重庆市永川中学校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

永川中学高2025级高二上期10月月考数学试题 第Ⅰ卷（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．设，则“”是“直线：与直线：平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 已知空间向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4．已知点，直线与线段相交，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 5. 已知是直线的方向向量，直线经过点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点，若其中为实数，则的值是（ ） A. B. C. －2 D. 2 7．将一颗质地均匀的正四面体骰子（各面分别标有数字1，2，3，4）连续抛掷两次，观察并记录，得到两次侧面上的三个数字之和分别为，，则的概率为（    ） A． B． C． D． 8. 在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B. 数据0，1，1，2，2，2，3，4的极差与众数之和为6 C. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，9 D. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 10．下列说法中错误的有（    ） A．点斜式 可以表示任何直线 B．直线在y轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．点到直线的最大距离为 11. 正方体的棱长为，，，（，且）．下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若，则平面 C. 若，，则四面体的体积为 D. 点到直线的距离的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线与直线平行，则与之间的距离为______ 13．已知A，B为两个相互独立的随机事件，若，且，则 14．如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (13分)已知直线与直线的交点为P， （1）直线经过P，且与直线l：垂直，求直线的方程； （2）直线经过P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 16．(15分)如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 17．(15分)已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)若点为边上一点，且的面积为求点的坐标. 18．(17分)某校园文创社团对高一进行文创手作体验的学生进行时长调查（单位：分钟），随机抽取了100名学生并将其时长分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求第一组的频率，并求这100名学生进行文创手作体验时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)从第四、第五两组学生中采用分层随机抽样的方法选出6名学生，再从这6名学生中随机选出2名学生，求这2名学生来自不同组的概率； (3)若第四组的时长的平均数为54，方差为4，第五组的时长的平均数为66，方差为7，求这两组时长的总平均数和总方差． 19．（17分）世界模型是人工智能领域中，通过学习客观世界的物理规则与因果关系，构建时空统一表征，实现环境状态预测与动态演化模拟的核心技术模型.其数学基础之一就是在三维空间中对几何对象进行解析化的计算.例如，在空间直角坐标系中，已知过点且法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线l的方程为，基于以上知识，解决如下问题. (1)已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，求直线与平面所成的角的正弦值； (2)求通过直线且与平面垂直的平面方程； (3)已知直线为两个平面与的交线，直线为两个平面与的交线，若直线与直线、都相交且都垂直，则定义为两条直线、的公垂线，两个交点之间的距离称作两条直线、的距离，求、的距离与公垂线方程. 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永川中学高2025级高二上期10月月考数学试题答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D A B C B B C A ABD ACD BCD 8【详解】 建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故选：A 11【详解】以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 已知正方体的棱长为，根据正方体的结构，各顶点的坐标如下： ，，，，，，，， 由，可知是线段的中点， 因为，，所以， 由，且，已知，，则，所以， 设，则，故， 由，且，已知，， 所以，即，说明点在底面正方形 内（不含原点 ）， 对于 A，点，点，点在平面（即平面）上， 要求的最小值，可将其转化为求空间中一点到两定点的距离之和， 由于在的平面上，我们可以找关于平面的对称点，关于平面的对称点为，此时， 所以，当且仅当三点共线，且交点落在正方形内部及边界（不含）时，取得最小值， 计算的长度，，， 此时，直线的方程参数化为，令，得，此时，，即交点， 此时，满足 且，所以该点是可行的，因此，的最小值为，故A错误； 对于B，已知，，，计算平面内的两个向量，， 设平面的法向量为，则有， 令，则，，所以平面的一个法向量， 由题意，，若，则，， 这说明，即直线平行于平面或在平面内， 平面过点，法向量为，其平面方程为 ， 将代入，所以点不在平面内，因此平面，故B正确； 对于 C，当时，， 已知，，， 观察点的坐标，它们都满足（即都在平面内），所以在平面上， 由于，，沿轴方向，长度为，点到直线（即直线在平面上）的距离， 就是的坐标与的坐标之差的绝对值，即，所以， 点到平面的距离，四面体体积， 故C正确； 对于D，已知，，直线经过和， 方向向量，单位方向向量 ， 向量， ， 点到直线的距离，其中是向量在方向上的投影长， 投影长， 距离， 当时，距离，即点到直线的距离的最小值为，故D正确. 2、 填空题 12. / 13. 14. 14【详解】以 为原点，，， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系. 由 ， 得 ，，，. 设 . 因为 在长方体内部（含边界），所以 ，，. 又 ，. 由 得 ，即 ，化简得 . 由 得 ，解得 ，故 ，. 因为 ，，所以 . 又 ，代入得 . 配方得 . 因为 ，，所以当 ， 时（此时 ，符合 ）， 取最小值 . 当 ， 或 ， 时， 取最大值 . 所以 的取值范围是 . 3、 解答题 15【小问1详解】 联立，解得，即， 由与直线l：垂直可得其斜率为， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 当在两坐标轴上的截距均为0时，易知此时方程为； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为，则，得， 故此时方程为； 综上可知，直线的方程为或. 16【解析】(1)证明：在棱长为2的正方体中,以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，得， 又，则， 因此，又平面，所以平面. （2）由（1）知，， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17【详解】（1） 设， 因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， 所以解得，即的坐标为． 设，因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， 联立方程组解得，即的坐标为． （2）法一：设(， 直线方程为 即， 因为，，所以． 的方程为，即， 又因为的面积为， 所以到边的距离为,即 即或， 联立方程组，解得=（舍去）， 联立方程组，解得， 所以. 因为，，所以． 的方程为，即， 又因为的面积为， 所以到边的距离为，设过与平行的直线为， 所以，解得或（结合图形舍去） ， 直线方程为 即， 联立方程组 解得，所以. 因为，，所以． 因为直线方程为，即， 所以点到边的距离为，即边上的高为， 故的面积为， 因为的面积为， 所以 ，所以 ， 设，则，解得. 18【详解】（1）由频率分布直方图性质可得，解得． 故. （2）第四组人数为，第五组人数为，人数比． 因为分层抽样抽取6人，故第四组抽取4人，第五组抽取2人． 从名学生中任意取两人，不同的取法有种， 两名学生来自不同的组的取法有种， 故这2名学生来自不同组的概率为. （3），，；，，， 故， 又 . 19【详解】（1）取的法向量为，上的点满足， 在方程组中取得，所以点在直线上.取得， 所以点在直线上.所以直线的方向向量可以取为， 取直线与平面所成的角为，则. （2）取平面满足且，取的法向量为， 直线的方向向量为，平面的法向量为， 所以，不妨取， 因为点在直线r上，所以点在平面内， 所以的方程为，整理得 （3）因为上的点满足，所以可取上的点为， 例如、均为上的点，所以的方向向量取为， 同理因为上的点满足，所以可取上的动点为， 例如、均为上的点，所以的方向向量可取为， 方法一：若直线为、的公垂线，则，， 因为，所以， 所以，所以、为公垂线在两条直线上的垂足， 此时，所以、的距离为， 所以公垂线方程为； 方法二：因为， 所以， ， 当且仅当时取等，所以、的距离为， 此时、为公垂线在两条直线上的垂足， 所以，所以公垂线方程为。 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $