精品解析：重庆市巴蜀中学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二数学试卷 注意事项: 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3. 考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题. 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的. 1. 甲、乙两人分别独立参加面试，若甲、乙能通过面试的概率都是，则面试结束后两人都没通过的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】通过面试和未通过面试是对立事件，对立事件的概率和为1． 已知甲、乙能通过面试的概率都是，则甲、乙未能通过面试的概率都是， 故面试结束后两人都没通过的概率是． 2. 求过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】与直线平行的直线方程满足， 且该直线过点，则，解得， 故该直线方程为． 3. 已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面、面面平行与垂直的性质逐项判断即可. 【详解】若，则可能为平行、相交、异面直线，故A错误； 若，则不一定垂直，故B错误； 若，则由性质定理知，故C正确； 若 ，则或，故D错误. 4. 已知直线 ，，则 是 的 （ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】∵，∴， 即，解得或， 即可以推出， 但推不出, 即是的充分不必要条件. 5. 已知圆与圆，则两圆公共弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断两圆相交，将两圆方程作差，可得出两圆相交弦所在直线的方程，求出圆心到相交弦所在直线的距离，再利用勾股定理求解即可. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心距为，所以， 所以两圆相交， 将两圆方程作差得，即， 即两圆相交弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以两圆的相交弦长为. 6. 已知圆的圆心为，且截轴所得弦长为，若圆上恰好有 4 个不同的点到直线的距离为 2，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用垂径定理求出圆的半径，再由条件推出圆心到直线的距离即可. 【详解】圆心到轴的距离为2， 又圆截轴所得弦长为， 由垂径定理得， 即圆的半径，又∵圆上 恰好有4个不同的点到直线的距离为2， ∴圆心到直线的距离， 即，解得. 7. 如图，已知四棱锥的体积为 是的平分线， ，若棱上的点 满足 ，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题设可得三棱锥  体积与四棱锥体积比例关系，据此可得答案. 【详解】设四边形面积为，则， 由题可得，又， 则，又注意到， 且与有相同的高，则. 因，则，设到平面距离为， 则， 从而. 8. 已知在平面直角坐标系 中， ，动点 满足 ，则 的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据点的轨迹性质求出对应轨迹方程，根据圆上点到圆心的距离即可求解. 【详解】因为，， 而，所以， 整理得，即点在以为圆心，半径的圆上， 而，所以， 而点在圆的内部，所以， 故的最小值为 二、多项选择题. 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目 要求.全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 在件产品中，有件正品和件次品，从中任意抽出件产品，设事件“件产品都是正品”， 事件“至少有件次品”，事件“至少有件正品”，则下列结论正确的是（ ） A. 与是互斥事件 B. 与为对立事件 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】用、、分别表示件正品，用、分别表示件次品，列举样本空间，事件、、，利用互斥事件的定义可判断A选项；利用对立事件的定义可判断B选项；利用交事件的定义可判断C选项；利用古典概型的概率公式可判断D选项. 【详解】用、、分别表示件正品，用、分别表示件次品， 样本空间为， 对于A选项，， ， 所以， 故事件与不互斥，A错； 对于B选项，，所以，， 故与为对立事件，B对； 对于C选项，由前面的分析可知，则，C对； 对于D选项，由古典概型的概率公式可得，D错. 10. 如图，在棱长为 2的正方体中，为棱上的动点，为棱的中点，则下列选项正确的是（    ） A. 直线与直线是异面直线 B. 的最小值为 C. 存在点，使得直线与直线所成角为 D. 当为棱上的中点时，过三点的平面截正方体所得截面的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，通过两平行平面位置关系即可判断，对于B，通过建系，结合两点间距离公式，将问题转换成轴上的点到两定点距离和的最小值问题，即可判断，对于C，由线线角的夹角公式列出等式求解即可；对于D，通过平行关系确定截面为四边形，进而可判断. 【详解】对于A，根据题意，，平面，平面， 所以平面，又平面，所以与不相交. 又在平面内，过点和平行的直线为，且与不平行， 所以直线与直线是异面直线，故A正确； 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系， 由正方体的棱长为2，则，，设点， 则， 即轴上的点到距离之和， 如图： 由图可知：点到距离之和的最小值为，且满足， 故B正确； 对于C，建立如图所示的空间直角坐标系， 由正方体的棱长为2，若存在点使得与所成角为， 则，，，所以，， ， 化简得：， 解得，不符合， 所以不存在点使得与所成角为.故C错误. 对于D，当为棱上的中点时， 连接，， 由中位线可得：，在正方体中可知， 所以， 即过三点的平面截正方体所得截面为四边形， 因为， 即四边形为等腰梯形，高为 故截面面积为，D正确. 11. 已知圆：，圆心为，点在圆上，点在直线上， 为坐标原点，直线与圆的其中一个交点为，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 记中点为，不存在点使得 C. 若 ，则 的最小值为 D. 若 ，则的最大值为 3 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，设出点M的坐标，表示的值，利用点M的位置确定其坐标的范围，即可求的最小值；对于B，设出点的坐标，表示出点N的坐标，根据可列出关于点的坐标方程，观察方程有无解即可；对于C，利用点到直线的距离和中的正弦定理，可求得的范围，进而用表示出，即可求的最小值；对于D，由C选项可得的最大值. 【详解】对于A，，则，设，则， 所以，点在圆：上，所以， 所以的最小值为，故A正确. 对于B，设，则中点，所以，， 所以， 令，解得或，有解，故B错误. 对于C， 当时，点到直线的距离，则， 在中，，， 由正弦定理得：，所以，所以， 所以， 点在上，所以或， 的最小值为，即的最小值为 ，故C正确. 对于D，的最大值为，所以的最大值为 3，故D正确. 三、填空题. 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 求经过点，，且圆心在直线l：上的圆的标准方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由圆心在弦的中垂线上，求出中垂线方程，可得圆心，再求半径得解. 【详解】圆经过点，，则圆心在直线上， 又圆心在直线l：上， 故圆心坐标为，半径为， 故所求圆的标准方程为. 13. 已知两点 ，过点 的直线 与线段 总有公共点，则直线 倾斜角的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由图结合题设可得斜率范围，然后可得倾斜角范围. 【详解】如图结合斜率公式可得，则斜率范围为. 设直线倾斜角为，当时，因，，则此时范围为：； 当时，因，则此时范围为：. 综上可得：. 14. 在三棱锥 中， 均为边长为 6 的等边三角形，且二面角 的大小为 ，点 为 的中点，点 在线段 上，且 ，过点 作平面 与三棱锥 的外接球相交，则所得截面面积的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先确定二面角的平面角，求出两个等边三角形中心间距离，找到外接球球心并算出外接球半径，再利用球的截面性质，当球心到截面距离最大时截面圆半径最小，求出最小截面面积. 【详解】设、的中心分别为、，则， 因为均为边长为的等边三角形，为中点，所以， 所以是二面角的平面角，即. 设三棱锥的外接球球心为，则平面、平面， 所以 且， 又，所以为等边三角形，边长为， 所以外接球半径， 又， 则截面面积最小时，截面圆半径， 所以所得截面面积的最小值为. 四、解答题. 本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校组织100名学生参加体能测试，将他们的成绩（满分100分）分成六组: ，， ，，，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中 a的值及这100名学生中体测成绩在的人数； （2）估计这100名学生体测成绩的平均数与第75百分位数. 【答案】（1），成绩在的人数为55. （2）估计这100名学生体测成绩的平均数是72，第75百分位数是82. 【解析】 【小问1详解】 因为图中所有矩形面积之和为1，所以 ，解得. 成绩在的人数所占比例为， 成绩在的人数为：. 【小问2详解】 各组成绩中点：45，55，65，75，85，95. 各组对应频率：：，：，：，：，：，：. 100名学生体测成绩的平均数为：. 的成绩比例为，的成绩比例为0.25，，第75名的成绩在，设该百分位数为x，，解得. 16. 某公司组织抽奖活动，每人参与一次抽奖，规则如下: 在盒内放有标有数字为1，2，3的三个小球，参与者有放回地抽两次，三个小球都是等可能地被随机抽取，第一次取出小球上的数字记为 ， 第二次取出小球上的数字记为 ，若 ，则参与者中奖. （1）试列举出由样本点 组成的样本空间 ，并计算出参与者中奖的概率； （2）若甲、乙、丙、丁四人分别独立参与抽奖，求甲乙获奖总数大于丙丁获奖总数的概率. 【答案】（1），中奖的概率为 . （2）. 【解析】 【分析】（1）有放回地抽两次，按「先第一次、后第二次」的顺序把所有样本点列举出来，再用古典概型的概率公式求中奖概率. （2）把甲、乙看成一组、丙、丁看成另一组，用各自的获奖人数刻画两人的获奖总数，比较两个独立随机变量的大小，按大小关系分类求概率. 【小问1详解】 有放回地抽取两次，第一次与第二次的抽取结果互不影响，每次抽到 1，2，3 的可能性相同. 按先第一次、后第二次的顺序列出所有样本点：，共 9 个样本点. 中奖对应事件 ，所含样本点为 ，共 3 个. 9 个样本点出现的可能性相等，由古典概型的概率公式得中奖的概率 . 【小问2详解】 由（1）知每人中奖的概率为 ，不中奖的概率为 ，四人抽奖相互独立. 记甲、乙两人中获奖的人数为 ，则 的可能取值为 . ，，. 记丙、丁两人中获奖的人数为 ，同理有 ，，，且 与 相互独立. 所求事件即 ，按 与 两类整合：. 所以 . 17. 已知的三个顶点分别为、、 ，直线. （1）一只蚂蚁从 出发，依次触碰边、边后，回到点，求蚂蚁所走路程最小值； （2）若直线等分面积，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出点P关于和的对称点的坐标，利用对称性将折线距离最小值变为直线距离即可求解. （2）先求出直线的定点，验证定点在上，分类讨论得出直线与的另一个交点的位置，利用共角面积比得出的长度，进而求出点的坐标，可求的斜率，代入直线的方程即可求解. 【小问1详解】 因为，边在轴上， 所以点关于的对称点为， 因为、，所以直线的方程为：， 斜率， 设点关于的对称点为， 则，， 的中点的坐标为，该中点在上， 所以得方程组，解得， 所以点坐标为， 所以蚂蚁所走路程最小值为， 【小问2详解】 ，，， 所以，所以是等边三角形， 所以，所以分割后面积为， 直线过定点，即点， 因为，，所以直线的方程：，所以点在上， 即直线与的一个交点为点. 情况①：与的另一个交点在边上，设交点为， 设，，， 所以， 所以，解得，此时点在的延长线上，不合题意，舍去. 情况②：与的另一个交点在边上，设交点为， ，且和共角，得， 即，解得，所以， 即，即， 所以有，解得，所以点坐标为， 所以直线的斜率， 代入直线中，化简得直线的方程为. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，， 分别为的中点. （1）证明：平面平面； （2）若 ，动点在平面内，且，求的最大值； （3）若，求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【答案】（1）因为平面，平面，所以， 又因为，，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为分别为的中点，所以，所以， 又因为，所以，又，， 所以四边形是平行四边形，所以，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线线垂直可证平面，进而得，可得，结合，可证平面，可证结论； （2）连接交于点，连接，过作于，结合（1）可知动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，进而可求的最大值； （3）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量法可求得平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 连接交于点，连接，过作于， 因为，为的中点，所以为的中点，且为的中点， 又为的中点，所以，，又， 所以，又因为平面，所以平面， 又平面，所以，所以， 由（1）知平面平面，平面平面，， 所以平面，又动点在平面内，所以平面， 所以，所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又，所以在圆上，所以的最大值为； 【小问3详解】 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， ，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又平面，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 又因为，所以， 所以平面与平面夹角余弦值的取值范围为. 19. 已知圆 （1）求的范围及圆所过定点的坐标； （2）是否存在定直线与圆始终相切，若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由； （3）两平行直线与圆分别交于点和，直线过圆心，分别与线段，交于点，且夹角为，求的值及 的最大值（用表示）. 【答案】（1）的范围为；圆所过定点为 （2）存在定直线与圆始终相切，定直线方程为 （3）；的最大值为 【解析】 【分析】（1）配方，利用方程表示圆可得，可求的范围；利用曲线系方程对均成立可得，可求定点坐标； （2）由，求得过定点且垂直于直线的直线，求得圆心到该直线的距离可知此直线与圆始终相切，可得结论； （3）过作于，利用计算即可求解；利用可求最大值. 【小问1详解】 由， 得， 要使方程表示圆，则，所以， 所以的范围为； 由，得， 因为方程对都成立，所以，解得， 所以圆所过定点为； 【小问2详解】 由（1）可得圆心，圆的半径为 又圆所过定点为， 所以，过与垂直的直线方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切； 所以存在定直线与圆始终相切，定直线方程为； 【小问3详解】 过作于，由夹角为，所以， 所以 ， 同理可得， 所以 ， 当且仅当时取等号. 所以的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 注意事项: 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3. 考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题. 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的. 1. 甲、乙两人分别独立参加面试，若甲、乙能通过面试的概率都是，则面试结束后两人都没通过的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 求过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 4. 已知直线 ，，则 是 的 （ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知圆与圆，则两圆公共弦长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆的圆心为，且截轴所得弦长为，若圆上恰好有 4 个不同的点到直线的距离为 2，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知四棱锥的体积为 是的平分线， ，若棱上的点 满足 ，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知在平面直角坐标系 中， ，动点 满足 ，则 的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. D. 12 二、多项选择题. 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目 要求.全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 在件产品中，有件正品和件次品，从中任意抽出件产品，设事件“件产品都是正品”， 事件“至少有件次品”，事件“至少有件正品”，则下列结论正确的是（ ） A. 与是互斥事件 B. 与为对立事件 C. D. 10. 如图，在棱长为 2的正方体中，为棱上的动点，为棱的中点，则下列选项正确的是（    ） A. 直线与直线是异面直线 B. 的最小值为 C. 存在点，使得直线与直线所成角为 D. 当为棱上的中点时，过三点的平面截正方体所得截面的面积为 11. 已知圆：，圆心为，点在圆上，点在直线上， 为坐标原点，直线与圆的其中一个交点为，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 记中点为，不存在点使得 C. 若 ，则 的最小值为 D. 若 ，则的最大值为 3 三、填空题. 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 求经过点，，且圆心在直线l：上的圆的标准方程为_____. 13. 已知两点 ，过点 的直线 与线段 总有公共点，则直线 倾斜角的取值范围是_____. 14. 在三棱锥 中， 均为边长为 6 的等边三角形，且二面角 的大小为 ，点 为 的中点，点 在线段 上，且 ，过点 作平面 与三棱锥 的外接球相交，则所得截面面积的最小值为_____. 四、解答题. 本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校组织100名学生参加体能测试，将他们的成绩（满分100分）分成六组: ，， ，，，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中 a的值及这100名学生中体测成绩在的人数； （2）估计这100名学生体测成绩的平均数与第75百分位数. 16. 某公司组织抽奖活动，每人参与一次抽奖，规则如下: 在盒内放有标有数字为1，2，3的三个小球，参与者有放回地抽两次，三个小球都是等可能地被随机抽取，第一次取出小球上的数字记为 ， 第二次取出小球上的数字记为 ，若 ，则参与者中奖. （1）试列举出由样本点 组成的样本空间 ，并计算出参与者中奖的概率； （2）若甲、乙、丙、丁四人分别独立参与抽奖，求甲乙获奖总数大于丙丁获奖总数的概率. 17. 已知的三个顶点分别为、、 ，直线. （1）一只蚂蚁从 出发，依次触碰边、边后，回到点，求蚂蚁所走路程最小值； （2）若直线等分面积，求直线的方程. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，， 分别为的中点. （1）证明：平面平面； （2）若 ，动点在平面内，且，求的最大值； （3）若，求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 19. 已知圆 （1）求的范围及圆所过定点的坐标； （2）是否存在定直线与圆始终相切，若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由； （3）两平行直线与圆分别交于点和，直线过圆心，分别与线段，交于点，且夹角为，求的值及 的最大值（用表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $