专题11.2 乘法公式（1）平方差公式（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制七年级上册

本讲义聚焦平方差公式这一核心知识点，前承整式乘法一般法则，后启其他乘法公式学习。通过代数推导与面积法几何证明理解公式意义，再从适用条件辨析到变形使用、简便计算、几何应用，构建递进式学习支架。 该资料特色在于融合几何直观与代数推理，如面积法证明培养数学眼光，典例变式分层训练提升运算能力与推理意识。含大数简便计算、榫卯结构体积等实例，体现模型意识与应用意识，课中助教师高效教学，课后供学生强化练习查漏补缺。

专题11.2(1) 乘法公式——平方差公式 教学目标 1. 经历平方差公式的推导过程，理解公式的几何意义与代数意义。 2. 精准把握公式的结构特征、适用条件。 3. 熟练运用公式进行整式的乘法计算、大数简便计算。 教学重难点 1.重点 熟练运用公式进行整式的乘法计算。 2.难点 快速识别公式的适用条件和灵活运用公式计算。 知识点01 平方差公式 1. 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 2. 平方差公式的推导过程 3. 用面积法证明公式 3. 平方差公式的适用条件 (-a+b)(a-b) 符号都相反 (-a-b)(-a+b) 一同一反 (-a+b)(a+b) 一同一反 (a+b)(b+a) 符号都相同 (-a-b)(a+b) 符号都相反 (b-a)(-a-b) 一同一反 【即学即练】 1.（1）计算：． （2）巧用公式计算：． 2. 从图到图的变化过程中可以发现的结论是（   ） A． B． C． D． 知识点02 平方差公式的应用 1. 公式变形使用 （1）改变顺序后使用 （2）改变符号后使用 2. 简便计算（大数化简） 如： 3. 整式乘法的混合计算 （1）连续套用公式 如： （2）整式乘法的混合计算 ①整式乘法的混合计算类似于有理数的混合运算的顺序。 ②在混合计算中要快速、准确的识别出平方差公式。 【即学即练】 1. 计算：． 2．计算：计算：． 题型01 平方差公式的适用条件 【典例1】下列各式可以利用平方差公式计算的是(    ) A． B． C． D． 【变式1】下列各式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列整式乘法能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列各式中能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 【变式4】若有理数、满足，则（   ） A． B． C． D． 题型02 利用平方差公式直接计算 【典例1】先化简，再求值：，其中； 【典例2】先化简，再求值：，其中，． 【变式1】计算：； 【变式2】计算： 【变式3】已知，则____________． 【变式4】计算： (1)． (2)． 题型03 变号后使用平方差公式 【典例1】计算：． 【变式1】计算：． 【变式2】计算： （1）____________． （2）____________． （3）____________． 【变式3】计算： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______； （6）______． 【变式4】已知，则______． 题型04 利用平方差公式巧算 【典例1】计算：_______． 【变式1】__________________． 【变式2】用简便方法计算：_____． 【变式3】计算：． 【变式4】用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 题型05 平方差公式的几何图形应用 【典例1】霍州鼓楼位于山西霍州市城内中心，明万历十一年（1583年）建，又称文昌阁．其结构外表是明二假三层，它的间架结构复杂新颖、巧妙结合，采用了我国古建筑中的一种凹凸结合的连接方式——榫卯（sǔn mǎo）结构，精密谨严天衣无缝，行家里手惊佩它是工艺精湛超群绝伦．如图①是一个榫卯结构的零部件，图②是其截面图，整体是一个长为，宽为的长方形，中间凿掉一个边长为的正方形，且该零件的高为．求这个零部件体积．      【典例2】如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）． (1)将图1阴影部分的面积记为，图2的面积记为，若用含a、b的代数式表示和，则______，______； (2)根据简拼过程易得，从而得到关于a、b的等式为__________ (3)利用（2）中的结论，求的值． 【变式1】某中学建了一个长方体游泳池，若游泳池的长为m，宽为m，深为m，则这个游泳池的容积是多少？ 【变式2】小明的爷爷规划将一长为米、宽为米的长方形土地修改布局，如图所示．具体规划为：在这个场地中分割出一块长为米、宽为米的长方形场地盖凉亭，其余的地方不动． (1)求除凉亭外的区域面积； (2)若，，求除凉亭外的区域面积． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)．甲方为建设一项目，准备向乙方租赁一块边长为千米的正方形土地，乙方场地租赁费为每年每平方千米30万元．后来甲方因为项目调整，需要将正方形场地的一边长增加500米，另一边长减少500米，乙方提出增加的边长和减少的边长一样，所以每年租金不用调整．乙方的说法合理吗？如果不合理，请计算出甲方应付的租金如何调整． 【变式4】【观察发现】在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形（图①）． (1)图①中的阴影部分的面积为___________（用含的代数式表示）；将图①中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形（图②），那么这个长方形的面积为___________（用含的代数式表示）； (2)结合图①、图②，可以得出一个代数恒等式：___________； (3)根据（2）中的结论计算：； (4)【灵活应用】图③为2025年4月的日历，从中画出一组用5个数字组成的形图案（阴影部分），先观察这5个数之间的数量关系，再从特殊到一般，从图③中任意找一个形图案（如图④），若设这个形图案的中心数为，、、、所对应的数分别设为、、、，请求出的值． 题型06 整式乘法的混合计算 【典例1】化简： 【典例2】先化简，再求值：，其中，． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1) (2) 【变式3】先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【变式4】小明遇到下面一个问题：计算．小明的解法如下： ． 已知，请你根据小明的方法，化简：． 1．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 2．下列计算结果等于的是（    ） A． B． C． D． 3．若，，则的值为（    ） A． B．12 C． D．7 4．计算：__________． 5．若，且，则的值是________． 6．计算：______． 7．计算：___________． 8．运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 9．计算． (1) (2) 10．先化简，再求值：，其中，． 11．先化简再求值：，且单项式与是同类项． 12．如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，请用含a，b的代数式表示和． (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式． (3)运用（2）中得到的公式，计算：． 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．若 ，则代数式M 应为（     ） A． B． C． D． 3．定义，若，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 4．下列图形中，不能借助图形面积验证正确性的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，两个部分重合的正方形边长分别为，，不重合的面积分别为，．若已知，，则________． 6．如图所示图象表示的个位数字随m（m为正整数）变化的规律，则的个位数字是_________． 7．观察下列等式：，，，，……，依此规律归纳可知，第个等式是：_______． 8．计算题 (1) (2) 9．化简： (1)． (2)． 10．王老师在黑板上写下了四个算式： ①； ②； ③； ④； 认真观察这些算式，并结合你发现的规律，解答下列问题： (1)________；________． (2)嘉嘉发现上述算式的规律可以用文字语言概括为：“两个连续偶数的平方差一定能被整除”，如果设两个连续偶数分别为和（为非负整数），请你用含有的算式验证嘉嘉发现的规律． 11．如图，在边长为a的正方形上裁去边长为b的正方形． (1)图1，阴影面积______； (2)图2是将图1中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，其面积是______（写成多项式乘法的形式）； (3)由上图可以得到乘法公式______； (4)运用得到的公式，计算：． 12．在平方差公式这一节中，我们从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图2）． 【公式推导】 (1)课堂上我们用两种不同的方法计算图②中拼合后的大长方形的面积，并用多项式乘多项式法则推导，得到的乘法公式是________； 【基础应用】 (2)应用所得公式简便计算：； 【拓展应用】 (3)应用你在（1）中得到的乘法公式，计算：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.2 乘法公式 教学目标 1. 经历平方差公式的推导过程，理解公式的几何意义与代数意义。 2. 精准把握公式的结构特征、适用条件。 3. 熟练运用公式进行整式的乘法计算、大数简便计算。 教学重难点 1.重点 熟练运用公式进行整式的乘法计算。 2.难点 快速识别公式的适用条件和灵活运用公式计算。 知识点01 平方差公式 1. 平方差公式 = 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 2. 平方差公式的推导过程 = 3. 用面积法证明公式 3. 平方差公式的适用条件 (-a+b)(a-b) 符号都相反 (-a-b)(-a+b) 一同一反 (-a+b)(a+b) 一同一反 (a+b)(b+a) 符号都相同 (-a-b)(a+b) 符号都相反 (b-a)(-a-b) 一同一反 【即学即练】 1.（1）计算：． （2）巧用公式计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是整式的混合运算及平方差公式的应用， （1）先算平方差公式及单项式乘法，再合并即可； （2）利用平方差公式计算即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． 2. 从图到图的变化过程中可以发现的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，利用面积法验证公式是解题的关键．通过观察图到图的图形变化，分别计算出两个图形的面积，再根据图形剪拼前后面积不变的原理，即可推导出平方差公式． 【详解】解：图一的面积可表示为， 图二的面积可表示为， ， 知识点02 平方差公式的应用 1. 公式变形使用 （1）改变顺序后使用 （2）改变符号后使用 2. 简便计算（大数化简） 如： 3. 整式乘法的混合计算 （1）连续套用公式 如： （2）整式乘法的混合计算 ①整式乘法的混合计算类似于有理数的混合运算的顺序。 ②在混合计算中要快速、准确的识别出平方差公式。 【即学即练】 1. 计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用平方差公式进行计算即可得出结果，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解： ． 2．计算：计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，利用平方差公式和多项式乘以多项式的法则，进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 题型01 平方差公式的适用条件 【典例1】下列各式可以利用平方差公式计算的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式，平方差公式的结构为，要求相乘的两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A:，其中是相同项，与互为相反数，符合平方差公式结构，可得，可以用平方差公式计算，此项符合题意． 选项B:，不符合平方差公式结构，不可以用平方差公式计算，此项不符合题意． 选项C:，不符合平方差公式结构，不可以用平方差公式计算，此项不符合题意． 选项D:，不符合平方差公式结构，不可以用平方差公式计算，此项不符合题意． 【变式1】下列各式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平方差公式为，要求两个二项式相乘时，有一项完全相同，另一项互为相反数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，两项均互为相反数，不符合要求，不能用平方差公式计算； B、，没有完全相同的项，不符合要求，不能用平方差公式计算； C、，虽然项相同，但与不互为相反数，不符合要求，不能用平方差公式计算； D、中，是完全相同的项，与互为相反数，符合平方差公式的结构，可以用平方差公式计算，符合题意． 【变式2】下列整式乘法能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．中不存在完全相同的项，不满足平方差公式的特点，不能用平方差公式计算； B．，相同项为，相反项为和，满足平方差公式的特点，能用平方差公式计算； C．，两项均互为相反数，不满足平方差公式的特点，不能用平方差公式计算； D．，两项均互为相反数，不满足平方差公式的特点，不能用平方差公式计算． 【变式3】下列各式中能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两个二项式相乘，存在相同项和互为相反项，即可用平方差公式计算． 【详解】解：选项：，两项均为相反项，不符合要求； 选项：，两项均为相反项，不符合要求； 选项：，相同项是，相反项是和，符合平方差公式的结构，可以用平方差公式计算； 选项：，两项均为相反项，不符合要求． 【变式4】若有理数、满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的应用及平方的非负性，解题的关键是掌握平方差公式．依据平方差公式求得，结合，可求得 【详解】解：， ， ，， ． 故选：A． 题型02 利用平方差公式直接计算 【典例1】先化简，再求值：，其中； 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，平方差公式，代数式代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算整式的乘法，再合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】解： ； 当时， 原式 ． 【典例2】先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简结果为，值为 【分析】本题考查平方差公式的应用，关键是观察多项式结构，反复利用平方差公式将原式化简为最简整式，再代入已知的、的值计算最终结果． 【详解】解：原式； 当，时，． 【变式1】计算：； 【答案】； 【分析】本题考查平方差公式的应用，平方差公式为，关键是准确识别两个因式中相同的项和互为相反数的项，将相同项作为公式中的，互为相反数的项作为公式中的，再套用公式计算． 【详解】解：； 【变式2】计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握平方差公式、单项式乘多项式法则是解题的关键．先根据平方差公式、单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式3】已知，则____________． 【答案】4 【分析】此题考查了平方差公式，整体代入思想，注意掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，正确地计算是解题的关键． 利用平方差公式简化代数式，再结合已知条件代入求值． 【详解】原式 ， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【变式4】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平方差公式，灵活的应用平方差公式是解题的关键． （1）直接运用平方差公式进行计算即可； （2）直接运用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型03 变号后使用平方差公式 【典例1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式的应用，平方差公式为，关键是准确识别两个因式中相同的项和互为相反数的项，将相同项作为公式中的，互为相反数的项作为公式中的，再套用公式计算． 【详解】解：． 【变式1】计算：． 【答案】 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：原式 ． 【变式2】计算： （1）____________． （2）____________． （3）____________． 【答案】 【分析】此题考查了平方差公式，注意掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，正确地计算是解题的关键． （1）（2）（3）直接利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解： 故答案为：． （3）解： 故答案为：． 【变式3】计算： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______； （6）______． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）； 故答案为：； （4）； 故答案为：； （5）； 故答案为：； （6） 故答案为： 【变式4】已知，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式和积的乘方逆运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 先利用积的乘方逆运算将变形为，再根据平方差公式化简计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型04 利用平方差公式巧算 【典例1】计算：_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了平方差公式，先把原式整理得，再运用平方差公式进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 故答案为： 【变式1】__________________． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式． 结合平方差公式计算即可． 【详解】， 故答案为：，，． 【变式2】用简便方法计算：_____． 【答案】 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．利用平方差公式将原式转化为两数差与两数和的乘积． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式的应用，熟练掌握公式是解决本题的关键． 【详解】解：原式 ． 【变式4】用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了简便运算，解题的关键是掌握平方差公式． （1）将式子运用平方差公式进行变形，结合零指数幂即可得； （2）先将前两项运用平方差公式进行变形，计算得出结果后再运用平方差公式进行变形计算即可得； （3）运用平方差公式进行变形计算即可得． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 题型05 平方差公式的几何图形应用 【典例1】霍州鼓楼位于山西霍州市城内中心，明万历十一年（1583年）建，又称文昌阁．其结构外表是明二假三层，它的间架结构复杂新颖、巧妙结合，采用了我国古建筑中的一种凹凸结合的连接方式——榫卯（sǔn mǎo）结构，精密谨严天衣无缝，行家里手惊佩它是工艺精湛超群绝伦．如图①是一个榫卯结构的零部件，图②是其截面图，整体是一个长为，宽为的长方形，中间凿掉一个边长为的正方形，且该零件的高为．求这个零部件体积．      【答案】 【分析】本题考查了整式混合运算和平方差公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据零部件体积（长方形的面积和小正方形的面积）零件的高，列式，然后运用整式混合运算法则和平方差公式即可解答． 【详解】由题意得，这个零部件的体积是 ． 答：这个零件体积为． 【典例2】如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）． (1)将图1阴影部分的面积记为，图2的面积记为，若用含a、b的代数式表示和，则______，______； (2)根据简拼过程易得，从而得到关于a、b的等式为__________ (3)利用（2）中的结论，求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查列代数式和平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据图形中阴影部分的形状和面积的计算方法，用代数式表示其面积即可； （2）由（1）可得结论； （3）利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 所以，拼成的图2是长为，宽为的长方形， 因此面积， 故答案为：，； （2）解：由（1）得； 所以有或， 故答案为：或， （3）解： ． 【变式1】某中学建了一个长方体游泳池，若游泳池的长为m，宽为m，深为m，则这个游泳池的容积是多少？ 【答案】立方米 【分析】本题考查了平方差公式的应用，根据长方体游泳池的容积等于长×宽×高进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵游泳池的长为m，宽为m，深为m， ∴ （立方米）， 即这个游泳池的容积是立方米． 【变式2】小明的爷爷规划将一长为米、宽为米的长方形土地修改布局，如图所示．具体规划为：在这个场地中分割出一块长为米、宽为米的长方形场地盖凉亭，其余的地方不动． (1)求除凉亭外的区域面积； (2)若，，求除凉亭外的区域面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】（）用大长方形的面积减去小长方形的面积，列出算式解答即可； （）把的值代入到（）所得的结果中计算即可； 本题考查了整式的混合运算的实际应用，代数式求值，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： （平方米）， 答：除凉亭外的区域面积为平方米； （2）解：当，时， 原式 （平方米）， 答：除凉亭外的区域面积为平方米． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)．甲方为建设一项目，准备向乙方租赁一块边长为千米的正方形土地，乙方场地租赁费为每年每平方千米30万元．后来甲方因为项目调整，需要将正方形场地的一边长增加500米，另一边长减少500米，乙方提出增加的边长和减少的边长一样，所以每年租金不用调整．乙方的说法合理吗？如果不合理，请计算出甲方应付的租金如何调整． 【答案】乙方的说法不合理，甲方应少付租金万元． 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，平方差公式的应用，正方形，长方形的面积，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 利用正方形和长方形的面积公式分别求得项目调整前后的场地的面积，通过面积的变化得出结论即可． 【详解】解：乙方的说法不合理，理由： 边长为千米的正方形土地的面积为平方千米， ∵乙方场地租赁费为每年每平方千米30万元， ∴甲方应付的场地租赁费为万元． 当正方形场地的一边长增加500米，另一边长减少500米时， 租地的面积为：平方千米， ∴租地的面积减少了0.25平方千米， ∴每年租金应减少（万元）． ∴乙方的说法不合理，甲方应少付租金万元． 【变式4】【观察发现】在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形（图①）． (1)图①中的阴影部分的面积为___________（用含的代数式表示）；将图①中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形（图②），那么这个长方形的面积为___________（用含的代数式表示）； (2)结合图①、图②，可以得出一个代数恒等式：___________； (3)根据（2）中的结论计算：； (4)【灵活应用】图③为2025年4月的日历，从中画出一组用5个数字组成的形图案（阴影部分），先观察这5个数之间的数量关系，再从特殊到一般，从图③中任意找一个形图案（如图④），若设这个形图案的中心数为，、、、所对应的数分别设为、、、，请求出的值． 【答案】(1)； (2) (3)800 (4)28 【分析】此题考查的是列代数式，平方差公式与几何图形，平方差公式的应用，根据图形列出正确的代数式，并且归纳出结论是解此题的关键． （1）根据图①中阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积列式即可；图②根据长方形面积公式列式即可； （2）根据阴影部分的面积不变即可求解； （3）根据（2）的结论计算即可求解； （4）设中心数为，则，，，，代入，根据（2）的结论计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：阴影部分的面积， 长方形的面积． 故答案为：；； （2）解：∵图①中的阴影部分面积图②中的阴影部分面积， ∴． 故答案为：； （3）解： ； （4）解：设中心数为， ∴，，，， ∴ ． 题型06 整式乘法的混合计算 【典例1】化简： 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式与平方差公式，熟练掌握多项式乘多项式与平方差公式是解题的关键．根据多项式乘多项式与平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： ． 【典例2】先化简，再求值：，其中，． 【答案】，14 【分析】此题考查了平方差公式和单项式乘以多项式以及代数求值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先利用平方差公式和单项式乘以多项式法则化简，然后代数求解即可． 【详解】解： ∵， ∴原式． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式，多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）根据平方差公式和多项式乘以多项式运算法则计算，然后合并即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键． （1）先运用单项式乘多项式法则与完全平方公式计算，再合并同类项化简． （2）先运用多项式乘多项式法则与平方差公式展开各项，再去括号合并同类项化简 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3】先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1)，6 (2)，1 【分析】（1）先利用平方差公式，并去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可， （2）先利用多项式除以单项式去括号，平方差公式，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】（1）原式． ， 原式． （2）原式． ，， 原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式4】小明遇到下面一个问题：计算．小明的解法如下： ． 已知，请你根据小明的方法，化简：． 【答案】 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 原式变形后，连续利用平方差公式计算求解即可． 【详解】解： ． 1．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平方差公式为，要求两个二项式相乘，有一项完全相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：A选项：中相同，与互为相反数，符合平方差公式结构，能用平方差公式计算； B选项：中相同，与互为相反数，符合平方差公式结构，能用平方差公式计算； C选项：中相同，与互为相反数，符合平方差公式结构，能用平方差公式计算； D选项：，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算． 2．下列计算结果等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，不等于； 选项B：，不等于； 选项C：； 选项D：，不等于． 3．若，，则的值为（    ） A． B．12 C． D．7 【答案】B 【分析】利用平方差公式分解所求多项式，直接代入已知条件计算，无需分别求解，的值，简化运算过程． 【详解】解：由平方差公式可得，， ，， 代入得． 4．计算：__________． 【答案】/ 【详解】解：． 5．若，且，则的值是________． 【答案】 【分析】利用平方差公式对因式分解，将整体代入分解后的式子，直接计算求出的值． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴ 6．计算：______． 【答案】 【详解】解：． 7．计算：___________． 【答案】 【分析】通过变形后利用平方差公式简化计算，将原式中和改写为与相关的和差形式，再运用平方差公式展开计算即可． 【详解】解：． 8．运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键． （1），据此求解即可； （2）同（1）求解即可； （3）同（1）求解即可； （4）同（1）求解即可； （5）把原式变形为，再利用平方差公式求解即可； （6）把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 9．计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘多项式，平方差公式，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式的运算法则计算，即可作答． （2）先整理原式，再根据平方差公式，完全平方公式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值．掌握整式的混合运算法则是解答本题的关键．根据单项式乘以多项式以及平方差公式进行计算，再将，代入，即可求解． 【详解】解：原式. 当，时，原式=0. 11．先化简再求值：，且单项式与是同类项． 【答案】，1 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，同类项的定义，先去括号，再合并同类项即可化简，再根据同类项的定义求出，，代入化简后的式子计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： 与是同类项， ，， ， 原式． 12．如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，请用含a，b的代数式表示和． (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式． (3)运用（2）中得到的公式，计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1） 图①阴影面积用大正方形面积减去小正方形面积；图②阴影是长方形，用长×宽表示面积； （2） 由两个阴影面积相等，推导出对应的乘法公式； （3） 将变形为，用平方差公式简化计算． 【详解】（1）解：由题意得，，． （2）解：由（1），可得乘法公式． （3）解： ． 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据整式的相关运算，涉及合并同类项法则，平方差公式，去括号法则，积的乘方运算法则，根据对应法则逐一判断选项即可得到结果. 【详解】解：对于选项A，与不是同类项，不能合并，故A计算错误，不符合题意； 对于选项B，，故B计算正确，符合题意； 对于选项C，，故C计算错误，不符合题意； 对于选项D，，故D计算错误，不符合题意． 2．若 ，则代数式M 应为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依次代入，根据平方差公式和完全平方公式进行运算，即可得出答案． 【详解】解：A、，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 3．定义，若，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目给出的运算法则，将原式转化为一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴将变形得， 展开多项式得 ， 化简得 ， 移项合并同类项得， 解得． 4．下列图形中，不能借助图形面积验证正确性的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式的几何意义，即大正方形面积减去小正方形面积等于拼成的长方形或平行四边形的面积，逐一分析各选项图形即可． 【详解】A． 左图大正方形面积减去小正方形面积为，右图平行四边形底为，高为，面积为，能验证，故A不符合题意； B． 左图大正方形面积减去小正方形面积为，右图平行四边形底为，高为，面积为，能验证，故B不符合题意； C． 左图大正方形面积减去小正方形面积得，右图长方形长为，宽为，面积为，能验证，故C不符合题意； D． 左图表示完全平方公式，右图表示面积为，不能验证平方差公式，故D符合题意． 5．如图，两个部分重合的正方形边长分别为，，不重合的面积分别为，．若已知，，则________． 【答案】12 【分析】设空白部分面积为，则，求出，再求出，即可求出答案． 【详解】解：设空白部分面积为，则， ∵ ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ 6．如图所示图象表示的个位数字随m（m为正整数）变化的规律，则的个位数字是_________． 【答案】5 【分析】先在原式前乘，原式的值不变，再反复利用平方差公式化简原式，最后根据的正整数次幂的个位数字的循环规律求解． 【详解】解： ， ，个位为， ，个位为， ，个位为， ，个位为， ，个位为， ，个位为， ……， 以此类推，可知的正整数次幂的个位数字按每个一循环， ， 的个位数字与的个位数字相同，为， ∴的个位数字为，即的个位数字是． 7．观察下列等式：，，，，……，依此规律归纳可知，第个等式是：_______． 【答案】（为正整数） 【分析】先将已知等式按序号对应，分别观察等式左边各部分，等式右边常数与序号的关系，归纳得出猜想后，利用整式乘法公式验证猜想，得到第个等式． 【详解】解：将已知等式按序号对应整理得： 当时， 当时， 当时， 归纳猜想可得，第个等式左边为，右边为， 利用平方差公式验证： 左边， ∴左边等于右边，猜想成立． 故（为正整数）． 8．计算题 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 9．化简： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．王老师在黑板上写下了四个算式： ①； ②； ③； ④； 认真观察这些算式，并结合你发现的规律，解答下列问题： (1)________；________． (2)嘉嘉发现上述算式的规律可以用文字语言概括为：“两个连续偶数的平方差一定能被整除”，如果设两个连续偶数分别为和（为非负整数），请你用含有的算式验证嘉嘉发现的规律． 【答案】(1)； (2)解：， 为非负整数， 为非负整数 两个连续偶数的平方差一定能被整除 【分析】（1）根据规律计算即可； （2）用含的式子把规律表示出来，即可证明结论成立． 【详解】（1）解：， ； （2）略． 11．如图，在边长为a的正方形上裁去边长为b的正方形． (1)图1，阴影面积______； (2)图2是将图1中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，其面积是______（写成多项式乘法的形式）； (3)由上图可以得到乘法公式______； (4)运用得到的公式，计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由图1，阴影部分由大正方形面积减去小正方形面积即可． （2）由图2，代入梯形面积公式化简得． （3）图1与图2面积相等，可得到平方差公式． （4）利用平方差公式，化简计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得，图1的阴影面积为． （2）解：由题意可得，图2梯形的面积为 ． （3）解：由题意，图1和图2的阴影面积相等， 因此可得平方差公式． （4）解： ． 12．在平方差公式这一节中，我们从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图2）． 【公式推导】 (1)课堂上我们用两种不同的方法计算图②中拼合后的大长方形的面积，并用多项式乘多项式法则推导，得到的乘法公式是________； 【基础应用】 (2)应用所得公式简便计算：； 【拓展应用】 (3)应用你在（1）中得到的乘法公式，计算：． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）利用面积相等建立等量关系； （2）利用平方差公式求解； （3）构造前项，同时除以保持原式不变，通过连锁反应化简求值． 【详解】（1）解：． （2）解：原式． （3）解：原式 ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $