第8讲·等边三角形·培优讲义（知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册

第8讲·等边三角形·培优讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册（知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握等边三角形的性质定理 · 掌握等边三角形的判定定理 · 理解含30°角直角三角形性质 · 解决最短路径与轴对称综合问题 · 综合全等三角形解决等边三角形问题 📚 知识梳理 ☆ 1.等边三角形的性质 等边三角形三个内角都相等，每个角等于60° 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴 等边三角形各边上的中线、高、角平分线重合 等边三角形周长=3×边长 概念辨析例题：等边三角形ABC中，∠A=？周长为18则边长为？ 答案：∠A=60°，边长=6 解析：等边三角形每个内角60°；周长=3×边长=18，故边长=6。 ☆ 2.等边三角形的判定 三条边都相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 常与全等三角形结合证明 概念辨析例题：等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=60°，求证△ABC是等边三角形。 答案：见解析 解析：AB=AC故∠B=∠C=(180°-60°)/2=60°，三个角都是60°，故为等边三角形。 ☆ 3.含30°角直角三角形与最短路径 直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半 最短路径问题常利用轴对称转化 两点之间线段最短是基本原理 折叠问题中折痕是对称轴 概念辨析例题：Rt△ABC中∠C=90°，∠A=30°，斜边AB=10，求BC。 答案：BC=5 解析：30°所对直角边BC=AB/2=5。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 等边三角形 三边相等，三角均为60° 三条对称轴 性质 三角60°，三线合一 周长=3×边长 判定 三边相等/三角相等/等腰+60° 注意60°角前提 30°直角三角形 30°对边=斜边一半 必须直角三角形 最短路径 轴对称转化为两点线段 折痕是对称轴 ⚠️ 核心考点 【考点1】等边三角形的性质（第1-30题） · 三角均为60° · 周长=3×边长 · 三线合一 · 结合平行线求角 1．（24-25七年级上·山东泰安·期中）已知：如图，，等边的顶点B在直线m上，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在等边中，D、E分别在边上，且，与相交于点P，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是等边三角形，高与交于点O，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图所示，在等边中，点D、E分别在边上，且，与交于点F，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）小红想将一个等边三角形沿着图中的虚线剪下得到几个全等三角形，下列操作中沿虚线剪下得到的三角形是全等图形的是（     ） A． B． C． D． 7．（2025·山东威海·一模）已知直线，等边的顶点刚好落在上，与交于点．已知，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·四川泸州·阶段检测）如图，等边三角形与互相平行的直线a，b相交，若，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）如图，在等边三角形中，，垂足是，且，点，分别是线段，上的动点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 10．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，是等边三角形，，、相交于点，于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，则图中共有________个等腰三角形，有________个等边三角形． 12．（23-24八年级上·黑龙江绥化·期末）一个等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有______条． 13．（24-25八年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在等边中，是上一点，于点，若，则的度数为___________． 14．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，在边长为的等边中，是的中点，为延长线上一点，若，则的长为_______． 15．（20-21八年级上·广东汕头·期末）如图，，点，，在射线上，点，，，，在射线上，，，，，均为等边三角形，若，则______． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在等边中，，N是线段上一点，的平分线交于点D，且，M是上的动点，连接，则的最小值是________． 17．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，等边三角形的边长为3，点D在边上，且，与相交于点P，若，则CE的长为________． 18．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在等边中，点D，E分别在边BC，AC上．且与相交于点于点于点． (1)求证：； (2)分别求出的度数． 19．（25突破设问1线段问题）如图，和都是等边三角形，连接，延长交于点F，连接，保持不动，将绕点A旋转．当点D，F重合时，请直接写出之间的数量关系，并说明理由． 20．（2025·福建福州·三模）如图，是等边三角形，是上的点，点在外，且，．求证：． 21．（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，在中，，，以为边，在的外部作等边三角形，E是的中点，连接并延长交于F．求的度数． 22．（23-24八年级下·陕西西安·阶段检测）如图所示，A、C、B三点共线，与都是等边三角形，相交于点P，且分别与交于点M，N．    (1)求证： (2)求的度数 23．（25-26八年级上·北京顺义·期末）如图，，均为等边三角形，连接交于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，求的大小． 【考点2】等边三角形的判定（第31-40题） · 三边相等直接判定 · 三角相等判定 · 等腰+60°判定 · 结合全等证明 24．（23-24七年级上·山东济南·期中）如图，在中，，平分，那么下列结论不一定成立的是（　　） A． B．是的高线 C．是的角平分线 D．是等边三角形 25．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，为等边三角形，D为延长线上一点，作交的延长线于E．若，则的长为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 26．（23-24八年级上·全国·单元测试）三条边都相等的三角形叫做____． 27．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段检测）在中，，则等于___________． 28．（24-25八年级下·山西太原·期中）在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件______使等腰成为等边三角形． 29．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，平分，若，则______． 30．（25-26八年级上·北京·期末）如图，，，连接，交于点．若，，则______ ． 31．（24-25八年级上·江西上饶·期末）已知是以为腰的等腰三角形，D为线段上一点，且，若恰好为一边的，则的大小为______． 32．（25-26八年级上·甘肃庆阳·阶段检测）已知的三边长为，且满足，则此三角形一定是________． 33．（24-25七年级下·上海普陀·期末）在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是___________．（只需写出一个） 34．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，为等边的边上一点，为延长线上一点，且，连接交边于点．证明：． 35．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，在一个房间内，有一个长为米的梯子（图中）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子的倾斜角为，求的长． 36．（24-25八年级上·广东东莞·阶段检测）如图：，试说明是等边三角形． 37．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，等腰中，，过点A作，交的平分线于点D，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若点E是的中点，求的度数． 38．（2026八年级·全国·专题练习）将两个大小不同的含角的直角三角板和按右图所示的方式摆放，的平分线交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 39．（25-26八年级下·全国·课后作业）示意图如图①，已知在中，，是边上任意一点，过点分别向，引垂线，垂足分别为，． 【问题解决】 （1）当点在的什么位置时，？请证明． （2）过点作边上的高，试猜想，，的长度之间存在怎样的等量关系？请证明你的结论． 【延伸设问】 （3）如图②，已知等边三角形的高为，为内一点，于点，于点，于点，则_____． 【规律总结】 （4）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和_____一腰上的高． 等边三角形内一点到各边距离之和_____任意一边上的高． 【考点3】含30°直角三角形与最短路径综合（第41-52题） · 30°对边=斜边一半 · 轴对称转化路径 · 两点线段最短 · 折叠找对应 40．（21-22八年级上·吉林白城·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 41．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，，是上的任意一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转至，使，连接，则线段长度的最小值为（     ） A． B． C． D． 42．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，是边上的点，，点在的垂直平分线上，，则的长为_____． 43．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，是的角平分线，于点E．若，，则的面积是______． 44．（23-24八年级上·广东湛江·期末）如图，为等边的边上一点，且，，垂足分别为点．若，则______． 45．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为______． 46．（25-26八年级上·天津·阶段检测）如图，在中，，，点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，则________． 47．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，为等边三角形，，，相交于点P，于Q．已知，，则的长是________． 48．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点_______处，（填图中的字母） 49．（25-26八年级上·全国·期中） 如图，在中，，，D是的中点，于点E． (1)求的度数； (2)若，求的长． 50．（23-24八年级上·广东珠海·期末）如图，中，和分别为等边三角形，与相交于点F，连并延长交于点G． (1)求证：； (2)求证：G为的中点； (3)已知，求的大小（用含的式子表示）． 51．（2023八年级上·山东滨州·竞赛）如图1，A，B，C三点共线，分别以为边在同侧作等边三角形和等边三角形，则有，． (1)如图2，若A，B，C三点不共线，其余条件不变，上面的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (2)如图3，若把图2中“等边三角形和等边三角形”，改为“以点A为直角顶点的等腰直角三角形和等腰直角三角形”，其余条件不变，则______°；若，则______． (3)在图2中，若把“等边三角形和等边三角形”，改为其他的特殊三角形，其余条件不变，要想依然相等，两个特殊三角形至少需要满足什么条件？当满足该条件时，会变化吗？若变化，设，请用含的式子表示． 52．（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，三角形纸片． (1)将折叠，使点与点重合，折痕交于点，请用尺规作出点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)点是折痕上一动点，若，则的周长的最小值为____． 💯 课后巩固 复习建议 · 等边三角形三角60° · 周长=3×边长 · 判定等腰+60° · 30°对边=斜边一半 · 最短路径轴对称 【作业1】．（24-25八年级上·广东汕头·期末）已知，点是等边三角形的边上的一点（点与点、点不重合），则在以线段，，为边的三角形中，最大的内角的大小为（    ） A． B． C． D． 【作业2】．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，分别以A，B为圆心，长为半径所作弧的交点为C，连结，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【作业3】．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图是一个正方体纸盒，如果一只蚂蚁从点A沿纸盒表面爬到点B，它所爬过的最短路线可在部分侧面展开图中用虚线表示为（　　） A． B． C． D． 【作业4】．（25-26八年级上·重庆荣昌·期末）如图，是等腰直角三角形，，以为边向右作等边三角形，连接，作，且，连接，延长交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【作业5】．（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，以，为边向外分别作等边三角形和等边三角形，连接．若，则的长为（   ） A．6 B． C． D．5 【作业6】．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，为等边三角形，，垂足为点E，则下列结论中，正确的个数是（    ） ①； ②； ③线段是的对称轴； ④线段AE是的角平分线． A．1 B．2 C．3 D．4 【作业7】．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在中，，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；（2）连接交于点，则下列结论中错误的是（   ） A．垂直平分 B．点不一定在的角平分线上 C． D．若，则垂直平分 【作业8】．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点，使的值最小，则的最小值为____________． 【作业9】．（2026·宁夏银川·一模）如图，将边长为2的等边沿方向平移1个单位长度，得到，与相交于点G，则四边形的周长为______． 【作业10】．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期末）下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等：③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形．其中错误的有____________个． 【作业11】．（25-26八年级下·全国·课后作业）在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是_____的（填“正确”或“不正确”）． 【作业12】．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，已知：，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，若，则的边长为___________． 【作业13】．（24-25八年级上·江苏常州·阶段检测）如图，等边中，是高，延长到点E，使，则_____°． 【作业14】．（25-26八年级上·吉林延边·期中）如图，在中，点在边上，． (1)以点为顶点的三角形为_______； (2)以为边的三角形为_______； (3)底边和腰不相等的等腰三角形为_______； (4)等边三角形为______． 【作业15】．（25-26八年级上·全国·期末）如图，是等边三角形，是边上一点，以为一边向上作等边，连接． (1)求证： (2)若，求的度数 (3)在（2）的条件下，若，求的长 【作业16】．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下列材料并完成任务： “最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图1，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？ 海伦认为以河边为镜面，画出甲地的镜像点（垂直河边的等距离点），然后连接乙地和甲地的镜像点，会跟河边相交一点，这个点就是马饮水的地方，马走的路程最短（两点之间直线距离最短）． 任务： 请你帮海伦在图1的位置完成作图，并标出马饮水的地点（画出草图即可）； 【作业17】．（24-25八年级上·北京·期中）如图，为等边三角形，在内作射线，点关于射线的对称点为点，连接，作射线交于点，连接． (1)依题意补全图形； (2)设，写出的大小：________（用含的代数式表示）； (3)用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 【作业18】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，为等边三角形内的一点，它到三边，，的距离分别为，，，的高，则与，，之间有何数量关系？写出你的猜想并加以证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ （知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册 第8讲 等边三角形 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握等边三角形的性质定理 · 掌握等边三角形的判定定理 · 理解含30°角直角三角形性质 · 解决最短路径与轴对称综合问题 · 综合全等三角形解决等边三角形问题 📚 知识梳理 ☆ 1.等边三角形的性质 等边三角形三个内角都相等，每个角等于60° 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴 等边三角形各边上的中线、高、角平分线重合 等边三角形周长=3×边长 概念辨析例题：等边三角形ABC中，∠A=？周长为18则边长为？ 答案：∠A=60°，边长=6 解析：等边三角形每个内角60°；周长=3×边长=18，故边长=6。 ☆ 2.等边三角形的判定 三条边都相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 常与全等三角形结合证明 概念辨析例题：等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=60°，求证△ABC是等边三角形。 答案：见解析 解析：AB=AC故∠B=∠C=(180°-60°)/2=60°，三个角都是60°，故为等边三角形。 ☆ 3.含30°角直角三角形与最短路径 直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半 最短路径问题常利用轴对称转化 两点之间线段最短是基本原理 折叠问题中折痕是对称轴 概念辨析例题：Rt△ABC中∠C=90°，∠A=30°，斜边AB=10，求BC。 答案：BC=5 解析：30°所对直角边BC=AB/2=5。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 等边三角形 三边相等，三角均为60° 三条对称轴 性质 三角60°，三线合一 周长=3×边长 判定 三边相等/三角相等/等腰+60° 注意60°角前提 30°直角三角形 30°对边=斜边一半 必须直角三角形 最短路径 轴对称转化为两点线段 折痕是对称轴 ⚠️ 核心考点 【考点1】等边三角形的性质（第1-30题） · 三角均为60° · 周长=3×边长 · 三线合一 · 结合平行线求角 1．（24-25七年级上·山东泰安·期中）已知：如图，，等边的顶点B在直线m上，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、等边三角形的性质 【分析】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，三角形的外角性质，熟记性质并作辅助线得到内错角相等是解题的关键．延长与直线l相交于D，根据两直线平行，内错角相等求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：如图，延长与直线l相交于D， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 故选：B． 2．（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．利用平行线的性质和等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ， 故选：B． 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在等边中，D、E分别在边上，且，与相交于点P，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，由等边三角形的性质得到，则可证明，得到，据此由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是等边三角形，高与交于点O，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边三角形的性质 【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据等边三角形三线合一的性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 本题主要考查了等边三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵高与交于点O， ∴， ∴． 故选：C． 5．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图所示，在等边中，点D、E分别在边上，且，与交于点F，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】此题主要了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，证明，则，利用等边三角形的性质得到，利用三角形内角和得到，利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）小红想将一个等边三角形沿着图中的虚线剪下得到几个全等三角形，下列操作中沿虚线剪下得到的三角形是全等图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、等边三角形的性质 【分析】根据等边三角形的性质和全等三角形的判定方法依次判断即可． 本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定方法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：A. 将等边三角形沿底边的三等分点和顶点的连线剪下，根据可得左右两个三角形全等，但不与中间三角形全等．故A选项不符合题意； B. 将等边三角形沿底边的四等分点和顶点的连线剪下，根据可得左右两个三角形全等，中间两个三角形全等，但这四个三角形不全等，故B选项不符合题意； C.将等边三角形沿三条边中点的连线剪开．根据可得这四个三角形全等．故C选项符合题意； D. 在等边三角形顶角的平分线上任取一点，再连接两个底角的顶点，沿虚线剪开．根据可得左右两个三角形全等，但不与下面的三角形全等．故D选项不符合题意． 故选：C 7．（2025·山东威海·一模）已知直线，等边的顶点刚好落在上，与交于点．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的判定和性质．作，先由平行线的性质得到，再判定，由平行线的性质得到，最后根据平角的性质即可求解． 【详解】解：∵等边， ∴， 作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8．（25-26八年级上·四川泸州·阶段检测）如图，等边三角形与互相平行的直线a，b相交，若，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两直线平行内错角相等、根据平行线的性质求角的度数、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质及平行线的判定和性质，准确构造辅助线是解题的关键． 过点C作直线a的平行线，根据平行线的性质及等边三角形的性质即可得答案． 【详解】解：如图，过点C作， 直线， ， ， 等边三角形， ， ， ， ， 故选：B． 9．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）如图，在等边三角形中，，垂足是，且，点，分别是线段，上的动点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【知识点】垂线段最短、等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了等边三角形的对称性、“垂线段最短”等知识点．熟记相关结论是解题关键．根据等边三角形的对称性可得，根据垂线段最短即可求的最小值． 【详解】解：由等边三角形的对称性可得 故 过点作，如图所示：    则 故选：A． 10．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，是等边三角形，，、相交于点，于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】证明得，由三角形外角性质推出即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 故选：A． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形外角性质、全等三角形的判定与性质等知识，掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 11．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，则图中共有________个等腰三角形，有________个等边三角形． 【答案】 4 1 【知识点】等边三角形的性质、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等边三角形和等腰三角形的定义，根据等边三角形和等腰三角形的定义，对各个三角形逐一分析，即可得到答案． 【详解】结合题意，两边相等的三角形有、、、，三边都相等的三角形有． 故答案为：4，1． 12．（23-24八年级上·黑龙江绥化·期末）一个等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有______条． 【答案】3/三 【知识点】等边三角形的性质、求对称轴条数 【分析】此题考查轴对称的性质和等边三角形的性质，属常规题．根据等腰三角形三线合一的性质可知每条高所在的直线都是对称轴． 【详解】解：每条高所在的直线都是对称轴，所以共有3条对称轴． 故答案为：3 13．（24-25八年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在等边中，是上一点，于点，若，则的度数为___________． 【答案】/度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形性质，三角形外角性质，利用等边三角形性质得到，结合题意进而得到，再根据三角形外角性质得到，即可解题． 【详解】解： 是等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，在边长为的等边中，是的中点，为延长线上一点，若，则的长为_______． 【答案】/厘米 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用：等边三角形的三个内角都相等，且都等于．先利用等边三角形的性质证明，证明是等腰三角形，即可解决问题． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵是的中点，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（20-21八年级上·广东汕头·期末）如图，，点，，在射线上，点，，，，在射线上，，，，，均为等边三角形，若，则______． 【答案】 【知识点】图形类规律探索、三角形的外角的定义及性质、等边三角形的性质 【分析】本题考查了图形的变化规律，等边三角形的性质，三角形的外角性质，先求出，同理，，，所以，从而求解，根据等边三角形的性质总结出规律是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理，， ， ∴， 故答案为：． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在等边中，，N是线段上一点，的平分线交于点D，且，M是上的动点，连接，则的最小值是________． 【答案】 【知识点】两点之间线段最短、垂线段最短、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．连接，先根据等边三角形的性质可得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，则可得，再根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为，根据垂线段最短可得当时，的值最小，然后根据等边三角形的性质即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵在等边中，的平分线交于点， ∴垂直平分，， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小， ∴此时有， ∴， 即的最小值是， 故答案为：． 17．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，等边三角形的边长为3，点D在边上，且，与相交于点P，若，则CE的长为________． 【答案】1 【知识点】等边三角形的性质 【分析】根据题干条件和三角形的内角和等于，推断出，判定，即可得到． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，． ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴， ∴ 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是能证明． 18．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在等边中，点D，E分别在边BC，AC上．且与相交于点于点于点． (1)求证：； (2)分别求出的度数． 【答案】(1) 证明:是等边三角形 在和中 (2)； 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】（1）证明即可说明； （2）利用全等三角形的性质得到，再由垂直得到进而解答即可． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质，关键是根据证明． 【详解】（1）略 （2）解： 19．（25突破设问1线段问题）如图，和都是等边三角形，连接，延长交于点F，连接，保持不动，将绕点A旋转．当点D，F重合时，请直接写出之间的数量关系，并说明理由． 【答案】 解：，理由如下： 和都是等边三角形， ，，， ，， ， ∴， ， ，， ． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，先由等边三角形的性质得到，，，再证明得到，即可根据线段之间的关系得到． 【详解】略 20．（2025·福建福州·三模）如图，是等边三角形，是上的点，点在外，且，．求证：． 【答案】 证明：为等边三角形， ， ， ， 在和中， ． 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、等边三角形的性质 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由等边三角形得到，然后证明出，进而证明出． 【详解】略 21．（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，在中，，，以为边，在的外部作等边三角形，E是的中点，连接并延长交于F．求的度数． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，及三角形的内角和定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．根据题意先求出，再证明，再根据直角三角形两内角互余即可得解． 【详解】解：∵， ∴ ∵是等边三角形，E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴ 22．（23-24八年级下·陕西西安·阶段检测）如图所示，A、C、B三点共线，与都是等边三角形，相交于点P，且分别与交于点M，N．    (1)求证： (2)求的度数 【答案】(1) 证明：与都是等边三角形， ， , , 在和中 ， (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、用SAS证明三角形全等（SAS）、等边三角形的性质 【分析】考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定方法，关键是根据等边三角形的性质解答． （1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可； （2）根据三角形的内角和相等，对顶角相等，即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：， ， 在和中， ， 又， 23．（25-26八年级上·北京顺义·期末）如图，，均为等边三角形，连接交于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1) 证明： ，均为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ； (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形性质，全等三角形性质和判定，三角形外角性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据等边三角形性质推出，进而得到，再利用“”证明即可． （2）根据全等三角形性质推出，再结合三角形外角性质求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解： ，， ， ． 【考点2】等边三角形的判定（第31-40题） · 三边相等直接判定 · 三角相等判定 · 等腰+60°判定 · 结合全等证明 24．（23-24七年级上·山东济南·期中）如图，在中，，平分，那么下列结论不一定成立的是（　　） A． B．是的高线 C．是的角平分线 D．是等边三角形 【答案】D 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、三线合一、等边三角形的判定 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，三角形全等的判定，根据三角形全等的判定方法，可得出，根据等腰三角形三线合一可得出是的高线，是的角平分线． 【详解】解：∵在中，，平分， ∴是的高线，是的角平分线，是中线， ∴， ∵， ∴， 无法判断是等边三角形，故D符合题意，不符合题意． 故选：D． 25．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，为等边三角形，D为延长线上一点，作交的延长线于E．若，则的长为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【知识点】两直线平行内错角相等、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，根据等边三角形的性质得出，，根据，得出，，说明为等边三角形，根据等边三角形的性质得出． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 故选：A． 26．（23-24八年级上·全国·单元测试）三条边都相等的三角形叫做____． 【答案】等边三角形 【知识点】等边三角形的判定 【分析】本题考查等边三角形的定义，根据三条边都相等的三角形叫做等边三角形即可填空． 【详解】解：等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形． 故答案为等边三角形． 27．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段检测）在中，，则等于___________． 【答案】5 【知识点】等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，根据，得到，证明是等边三角形，即可得出结果． 【详解】解： ， ， ∴是等边三角形， ， 故答案为：5． 28．（24-25八年级下·山西太原·期中）在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件______使等腰成为等边三角形． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】等边三角形的判定 【分析】根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可求解． 【详解】解：括号内填（答案不唯一）可以使等腰成为等边三角形． 29．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，平分，若，则______． 【答案】6 【知识点】等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质进行推理计算．先证明是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 30．（25-26八年级上·北京·期末）如图，，，连接，交于点．若，，则______ ． 【答案】6 【知识点】线段垂直平分线的判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的判定，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握以上性质和判定；先证明是的垂直平分线，可求出，再证明是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解． 【详解】解：，， 是的垂直平分线， ， ，， 是等边三角形， ， 故答案为：6． 31．（24-25八年级上·江西上饶·期末）已知是以为腰的等腰三角形，D为线段上一点，且，若恰好为一边的，则的大小为______． 【答案】或或 【知识点】等边对等角、三线合一、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质．分四种情况讨论，利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：如图，当，时，取的中点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； 当，时， 同理，； 当，时， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 综上，的大小为或或． 故答案为：或或． 32．（25-26八年级上·甘肃庆阳·阶段检测）已知的三边长为，且满足，则此三角形一定是________． 【答案】等边三角形 【知识点】绝对值非负性、等边三角形的判定 【分析】本题主要考查绝对值的非负性，根据绝对值的非负性可求出的值，根据边长可判断三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 33．（24-25七年级下·上海普陀·期末）在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是___________．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】三线合一、等边三角形的判定 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，等边三角形的判定．根据题意要证明垂直平分，推出，再根据等边三角形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图，添加时，为等边三角形， ∵在中，平分，， ∴是中边上的中线， ∴是中边上的高（三线合一）， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：（答案不唯一）． 34．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，为等边的边上一点，为延长线上一点，且，连接交边于点．证明：． 【答案】 证明：如图， 过点作交于点； 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， 在和中， )， ． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，过点作交于点；得出是等边三角形，进而证明)即可得证． 【详解】略 35．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，在一个房间内，有一个长为米的梯子（图中）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子的倾斜角为，求的长． 【答案】米 【知识点】等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形即可求解，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，米， ∴， ∴是等边三角形， ∴米． 36．（24-25八年级上·广东东莞·阶段检测）如图：，试说明是等边三角形． 【答案】 证明：， ， ， 又， 是等边三角形． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边三角形的判定 【分析】本题考查的是等边三角形的判定、三角形外角的性质，先求出，得出，结合，即可证明结论． 【详解】略 37．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，等腰中，，过点A作，交的平分线于点D，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若点E是的中点，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明等腰三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质． （1）根据角平分线的定义可知，根据平行线的性质得到，根据等角对等边证明即可； （2）根据平行线的性质得到，证明，得到，进而证明是等边三角形，可知，根据平分及即可求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 又∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴（）， ∴． ∵，， ∴，即是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 38．（2026八年级·全国·专题练习）将两个大小不同的含角的直角三角板和按右图所示的方式摆放，的平分线交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：由题意，得，． 平分， ， ， ， ， 是等边三角形， ． (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定 【分析】本题主要运用三角形内角和定理、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质来求解，解题的关键是掌握上述知识点． （1）通过角度计算证明是等边三角形从而得出边相等； （2）利用含角的直角三角形的性质结合求出，再根据角度关系得出的长度即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，． ，， ． 又， ， ， ． ， ． 39．（25-26八年级下·全国·课后作业）示意图如图①，已知在中，，是边上任意一点，过点分别向，引垂线，垂足分别为，． 【问题解决】 （1）当点在的什么位置时，？请证明． （2）过点作边上的高，试猜想，，的长度之间存在怎样的等量关系？请证明你的结论． 【延伸设问】 （3）如图②，已知等边三角形的高为，为内一点，于点，于点，于点，则_____． 【规律总结】 （4）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和_____一腰上的高． 等边三角形内一点到各边距离之和_____任意一边上的高． 【答案】 （1）点为的中点时，． 证明：点为的中点， ． ， ． ，， ． 在和中， ， ． （2）．证明： 如图①连接． ， ． ， ． （3）7cm （4）等于  等于 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等腰三角形与等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，面积法的应用，掌握面积法推导线段关系是解题的关键． （1）点为中点时，，结合得，证明，得； （2）连接，将面积拆分为与的面积和，利用面积公式推导与的关系； （3）连接，将等边面积拆分为三个小三角形面积和，利用三边相等推出等于高； （4）通过前几问的结论，总结等腰和等边三角形中的距离规律． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）如图②，连接，，，过点作边上的高． ， ． 是等边三角形， ， ， ． （4）规律：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高； 等边三角形内一点到各边距离之和等于任意一边上的高． 【考点3】含30°直角三角形与最短路径综合（第41-52题） · 30°对边=斜边一半 · 轴对称转化路径 · 两点线段最短 · 折叠找对应 40．（21-22八年级上·吉林白城·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】由垂直平分线的性质得到，求出，然后求出，即可得到． 【详解】解：∵边的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． 41．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，，是上的任意一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转至，使，连接，则线段长度的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、含30度角的直角三角形、根据旋转的性质求解 【分析】在上截取，利用全等三角形的判定和性质，可得，，当时，的长度最小，此时的长度最小，根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，进行解答，即可． 【详解】解：在上截取， ∵， ∴， ∴， 由旋转可得，， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，的长度最小，此时的长度最小， ∵，， ∴． ∴． 42．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，是边上的点，，点在的垂直平分线上，，则的长为_____． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】本题考查了垂直平分线性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，由已知可得，再根据线段垂直平分线的性质得，即得到，，进而根据直角三角形的性质得到，最后根据线段的和差关系即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵点在的垂直平分线上，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 43．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，是的角平分线，于点E．若，，则的面积是______． 【答案】12 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 先求出，再由直角三角形的性质求出，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：∵在中，，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 44．（23-24八年级上·广东湛江·期末）如图，为等边的边上一点，且，，垂足分别为点．若，则______． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含直角三角形的性质； 根据是等边三角形结合已知求出，可得是等边三角形，则，然后证明，得到，根据含直角三角形的性质求出，然后可得答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 45．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为______． 【答案】 【知识点】最短路径问题、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查了三线合一的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质，连接，根据等腰三角形三线合一的性质和三角形的面积公式得到，根据垂直平分线的性质和轴对称的性质得出，推得的长度等于的最小值，即可得到结论． 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当，，在同一直线上时，， 即的长度等于的最小值， ∴的最小值为， 故答案为：． 46．（25-26八年级上·天津·阶段检测）如图，在中，，，点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，则________． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、直角三角形的性质，由题意可得，，作点关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得，，从而可得，当、、三点共线且时，的值最小，即此时最小，证明、、三点共线，求出，再由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴为等边三角形， ∴，， 如图，作点关于的对称点，连接， ， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当、、三点共线且时，的值最小，即此时最小， ∵， ∴、、三点共线， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 47．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，为等边三角形，，，相交于点P，于Q．已知，，则的长是________． 【答案】11 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】先证出，则，，进而可得，再根据含角的直角三角形的性质求出的长，由此即可得． 【详解】解：是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 48．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点_______处，（填图中的字母） 【答案】C 【知识点】最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，掌握轴对称的性质并正确作图是解题的关键．根据轴对称的性质作图即可求解． 【详解】解：如图：作点B关于直线a的对称点N，连接，则交直线a于点C， 由对称性可得，， ， 当三点共线时，最短， 点P的位置应选在点C处． 故答案为：C． 49．（25-26八年级上·全国·期中） 如图，在中，，，D是的中点，于点E． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、含30度角的直角三角形、等边对等角、三线合一 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据等腰三角形的性质进行求解即可； （2）根据含角的直角三角形的性质，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 50．（23-24八年级上·广东珠海·期末）如图，中，和分别为等边三角形，与相交于点F，连并延长交于点G． (1)求证：； (2)求证：G为的中点； (3)已知，求的大小（用含的式子表示）． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵和为等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴． (2) 证明：由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴G为的中点． (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的判定、等边对等角、等边三角形的性质 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质得出，，，证明出，即可得出； （2）根据得，再根据线段垂直平分线的判定即可证明； （3）根据和是的垂直平分线得，再借助和为等边三角形得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）可知，是的垂直平分线， ∵，， ∴， ∵和为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定、全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 51．（2023八年级上·山东滨州·竞赛）如图1，A，B，C三点共线，分别以为边在同侧作等边三角形和等边三角形，则有，． (1)如图2，若A，B，C三点不共线，其余条件不变，上面的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (2)如图3，若把图2中“等边三角形和等边三角形”，改为“以点A为直角顶点的等腰直角三角形和等腰直角三角形”，其余条件不变，则______°；若，则______． (3)在图2中，若把“等边三角形和等边三角形”，改为其他的特殊三角形，其余条件不变，要想依然相等，两个特殊三角形至少需要满足什么条件？当满足该条件时，会变化吗？若变化，设，请用含的式子表示． 【答案】(1) 解：成立， 理由如下：∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴. ∵，， ∴. (2)90,6 (3)等腰三角形和等腰三角形，且，时，依然相等， 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理， 对于（1），根据等边三角形的性质得，即可得，再根据“边角边”证明，可得，然后根据三角形内角和定理得出答案； 对于（2），仿照（1）解答即可； 对于（3），添加条件仿照（1）证明，进而得出答案. 【详解】（1）略 （2）解：90，6； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴. ∵，， ∴. 故答案为：90,6； （3）解：当和是等腰三角形，且，满足时，依然相等，发生变化， ∵和是等腰三角形，且，， ∴， 即， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵，， ∴. 52．（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，三角形纸片． (1)将折叠，使点与点重合，折痕交于点，请用尺规作出点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)点是折痕上一动点，若，则的周长的最小值为____． 【答案】(1) 如图，点D即为所求： (2)11 【知识点】最短路径问题、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、折叠问题 【分析】本题考查线段垂直平分线的尺规作图和性质、轴对称性质、最短距离问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键． （1）由轴对称性质，作的垂直平分线即可； （2）连接，根据线段垂直平分线的性质得， 则的周长为，当且仅当A、P、B共线时取等号，此时点P与点D重合，进而可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵直线l是的 垂直平分线， ∴， ∴的周长为，当且仅当A、P、B共线时取等号，此时点P与点D重合， ∵， ∴的周长的最小值为， 故答案为：11． 💯 课后巩固 复习建议 · 等边三角形三角60° · 周长=3×边长 · 判定等腰+60° · 30°对边=斜边一半 · 最短路径轴对称 【作业1】．（24-25八年级上·广东汕头·期末）已知，点是等边三角形的边上的一点（点与点、点不重合），则在以线段，，为边的三角形中，最大的内角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两直线平行同位角相等、等边三角形的判定和性质 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．过点作交于点，证明是等边三角形得，则，，由此即可得出答案． 【详解】解：过点作交于点，如图所示： 是等边三角形， ，， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，， 在以线段，，为边的三角形中，最大的内角为． 故选：． 【作业2】．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，分别以A，B为圆心，长为半径所作弧的交点为C，连结，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，作图－复杂作图，解题的关键是掌握等边三角形的判定． 判断出是等边三角形可得结论． 【详解】解：由作图可知， 是等边三角形， 故选：C． 【作业3】．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图是一个正方体纸盒，如果一只蚂蚁从点A沿纸盒表面爬到点B，它所爬过的最短路线可在部分侧面展开图中用虚线表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正方体几种展开图的识别、最短路径问题 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 把此正方体的一面展开，然后在平面内，根据两点之间线段最短即可得到答案． 【详解】解：把此正方体的一面展开，根据两点之间线段最短可知，蚂蚁所爬过的最短路径（虚线）在侧面展开图中的位置如选项B中所示， 故选B． 【作业4】．（25-26八年级上·重庆荣昌·期末）如图，是等腰直角三角形，，以为边向右作等边三角形，连接，作，且，连接，延长交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用邻补角互补求角度、三角形内角和定理的应用、等边三角形的性质 【分析】本题考查了利用邻补角互补求角度，三角形内角和定理的应用，等边三角形的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先利用邻补角的意义求得，再根据角的差求得，从而可结合等边三角形的性质与三角形内角和定理求解． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以， 因为以为边向右作等边三角形， 所以， 所以， 故选：C． 【作业5】．（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，以，为边向外分别作等边三角形和等边三角形，连接．若，则的长为（   ） A．6 B． C． D．5 【答案】B 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形、全等三角形的性质和判定、 含度角的直角三角形，证明是解题的关键． 根据等边三角形的性质证明，得出，利用勾股定理求出，进而解答即可． 【详解】解：如图，连接． 和都是等边三角形， ，，， ，即， ， ． ，， ． ，，， ， ． 在中，， ． 故选：B． 【作业6】．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，为等边三角形，，垂足为点E，则下列结论中，正确的个数是（    ） ①； ②； ③线段是的对称轴； ④线段AE是的角平分线． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】三线合一、等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】此题考查等边三角形的性质，轴对称的性质，关键是根据等边三角形的性质三线合一解答．根据等边三角形的性质、等腰三角形“三线合一”的性质、角平分线和对称轴的定义，逐一分析判断即可． 【详解】解：∵为等边三角形，， ∴，， 故结论①②正确， ∵为等边三角形，， ∴所在直线是的对称轴， ∴“线段是的对称轴”不正确，故结论③错误； ∵为等边三角形，， ∴， ∴线段是的角平分线，故结论④正确． 故正确个数有3个． 故选：C． 【作业7】．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在中，，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；（2）连接交于点，则下列结论中错误的是（   ） A．垂直平分 B．点不一定在的角平分线上 C． D．若，则垂直平分 【答案】B 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 根据题意易得，，则垂直平分，即可判断A；通过证明，得出，即可判断B；根据垂直平分，得出，即可判断C；易得为等边三角形，进而得出，即可判断D． 【详解】解：A、∵， ∴点A在垂直平分线上， 由作图可知，， ∴点D在垂直平分线上， ∴垂直平分，故A正确，不符合题意； B、∵，，， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上，故B不正确，符合题意； C、∵垂直平分， ∴， 故C正确，不符合题意； D、∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分，故D正确，不符合题意； 故选：B． 【作业8】．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点，使的值最小，则的最小值为____________． 【答案】6 【知识点】最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】此题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，判断出是解本题的关键． 先作出点C关于的对称点，判断出，进而判断出，再构造出直角三角形，利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，延长至，使， ∵， ∴点与点C关于对称， 连接交于，此时最小， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点B作交的延长线于E， 则（平行线间的距离处处相等）， 在中，， ∴， 即的值最小值为6， 故答案为：6． 【作业9】．（2026·宁夏银川·一模）如图，将边长为2的等边沿方向平移1个单位长度，得到，与相交于点G，则四边形的周长为______． 【答案】5 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平移的性质求解 【分析】由平移可得，，，然后证明为等边三角形，再求出四边形的各边长，再相加即可． 【详解】解：∵等边， ∴， 由平移可得，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴ ∴四边形的周长为：． 【作业10】．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期末）下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等：③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形．其中错误的有____________个． 【答案】3 【知识点】三线合一、等边三角形的性质、判断命题真假 【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等腰三角形的性质，难度不大．利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①等腰三角形的顶角平分线、底边的中线和底边上的高重合，故原命题错误，不符合题意； ②等腰三角形两腰上的高相等，正确，符合题意； ③等腰三角形的最短边不一定是底边，故原命题错误，不符合题意； ④等边三角形的高、中线、角平分线都相等，正确，符合题意； ⑤等腰三角形不一定都是锐角三角形，故原命题错误，不符合题意， 错误的有3个， 故答案为：3 【作业11】．（25-26八年级下·全国·课后作业）在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是_____的（填“正确”或“不正确”）． 【答案】正确 【知识点】最短路径问题、利用平移解决实际问题 【分析】本题考查了平移的性质，两点之间线段最短，关键是任取其他位置修桥（垂直于河岸），通过等量代换，把路径最短问题转化为两点之间线段最短． 任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，，利用平移的性质把行走路径转化为比较与的大小，根据两点之间线段最短，可得最短路径． 【详解】解：如图，任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，． ，， 可看作由平移所得， ， ． 同理，， ． 中，， ， ， 原示意图是正确的． 故答案为：正确． 【作业12】．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，已知：，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，若，则的边长为___________． 【答案】 【知识点】根据等角对等边求边长、等边三角形的性质 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出…进而得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴， 又∵， ， ∵， ， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 以此类推：． 【作业13】．（24-25八年级上·江苏常州·阶段检测）如图，等边中，是高，延长到点E，使，则_____°． 【答案】30 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查等边三角形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等边三角形边角之间的关系，此题难度一般．根据等边三角形的性质得，，结合，以及三角形外角的性质解答即可， 【详解】解：∵是等边三角形，D是的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：30 【作业14】．（25-26八年级上·吉林延边·期中）如图，在中，点在边上，． (1)以点为顶点的三角形为_______； (2)以为边的三角形为_______； (3)底边和腰不相等的等腰三角形为_______； (4)等边三角形为______． 【答案】(1)， (2)， (3) (4) 【知识点】三角形的识别与有关概念、等边三角形的判定、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形和等边三角形的定义，熟练掌握等腰三角形和等边三角形定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据三角形的相关定义进行解答即可； （3）根据等腰三角形定义进行解答即可； （4）根据等边三角形定义进行解答即可． 【详解】（1）解：以点为顶点的三角形为，， 故答案为：，； （2）解：以为边的三角形为，， 故答案为：，； （3）解：∵， ∴底边和腰不相等的等腰三角形为， 故答案为：； （4）解：∵， ∴等边三角形为， 故答案为：． 【作业15】．（25-26八年级上·全国·期末）如图，是等边三角形，是边上一点，以为一边向上作等边，连接． (1)求证： (2)若，求的度数 (3)在（2）的条件下，若，求的长 【答案】(1) 证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质和即可证明结论； （2）求出的度数，再由全等三角形的性质即可得到答案； （3）根据（2）所求，结合等边三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，即， ∴． 【作业16】．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下列材料并完成任务： “最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图1，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？ 海伦认为以河边为镜面，画出甲地的镜像点（垂直河边的等距离点），然后连接乙地和甲地的镜像点，会跟河边相交一点，这个点就是马饮水的地方，马走的路程最短（两点之间直线距离最短）． 任务： 请你帮海伦在图1的位置完成作图，并标出马饮水的地点（画出草图即可）； 【答案】 如答图1即为所作图形． 【知识点】最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】此题主要考查了最短路线问题，涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．根据在河边上的同侧有两个点A、B，在直线上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与河边线的交点就是所要找的点． 【详解】略 【作业17】．（24-25八年级上·北京·期中）如图，为等边三角形，在内作射线，点关于射线的对称点为点，连接，作射线交于点，连接． (1)依题意补全图形； (2)设，写出的大小：________（用含的代数式表示）； (3)用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) 依题意，补全图形如图1所示 (2) (3) ，证明如下： 如图2，在上取一点F，使，    由（2）知，， ∵， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 即． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）依题意补全图形； （2）先得出，，再得出，，进而得出，，得出，即可得出答案； （3）如图2，在上取一点F，使，先判断出是等边三角形，得出，，再判断出，得出，即可得出结论 【详解】（1）略 （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点B关于射线的对称点为点D， ∴，， ∴，， ∴； （3）略 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了对称性，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，作出辅助线构造出全等三角形是解（3）的关键． 【作业18】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，为等边三角形内的一点，它到三边，，的距离分别为，，，的高，则与，，之间有何数量关系？写出你的猜想并加以证明． 【答案】 猜想： 证明：如图，连接，，． ，， ，， ， ． 是等边三角形， ， ， ． 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、等边三角形的性质 【分析】此题考查了等边三角形的性质与三角形面积的求解方法，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 连接，，，利用三角形面积公式分别表示出、、、，然后根据，结合等边三角形的性质即可得到与，，之间的数量关系． 【详解】略 1 学科网（北京）股份有限公司 $