的规律，根据题意得到整式加减的规律代入求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴，， 当时，解得：或， 故：①②③正确， 故选：C． 35．（23-24七年级下·重庆·期中）有依次排列的两个整式：，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得的差写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式串：，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：，该整式串包含5个整式；以此类推．记第次操作得到的整式串之和为．以下四个结论：①第三次操作后的整式串中共有8个整式；②第次操作后的整式串共有个整式（为正整数）；③第2024次操作后的整式串中所有整式的和为；④的值为3．正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【知识点】整式的加减运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字变化类，解决问题的关键是熟练掌握每一次操作的方法，每一次操作所产生的整式的个数与操作次数的关系规律，或所有整式之和与操作次数的关系规律．①根据第三次操作后整式的个数判定；②根据前四次操作结果，探究每次操作整式个数与操作次数关系的规律判定；③、④根据前四次操作结果，探究每次操作所有整式的和与操作次数关系的规律解答即可 【详解】解：①原整式为：， 第1次操作后所得整式串为：， 第2次操作后所得整式串为：， 第3次操作后所得整式串为：，共有9个整式，故①错误； 第1次操作后整式串共有3个整式，， 第2次操作后整式串共有5个整式，，， 第3次操作后整式串共有9个整式，， 第4次操作后整式串共有17个整式，， ……， 第n次操作后整式串共有整式个数为：，②正确； 第1次操作后所得整式串为：x，2，，所有整式之和为：， 第2次操作后所得整式串为：x，，3，，，所有整式之和为：， 第3次操作后所得整式串为：x，3，，，3，，，，，所有整式之和为：， 第4次操作后所得整式串为：x，，3，，，3，，，3，，，，，，，，，所有整式之和为：， ……， 第n次操作后所得所有整式的和为：， 故操作第2024次操作后所有整式之和为：， 故③正确； ∴ ． ， 故④正确， 故选：A． 36．（22-23七年级上·浙江温州·期中）排球比赛时，甲方6名队员开始站位如图所示，比赛开始由甲方1号位的选手发球，再轮到甲方选手发球时是第二轮发球，此时甲方全体队员按顺时针方向转一个位置（转一圈），即1号位的队员到6号位置，6号位到5号位，，此时2号位队员到1号位置发球，以此类推，如果甲方选手小花开场时站在6号位置，记；甲方第二轮发球时，小花站在号位置，，这场比赛甲方发了21轮球，则的值为_______． 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】此题主要考查了图形的变化规律，根据题意列举发现发球轮数与所占位置的规律是解题关键．分别列举出发球与所占位置的规律，进而得出两者之间的数字规律进而得出答案． 【详解】解：小花上场时，站在6号位置，第1轮发球时，站在⑥号位置，则； 第2轮发球时，站在⑤号位置，则； 第3轮发球时，站在④号位置，则； 第4轮发球时，站在③号位置，则； 第5轮发球时，站在②号位置，则； 第6轮发球时，站在①号位置，则； 第7轮发球时，站在⑥号位置，则； 第8轮发球时，站在⑤号位置，则； 由此可得，每6轮重复出现相应的位置上， ，， ． 故答案为：78 37．（25-26八年级上·上海虹口·阶段检测）已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……则的值为__________． 【答案】2025 【知识点】数字类规律探索、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了数字类规律，准确计算、发现规律是解题的关键． 先计算前几组数据，然后发现每三次变换为一个循环，然后运用规律解答即可． 【详解】解：根据题意，得，，故数组； ，，故数组； ，，故数组； ，，故数组； ∴每3次变换一个循环，且，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2025． 38．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： 【初步感知】______；______； 【归纳规律】表中的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就减少类似地，的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就______； 【问题解决】请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就减小3：______； 若要求x的值每增加1，代数式的值就增加5，且当时，代数式的值为你能找到这样的满足条件的代数式吗？请直接写出这个代数式______； 【计算验证】当x的值从a增加到时，猜想关于x的代数式（为一次项的系数），且的值会怎样变化，并通过计算加以说明； 【模型应用】某商店销售一种商品，每件进价为20元，当售价为40元时，每天仅能售出20件．若商店作降价促销，发现每降价1元，可多售出2件．当售价为______正整数元时，每天的销售利润最大． 【答案】【初步感知】1， 14 ； 【归纳规律】增加3 ； 【问题解决】（答案不唯一），； 【计算验证】代数式的x的值每增加1，代数式的值就增加k， 说明：当时，， 当时，， ， 代数式的x的值每增加1，代数式的值就增加k； 【模型应用】 【知识点】数字类规律探索、通过对完全平方公式变形求值、已知字母的值 ，求代数式的值、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了代数式的值，整式混合运算，解题关键是根据题意，发现规律． 【初步感知】把代入相应的代数式求值即可； 【归纳规律】从表中观察的值的变化规律可得结果； 【问题解决】根据要求写出符合条件的代数式即可； 【计算验证】分别把和代入代数式，通过计算得出结果． 【模型应用】设售价为x元，根据题意得出每天销售利润化简后根据偶次方的非负性求解即可． 【详解】解：【初步感知】当时，， ， 当时，， ， 故答案为：1，14； 【归纳规律】当时，， 当时，， 当时，， …… 的值的变化规律是：x的值每增加1，的值增加3， 故答案为：增加3； 【问题解决】代数式， 当时，， 当时，， …… 的值每增加1，代数式的值就减小3， 代数式， 当时，， 当时，， ……， 的值每增加1，代数式的值就增加5， 当时，， 代数式的x的值每增加1，代数式的值就增加5，且当时，代数式的值为， 故答案为：（答案不唯一），； 【计算验证】略 【模型应用】设售价为x元， 根据题意得：每天销售利润 ， ， ∴， 当时，每天销售利润有最大值，最大值为450， 故答案为：． 【考点6】新定义与阅读探究 · 严格按定义运算 · 赋值法发现规律 · 迁移阅读方法解题 39．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）某次社团活动中的有奖竞猜游戏共有4道单选题，分别有、、、四个选项，每道题10分，满分40分，答对得10分，答错得0分．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，已知乙同学答对了一半以上，则的值为（   ） A．50 B．40 C．30 D．20 【答案】B 【知识点】有理数加法运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了逻辑推理，有理数加减运算，根据乙同学答对了一半以上，得出乙同学至少答对了3道题，即，求出，然后根据四个同学的答案，进行推理，得出答案即可． 【详解】解：∵乙同学答对了一半以上， ∴乙同学至少答对了3道题， ∴， ∴， ∴甲、丙至少答对了2道题， 假设乙同学第3题答错，则另外3题都答对，而甲、丙的答案中另外3题答案都与乙不同，因此甲、丙一道题也没有答对，即，不符合题意； ∴第3题的答案一定是B， 假设乙同学4道题都答对，则甲、丙最多答对1道题，即，不符合题意； ∴乙同学答对了3道题， 假设第1题甲答对，乙答错，丙也答错了，则丙只答对了1道题，不符合题意； 假设第4题甲答对，乙答错，丙也答错了，则丙只答对了1道题，不符合题意； 假设第1题丙答对，乙答错，甲也答错了，则甲只答对了1道题，不符合题意； 假设第4题丙答对，乙答错，甲也答错了，则甲只答对了1道题，不符合题意； 假设第2题甲答对，乙答错，丙也答对了，则甲丙都答对了2道题，符合题意； ∴第1，4两个题甲、丙都答错，第2题甲、丙都答对了，乙答错了，即乙答对了另外3个题， ∴第1题答案为D，第2题答案为C，第3题答案为B，第4题答案为A， ∴甲、丙、丁都答对了2题，即，， ∴． 故选：B． 40．（2023·重庆铜梁·模拟预测）对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，如：，其中称a为“数1”，b为“数2”，+c为“数3”，为“数4”，为“数5”，若将任意两个数交换位置，则称这个过程为“换位运算”，例如：对上述代数式的“数1”和“数5”进行“换位运算”，得到：，则下列说法中正确的个数是（　　） ①代数式进行1次“换位运算”后，化简后结果可能不发生改变 ②代数式进行1次“换位运算”，化简后只能得到 ③代数式进行1次“换位运算”，化简后可能得到7种结果 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减，理解新定义及整式的运算是解题的关键．根据括号外面是“+”，去括号不改变括号里面式子的符号；括号外面是“”，去括号改变括号里面式子的符号；依此即可求解． 【详解】解：①代数式进行一次“换位运算”，当b、c进行“换位运算“，时，与原结果相等， 故①符合题意； ②在代数式中，将任意两个数交换位置，均不会改变每个数的符号，故化简后只能得到一种结果，均为，故②符合题意； ③代数式中，有三种情况： （1）a与b进行换位思考以及三个数中任意两个进行换位思考，化简后只有1种结果，均为：； （2）a与分别进行换位思考，化简后得到3种结果，分别为： ； （3）b与分别进行换位思考，化简后得到3种结果，分别为：， 故该代数式共得到7种结果，故③符合题意； 故选：D． 41．（24-25八年级上·重庆·开学考试）在整式，，前添加“”或“”，先求和，再求和的绝对值的操作，称为“优绝对值”操作，将操作后的化简结果记为M．例如： ，则，当时，M的化简求值结果为：．下列说法正确的个数为（    ） ①至少存在一种“优绝对值”操作，使得操作后的化简结果为常数； ②把所有可能的“优绝对值”操作后的式子化简，共有8种不同的结果； ③在所有可能的“优绝对值”操作中，若操作后的化简求值的结果为17，则满足条件的a有且只有一个，此时． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】整式的加减运算、运用完全平方公式进行运算、绝对值的几何意义 【分析】本题以新定义阅读题为背景考查了绝对值化简和相反数定义，考核了学生对绝对值和相反数定义的理解及灵活运用，弄清定义，读懂题目按照规律列举出所有可能结果解题事半功倍．根据题意，找出一种“优绝对值”操作使操作后化简结果为常数，即为正确，可判定①正确；写出所有可能的结果数，然后可判定②③错误． 【详解】解：使操作后化简的结果为常数，即使a的系数为0， 有，故①正确． ， ， 当时， ∵， ∴不可能等于17； 当 ， 当时，， ∴； 当 ， ∵， ∴不可能等于17； 当时， ∵， ∴不可能等于17； 当 ， 当时，， ∴； 当 ， ∵， ∴不可能等于17； ∴把所有可能的“优绝对值”操作后的式子化简，共有4种不同的结果，故②错误； ∴在所有可能的“优绝对值”操作中，若操作后的化简求值的结果为17，则满足条件的a有且只有一个，此时，故③错误； 综上分析可知：正确的有1个． 故选：B． 42．（24-25七年级上·上海·期中）式子，此时，叫做以为底的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如，则叫做以为底的对数，记为，则，同理，．由此可以得到下列式子：，根据以上的信息及运算关系，若，则______ 【答案】/ 【知识点】同底数幂相乘、运用完全平方公式进行运算、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查新定义，同底数幂的乘法，设，，，则，，，再根据同底数幂的乘法及新定义得到，和的关系，求解即可．正确理解新定义是解题的关键． 【详解】解：设，，， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 43．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·阶段检测）对于一个三位正整数，如果满足：百位数字、十位数字与个位数字之和等于15，那称这个数为“月圆数”，例如：，，是“月圆数”； ，，不是“月圆数”．若，都是“月圆数”， ，，，均为的整数），规定，若是去掉百位数字后剩余部分组成的一个两位数，是去掉其百位数字后剩余部分组成的一个两位数，若与的和能被11整除，则的值为________． 【答案】307 【知识点】因式分解的应用 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，根据题目给的新定义去求解，而找到字母之间的关系是解题的关键．根据“月圆数”的定义可得，，根据题意可得，再根据能被11整除的特征可得，依此可求，进一步得到，，从而可求，，再代入即可求出值． 【详解】解：，都是“月圆数”， ，，，均为的整数）， ，， ，， 是去掉百位数字后剩余部分组成的一个两位数，是去掉其百位数字后剩余部分组成的一个两位数， ，， ， 与的和能被11整除， ， 解得， ， ， ， ， ． 故答案为：307． 44．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）【方法】有一种整式处理器，能将二次三项式处理成一次式，处理方法是：将二次三项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次式的一次项系数，将二次三项式的常数项作为一次式的常数项．例如：经过处理器得到． 【应用】若关于的二次三项式经过处理器得到，根据以上方法，解决下列问题： （1）填空：若，则 ； （2）若，经过处理器得到结果，求的值． 【延伸】 （3）已知是关于的二次三项式，若是经过处理器得到的一次式，且关于的方程的解为正整数，求整数的值． 【答案】（1） （2） （3）整数的值为或 【知识点】多项式的项、项数或次数、整式的加减运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】（1）根据题意进行计算即可求解； （2）由，根据运算法则列方程即可求解； （3）根据题意得，又，得出，进而即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴二次三项式的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是5， ∴一次式的一次项系数=二次项系数+一次项系数，常数项为5， ∴； （2）∵ ， ∴， 又， ∴， 解得：； （3）∵且是经过处理器得到的一次式， ∴， 又， ∴， 整理得， ∵是关于的二次三项式， ∴，即， 又， ∴， 又方程的解为， ∵是正整数，且是整数， ∴， 解得， 又，， ∴或5． 💯 课后巩固 复习建议 · 概念辨析题逐项验证定义 · 乘法公式套用前先识别结构 · 因式分解先提公因式再选方法 · 规律题多算几项寻找周期 · 压轴题按步骤书写并检验 【作业1】．（23-24七年级下·重庆北碚·期中）的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算、乘方的应用 【分析】本题考查了平方差公式，有理数的乘方．熟练掌握平方差公式进行运算是解题的关键． 由题意知， ，由，可知每4个3相乘为1个循环，由，可知的个位数字为9，然后作答即可． 【详解】解：由题意知， …… ， ∵， ∴每4个3相乘为1个循环， ∵， ∴的个位数字为9， 故选：D． 【作业2】．（25-26七年级上·四川成都·期中）如果 A、B 都是关于 x 的次数不同的单项式（ A，B 都不是常数项），且 是一个八次单项式，则下列说法中正确的是（ ） ①可能是一个单项式；②可能是七次二项式；③的项数与 的项数一定相同； ④的次数与 的次数不一定相同． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【知识点】多项式的项、项数或次数、单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式的次数．熟练掌握单项式的次数是解题的关键． 由于和是关于的次数不同的单项式，且是八次单项式，设的次数为，的次数为，则且．和均因次数不同而无法合并，故均为二项式。通过具体例子验证各说法正误． 【详解】解：∵和是次数不同的单项式，且是八次单项式， ∴ 设的次数为，的次数为，则且． 对于说法①：可能是一个单项式。但由于，和不是同类项，无法合并，故总是二项式，不可能为单项式．①错误． 对于说法②：可能是七次二项式．若，，则的次数为7，且为二项式，例如，，则（八次），（七次二项式）．②正确． 对于说法③：的项数与的项数一定相同。由于，和均为二项式，项数均为2．③正确。 对于说法④：的次数与的次数不一定相同． ∵和的次数均为，且， ∴ 次数一定相同。④错误． 综上，②和③正确， 故选C． 【作业3】．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，如果，则M、N的值的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用，通过计算 M 与 N 的差值并因式分解，结合的条件判断符号，从而比较大小． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 故选： C． 【作业4】．（21-22七年级上·江苏扬州·期中）已知有理数．我们把称为的差倒数，如的差倒数是，的差倒数是，若，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依次类推，那么的和是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的除法运算、数字类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了有理数的加法运算和除法运算，根据定义计算出的值，即可得到，再根据该规律计算即可求解，由题意找到有理数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【作业5】．（25-26七年级上·上海普陀·期中）下列单项式中，与整式相加后不能组成某个整式的平方的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】整式的加减运算、运用完全平方公式进行运算、整式的判断、求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，通过完全平方公式验证每个单项式与相加后是否能组成完全平方式即可． 【详解】解：∵ 完全平方公式：，， A项：相加得，是完全平方式，不符合题意； B项：相加得，是完全平方式，不符合题意； C项：相加得，是完全平方式，不符合题意； D项：相加得，不是完全平方式，符合题意． 故选：D． 【作业6】．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）现有一列数，满足任意相邻三个数的和为同一常数，当，，时，________． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值、数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据题意得，，，依次可求出这一列数的所有的数，代入即可求解． 【详解】解：满足任意相邻三个数的和为同一常数， ， ， ， 解得：， ， ， 同理可求： ， ， ， ． 【作业7】．（25-26七年级上·上海·期中）如果正整数，，满足，这样的正整数对共有______个 【答案】2 【知识点】加减消元法、平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式的应用，解二元一次方程组，利用平方差公式分解因式得到，根据题意可得是正整数，是正整数，再把64分解成两个正整数的乘积，进而建立关于x、y的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴是正整数， ∴是正整数， ∵， ∴或或或， 解得（舍去）或或或（舍去）， ∴这样的正整数对有和，共2个， 故答案为：2． 【作业8】．（23-24七年级下·重庆丰都·期末）现在一个四位数，如果它的个位数字与百位数字相差为1，十位数字与千位数字相差为2，那么称为“二一差数”，则最小的“二一差数”为_____________；如果一个“二一差数”能被6整除，将其千位数字与个位数字之和记为，百位数字与十位数字之和记为，当能够被整除时，满足条件的“二一差数”的最大值与最小值之和为____________． 【答案】 1031 6222 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查新定义“二一差数”的运用，通过定义得到对应的数位间的关系，通过推导和讨论，得到最后最大值，最小值． 本题通过给出的“二一差数”的概念，得出各个数位之间的关系，要求最小的“二一差数”，则千位为1，百位为0，得出最小的“二一差数”Q；根据Q能被6整除，得到各个数位的数字和是6的倍数，再分四种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，通过讨论，得到对应的值和值，即可求得答案． 【详解】由题意可知，设这个“二一差数”的各个数位为、、、， 即，， 最小的“二一差数”的千位数字为，百位数字为， ， ∴最小的“二一差数”． ∵，能够被整除， ∴为整数， ∴为非负整数， ①当时，， ∵， ∴， ∴， ∵为非负整数， ∴， ∴， ∴， ∴此时， ∵能被6整除， ∴此时符合题意； ②当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为非负整数， ∴或， 当时，或， 此时或， ∴或2102， ∵和2102都不能被6整除， ∴和2102都舍去； 当时，或或或， 当时，，能被6整除，符合题意； 当时，，不能被6整除，不符合题意； 当时，，能被6整除，符合题意； 当时，，不能被6整除，不符合题意； ③当时，， ， ， ， ， ∵为非负整数， ， ， ， ∴此时没有符合条件的存在； ④当时，， ， ， ， ， ∵为非负整数， ， ， ， ∴此时没有符合条件的存在； 综上所述，Q最大值为4122，最小值为2100， 则， 故答案为：1031，6222． 【作业9】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知，则___________． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，解决此题的关键是运用换元思想；先把和看作m和n，已知条件变成了两个数的乘积，根据已知可得两个数的差，进而运用完全平方公式即可得到答案； 【详解】解：令，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【作业10】．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第行、第列的数是________． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字类规律探究．观察图表可知，第n行第一个数是，所以，第45行第一个数是，则2026为第1行，第46列的第一个数，据此可得答案． 【详解】解：观察图表可知，第n行第一个数是，且排完个数后，从第1行第列开始排列这个数， ∴第行，第列的数是， ∴2026为第1行，第46列的第一个数， ∴第行，第列的数是． 故答案为：． 【作业11】．（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读材料：计算： 运用上述方法求__________． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，通过观察原式，仿照阅读材料的方法，将原式分子分母同时乘以，利用平方差公式逐步化简，最终得到结果． 【详解】解： ． 故答案为：2． 【作业12】．（25-26七年级上·上海闵行·期中）【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图2可得等式：_______；由图3可得等式：_______； (2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，求的值； (3)如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则_______； (4)如图4，若有张边长为的正方形纸片，张边长分别为、的长方形纸片，张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为_______． (5)已知正数、、和、、，满足．试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明． 【答案】(1)，； (2) (3) (4) (5) 证明：如图， 构造了一个边长为的正方形，， 在正方形的个边上分别截取，，， ， ，，，， 个长方形的面积和为，大正方形的面积为， ． 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题用“等积法”解决多项式乘积的代数问题，渗透数形结合的思想，用代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． （1）大长方形的面积长宽，也等于图中多个小正方形和小长方形面积的和，两种方法求得的大长方形的面积相等，即“等积法”得到等式． （2）用（1）的结论变形后代入求值； （3）根据找到、、对应的值，代入求值； （4）通过分析，找到可以拼成正方形的可能的情况，然后找到正方形的边长最大； （5）通过构造边长为的正方形，用个长方形的面积表示，用面积直观地说明． 【详解】（1）解：由图2可得等式， 由图3可得等式， 故答案为：，； （2） ，，， ； （3） ， 长方形可以看成张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼成的大长方形， ，，， ； 故答案为：； （4）想从中取出若干张纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接）， 选取的纸片的面积和必须构成完全平方式， 可以选取张边长为的正方形纸片、张边长分别为、的长方形纸片、张边长为的正方形纸片，此时围成的正方形面积为， 此时正方形的边长为； 选取张边长为的正方形纸片、张边长分别为、的长方形纸片、张边长为的正方形纸片，此时围成的正方形面积为， 此时正方形的边长为， ， 拼成的正方形的边长最长为， 故答案为：； （5）略 【作业13】．（23-24七年级上·江苏镇江·阶段检测）观察下列各式：；；；；； (1)探索式子的规律，试写出第个等式； (2)运用上面的规律，计算； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、含乘方的有理数混合运算 【分析】（）根据式子的规律，可得； （）利用（）的结论递推，得出答案即可； （）把式子乘递推得出答案即可； 本题考查了数字类变化规律，得出数字次数的变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵；；；；， ∴第个等式为； （2）解： ， ， ； （3）解： ， ， ． 【作业14】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）用简便方法进行计算： 【答案】2 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握积的乘方的逆运算是解题的关键．把拆分为，再利用积的乘方的逆运算，将与结合起来进行简便计算． 【详解】解：原式 ． 【作业15】．（25-26七年级上·上海·期中）观察下面三行数： 2，，8，，32，，…； 4，，10，，34，，…； ，3，，15，，63，…． (1)每一行的第8个数分别为________，________，________； (2)第一行中相邻三个数的和为1536，求这三个数； (3)取每行数的第n个数，这3个数中最大的数记为a，最小的数记为b，若，求n的值． 【答案】(1) ，，255 (2)512，，2048 (3)8 【知识点】数字类规律探索、含乘方的有理数混合运算、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查数字规律的探索和代数式的求解。第一行数的规律是第n个数为，第二行数的规律是第一行对应数加2，第三行第n个数为． （1）直接计算第8个数； （2）通过设未知数，利用相邻三个数的和列方程求解； （3）需要分n为奇数和偶数两种情况讨论大小关系，再解方程． 【详解】（1）解：第一行第n个数为，第8个数为； 第二行第n个数为第一行第n个数加2，第8个数为； 第三行第n个数为，第8个数为． 故答案为：，，255． （2）设第一行第n个数为，则相邻三个数之和为． 令， 解得． ∵且， ∴． 这三个数分别为： 第9个数， 第10个数， 第11个数． （3）设第一行第n个数为， 第二行第n个数为， 第三行第n个数为． 当n为奇数时，，，，最大数，最小数． 则， 解得，无整数解． 当n为偶数时，，最大数，最小数． 则， 解得，， ∴． (1)如图，用含的代数式表示两个正方形纸片的面积之和：______； 当时，两个正方形纸片的面积之和：______． (2)如图，如果两个正方形纸片的面积之和为，阴影部分的面积为，试求的值． (3)现将正方形纸片并排放置后构成新的正方形（图），将正方形放在正方形的内部（图），如果图和图中阴影部分的面积分别是和，那么两个正方形纸片的面积之和为：______． 【答案】(1)， (2)， (3) 【知识点】整式加减的应用、几何问题(二元一次方程组的应用)、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，完全平方公式的应用，整式的加减的应用，熟练掌握完全平方公式，正确找出题目中的等量关系是解题关键． （1）设两个正方形纸片的边长分别为，根据图形的特点列出方程组，从而求出大正方形的面积与小正方形的边长，进而得到面积和，再代入计算即可． （2）设两个正方形纸片的边长分别为，由题意得：，，进而求出，，即可求出的值． （3）设两个正方形纸片的边长分别为，由题意得：，，进而求得，即可求出面积和． 【详解】（1）解：设两个正方形纸片的边长分别为， 由题意得：， 解得：， ∴两个正方形纸片的面积之和为， 即， 当时，两个正方形纸片的面积之和为， 故答案为：，． （2）解：设两个正方形纸片的边长分别为， 由题意得：，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，． （3）解：设两个正方形纸片的边长分别为， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴两个正方形纸片的面积之和为， 故答案为：． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． （1）根据题中所给方法可进行因式分解； （2）根据题中所给方法可进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． (1)如图，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积．方法①________；方法②_______由此可以验证的乘法公式是_____． (2)类似地，在棱长为a的正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积．方法①_______；方法②_______．由此可以得某个多项式因式分解的等式是______，并用所学过的知识说明这个等式成立． (3)结合并使用（2）得到的等式分解因式：． 【答案】(1)；；； (2) 方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：右边 左边 ； (3) 【知识点】平方差公式与几何图形、立方和与立方差公式分解因式 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，弄清楚图中阴影部分面积的求法是解题的关键． （1）阴影部分的面积可以直接求，也可以间接求，由此验证平方差公式即可； （2）阴影部分的面积可以直接求，也可以间接求，由此验证平方差公式即可； （3）可将看作，进而根据计算即可． 【详解】（1）解：方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：右边左边 ； 故答案为：；；； （2）略 故答案为：；；； （3）解： ． 【答案】． 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的应用，解决此题的关键是正确的计算；先把式子变形运用完全平方公式和平方差公式运算，最后再计算即可； 【详解】解： ， ， ， ， ． 【答案】（1）①；②；（2）①；②处，9；（3）他取完工具后的速度应为米/分钟 【知识点】整式加减的应用、有理数四则混合运算的实际应用、绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】（1）①理解题意，结合A、B、C三个小区在数轴上对应的数分别为、3、7，且接送点P设在的中点处，进行列式计算，得点P在数轴上对应的数是；②理解题意，再列式计算，得出A、B、C到P点的距离之和； （2）①先理解题意，列式，即可作答．②结合，再进行分类讨论，化简计算，即可作答． （3）理解题意，算出校车到达P处的时间：小时分钟，以及A小区到P点距离500米，则小海走一半回去取东西再往P处的距离为米， 取东西再往P处的时间为分钟，又因为取东西4分钟，得总用时分钟，因为分钟分钟，小海不能在校车到达之前到达P处，依题意，小海返回A小区取完东西，用时（分钟），再次赶往P处，则速度为（米/分钟），即可作答． 【详解】（1）解：①∵A、B、C三个小区在数轴上对应的数分别为、3、7，且接送点P设在的中点处， ∴， 即点P在数轴上对应的数是， 故答案为：； ②依题意，， ∴在①的条件下，A、B、C到P点的距离之和为， 故答案为： （2）解：①∵设点P对应的数为x，用含x的代数式表示三个小区到点P的距离之和S， ∴， 故答案为：； ②由①得， 当时，则， 当时，则， 此时， ∴， 即， 仅当时，， 当时，则， 此时， ∴， 当时，则， 综上：当点P设在处，即B小区处，S取最小值为9， 故答案为：处，9； （3）解：∵校车从学校出发，以的速度到P点接学生，学校到接送点P的路程． ∴校车到达P处的时间：小时分钟， 则， 即A小区到P点距离500米， 则小海走一半回去取东西再往P处的距离为（米）， 依题意，小海走一半回去取东西再往P处的时间：（分钟） ， ∵取东西4分钟， ∴总用时（分钟）， ∵分钟分钟，小海不能在校车到达之前到达P处， 依题意，小海返回A小区取完东西，用时（分钟），再次赶往P处， 则速度为（米/分钟）， ∴他取完工具后的速度应为米/分钟． 【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，整式的加减运算的应用，有理数的混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． (1)当时，某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费． (2)设某户月用水量为立方米，当时，则该用户应缴纳的水费．（用含有的整式表示）． (3)当时，甲、乙两用户一个月共用水，已知甲用户缴纳的水费超过了元，设甲用户这个月用水，试求甲、乙两用户一个月共缴纳的水费（用含的整式表示）． 【答案】(1)元 (2)元 (3)当时，共缴纳的水费元；当时，共缴纳的水费元；当时，共缴纳的水费元 【知识点】整式的加减运算、列代数式、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（）根据收费标准计算即可求解； （）根据收费标准列出算式即可； （）先判断甲户的用水量大致范围，再分、和三种情况列式表示即可； 本题考查了有理数的混合运算、列代数式等知识点，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 答：该用户这个月应缴纳元水费； （2）解：当时，该用户应缴纳的水费为： 元； （3）解：∵甲用户缴纳的水费超过了元， ∴， ①当时，， 甲用户缴纳的水费为， 乙用户缴纳的水费为， 甲乙共缴纳的水费为元； ②当时，， 甲用户缴纳的水费为， 乙用户缴纳的水费为， 甲乙共缴纳的水费为元； ③当时，， 甲用户缴纳的水费为， 乙用户缴纳的水费为， 甲乙共缴纳的水费为元； 答：当时，共缴纳的水费元；当时，共缴纳的水费元；当时，共缴纳的水费元． （2）已知，求的值． 【答案】（1），；（2） 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、已知字母的值 ，求代数式的值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】（1）中括号内先根据完全平方公式与平方差公式展开，合并同类项，再做中括号外的除法，最后代入数据求值即可； （2）将拆分项变形，整体代入，再变形整体代入化简即可． 【详解】（1）原式 ， 将，代入， 则原式． （2）， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值．熟练掌握完全平方公式，平方差公式，合并同类项，多项式除以单项式，折分项，整体代入求值，是解题的关键． 【答案】或 【知识点】因式分解的应用 【分析】将进行因式分解，变形为，再分别求解即可． 【详解】解： ， ， 可得或， 当时，； 当时，， ，， 综上，的值为或． (1)双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下表： 现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． (3)若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为a元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变．求此时a的值和总费用． 【答案】(1)单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元； (2)购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各支，双色圆珠笔支 (3)此时的值为，总费用始终不变，总费用为元． 【知识点】整式加减的应用、整式加减中的无关型问题、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式的应用，根据题意列出方程和整式是解题的关键． （1）设单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元，根据列出方程求解即可； () 设购买单色圆珠笔支，三色圆珠笔支，则双色圆珠笔支，然后分购买球珠直径、球珠直径三色圆珠笔的总费用等于列方程，解方程取符合题意的值即可； () 设购买支三色圆珠笔，则单色圆珠笔支，双色圆珠笔支，总费用为元，由题意列出方程，根据总费用始终不变，求出和的值即可． 【详解】（1）解：设单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为 元， 由题意得：， 解得， ∴， 答：单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元； （2）解：设购买单色圆珠笔支，三色圆珠笔支，则双色圆珠笔支， 当选球珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得，不合题意； 当选球珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得， ∴，符合题意， 答：购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各支，双色圆珠笔支； （3）解：设购买支三色圆珠笔，则单色圆珠笔支，双色圆珠笔支，总费用为元， 由题意得： ， ∵与无关， ∴， 解得：， ∴， 答：此时的值为，总费用始终不变，总费用为元． （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：用含a、b的代数式表示出来： 图1表示：______；图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）请直接写出下列问题答案： ①若，，则______； ②若，则______． （3）如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1），；（2） ①；②；（3） 【知识点】整式的混合运算、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景、整式的混合运算-化简求值，熟练掌握以上知识点是关键； （1）根据几何图形面积计算方法填空即可； （2）利用图1图2的计算公式计算即可； （3）根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：（1）图1中，，组成大正方形四部分面积之和， 即：， 图2中，， 即：， 故答案为：，； （2）①由图2可得， ，， ， ②由图1可得：， ， ， ， 故答案为：①；②13； （3）由题意可得， ， ， ， ， 数学活动课上，王老师准备了若干个图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形. （）若小明想用图中的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要三种纸片共______张； （）小兰用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成了图所示的大正方形，在用两种不同的方法求此大正方形的面积时，小兰发现了代数式，，之间的等量关系式，这个关系式是：____________； （）小静用种纸片一张，种纸片一张，如图所示放置，连接，与边构成直角三角形，若，，根据（）题中的等量关系，请你帮小静求出直角三角形的面积． 【答案】（）；（）；（）． 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、多项式乘多项式与图形面积、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（）利用多项式乘多项式的法则运算，观察各项的系数即可求解； （）利用图大正方形的面积等于部分面积之和解答即可求解； （）把，代入（）中的关系式，求出的值即可求解； 本题考查了完全平方公式，完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式和多项式乘多项式的法则是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴需要种纸片张，种纸片张，种纸片张，三种纸片共张， 故答案为：； （）∵图大正方形的面积等于部分面积之和， ∴， ∴， 故答案为：； （）∵，，， ∴， ∴， ∴， 即直角三角形的面积为． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．根据题意，把作为一个整体，则原式可分解为，再继续分解，可得到结果． 【详解】解： ． 分解因式： 解： 以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值相等，必须减去同样的一项.请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解、完全平方公式、平方差公式，首先阅读材料、掌握材料分解因式的方法，类比材料中提供的解题思路解答即可． 首先在原式中凑出完全平方式，先完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式； 在原式中凑出完全平方式，先完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【答案】 【知识点】十字相乘法、完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查换元法、十字相乘法和完全平方公式，利用换元法进行化简是解题的关键． 首先将用t进行表示并结合十字相乘法进行化简，化简结束后将再代入并结合完全平方公式进行化简即可． 【详解】解：令，则， ∴． 【问题背景】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）用“算两次”的方法计算图2中阴影部分的面积：第一次列式为_______，第二次列式为_______．因为两次所列算式表示的是同一个图形的面积．所以可以得出等式_______； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值； 【知识迁移】 （3）根据图3，写出一个代数恒等式：_______； 【思维创新】 （4）利用（3）中得出的恒等式，解决下面的问题： 若，，则的值是_______ 【答案】（1），，；（2）；（3）；（4）． 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查的是利用几何图形的面积推导代数公式． （1）第一次求解阴影部分的边长，再计算面积，第二次利用大的正方形的面积减去四个长方形的面积，从而可建立等式； （2）将，代入计算即可； （3）根据大正方形面积等于九个小图形的面积和列等式计算即可； （4）将，代入计算即可． 【详解】（1）解：因为小正方形的边长为：， 所以第一次计算的面积为：， 第二次计算的面积为：， 所以：； 故答案为：，，； （2）解： ； （3）解：由图3可得：； 故答案为：； （4）解：∵，， ∴， 即． 故答案为：． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 【答案】(1)， (2)如图所示（标序号部分）即为所求： (3)①；② 【知识点】图形类规律探索、乘方的应用 【分析】（1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积； （2）依照题目的示范作图即可； （3）①利用数形结合的思想，用整个正方形的面积减去阴影部分的面积即可确定答案；②利用整体思想，令将等式两边同时乘以得：，两式子相减，即可得出答案． 【详解】（1）由题知， 正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， 所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等． 又因为部分①的面积为：， 部分②的面积为：， 部分③的面积为：， …， 依次类图，部分n的面积为． 当时， ． 所以阴影部分的面积为． ∵， ∴． 故答案为：；． （2）如图所示（标序号部分）即为：求的值的几何图形 （3）①根据（2）中的发现可知， ． 故答案为：． ②令 将等式两边同时乘以得：， 将②式减去①式得，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形变化的规律，数形结合思想以及整体思想的巧妙运用是解题的关键． 【答案】当为偶数时，最小值为； 当为奇数时，最小值为． 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值的几何意义 【分析】先将按从小到大的顺序排列，再分为偶数及为奇数进行讨论求解． 【详解】解：先将按从小到大的顺序排列，记为. 当为偶数时，设（为正整数），当满足时，原式取得最小值， 最小值为. 当为奇数时，设（为非负整数），当时，原式取得最小值， 最小值为． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、分式乘除混合运算、零指数幂、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算、负整数次幂、幂的乘方、积的乘方等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据负整数次幂、幂的乘方、积的乘方化简，然后再运用分式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解： ． 如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为6，． (1)原点O （填“是”或“不是”）“关联点”； (2)若点C是“关联点”，则点C所表示的数 ； (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动1个单位长度，则运动时间为 秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为 ； (4)点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子为定值，求出m，n满足的数量关系． 【答案】(1)是； (2)0或； (3)2；2； (4) 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、整式加减中的无关型问题、数轴上两点之间的距离 【分析】本题是数轴上新定义应用题，主要运用“数轴上表示数a、b（）的两点之间的距离为”来解题． （1）根据已知条件及新定义即可判定； （2）根据已知条件及新定义得出等式，再分类讨论点C的位置，得出满足条件的值； （3）设运动t秒，根据数轴是两点距离的计算方法用含t的代数式表示、，再根据新定义得出关于等量关系，由“n是正整数”求出n、t即可； （4）设点Q表示的数为，根据新定义、已知条件，得出用m、n、表示的代数式，再由“点Q运动时，式子为定值”知：关于的代数式中的系数为0，从而得出整数m、n满足的数量关系． 【详解】（1）解：点A，点B表示的数分别为6，， ，， ， 原点是“关联点”， 故答案为：是； （2）点A，点B表示的数分别为6，， ， 若点是“关联点”，则， 当点在线段上时，， 此时，点所表示的数为； 当点在线段的延长线上时，， 此时，点所表示的数为， 综上所述，点所表示的数0或， 故答案为：0或； （3）若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动1个单位长度，设运动秒， 则A表示的数，B表示的数， 原点O恰好是“关联点”， 是正整数），即有， ， 是正整数， 而，为4的约数， ，即， 即运动时间为2秒时，原点恰好是“关联点”，此时的值为2， 故答案为：2；2； （4）点在A、之间运动，且不与A、两点重合，作“整2关联点”，记为，作“整3关联点”，记为，且满足、分别在线段和上， 设点表示的数为，则 ，， ，， ，， ， 当点运动时，若存在整数、，使得式子为定值，则， ． 即整数、满足的数量关系是． 经过研究，这个问题的一般性结论是，其中ｎ是正整数．现在我们来研究一个类似的问题： 观察下面三个特殊的等式 将这三个等式的两边相加，可以得到 读完这段材料，请你思考后回答： (1)　　　　　； (2)　　　　　　　　； (3) ． 【答案】(1)343400 (2)26527650 (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查的是探索规律的题目， （1）根据三个特殊等式相加的结果，代入公式进行计算即可求解； （2）先对特殊等式进行整理，从而找出规律，然后把每一个算式都写成两个两个算式的运算形式，整理即可得解； （3）根据（2）的求解规律，先对特殊等式进行整理，从而找出规律，然后把每一个算式都写成两个两个算式的运算形式，整理即可得解； 解答本题的关键是读懂题目信息，学会把乘法算式拆写成两个式子的运算形式． 【详解】（1） （2） （3） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $