第5讲·角平分线·培优讲义（知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册

第5讲·角平分线·培优讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册（知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握角平分线的性质定理 · 掌握角平分线的判定定理 · 会用尺规作已知角的平分线 · 能利用角平分线性质求线段长度与面积 · 综合全等、三角形内角和解决角平分线问题 📚 知识梳理 ☆ 1.角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等 距离是垂线段长度 常与三角形面积、周长结合计算 过角平分线上点作两边垂线构造全等 概念辨析例题：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD=3，则P到OB的距离是？ 答案：3 解析：由角平分线性质：角平分线上的点到两边距离相等，故P到OB距离=PD=3。 ☆ 2.角平分线的判定定理 在一个角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上 判定是性质定理的逆定理 常用于证明点在角平分线上或证明两角相等 与垂直平分线判定类比记忆 概念辨析例题：点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，则P在？ 答案：∠AOB的平分线上 解析：由判定定理：角内部到两边距离相等的点在角平分线上，故P在∠AOB平分线。 ☆ 3.角平分线的尺规作图 以顶点为圆心作弧交两边于两点 分别以两交点为圆心作等半径弧交于角内一点 过顶点与该交点作射线即为角平分线 作图依据：SSS全等，对应角相等 概念辨析例题：用尺规作∠AOB的平分线，其作图依据是全等三角形的哪种判定？ 答案：SSS 解析：作图中两弧交点与顶点、两边交点构成三边分别相等的两个三角形，由SSS全等得角相等。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 角平分线 把一个角分成两个相等的角的射线 是射线不是线段 性质定理 线上点到两边距离相等 距离指垂线段 判定定理 角内等距点在平分线上 注意前提在角内部 尺规作图 两弧交点连线 依据SSS全等 面积公式 角平分线上点到两边距离相等 可求三角形面积 ⚠️ 核心考点 【考点1】角平分线的性质定理及应用（第1-30题） · 过角平分线上点作两边垂线 · 垂线段相等求线段长度 · 面积=底×高÷2，高为垂线段 · 与全等三角形结合证明 1．（24-25八年级下·甘肃天水·阶段检测）如图，在中，为的平分线，于点E，，，则的面积为（   ） A．16 B．10 C．8 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键．过点D作于，根据角平分线的性质定理得到，即可求出面积． 【详解】解：如图，过点D作于， ∵为的平分线，于，于，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，是高，是角平分线．若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的数量关系．由是高，，可得，再由是的角平分线，，从而得，进而可求的度数． 【详解】解：是的高，， ， ， 是的角平分线，， ， ． 故选：B． 3．（23-24八年级上·四川广安·期中）下列说法中：①三个角都相等的三角形是全等三角形；②有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；③角平分线上任意一点到角两边的距离相等；④等腰三角形的角平分线，中线，高互相重合；⑤三角形的外角总是大于它的内角；错误结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、三线合一、等边三角形的判定 【分析】本题考查了等边三角形的判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定．根据全等三角形的判定可以判定①错误；根据等边三角形的判定方法可以判定②正确；根据角平分线性质可以判断③正确；根据等腰三角形性质可以判断④错误；根据三角形外角的性质可以判断⑤错误． 【详解】解：①三个角都相等的三角形不一定是全等三角形，原说法错误； ②有一个外角是的等腰三角形是等边三角形，此说法正确； ③角平分线上任意一点到角两边的距离相等，此说法正确； ④等腰三角形的顶角平分线，底边上中线，底边上高互相重合，而其它角平分线、中线、高不一定重合，故原说法错误； ⑤三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角，但与其相邻的内角的大小关系不确定，故原说法错误； 综上分析可知：错误的有3个． 故选：C． 4．（24-25八年级下·湖南怀化·期末）如图，在中，，．以点C为圆心，任意长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点H．，Q是边上一动点，则点之间的最小距离为（　　） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、含30度角的直角三角形 【分析】过点H作于点Q，则当时，最小，由角平分线的定义得，再由直角三角形的性质得，最后根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过点H作于点Q，则当时，最小， 由题意得，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查尺规作图—角平分线、角平分线的性质、直角三角形的性质、垂线段最短，理解题意得平分是解题关键． 5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，点E、G分别在上且，和的面积分别为50和40，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，直角三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质． 过点作交于点，得到和，然后利用三角形面积的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵是的角平分线，， 又∵， ∴ ． 故选：B． 6．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】三角形三边关系的应用、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形三边关系定理，三角形的面积公式，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 根据题意，得、和的边上的高相等，设这个相等的高长为，得到，，，利用三角形的三边关系定理解答即可． 【详解】解：∵是三条角平分线的交点， ∴、和的边上的高相等，设这个相等的高长为， ∵的面积记为，的面积记为，的面积记为， ∴，， ∴，，， 由三角形三边关系得， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴可能的值为8， 选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意． 故选：D． 7．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线，交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（   ） A． B．8 C．6 D．4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．作于点F，由平分、平分，且于点M，于点N，得，，所以，则平分，再证明，同理，所以，，由 可算出的长度． 【详解】解：作于点F， ∵、的角平分线、交于点P，于点M，于点N， ∴，，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分， 在和中， ， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∵，，， ∴． 故选：D． 8．（2023八年级下·广东佛山·竞赛）如图，四边形中，，平分，于点．，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，过点作，交的延长线于，由角平分线的性质可得，，再分别证明和，得到，，即可得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于， ∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9．（20-21八年级上·河南驻马店·期中）如图，点P是的平分线上一点，于点D，点E是线段上一点，已知，点F为上一点且满足，则的长度为（    ） A．7 B．9 C．9或12 D．5或13 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，过点作于，然后证明，则，再分当点在线段上时，当点在线段的延长线上时两种情况讨论可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 当点在线段上时，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 当点在线段的延长线上时，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 综上可得：的长为或， 故选：D． 10．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，是的角平分线，，垂足为F，，的面积为50，则的面积为_____． 【答案】75 【难度】0.85 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作，垂足为，由角平分线的性质可得，得出，再求解即可． 【详解】解：作，垂足为，如图， 是的角平分线，，， ， ， 的面积为50， ， ， 故答案为：75． 11．（24-25八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，在中，，平分，于点E，且，则________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两边的距离相等，据此得到的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直，垂足为A，交于点D若，则点P到的距离是____． 【答案】8 【难度】0.85 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，利用角平分线的性质，得到点P到、、的距离相等，再结合的长度求出点P到的距离． 【详解】解：如图，过点P作于点E， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∵, ∴， ∴， 故答案为：8． 13．（2025·云南楚雄·一模）如图，在中，，的平分线交于点，连接，过点作，，若的面积是，周长是，则的长是________. 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理是关键． 如图所示，过点作于点，由题意可得，根据，代入求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵点是，的平分线交点， ， ∴， ∵， ∴， ∴，且， 解得，， 故答案为：3 ． 14．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，是的角平分线，，，则点D到的距离是______． 【答案】6 【难度】0.85 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】过点作于点，求得，根据角平分线的性质可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， ，是的角平分线，， ，即点D到的距离是． 15．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，是的角平分线，于E，M、N分别是边、上的点，．若和的面积分别为30和16，则的面积是__________． 【答案】23 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查角平分线，三角形全等和性质的综合，理解并掌握角平分线上点到角两边的距离相等，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 如图所示（见详解），过点作于，是的角平分线，于，可证，同理可证，设，和的面积分别为和，列方程即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于， ∵是的角平分线，于， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 设，和的面积分别为和， ∴，解方程得，， ∴， ∴， 故答案为：23． 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，的平分线BF与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，则之间的数量关系是________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据已知条件，分别平分的外角，且，可得，，因此得出，所以得． 【详解】解：分别平分的外角， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握等角对等边是解本题的关键. 17．（23-24八年级下·福建宁德·期中）如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是______． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边距离相等，垂直平分线上的点到线段两端距离相等． 连接，通过证明，得出，再证明，得出，即可解答． 【详解】解：连接， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为：2． 18．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有________处． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】此题主要考查角平分线的性质的逆定理：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 因为要到三条公路距离相等，所以超市要选择的位置是内角平分线和外角平分线的交点，作图可知． 【详解】 解：如图 故答案为：4． 19．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，中，，若点O到三角形三边的距离相等， 则________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了三角形角平分线的性质、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用这些定理和性质是解题的关键． 先根据已知条件得点O是三角形三内角平分线的交点，即，，根据三角形内角和定理，即，最后在中运用三角形内角和求解即可． 【详解】解：∵点O到三角形三边的距离相等，即点O是三角形三内角的角平分线的交点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴在中， 故答案为：． 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，P为定角的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与相交于M，N两点，求证：． 【答案】 证明：过点P作于点E，于点F，如图． ，． ． ， ． ． ． 平分，， ． 在和中 ， ． 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题侧重考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点P作于点E，于点F，则，根据平分可知，根据图中各角的数量关系可得，可证明；利用全等三角形的性质即可证明． 【详解】略 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，是的平分线．在外取一点E，使得，，并且线段与线段相交于点K．求证：． 【答案】 证明：分别过 作，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，，证明，运用角平分线的性质得，则，再证明，即可作答． 【详解】略 22．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知是的角平分线，点是射线上一点，点、分别在射线、上，连接、． (1)如图，当时，则与的数量关系是______． (2)如图，点、在射线、上滑动，且，，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由． 【答案】(1) (2) 解：成立，理由如下， 过点P点作于E，于F，如图， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的判定定理和全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． （1）根据得，再根据是的角平分线得，再证明即可得到与的数量关系； （2）过点P作于E，于F，由（1）得，再证明即可得到与的数量关系． 【详解】（1）解：与的数量关系是， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴； （2）略 23．（20-21八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在中，是的角平分线，是上一个点，，交于点，，交于点． (1)求证：点到和的距离相等； (2)若，且的面积是15，求的面积． 【答案】(1) 证明：过作， 是的角平分线， ， ， (2) 【难度】0.4 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质以及三角形面积相关知识，关键是掌握三角形等高结构． （1）利用角平分线的定义和平行线的性质，证明点在的角平分线上，再根据角平分线的性质得出点到和的距离相等； （2）根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，得出与的高相等，再结合已知的，利用比例求出的面积． 【详解】（1）略 （2）解： 是的角平分线， 到和的距离相等， ， ，， ， ． 【考点2】角平分线的判定定理及应用（第31-40题） · 证点到两边距离相等 · 证明点在角平分线上 · 与性质定理综合使用 · 注意角内部前提 24．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，点在上，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定以及三角形的内角和性质，根据，以及，得出，证明是的角平分线，结合，，得出，即可作答． 【详解】解：如图：过点D作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴是的角平分线 ∴ ∵， ∴ ∴的度数为 故选：C． 25．（25-26八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（   ）． ①；②平分，③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，直角三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 根据角平分线的性质定理可判断①正确；过点D作于点H，则，结合可得，根据角平分线的判定定理可判断②正确；由角平分线的定义及三角形内角和定理可判断③正确；证明，可得，根据题意，无法得到与的大小关系，可判断④错误；证明，，可判断⑤正确． 【详解】解：①∵平分，，， ∴，故结论①正确； ②过点D作于点H，如图所示： ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴点D在的平分线上， ∴平分，故结论②正确； ③∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴，故结论③正确； ④在和中， ， ∴， ∴， 根据题意，无法得到与的大小关系， ∴无法得到和的大小关系，故结论④错误； ⑤在和中， ， ∴， ∴， 同理证明：， ∴， ∴， 即，故结论⑤正确， 综上所述：正确的结论是①②③⑤，共4个． 故选：C． 26．（23-24八年级上·四川遂宁·阶段检测）如图，​是​内一点，且​到三边​的距离​，若​___________． 【答案】​/125度 【难度】0.85 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分的判定、三角形内角和定理等知识，掌握在角的内部到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键．根据角平分线的判定定理得出平分，平分，然后根据三角形内角和定理求出，进而求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】到三边的距离， 平分，平分， ， ， ， ， ． 故答案为：． 27．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，C为内部一点，且点C到的距离与点C到的距离相等，连接，若，则的度数为_______ 【答案】/21度 【难度】0.85 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的判定，熟练掌握角平分线的判定方法：到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 利用角平分线的判定方法判定平分，即可求解． 【详解】解：∵C为内部一点，且点C到的距离与点C到的距离相等， ∴平分， ∵， ∴， 故答案为：． 28．（24-25八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在和中，，，．连接，交于点．以下四个结论：①；②；③；④平分，⑤平分，其中结论正确的有______．（写序号） 【答案】①②④ 【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理、角平分线的判定定理等知识．①先证出，再证出，根据全等三角形的性质即可判断①正确；②设与交于点，先根据全等三角形的性质可得，再根据对顶角相等、三角形的内角和定理即可判断②正确；③假设，从而可得，根据三角形的内角和定理可得，再根据角的和差可得，由此即可判断③错误；④过点作于点，于点，先根据全等三角形的性质可得，，再根据三角形的面积公式可得，然后根据角平分线的判定定理即可判断④正确；没有理由能判断平分． 【详解】解：①∵， ，即， 在和中， ， ∴， ∴，结论①正确； ②如图1，设与交于点， ∵， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ， ，结论②正确； ③假设， ， ∴， ∴， ∵， ∴，根据已知条件无法得出这个结论， 即假设不成立，结论③错误； ④如图2，过点作于点，于点， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，，且点在的内部， ∴平分，结论④正确； 没有理由能判断平分，结论⑤错误． 综上，结论正确的有①②④， 故答案为：①②④． 29．（23-24八年级上·吉林·阶段检测）如图，中，点、是与三等分线的交点，则的度数是______． 【答案】/52度 【难度】0.65 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理． 过点N作于G，于E，于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出平分，然后根据三角形内角和等于求出再根据角的三等分求出的度数，然后利用三角形内角和定理求出的度数，从而得解． 【详解】解：如图，过点N作于G，于E，于F， ∵点、是与三等分线的交点， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴． 故答案为：． 30．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点到三边的距离相等，则的度数为______． 【答案】/135度 【难度】0.65 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的判定，根据点到三边的距离相等，得出点在的角平分线上，即可得解．解题的关键是掌握：到角两边距离相等的点在角的平分线上． 【详解】解：∵点到三边的距离相等， ∴点在的角平分线上，即与都是的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 31．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，交于点H，连． (1)求证：； (2)求；（用含α的式子表示） (3)求证：平分． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 即， 在中， ， ∴； (2) (3) 证明：过点C作于M，于N， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【难度】0.85 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理的逆定理，三角形内角和定理， 对于（1），根据“边角边”即可证明； 对于（2），由，可得，进而求得答案； 对于（3），作，，根据，可得，进而得，最后根据角平分线性质定理的逆定理得出答案. 【详解】（1）略 （2）解：设交于点O， ∵， ∴， 又∵， ∴； （3）略 32．（23-24八年级下·湖南娄底·期中）如图，在中，，垂足为F，，求证：点D在的平分线上． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点D在的平分线上． 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，全等三角形的判定和性质．证明，可得，再由角平分线的判定定理，即可求证． 【详解】略 33．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，已知于点E，于点，，相交于点，连接，．求证：平分．    王刚的做法如下： 证明：，，① ，② 点在的平分线上，③ 平分．④ 王刚的做法正确吗？若不正确，请你写出正确做法． 【答案】 王刚的做法不正确．正确做法如下： 证明：，， ． 在和中， ， ， 点在的平分线上， 平分． 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定；全等三角形的性质与判定；先证明，然后根据，，，即可得证． 【详解】略 34．（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图，已知，是的角平分线，的周长为，到的距离为． (1)求证：点到三边，，的距离相等； (2)求的面积； (3)如图，，分别是的一个内角及一个外角的平分线，，连接．若，求的度数． 【答案】(1) 证明：如图，过作于点，作于点，作于点， ∵，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴点到三边，，的距离相等； (2)的面积为； (3)． 【难度】0.65 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形面积公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作于点，作于点，作于点，根据角平分线性质即可求证； （）连接，由（）得，然后通过即可求解； （）过点作，，垂足分别为点，，通过角平分线性质和判定得出点在平分线上，所以，然后通过角度和差，角平分线定义即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 由（）得， ∴ ， ∴的面积为； （3）解：如图，过点作，，垂足分别为点，， ∵，分别是的一个内角及一个外角的平分线，， ∴，， ∴， ∴点在平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∴． 35．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2) 证明：过点作于，于，如下图， ∵，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． 【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的判定与性质定理是解题关键． （1）首先解得的值，结合，即可获得答案； （2）过点作于，于，利用角平分线的性质定理证明，然后证明结论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）略 【考点3】角平分线的尺规作图与综合（第41-52题） · 保留作图痕迹 · 作图依据SSS · 与三角形内角和、垂直平分线综合 · 实际问题中先抽象出角平分线模型 36．（24-25八年级上·河北承德·期末）如图，学习尺规作角平分线后，学生作业中出现四种正确作法，没有用到判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】两直线平行内错角相等、用SSS证明三角形全等（SSS）、作角平分线(尺规作图)、等边对等角 【分析】本题考查尺规作角平分线，全等三角形的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识． 根据尺规作图的方法结合三角形全等的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：A，B，C选项可用证明三角形全等，进而得到角平分线， D选项是利用平行线的性质结合等腰三角形的性质推出角平分线． 故选：D． 37．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，通过判定三角形全等可说明．则判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、作角平分线(尺规作图) 【分析】根据作图得到，，以及为公共边，则可利用证明，即可求解． 【详解】解：由作图得，，而为公共边，所以（）． 所以． 故选：C． 【点睛】本题考查的是基本作图，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定． 38．（2025·贵州遵义·一模）如图，在中，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接，过点P作交于点D，则和正确的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三角形三边关系的应用、作角平分线(尺规作图)、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查角平分线的作图和平行线的性质，等角对等边．观察可得平分，根据角平分线的定义求得，根据平行线的性质求得，得出，再根据等角对等边以及三角形三边关系即可求解． 【详解】解：由作图可得：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系得 故选：B． 39．（2025·云南西双版纳·二模）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧交于两点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线．过点作于点．若，则点到的距离为（   ） A．9 B．6 C．3 D．1 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及其尺规作图，过点P作于H，由作图方法可得，平分，由角平分线的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P作于H， 由作图方法可得，平分， ∵，， ∴， ∴点到的距离为3， 故选：C． 40．（24-25八年级上·浙江台州·阶段检测）如图，在中，，．用尺规作图在内部作出一个角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查尺规作图作角平分线，与角平分线有关的三角形内角和，三角形外角的性质，由作图痕迹可得、分别平分，，得到，，最后根据求解即可． 【详解】解：如图， 由作图痕迹可得、分别平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 41．（24-25七年级上·河北邢台·期末）如图，与它的余角相等，在上，分别截取，，使 ，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线，则的度数为_____． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算、作角平分线(尺规作图) 【分析】题目主要考查角平分线的作法及角的计算，理解题意是解题关键． 根据题意得出，平分，然后求解即可． 【详解】解：∵与它的余角相等， ∴， 根据题意得平分， ∴， 故答案为：． 42．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点D，E，再分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点F，已知，，则的长为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查角平分线的性质，根据作图得到平分，进而得到点到的距离相等均为的长，再根据三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：根据作图得：平分， ∴点到的距离相等， ∵， ∴， ∴点到的距离均为的长， ∴， ∴； 故答案为：． 43．（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，小于的长为半径作圆弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点； ③作射线，交边于点．若，则的大小为____________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、作角平分线(尺规作图) 【分析】根据作图可得平分，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【详解】解：由作图得平分， ∵， ∴， ∵， ∴． 44．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，则_______． 【答案】9 【难度】0.65 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规作图-作已知角的平分线，角平分线的性质，根据作图步骤可判断平分，根据角平分线的性质可得出，结合已知即可求解． 【详解】解∶由作图知∶ 平分， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为∶9． 45．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若的面积是，那么__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，三角形的面积，过点作于，由角平分线的性质可得，进而由三角形的面积可得，进而即可求解，掌握角平分线的作法和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵， ∴， 又由作图可知是的角平分线， ∴， ∵的面积是， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 46．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹，则的度数是__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，由作图可得平分，，先求出，再由角平分线的定义可得，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：平分，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 47．（25-26八年级上·全国·课前预习）用尺规作图：作出已知角的平分线． 已知：如图，，求作：射线，使．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，射线即为所求． 【难度】0.85 【知识点】作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了作一个角的平分线，先以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长度为半径画弧，交于点，即射线，使． 【详解】略 48．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）人教版教材八年级数学上册给出了作一个角的角平分线的方法，内容如下： 已知：． 求作的平分线． 作法：（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点． （3）画射线，射线即为所求． 根据以上作图过程，我们来证明射线是的平分线． 证明：根据已知条件和作图过程可知，在和中， ，（推理依据：②） ，（推理依据：③） 射线即为的平分线． 由以上的作图和证明过程，回答下列问题： 问题一：证明过程中的①处应填_____； 问题二：证明过程中的②处应选（    ）； ．．．． 问题三：证明过程中的③处应填_____． 【答案】问题一：；问题二：；问题三：全等三角形的对应角相等． 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查的是作已知角的角平分线，全等三角形的判定与性质，掌握“全等三角形的判定方法”是解本题的关键．由作图的方法可得作图依据；由，，，再利用可得，从而可得答案． 【详解】证明：根据已知条件和作图过程可知，在和中， ，（推理依据：） ，（推理依据：全等三角形的对应角相等） 射线即为的平分线． ∴问题一：证明过程中的①处应填； 问题二：证明过程中的②处应选（）； ． 问题三：证明过程中的③处应填:全等三角形的对应角相等 故答案为： ；；全等三角形的对应角相等． 49．（24-25八年级上·广东广州·阶段检测）如图，在中，．用尺规作图法作的平分线交于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】 如图， 【难度】0.85 【知识点】作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查作图——基本作图，利用尺规作出的平分线即可．解题的关键是熟练掌握作角平分线的方法． 【详解】略 50．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，要在区建一个电子商品批发市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处，这个电子商品批发市场应建于何处（请在图上标出它的位置，保留作图痕迹，比例尺为）． 【答案】 如图点为所求， 【难度】0.65 【知识点】角平分线性质的实际应用、作角平分线(尺规作图)、 图上距离与实际距离的换算 【分析】本题考查了成比例线段的性质，作角平分线；作角平分线，在射线上截取，使得，点即为所求． 【详解】解：依题意， 在射线上截取，使得． 51．（25-26八年级上·全国·课后作业）某考古队为进行考古研究，要寻找一座古城遗址．根据资料记载，这座古城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是．根据这些资料，考古队很快就找到了这座古城的遗址．你能运用学过的知识在图上标出古城遗址吗？请你试一试．（比例尺为） 【答案】 解：如图，点P即为所求． 【难度】0.65 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】此题主要考查了角平分线的性质定理，尺规作图． 利用角平分线的性质，先作出两条河岸的角平分线，再根据到古塔的距离是，且比例尺为，得出古城遗址到古塔的图上距离是，据此作出符合题意的点P即可． 【详解】略 52．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，为的中线，为的角平分线，过点E作于点N，为的高． (1)若，，求的度数； (2)若，，的面积为64，求的长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据三角形中线求面积、三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理、三角形角平分线的定义 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、角平分线的性质、中线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由三角形外角的性质可得，再根据角平分线的定义即可解答； （2）由三角形中线的性质可得的面积为32，再根据角平分线的性质可得，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴． （2）解：∵为的中线，的面积为64， ∴的面积为32， ∵为的角平分线，，为的高， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，解得：． 💯 课后巩固 复习建议 · 性质定理：线上点到两边等距 · 判定定理：等距点在线上 · 作图依据SSS · 距离是垂线段 · 性质判定常结合全等 【作业1】．（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，点P是的角平分线上的一点，且于点D，于点E，若，则（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线上的点到这个角的两边的距离相等求解即可． 【详解】解：∵点P是的角平分线上的一点，且于点D，于点E， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【作业2】．（23-24八年级上·河南周口·阶段检测）如图，射线平分，点分别在射线上，过点作于点．若的面积为10，则的长为（    ）    A．10 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于点M，利用角的平分线的性质得到，利用三角形的面积公式求出即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于点M， ∵射线平分，，，    ∴； ∵，的面积为10， ∴； ∴； 解得， ∴ 故选B． 【作业3】．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）在的内部取点P，使得点P到三边的距离相等，则，，均为的（   ） A．高 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定，根据“角内一点到角两边的距离相等，则该点在角平分线上”判断即可． 【详解】解：∵点P到三边的距离相等， ∴，，均为的角平分线， 故选：B． 【作业4】．（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）如图，在中，，依据尺规作图的作图痕迹，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、等边对等角 【分析】本题考查了作垂线，作角平分线，等边对等角，三角形外角的性质，三角形内角和定理．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 由作图可知，，，则，由三角形内角和求，由外角的性质求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由作图可知，，是的平分线， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【作业5】．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，在中，平分，点P是的中点，连接，若，的面积是6，则的面积是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据三角形中线求面积、角平分线的性质定理 【分析】本题考查三角形中线性质，角平分线性质． 过D作，，根据中线得到，根据角平分线得到，结合，，即可得到答案． 【详解】解：过D作，， ∵点P是的中点，的面积是6， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【作业6】．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，平分，，，则___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点D作于点E，于点F，根据角平分线的性质可得出，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点D作于点E，于点F， ∵平分， ∴， 又，， ∴， 故答案为：． 【作业7】．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）如图，，，，若，则_______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算、角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的判定（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．），解题的关键是根据角平分线的判定得出是的平分线．据此可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴是的平分线， 又∵， ∴． 故答案为：． 【作业8】．（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）如图，在中，，平分．若，，则点D到的距离为____． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，则由角平分线的性质可得，由线段的和差关系求出的长即可得到答案． 【详解】解；如图所示，过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点D到的距离为2， 故答案为：2． 【作业9】．（25-26八年级上·广东广州·期中）亮亮最近学习尺规作图，他在中练习作图，痕迹如下图所示，若，，请问的度数为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，角平分线的定义及其尺规作图，三角形内角和定理，等边对等角，由作图方法可得垂直平分，平分，由等边对等角得到，再由三角形内角和定理求出的度数，进而求出的度数，再由角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可得垂直平分，平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业10】．（24-25八年级下·四川泸州·开学考试）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是_____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线． 作于点，根据垂线段最短可知，的最小值是线段的长度，根据解含角的直角三角形即可． 【详解】解：如图，作于点， ∵平分， 作点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 【作业11】．（24-25八年级上·四川广元·期中）如图，中，点、分别是、延长线上一点，、的角平分线、交于点，连接，过点作、，垂足分别是点、，则、、之间的数量关系是_____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定、全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是根据全等三角形的性质找到边之间的关系．首先过点作，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可证，利用可证和，根据全等三角形对应边相等可证、，从而找到、、之间的数量关系． 【详解】解：如下图所示，过点作， 平分，、， ， 又平分， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， 同理可证， ， ， 故答案为： ． 【作业12】．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；已知，且于点．若，则线段长为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了角平分线的画法和性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，延长交的延长线于点，由作图可知，为的角平分线，据此可证，得到，即得，再证明，得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交的延长线于点， 由作图可知，为的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业13】．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，，点P为中点，平分．求证：平分． 【答案】 证明：过点P作于E， ，， ，即， 平分，，， ， ∵点P是的中点， ， ， 又，， 平分． 【难度】0.85 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握和运用各图形的性质是解决本题的关键． 过点P作于E，由角平分线性质得，进而可得，根据角平分线的判定定理即可得出结论． 【详解】略 【作业14】．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图，在中，平分，D是的中点，于点E，于点F．    (1)求证： (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵平分，，， ∴； (2) 证明：∵D是的中点， ∴ 由（1）得， ∵，， ∴ 在和中 ∴， ∴． 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据角平分线的性质解答即可； （2）证明，即可． 【详解】（1）略 （2）略 【作业15】．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，点是边上一点，连接，请你用尺规作图法作的平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】作角平分线(尺规作图) 【详解】解：如图，即为所求． 【作业16】．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：分别作、的平分线相交于点P； (2)在（1）的条件下，求的度数． 【答案】(1)解：如图，点P即为所求作； (2) 【难度】0.65 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、作角平分线(尺规作图) 【分析】（1）依题意分别作、的平分线相交于点P即可； （2）先求出，进而求出，即可求出结论． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ， ∵、的平分线相交于点P， ， ， ． 【作业17】．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，．请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法），并回答问题： (1)在图1中，作的平分线； (2)在图2中，把折叠，使得点与点重合，折痕分别交，于点，． ①请作出折痕； ②连接，若，，则的周长为______． 【答案】(1) 如图，即为所求． ； (2) ①如图，折痕即为所求； ②10 【难度】0.65 【知识点】作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查尺规作图-作角的平分线、作垂线，中垂线的性质； （1）根据作角平分线的方法步骤画图即可； （2）①根据尺规作垂线的方法作图即可； ②根据作图知，，利用三角形周长公式进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②连接， 由作图知， ∴的周长为， 故答案为：10． 【作业18】．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）使用直尺和圆规作图，需保留作图痕迹，不写作法． (1)如图①，高速公路和在我市交于点，若要修一个大型农贸市场，使到，的距离相等，且到，两小镇距离也相等．请作出市场的位置． (2)如图②，已知（），在上取一点，使． 【答案】(1) 解：如图，点或点即为所求． (2) 解：如图所示，点即为所求， 【难度】0.65 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的判定、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题主要考查垂直平分线及角平分线的尺规作图，熟练掌握作图方法是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线交的角平分线于或交的外角的角平分线于，点或点即为所求． （2）作的垂直平分线交于点，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵在的垂直平分线上， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲·角平分线·培优讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册（知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握角平分线的性质定理 · 掌握角平分线的判定定理 · 会用尺规作已知角的平分线 · 能利用角平分线性质求线段长度与面积 · 综合全等、三角形内角和解决角平分线问题 📚 知识梳理 ☆ 1.角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等 距离是垂线段长度 常与三角形面积、周长结合计算 过角平分线上点作两边垂线构造全等 概念辨析例题：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD=3，则P到OB的距离是？ 答案：3 解析：由角平分线性质：角平分线上的点到两边距离相等，故P到OB距离=PD=3。 ☆ 2.角平分线的判定定理 在一个角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上 判定是性质定理的逆定理 常用于证明点在角平分线上或证明两角相等 与垂直平分线判定类比记忆 概念辨析例题：点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，则P在？ 答案：∠AOB的平分线上 解析：由判定定理：角内部到两边距离相等的点在角平分线上，故P在∠AOB平分线。 ☆ 3.角平分线的尺规作图 以顶点为圆心作弧交两边于两点 分别以两交点为圆心作等半径弧交于角内一点 过顶点与该交点作射线即为角平分线 作图依据：SSS全等，对应角相等 概念辨析例题：用尺规作∠AOB的平分线，其作图依据是全等三角形的哪种判定？ 答案：SSS 解析：作图中两弧交点与顶点、两边交点构成三边分别相等的两个三角形，由SSS全等得角相等。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 角平分线 把一个角分成两个相等的角的射线 是射线不是线段 性质定理 线上点到两边距离相等 距离指垂线段 判定定理 角内等距点在平分线上 注意前提在角内部 尺规作图 两弧交点连线 依据SSS全等 面积公式 角平分线上点到两边距离相等 可求三角形面积 ⚠️ 核心考点 【考点1】角平分线的性质定理及应用（第1-30题） · 过角平分线上点作两边垂线 · 垂线段相等求线段长度 · 面积=底×高÷2，高为垂线段 · 与全等三角形结合证明 1．（24-25八年级下·甘肃天水·阶段检测）如图，在中，为的平分线，于点E，，，则的面积为（   ） A．16 B．10 C．8 D．4 ∵为的平分线，于，于，， ∴， ∵， ∴， 2．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，是高，是角平分线．若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·四川广安·期中）下列说法中：①三个角都相等的三角形是全等三角形；②有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；③角平分线上任意一点到角两边的距离相等；④等腰三角形的角平分线，中线，高互相重合；⑤三角形的外角总是大于它的内角；错误结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25八年级下·湖南怀化·期末）如图，在中，，．以点C为圆心，任意长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点H．，Q是边上一动点，则点之间的最小距离为（　　） A．2 B．3 C．4 D．8 5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，点E、G分别在上且，和的面积分别为50和40，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 7．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线，交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（   ） A． B．8 C．6 D．4 8．（2023八年级下·广东佛山·竞赛）如图，四边形中，，平分，于点．，，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．（20-21八年级上·河南驻马店·期中）如图，点P是的平分线上一点，于点D，点E是线段上一点，已知，点F为上一点且满足，则的长度为（    ） A．7 B．9 C．9或12 D．5或13 10．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，是的角平分线，，垂足为F，，的面积为50，则的面积为_____． 11．（24-25八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，在中，，平分，于点E，且，则________． 12．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直，垂足为A，交于点D若，则点P到的距离是____． 13．（2025·云南楚雄·一模）如图，在中，，的平分线交于点，连接，过点作，，若的面积是，周长是，则的长是________. 14．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，是的角平分线，，，则点D到的距离是______． 15．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，是的角平分线，于E，M、N分别是边、上的点，．若和的面积分别为30和16，则的面积是__________． 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，的平分线BF与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，则之间的数量关系是________． 17．（23-24八年级下·福建宁德·期中）如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是______． 18．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有________处． 19．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，中，，若点O到三角形三边的距离相等， 则________． 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，P为定角的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与相交于M，N两点，求证：． 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，是的平分线．在外取一点E，使得，，并且线段与线段相交于点K．求证：． 22．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知是的角平分线，点是射线上一点，点、分别在射线、上，连接、． (1)如图，当时，则与的数量关系是______． (2)如图，点、在射线、上滑动，且，，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由． 23．（20-21八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在中，是的角平分线，是上一个点，，交于点，，交于点． (1)求证：点到和的距离相等； (2)若，且的面积是15，求的面积． 【考点2】角平分线的判定定理及应用（第31-40题） · 证点到两边距离相等 · 证明点在角平分线上 · 与性质定理综合使用 · 注意角内部前提 24．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，点在上，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 25．（25-26八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（   ）． ①；②平分，③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 26．（23-24八年级上·四川遂宁·阶段检测）如图，​是​内一点，且​到三边​的距离​，若​___________． 27．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，C为内部一点，且点C到的距离与点C到的距离相等，连接，若，则的度数为_______ 28．（24-25八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在和中，，，．连接，交于点．以下四个结论：①；②；③；④平分，⑤平分，其中结论正确的有______．（写序号） 29．（23-24八年级上·吉林·阶段检测）如图，中，点、是与三等分线的交点，则的度数是______． 30．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点到三边的距离相等，则的度数为______． 31．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，交于点H，连． (1)求证：； (2)求；（用含α的式子表示） (3)求证：平分． 32．（23-24八年级下·湖南娄底·期中）如图，在中，，垂足为F，，求证：点D在的平分线上． 33．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，已知于点E，于点，，相交于点，连接，．求证：平分．    王刚的做法如下： 证明：，，① ，② 点在的平分线上，③ 平分．④ 王刚的做法正确吗？若不正确，请你写出正确做法． 34．（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图，已知，是的角平分线，的周长为，到的距离为． (1)求证：点到三边，，的距离相等； (2)求的面积； (3)如图，，分别是的一个内角及一个外角的平分线，，连接．若，求的度数． ∵，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴点到三边，，的距离相等； 35．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分． 【考点3】角平分线的尺规作图与综合（第41-52题） · 保留作图痕迹 · 作图依据SSS · 与三角形内角和、垂直平分线综合 · 实际问题中先抽象出角平分线模型 36．（24-25八年级上·河北承德·期末）如图，学习尺规作角平分线后，学生作业中出现四种正确作法，没有用到判定的是（   ） A． B． C． D． 37．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，通过判定三角形全等可说明．则判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 38．（2025·贵州遵义·一模）如图，在中，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接，过点P作交于点D，则和正确的关系是（   ） A． B． C． D． 39．（2025·云南西双版纳·二模）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧交于两点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线．过点作于点．若，则点到的距离为（   ） A．9 B．6 C．3 D．1 40．（24-25八年级上·浙江台州·阶段检测）如图，在中，，．用尺规作图在内部作出一个角，则（   ） A． B． C． D． 由作图痕迹可得、分别平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 41．（24-25七年级上·河北邢台·期末）如图，与它的余角相等，在上，分别截取，，使 ，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线，则的度数为_____． 42．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点D，E，再分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点F，已知，，则的长为______． 43．（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，小于的长为半径作圆弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点； ③作射线，交边于点．若，则的大小为____________． 44．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，则_______． 45．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若的面积是，那么__________． 46．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹，则的度数是__________． 47．（25-26八年级上·全国·课前预习）用尺规作图：作出已知角的平分线． 已知：如图，，求作：射线，使．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 48．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）人教版教材八年级数学上册给出了作一个角的角平分线的方法，内容如下： 已知：． 求作的平分线． 作法：（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点． （3）画射线，射线即为所求． 根据以上作图过程，我们来证明射线是的平分线． 证明：根据已知条件和作图过程可知，在和中， ，（推理依据：②） ，（推理依据：③） 射线即为的平分线． 由以上的作图和证明过程，回答下列问题： 问题一：证明过程中的①处应填_____； 问题二：证明过程中的②处应选（    ）； ．．．． 问题三：证明过程中的③处应填_____． 49．（24-25八年级上·广东广州·阶段检测）如图，在中，．用尺规作图法作的平分线交于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）． 50．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，要在区建一个电子商品批发市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处，这个电子商品批发市场应建于何处（请在图上标出它的位置，保留作图痕迹，比例尺为）． 51．（25-26八年级上·全国·课后作业）某考古队为进行考古研究，要寻找一座古城遗址．根据资料记载，这座古城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是．根据这些资料，考古队很快就找到了这座古城的遗址．你能运用学过的知识在图上标出古城遗址吗？请你试一试．（比例尺为） 52．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，为的中线，为的角平分线，过点E作于点N，为的高． (1)若，，求的度数； (2)若，，的面积为64，求的长． 💯 课后巩固 复习建议 · 性质定理：线上点到两边等距 · 判定定理：等距点在线上 · 作图依据SSS · 距离是垂线段 · 性质判定常结合全等 【作业1】．（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，点P是的角平分线上的一点，且于点D，于点E，若，则（   ） A．2 B． C． D．3 【作业2】．（23-24八年级上·河南周口·阶段检测）如图，射线平分，点分别在射线上，过点作于点．若的面积为10，则的长为（    ）    A．10 B．5 C．4 D．3 【作业3】．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）在的内部取点P，使得点P到三边的距离相等，则，，均为的（   ） A．高 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【作业4】．（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）如图，在中，，依据尺规作图的作图痕迹，的度数为（   ） A． B． C． D． 【作业5】．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，在中，平分，点P是的中点，连接，若，的面积是6，则的面积是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【作业6】．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，平分，，，则___________． 【作业7】．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）如图，，，，若，则_______． 【作业8】．（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）如图，在中，，平分．若，，则点D到的距离为____． 【作业9】．（25-26八年级上·广东广州·期中）亮亮最近学习尺规作图，他在中练习作图，痕迹如下图所示，若，，请问的度数为________． 【作业10】．（24-25八年级下·四川泸州·开学考试）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是_____． 【作业11】．（24-25八年级上·四川广元·期中）如图，中，点、分别是、延长线上一点，、的角平分线、交于点，连接，过点作、，垂足分别是点、，则、、之间的数量关系是_____． 【作业12】．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；已知，且于点．若，则线段长为______． 【作业13】．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，，点P为中点，平分．求证：平分． 【作业14】．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图，在中，平分，D是的中点，于点E，于点F．    (1)求证： (2)求证：． 【作业15】．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，点是边上一点，连接，请你用尺规作图法作的平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 【作业16】．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：分别作、的平分线相交于点P； (2)在（1）的条件下，求的度数． 【作业17】．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，．请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法），并回答问题： (1)在图1中，作的平分线； (2)在图2中，把折叠，使得点与点重合，折痕分别交，于点，． ①请作出折痕； ②连接，若，，则的周长为______． 【作业18】．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）使用直尺和圆规作图，需保留作图痕迹，不写作法． (1)如图①，高速公路和在我市交于点，若要修一个大型农贸市场，使到，的距离相等，且到，两小镇距离也相等．请作出市场的位置． (2)如图②，已知（），在上取一点，使． 1 学科网（北京）股份有限公司 $