第7讲 等边三角形 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第7讲 等边三角形 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版八年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 理解等边三角形的定义，区分等边三角形与等腰三角形的从属关系 熟练掌握等边三角形的性质，能利用边角性质进行角度、线段长度计算 掌握等边三角形的三类判定方法，能选择合适条件证明三角形为等边三角形 会结合全等、轴对称最短路径、含30°直角三角形综合解决几何计算题与证明题 掌握等边三角形背景下的压轴模型：截长补短、面积法、动点折叠、旋转全等 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 等边三角形定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，属于特殊的等腰三角形。等腰三角形包含两类：普通等腰三角形（腰≠底）、等边三角形（腰=底）。 概念辨析例题：把“等腰三角形”特殊化可以得到（）A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.正方形 解析：三角形特殊化为等腰三角形，等腰三角形进一步特殊化，三边全部相等得到等边三角形。答案：C。 ☆ 2. 等边三角形的性质 1. 边：三边长度相等； 2. 角：三个内角都等于； 3. 对称性：3条对称轴（每条边上的高/中线/角平分线重合，三线合一）； 4. 高与边长关系：若边长为，高 ；面积 ； 5. 推论：等边三角形任意边上的高、中线、角平分线三线重合。 概念辨析例题：等边△ABC边长为6，则它的面积是多少？ 解析：代入面积公式。答案：。 ☆ 3. 等边三角形的判定 1. 定义判定：三边都相等的三角形是等边三角形； 2. 角判定1：三个内角都相等（均）的三角形是等边三角形； 3. 角判定2：有两个内角等于的三角形是等边三角形； 4. 等腰+60°判定：有一个角是的等腰三角形是等边三角形（高频考点）。 概念辨析例题：△ABC中，添加哪个条件不能判定等边三角形（）A. B. C. D. 解析：只代表有一条高线，无法保证另外两边/角相等，不能判定。答案：C。 ☆ 4. 重要衍生模型 1. 等边三角形内部一点到三边距离之和等于三角形的高（维维安尼定理）；点在外部时：两距离相加减去第三个距离等于高； 2. 等边三角形+平行线：平行于一边的直线截另外两边，得到的小三角形依然是等边三角形； 3. 最短路径：利用等边三角形对称轴做对称，转化“折线段”为垂线段求最小； 4. 等边三角形+全等：常见“手拉手”旋转全等模型。 概念辨析例题：点P在等边三角形内部，到三边距离，三角形高为，关系式是？ 解析：面积分割法，；若点在外部，则。 ☆ 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 等边三角形定义 三边全部相等的三角形；特殊等腰三角形 等边一定是等腰，等腰不一定是等边 边角性质 三边相等；三内角均；三线合一；， 三线合一：高、中线、角平分线是同一条线段 判定方法 ①三边相等；②三角相等；③等腰+一个；④两角为 “等腰+”是考试最高频判定条件 维维安尼定理 内部点：；外部点： 只针对等边三角形，用面积法推导 平行线截等边三角形 平行于一边，截得小三角形仍为等边三角形 可直接得到三边相等、三角，省去重复证明 【考点1】等边三角形性质（第112题） 利用三内角、三线合一计算角度； 边长、高、面积互相换算，熟练使用、； 结合全等三角形，证明线段相等； 轴对称最短路径，求折线段最小值； 面积分割法，应用维维安尼定理。 1．（2025秋•桥西区期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别是边BC，AC上的点，∠BAD＝15°，∠AFE＝60°，若，则EF的长为（　　） A． B．2 C． D．3 【分析】根据等边三角形性质得，AB＝BC＝AC，∠ABD＝∠C＝∠BAC＝60°，再根据三角形外角性质及∠BAD＝15°，∠AFE＝60°得∠BAD＝∠CBE＝15°，由此依据“ASA”判定△ABD和△BCE全等得BD＝CE，进而得CD＝AE，过点E作EH⊥AF于点H，证明△AHE是等腰直角三角形得AH＝EH，由勾股定理得EHAE，在Rt△EFH中，根据∠AFE＝60°得∠FEH＝30°，再根据含有30°角的直角三角形性质及勾股定理可得出EF的长． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠ABD＝∠C＝∠BAC＝60°， ∵∠AFE是△ABF的外角， ∴∠AFE＝∠BAD+∠ABF， ∵∠BAD＝15°，∠AFE＝60°， ∴∠ABF＝∠AFE﹣∠BAD＝45°， ∴∠CBE＝∠ABD﹣∠ABF＝15°， ∴∠BAD＝∠CBE＝15°， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（ASA）， ∴BD＝CE， ∴BC﹣BD＝AC﹣CE， ∴CD＝AE， ∵CE， ∴AE， 过点E作EH⊥AF于点H，如图所示： ∴∠AHE＝90°， ∵∠HAE＝∠BAC﹣∠BAD＝60°﹣15°＝45°， ∴△AHE是等腰直角三角形， ∴AH＝EH， 由勾股定理得：AEEH， ∴EHAE， 在Rt△EFH中，∠AFE＝60°， ∴∠FEH＝90°﹣∠AFE＝30°， ∴HFEF， 由勾股定理得：EHEF， ∴EFEH2， ∴EF的长为2． 故选：B． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用含有30°角的直角三角形性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 2．（2024秋•思明区校级期中）类比“三角形”特殊化后得到研究对象等腰三角形，把“等腰三角形”特殊化可以得到研究对象（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．正方形 【分析】根据三角形按边分类解答即可． 【解答】解：∵三角形按边分为：等腰三角形和没有边相等的一般三角形，等腰三角形分为：等边三角形和底与腰不等的等腰三角形． ∴把“等腰三角形”特殊化可以得到研究对象“等边三角形”， 综上所述，只有C选项正确，符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握三角形按边分为：等腰三角形和没有边相等的一般三角形，等腰三角形分为：等边三角形和底与腰不等的等腰三角形是解题的关键． 3．（2024•仙居县二模）如图，把边长6cm的等边△ABC沿CA，BA方向分别平移2cm得到△DEF和△GMN，连接DG，BE，CN，则图中阴影部分面积为 　cm2 ． 【分析】过点A作AP⊥BC于P，先求出S△ABC，根据平移的性质得EN∥BC，BM＝BE＝2cm，则AM＝AB﹣BM＝4，△AMF∽△ABC，由此得，则S△AMFS△ABC＝4cm2，进而得S四边形BCFM＝S△ABC﹣S△AMFcm2，同理S四边形AFNG＝S四边形AMEDcm2，再证△BME∽△AMF得，则S△BMES△AMFcm2，同理S△FCN＝S△ADGcm2，据此即可得出图中阴影部分面积． 【解答】解：过点A作AP⊥BC于P，如图所示： ∵△ABC是边长为6cm的等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，BC＝AB＝AC＝6cm， ∴BP＝PCBC＝3cm， 在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP， ∴S△ABCBC•AP， 由平移的性质得：EN∥BC，BM＝BE＝2cm， ∴AM＝AB﹣BM＝6﹣2＝4，△AMF∽△ABC， ∴， ∴S△AMFS△ABC（cm2）， ∴S四边形BCFM＝S△ABC﹣S△AMF（cm2）， 同理S四边形AFNG＝S四边形AMED（cm2）， ∵EN∥BC， ∴∠EMB＝∠ABC＝60°，∠AFM＝∠ACB＝60°， ∴△BME为等边三角形， ∴∠BEM＝∠AFM＝60°， ∴BE∥AF， ∴△BME∽△AMF， ∴， ∴S△BMES△AMF（cm2）， 同理S△FCN＝S△ADG（cm2）， ∴S阴影（cm2）． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 4．（2024春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，过点D作DE⊥BC．若AB＝5.4，CE＝3，则BE＝　7.8　 ． 【分析】过点C作CP⊥AB于P，根据∠ABC＝60°得∠BAC+∠BCA＝120°，再根据等边三角形性质得AC＝CD，∠ACD＝60°，则∠DCE+∠BCA＝120°，由此得∠BAC＝∠DCE，据此可依据“AAS”判定△APC和△CED全等，从而得AP＝CE＝3，则BP＝AB﹣AP＝2.4，进而在根据直角三角形性质得BC＝2BP＝4.8，据此可得BE的长． 【解答】解：过点C作CP⊥AB于P，如图所示： ∵∠ABC＝60°， ∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC＝120°， ∵△ACD为等边三角形， ∴AC＝CD，∠ACD＝60°， ∵∠DCE+∠BCA＝180°﹣∠ACD＝120°， ∴∠BAC＝∠DCE， ∵CP⊥AB，DE⊥BC， ∴∠APC＝∠CED＝90°， 在△APC和△CED中， ， ∴△APC≌△CED（AAS）， ∴AP＝CE＝3， ∴BP＝AB﹣AP＝5.4﹣3＝2.4， 在Rt△BCP中，∠ABC＝60°， ∴∠BCP＝30°， ∴BC＝2BP＝2×2.4＝4.8， ∴BE＝BC+CE＝4.8+3＝7.8． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形和含有30°角的直角三角形是解决问题的关键． 5．（2024秋•廉江市期中）如图，等边△ABC的边长为6，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点D，过点D作EF∥BC，交AB、AC于点E、F，则△AEF的周长为 　12　 ． 【分析】根据等边三角形性质得AB＝AC＝6根据EF∥BC及角平分线定义得∠DBC＝∠EDB＝∠EBD，∠DCB＝∠FDC＝∠FCD，进而得BE＝DE，CF＝DF，则AE+DE＝AB＝6，AF+DF＝6，由此即可得出△AEF的周长． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且边长为6， ∴AB＝AC＝6 ∵EF∥BC， ∴∠DBC＝∠EDB，∠DCB＝∠FDC， ∵∠ABC，∠ACB的角平分线交于点D， ∴∠DBC＝∠EBD，∠DCB＝∠FCD， ∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD， ∴BE＝DE，CF＝DF， ∴AE+DE＝AE+BE＝AB＝6，AF+DF＝AF+CF＝AC＝6， ∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+DE+AF+DF＝6+6＝12． 故答案为：12． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，理解角平分线的定义，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键． 6．（2026•金华模拟）如图，在等边三角形网格中每个小等边三角形的面积都是1，图中以格点为顶点的△ABC面积为　10　 ． 【分析】本题可运用割补法，构造包含△ABC 的平行四边形（或规则多边形），通过计算该规则图形的面积，再减去周围多余三角形的面积来求解△ABC的面积．具体地，先确定能完全覆盖△ABC的最小平行四边形，数出其中小等边三角形的个数得到其面积；再分别分析△ABC周围三个直角三角形（在等边三角形网格中表现为以小三角形为单位的区域）包含的小等边三角形数量并计算面积；最后用平行四边形的面积减去这三个三角形的面积，即可得到△ABC的面积． 【解答】解：构造外接平行四边形：通过观察顶点位置，可确定一个恰好包围△ABC的平行四边形， 其内部共包含20个小等边三角形， 故面积为20． 计算外围三个小三角形面积：左侧三角形：4； 右下三角形：3； 右上三角形：3； 目标三角形面积：S△ABC＝20﹣（4+3+3）＝10． 故答案为：10． 【点评】题目考查了等边三角形的性质，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 7．（2025春•云岩区校级期中）如图，在等边△ABC中，AD是∠BAC的平分线，点E、P分别是AB、AD上的动点．若AB＝4，则PE+PB的最小值是　2　 ． 【分析】由题意知，AD是等边△ABC的对称轴，作E关于AD的对称点E′，连接PE′，BE′，则PE+PB的最小值是BE′，然后求解作答即可． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD是∠BAC的平分线， ∴AD是等边△ABC的对称轴， ∵AB＝4， ∴AD， 如图，作E关于AD的对称点E′，连接PE′，BE′， ∴E′为AC的中点，BE′为∠ABC的平分线， ∴BE′＝AD＝2， 由题意知，PE+PB的最小值是BE′， 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，垂线段最短等知识．熟练掌握轴对称的性质，等边三角形的性质，垂线段最短是解题的关键． 8．（2025春•天心区校级月考）如图，在△ABD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，交BD于点E，连接BC，CD． （1）求证：△BCD是等腰三角形； （2）若∠BCD＝130°，求∠ABC的度数． 【分析】（1）由AC平分∠BAD得∠BAC＝∠DAC，证△BAC≌△DAC（SAS），得BC＝DC即可； （2）在等腰三角形BCD中，∠BCD＝130°，利用等腰三角形性质及内角和定理求出∠CBD，同理求出∠ABD，即可求出结果． 【解答】（1）证明：∵AB＝AD，AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， 在△BAC与△DAC中， ， ∴△BAC≌△DAC（SAS）， ∴BC＝DC， ∴△BCD是等腰三角形； （2）解：由（1）可知，BC＝DC， ∴∠CBD＝∠CDB， ∵∠BCD＝130°， ∴， ∵∠BAD＝60°，AB＝AD， ∴， ∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝85°． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理；熟练运用全等三角形和等腰三角形的性质是解题的关键． 9．（2023秋•临潼区期中）如图，在等边△ABC中，BC＝10，BD垂直AC，垂足为D，E在BC的延长线上，连接DE，且DB＝DE．求CE的长． 【分析】根据等边三角形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，从而利用等腰三角形的三线合一性质可得∠DBC＝30°，然后在Rt△BCD中，利用含30度角的直角三角形的性质可得CDBC＝5，再利用三角形的外角性质可得∠CDE＝∠E＝30°，从而可得CD＝CE＝5，即可解答． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°，∠DBC∠ABC＝30°， ∴CDBC＝5， ∵DB＝DE， ∴∠DBE＝∠E＝30°， ∵∠ACB是△DCE的一个外角， ∴∠CDE＝∠ACB﹣∠E＝30°， ∴∠CDE＝∠E＝30°， ∴CD＝CE＝5， ∴CE的长为5． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 10．（2024秋•抚顺县期末）如图，在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD． （1）当点E为AB的中点时，如图1，求证EC＝ED； （2）当点E不是AB的中点时，如图2， ①过点E作EF∥BC．请补全图形，并求证△AEF是等边三角形； ②直接写出EC与ED的数量关系． 【分析】（1）利用等边三角形的性质，三角形的外角的性质和等腰三角形的判定定理解答即可； （2）①根据题意补全图形即可，再根据平行线的性质得到∠AEF＝∠B＝60°，∠AFE＝∠C＝60°，即可证明结论； ②利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴CA＝CB，∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵点E为AB的中点， ∴AE＝BE，． ∵AE＝BD， ∴BE＝BD， ∴∠BDE＝∠BED． ∵∠BDE+∠BED＝∠ABC＝60°， ∴∠BDE＝∠BED＝30°， ∴∠BDE＝∠BCE＝30°， ∴EC＝ED； （2）解：①如图所示，EF为所求： ∵EF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠AEF＝∠B＝60°，∠AFE＝∠C＝60°， ∴△AEF是等边三角形； ②点E不是AB的中点时，如图，则EC＝ED，理由如下： ∵△ABC，△AEF是等边三角形， ∴∠ABC＝∠AFE＝60°，AB＝AC，AE＝AF＝EF， ∴∠DBE＝∠CFE＝120°，BE＝AB﹣AE，CF＝AC﹣AF， ∴∠DBE＝∠CFE，BE＝CF， ∵AE＝BD， ∴EF＝BD， 在△DBE和△EFC中， ， ∴△DBE≌△EFC（SAS）， ∴DE＝EC． 【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 11．（2022秋•丛台区校级期中）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD． （1）求∠E的度数． （2）求证：△DBE是等腰三角形． 【分析】（1）由等边△ABC的性质可得：∠ACB＝∠ABC＝60°，然后根据等边对等角可得：∠E＝∠CDE，最后根据外角的性质可求∠E的度数； （2）由等边三角形的三线合一的性质可得：，结合（1）的结论可得：∠DBC＝∠E，然后根据等角对等边，可得DB＝DE即可证明． 【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠ABC＝60°， 又∵CE＝CD， ∴∠E＝∠CDE， 又∵∠ACB＝∠E+∠CDE， ∴； （2）证明：∵等边△ABC中，D是AC的中点， ∴， 由（1）知∠E＝30°， ∴∠DBC＝∠E＝30°， ∴DB＝DE，即△DBE是等腰三角形． 【点评】此题考查了等边三角形的有关性质，等腰三角形的判定和性质，重点考查了等边三角形的三线合一的性质． 12．如图所示，已知等边三角形ABC和点P，设点P到△ABC的三边AB，AC，BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高AM为h． （1）当点P在△ABC的边BC上时，如图（1）所示，h3＝0，猜想h1+h2+h3与h的数量关系，并说明理由． （2）当点P在△ABC内部时，如图（2）所示，当点P在△ABC外部时，如图（3）所示．请问这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的关系式（不要求说明理由）． 【分析】（1）连接PA，设AB＝BC＝AC＝a，由三角形面积公式得S△ABCah，S△PABah1，S△PACah2，再根据S△PAB+S△PAC＝S△ABC得ah1ah2ah，由此可得h1+h2+h3与h的数量关系； （2）当点P在△ABC内部时，连接PA，PB，PC，由三角形面积公式得S△ABCah，S△PABah1，S△PACah2，S△PBCah3，再由S△PAB+S△PAC+S△PBC＝S△ABC得ah1ah2ah3ah，由此得h1+h2+h3与h的数量关系；当点P在△ABC外部时，连接PA，PB，PC，同（1）得S△ABCah，S△PABah1，S△PACah2，再根据S△PAB+S△PAC﹣S△PBC＝S△ABC得ah1ah2ah3ah，由此可得h1+h2+h3与h的数量关系． 【解答】解：（1）猜想：h1+h2+h3＝h，理由如下： 连接PA，如图（1）所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴设AB＝BC＝AC＝a， ∵△ABC的高AM为h， ∴S△ABCBC•AMah， ∵PD⊥AB，PE⊥AC， ∴S△PABAB•PDah1，S△PACAC•PEah2， 又∵S△PAB+S△PAC＝S△ABC， ∴ah1ah2ah， ∴h1+h2＝h， ∵h3＝0， ∴h1+h2+h3＝h； （2）当点P在△ABC内部时，结论h1+h2+h3＝h成立，理由如下： 连接PA，PB，PC，如图（2）所示： 同（1）得：S△ABCah，S△PABah1，S△PACah2，S△PBCah3， ∵S△PAB+S△PAC+S△PBC＝S△ABC， ∴ah1ah2ah3ah， ∴h1+h2+h3＝h； 当点P在△ABC外部时，结论h1+h2+h3＝h不成立，新的关系是：h1+h2﹣h3＝h，理由如下： 连接PA，PB，PC，如图3所示： 同（1）得：S△ABCah，S△PABah1，S△PACah2，S△PBCah3， ∵S△PAB+S△PAC﹣S△PBC＝S△ABC， ∴ah1ah2ah3ah， ∴h1+h2﹣h3＝h． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握等边三角形的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 【考点2】等边三角形判定（第1321题） 1. 利用三内角、三线合一计算角度； 1. 边长、高、面积互相换算，熟练使用、； 1. 结合全等三角形，证明线段相等； 1. 轴对称最短路径，求折线段最小值； 1. 面积分割法，应用维维安尼定理。 13．（2025秋•大连期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，且DE＝BE．下列结论：①△ADE是等边三角形；②DE∥AC；③∠DAE＝60°．其中正确的有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，求出相关角的度数，根据有两个内角为60°的三角形是等边三角形，然后利用同位角相等，得出两直线平行． 【解答】解：因为∠BAC＝120°，AB＝AC， 所以∠B＝∠C＝30°． 因为DE＝BE， 所以∠BDE＝∠B＝30°， 又因为AD⊥BC， 所以∠ADB＝90°，， 所以∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝60°， 所以△ADE是等边三角形，故①③正确． 因为∠BED＝180°﹣∠B﹣∠BDE＝120°， 所以∠BAC＝∠BED＝120°， 所以DE∥AC，故②正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定，等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握以上性质． 14．（2023秋•溧阳市期中）在△ABC中，∠A＝60°，添加下列一个条件后，仍不能判定△ABC为等边三角形的是（　　） A．AB＝AC B．∠A＝∠B C．AD⊥BC D．∠B＝∠C 【分析】根据等边三角形的判定定理，对题目中的四个选项逐一进行甄别即可得出答案． 【解答】解：在△ABC中，∠A＝60°， 如果添加条件AB＝AC，可判定△ABC为等边三角形． 理由是：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形， 故添加A可判定△ABC为等边三角形； 如果添加条件∠A＝∠B，可判定△ABC为等边三角形． 理由是：有两个角等于60°的三角形是等边三角形， 故添加B可判定△ABC为等边三角形； 如果添加条件AD⊥BC，不能判定△ABC为等边三角形． 例如：∠B＝70°，∠C＝50°时，仍然可以作出AD⊥BC，此时△ABC就不是等边三角形． 故故添加C不能判定△ABC为等边三角形； 如果添加条件∠B＝∠C，可判定△ABC为等边三角形． 理由是：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 故添加D可判定△ABC为等边三角形． 故选：C． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解决问题的关键． 15．下列说法中，不能判定△ABC是等边三角形的是（　　） A．有两个角等于60°的三角形 B．有一个角等于60°的等腰三角形 C．三个角都相等的三角形 D．有两边相等且有两角相等的三角形 【分析】根据等边三角形的判定方法逐一判断即可解答． 【解答】解：根据两个角都等于60°的三角形是等边三角形可对选项A进行判断，故A不符合题意； 根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形可对选项B进行判断，故B不符合题意； 根据三个角相等的三角形是等边三角形可对选项C进行判断，故C不符合题； 根据有两边相等可判断三角形为等腰三角形，但不一定是等边三角形，可对选项D进行判断，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定方法是解题的关键． 16．（2025秋•建瓯市期中）如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，∠A＝60°，点P以2cm/s的速度从B处向A处运动，同时点Q以1cm/s的速度从A处向C处运动，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当运动时间为 　　 秒，△APQ是等边三角形． 【分析】设运动时间为t秒，由题意可知，BP＝2tcm，AQ＝tcm，则AP＝AB﹣BP＝（20﹣2t）cm，根据当AP＝AQ时，△APQ是等边三角形，列出方程，解方程即可． 【解答】解：设运动时间为t秒， ∵20÷2＝10（秒），12÷1＝12（秒）， ∴0≤t≤10， 由题意可知，BP＝2tcm，AQ＝tcm， ∴AP＝AB﹣BP＝（20﹣2t）cm， ∵∠A＝60°， ∴当AP＝AQ时，△APQ是等边三角形， 即20﹣2t＝t， 解得：t，符合题意， 故答案为：． 【点评】本题考查了等边三角形的判定以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定是解题的关键． 17．（2024秋•襄城区校级月考）已知a，b，c是△ABC的三条边，若满足|a﹣b|+（b﹣c）2＝0，则△ABC的形状为　等边三角形　 ． 【分析】根据绝对值的非负性，偶次方的非负性，得到a﹣b＝0，b﹣c＝0，继而得到a＝b＝c，推出△ABC是等边三角形，即可得到答案． 【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三条边，若满足|a﹣b|+（b﹣c）2＝0， ∴根据非负数的性质得，a﹣b＝0，b﹣c＝0， 解得a＝b，b＝c， 所以a＝b＝c， 因为a，b，c是△ABC的三条边， 所以△ABC的形状是等边三角形， 故答案为：等边三角形． 【点评】本题考查了非负数的性质，等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 18．（2025秋•府谷县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥CB，∠ADC的角平分线与CB的延长线交于点E，∠E＝60°，求证：△ECD为等边三角形． 【分析】根据平行线的性质得出∠A＝∠ABE，∠ADE＝∠E，进而利用等边三角形的判定解答即可． 【解答】证明：∵AD∥CB， ∴∠A＝∠ABE，∠ADE＝∠E＝60°， ∵∠ADC的角平分线与CB的延长线交于点E， ∴∠ADE＝∠CDE＝60°， ∴∠C＝180°﹣∠CDE﹣∠E＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠C＝∠CDE＝∠E＝60°． ∴△ECD为等边三角形． 【点评】此题考查等边三角形的判定，关键是根据平行线的性质得出∠A＝∠ABE，∠ADE＝∠E解答． 19．（2025•郧西县模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE．若∠E＝60°，CE平分∠BCD，求证：△BCE为等边三角形． 【分析】由平行线的性质推出∠EAD＝∠B，而∠B＝∠D，得到∠D＝∠EAD，推出BE∥CD，得到∠E＝∠ECD，由∠E＝60°得到∠ECD＝60°，由角平分线定义得到∠BCE＝∠ECD＝60°，由三角形内角和定理求出∠EBC＝60°，得到∠E＝∠B＝∠BCE，即可证明△ECB为等边三角形． 【解答】证明：∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠B， ∵∠B＝∠D， ∴∠D＝∠EAD， ∴BE∥CD， ∵∠E＝60°， ∴∠ECD＝∠E＝60°， 又∵CE平分∠BCD， ∴∠BCE＝∠ECD＝60°， ∴∠EBC＝60°， ∴∠E＝∠B＝∠BCE， ∴△BCE为等边三角形． 【点评】本题考查平行线的性质，等边三角形的判定，关键是由平行线的性质推出∠D＝∠EAD，由角平分线定义，三角形内角和定理推出∠E＝∠B＝∠BCE． 20．（2025秋•泸县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，BD平分∠ABC． （1）求∠ABC的度数； （2）连接CE，且，求证：△BCE是等边三角形． 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质推出DB＝DA，得到∠A＝∠ABD，由角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，由直角三角形的性质得到3∠ABD＝90°，求出∠ABD＝30°，得到∠ABC＝2∠ABD＝60°； （2）由BEAB，CEAB，得到BE＝CE，而∠ABC＝60°，推出△BCE是等边三角形． 【解答】（1）解：∵DE垂直平分AB， ∴DB＝DA， ∴∠A＝∠ABD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CBD+∠ABD+∠A＝90°， ∴3∠ABD＝90°， ∴∠ABD＝30°， ∴∠ABC＝2∠ABD＝60°； （2）证明：∵DE垂直平分AB， ∴E是AB的中点， ∴BEAB， ∵CEAB， ∴BE＝CE， 由（1）知∠ABC＝60°， ∴△BCE是等边三角形． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定方法． 21．（2024春•清远校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB，交CD于E，交BC于F （1）求证：△CEF是等腰三角形． （2）若AF＝BF，求证：△CEF是等边三角形． 【分析】（1）根据三角形内角和定理和对顶角相等可得∠CAF+∠CFA＝90°，∠CEF+∠DAE＝90°，由角平分线的定义得到∠CAF＝∠BAF，则可证明∠CEF＝∠CFE，得到CE＝CF，据此可证明结论； （2）由等边对等角，角平分线的定义和三角形内角和定理得到∠FAB＝∠FBA＝∠CAF＝30°，由三角形外角的性质可得∠CFE＝60°，据此可证明结论． 【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°， ∴∠CAF+∠CFA＝180°﹣∠ACF＝180°﹣90°＝90°； ∵CD⊥AB， ∴∠ADE＝90°， ∴∠DAE+∠DEA＝90°， ∵∠CEF＝∠DEA， ∴∠CEF+∠DAE＝90°； ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠BAF， ∴∠CEF＝∠CFE（等量代换）， ∴CE＝CF（等角对等边）， ∴△CEF是等腰三角形； （2）∵AF＝BF， ∴∠FAB＝∠FBA（等边对等角）， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠BAF， ∴∠FAB＝∠FBA＝∠CAF； ∵∠ACB＝90°， ∴∠FAB+∠FBA+∠CAF＝180°﹣90°＝90°， ∴∠FAB＝∠FBA＝∠CAF＝30°， ∴∠CFE＝∠FAB+∠FBA＝30°+30°＝60°， 又∵CE＝CF， ∴△CEF是等边三角形． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知等腰三角形的性质与判定定理，等边三角形的判定定理是解题的关键． 【考点3】性质与判定综合（第2231题） 1. 等边+平行线模型，识别小等边三角形； 1. 动点问题，设未知数建立方程求解等边条件； 1. 结合方位角得到夹角，识别实际场景中等边三角形； 1. 多步推理，同时用到性质+判定完成证明。 22．（2024春•锦江区期末）如图，△ABC为等边三角形，D为BC延长线上一点，作DE∥AB交AC的延长线于E．若AB＝5，AE＝8，则DE的长为（　　） A．3 B．5 C．7 D．8 【分析】先根据等边三角形性质得AB＝AC＝5，∠A＝∠B＝60°，则CE＝AE﹣AC＝3，再根据DE∥AB得∠D＝∠B＝60°，∠E＝∠A＝60°，由此可判定△CDE为等边三角形，进而可得DE的长． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且AB＝5， ∴AB＝AC＝5，∠A＝∠B＝60°， ∵AE＝8， ∴CE＝AE﹣AC＝8﹣5＝3， ∵DE∥AB， ∴∠D＝∠B＝60°，∠E＝∠A＝60°， ∴∠D＝∠E＝60°， ∴△CDE为等边三角形， ∴DE＝CE＝3． 故选：A． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键． 23．（2025秋•和平区期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，AD经过点O与BC交于点D，以AD为边向两侧作等边△ADE和等边△ADF，分别和AB，AC交于点G，H，连接GH．若∠BAC＝60°，AB＝x，AC＝y，AD＝z．有下列结论：①∠BOC等于120°；②△AGH是等边三角形；③；④．其中，正确的结论的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先求出∠ABC+∠ACB＝120°，再根据角平分线的定义得，根据三角形内角和定理解答①；先说明AO平分∠BAC，可得∠BAO＝∠CAO＝30°，再根据“角边角”证明△EAG≌△FAH，得出AG＝AH，解答②；根据含30°直角三角形的性质解答③；先说明，再根据解答④即可． 【解答】解：∵∠BAC＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°． ∵∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O， ∴， ∴， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°． 则①正确； ∵∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，∠BAC＝60°， ∴AO平分∠BAC， ∴∠BAO＝∠CAO＝30°． ∵△ADE，△ADF都是等边三角形， ∴AD＝AE＝AF，∠DAE＝∠DAF＝60°＝∠E＝∠F＝∠ADG， ∴∠EAG＝∠FAH＝30°， 在△EAG和△FAH中， ， ∴△EAG≌△FAH（ASA）， ∴AG＝AH， ∴△AGH是等边三角形． 则②正确； ∵∠ADG＝60°，∠DAG＝30°， ∴∠AGD＝90°． 在Rt△ADG中，． 则③正确； 由上述可知∠AGD＝∠AHD＝90°， ∵AO平分∠BAC， ∴， ∴． 则④不正确． 综上所述，正确的有①②③，共3个，所以只有选项C正确吗，符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的面积，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形，关键是相关性质的熟练掌握． 24．（2024秋•常州期末）人字梯是家庭常用的生活工具．如图，人字梯撑开时两侧梯子的夹角为60°．若两侧梯子的长度都是2m，则人字梯顶端距离地面的高度是 　　 m． 【分析】根据等边三角形的判定与性质、勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，CD⊥AB，AC＝BC＝2m，∠ACB＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝2m， ∵CD⊥AB， ∴ADAB＝2m， ∴CD（m）， 即人字梯顶端距离地面的高度是m， 故答案为：． 【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键． 25．（2025秋•白塔区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝7，则EF的长为　5　 ． 【分析】首先根据AB＝AD＝12、∠A＝60°，可证△ABD是等边三角形，连接AC交BD于点G，可证AC是线段BD的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证∠BAC＝∠DAC＝30°，根据平行线的性质可证∠ACE＝∠DAC＝30°，从而可得DE＝5，根据平行线的性质可证△DEF是等边三角形，根据等边三角形的性质可知EF＝DE＝5． 【解答】解：如图所示，连接AC交BD于点G， ∵AB＝AD＝12，∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AB＝AD＝BD＝12，∠BAD＝∠ABD＝∠ADB＝60°， ∵AB＝AD＝12，BC＝DC， ∴AG⊥BD，BG＝DG， ∴∠BAC＝∠DAC＝60°÷2＝30°， ∵CE∥AB， ∴∠ACE＝∠BAC＝∠DAC＝30°， ∴AE＝CE＝7， ∴DE＝AD﹣AE＝12﹣7＝5， ∵EF∥AB， ∴∠EFD＝∠ABD＝60°，∠FED＝∠BAD＝60°（两直线平行，同位角相等）， ∴△DEF是等边三角形， ∴EF＝DE＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，解决本题的关键是利用角之间的关系找到边之间的关系． 26．（2025秋•石泉县校级期末）如图，两艘货船从海岛B分别同时沿北偏西20°方向，北偏东40°方向驶出．若两艘货船的速度均为20海里/时，两小时后，两艘货船A，C之间的距离为　40　 海里． 【分析】连接AC，证明△ABC是等边三角形，进而即可得到答案． 【解答】解：连接AC，如图， ∵AB＝BC＝2×20＝40（海里），∠ABC＝20°+40°＝60°， ∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定定理）， ∴BC＝AB＝AC＝40（海里）， 故答案为：40． 【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 27．（2024秋•义乌市期末）如图，在等边△ABC中，点D是BC边上固定一点，点P是AB边上一动点，连接AD，PD．当AP＝1时，PD＝BD，当AP＝3时，PD有最小值，则线段AD的长为 　　 ． 【分析】如图，过点A作AJ⊥BC于点J，．求出AJ，DJ的长可得结论． 【解答】解：如图，过点A作AJ⊥BC于点J，． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°，AB＝BC＝AC， ∵当AP′＝1时，P′D＝BD， ∴△BDP′是等边三角形， ∴BD＝BP′， ∴CD＝AP′＝1， ∵当AP″＝3时，PD有最小值， ∴P′P″＝BP″＝2， ∴AB＝BC＝5， ∵AJ⊥BC， ∴BJ＝CJ＝2.5， ∴DJ＝CJ＝CD＝1.5， ∵AJ， ∴AD． 故答案为：． 【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 28．（2025秋•朔州期中）已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD＝AE． 求证：△ADE是等边三角形． 【分析】根据等边三角形的判定与性质求解即可． 【解答】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠DAE＝∠BAC＝60°， ∵AD＝AE， ∴△ADE是等边三角形． 【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键． 29．（2024秋•安康期中）已知在△ACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连接BC，AP． （1）如图1，若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，AC＝BD，试判断AP与CD的位置关系； （2）过点D作DE∥AC，交AP延长线于点E，连接BE，如图2所示，若∠CAD＝60°，BD＝AC，试说明：BC＝2AP． 【分析】（1）解Rt△ACB得出AB＝2AC，再证△ADC是等边三角形，根据等腰三角形的性质解答即可； （2）连结BE，先利用AAS证明△CPA≌△DPE，再证△BDE是等边三角形，最后△CAB≌△EBA（SAS），推出AE＝BC，即可证明BC＝2AP． 【解答】解：（1）AP⊥CD，理由如下： ∵∠ACB＝90°，∠CAD＝60°， ∴∠B＝30°， ∴AB＝2AC， ∵BD＝AC， ∴AD＝AC， ∴△ADC是等边三角形， ∵P是CD的中点， ∴AP⊥CD； （2）∵DE∥AC， ∴∠CAP＝∠DEP， ∵CP＝DP，∠CPA＝∠DPE， ∴△CPA≌△DPE（AAS）， ∴，DE＝AC， ∵BD＝AC， ∴BD＝DE， 又∵DE∥AC， ∴∠BDE＝∠CAD＝60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴BD＝BE，∠EBD＝60°， ∵BD＝AC， ∴AC＝BE． AB＝AB， ∴△CBA≌△EAB， ∴BC＝AE＝2AP 【点评】本题考查解直角三角形，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等，掌握等边三角形和全等三角形的判定方法是解题的关键． 30．（2025秋•同步）已知：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E．试判断△ADE的形状． 【分析】根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝∠C＝60°，根据平行线的性质得出∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°，于是推出∠A＝∠ADE＝∠AED＝60°，即可得出△ADE是等边三角形． 【解答】解：△ADE是等边三角形，理由： ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°， ∴∠A＝∠ADE＝∠AED＝60°， ∴△ADE 是等边三角形． 【点评】本题考查了等边三角形的性质与判定，平行线的性质，熟练掌握这些性质定理是解题的关键． 31．（2026•肥东县校级开学）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，过点D作DF⊥DE交CA的延长线于点F． （1）求∠F的度数； （2）若EF＝6，求AE的长． 【分析】（1）根据平行线的性质求出∠AED的度数，再结合DF⊥DE即可求出∠F的度数． （2）先根据条件得出△ADE是等边三角形，再得出AF＝AD，进而得出AE＝AF，最后结合EF的长即可解决问题． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠C＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠C＝60°． 又∵DF⊥DE， ∴∠FDE＝90°， ∴∠F＝90°﹣60°＝30°． （2）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴AE＝AD． ∵∠ADF＝∠FDE﹣∠ADE＝30°，且∠F＝30°， ∴∠ADF＝∠F， ∴AF＝AD， ∴AE＝AF． 又∵EF＝6，AE+AF＝EF， ∴AE＝3． 【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质及含30度角的直角三角形，熟知等边三角形的判定与性质及平行线的性质是解题的关键． 【考点4】创新压轴（第3237题） · 手拉手旋转全等，对称变换； · 新定义题型，按照定义列式推理； · 动点、折叠背景下，分类讨论； · 三角板组合探究，面积比值定值探究。 32．（2024秋•仓山区校级期中）如图，在等边△ABC中，D为边AC上一点，延长BD至F使得AF＝AC，过A作AH⊥BF于H，AH与FC的延长线交于点G． （1）若∠CAF为α，直接写出∠AFC的度数；（用含α的代数式表示） （2）求∠GFH的度数； （3）已知C为GF的中点，且CD＝1.5，求AD的长． 【分析】（1）直接根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可； （2）由△ABC是等边三角形，得到∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC＝AF，即可推出，再根据∠GFH＝∠AFC﹣∠AFB求解即可； （3）连接BG，CH，过点C作CM⊥BF于M，证明△GCB≌△HCA（SAS），得出AH＝BG，设GH＝CG＝CH＝CF＝a，则FG＝2a，得出，根据，，得出，由此求解即可． 【解答】解：（1）∵AC＝AF， ∴∠ACF＝∠AFC， 又∵∠CAF＝α， ∴； （2）由条件可知∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC＝AF， ∴∠AFB＝∠ABF ， ∵， ∴∠GFH＝∠AFC﹣∠AFB ＝90°（60°） ＝30°； （3）如图所示，连接BG，CH，过点C作CM⊥BF于M， 由条件可知，∠FGH＝60°， ∵C为GF的中点， ∴， ∵∠FGH＝60°， ∴△CGH为等边三角形， ∴CH＝CG，∠GCH＝∠ACB＝60°， ∴∠GCH﹣∠BCH＝∠ACB﹣∠BCH，即∠GCB＝∠HCA， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC， 在△GCB和△HCA中， ， ∴△GCB≌△HCA（SAS）， ∴AH＝BG， 设GH＝CG＝CH＝CF＝a，则FG＝2a， ∵AB＝AF，AH⊥BF， ∴AG垂直平分BF， ∴BG＝GF＝2a， ∴AH＝BG＝2a， 由条件可知， ∵，， ∴， ∵CD＝1.5， ∴AD＝6． 【点评】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握等边三角形的性质与判定条件． 33．（2025春•北碚区校级期末）已知：△ABC为等边三角形，点D、E分别为AB、BC边上一点，AE、CD相交于点F，BD＝CE． （1）如图1，求∠AFD的度数； （2）如图2，连接BF并延长，与AC相交于点G，点M为BF延长线上一点，MF＝BF，点N为CD延长线上一点，∠MAN＝120°，∠ACF＝2∠CBG．求证：CN＝2AG； （3）在（2）的条件下（可使用备用图），若△ABM的面积为2，AF+GC＝DF+1，直接写出点A到BC的距离与点N到AB的距离之和． 【分析】（1）由等边三角形的性质得出∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，证明△CBD≌△ACE（SAS），由全等三角形的性质得出∠BCD＝∠CAE，根据角和关系得出∠BCD+∠ACF＝60°，等量代换可得出∠CAE+∠ACF＝60°再根据三角形外角的定义和性质得出∠AFD＝∠CAE+∠ACD． （2）延长AE到F，使FH＝AF，先证明△AFM≌△HFB（SAS），由全等三角形的性质得出∠FAM＝∠H，再证明△ANC≌△BHA（AAS），由全等三角形的性质得出CN＝AH＝2AF，通过三角形外角的定义和性质以及三角形内角和定理得出∠AFG＝180°﹣∠CAE﹣∠AGF＝60°+α＝∠AGF，根据等角对等边得出AF＝AG，即可得出CN＝2AG． （3）过点N作NH⊥AB交AB于点H，过点A作AH1⊥BC交BC于点H1过点C作CH2⊥AB交AB于点H2，设NH＝h，AH1＝h1和CH2＝h2根据等边三角形得AH1＝CH2即h1＝h2，由△AFM≌△HFB得S△ABM＝S△HAB，即有S△ABM＝S△HAB＝2则有S△ANC＝S△BHA＝2，进一步证得∠ABG＝∠BFD，则DF＝DB，由（2）AF＝AG，有AC＝DF+1，即可求得 AD＝1，结合解得h+h2＝4即可． 【解答】（1）解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC， 在△CBD和△ACE 中， ， ∴△CBD≌△ACE（SAS）， ∴∠BCD＝∠CAE， 又∵∠BCD+∠ACF＝60°， ∴∠CAE+∠ACF＝60°， ∴∠AFD＝∠CAE+∠ACD＝60°； （2）证明：延长AE到H，使FH＝AF，连接BH，如图， 又∵MF＝BF，∠BFH＝∠MFA， ∴△AFM≌△HFB（SAS）， ∴∠FAM＝∠H， 又∵∠NAM＝∠FAM+∠NAF＝120°，∠AFD＝60°， ∴∠NAF+∠ANC＝120°， ∴∠FAM＝∠ANC， ∴∠H＝∠ANC， ∵∠ACF＝2∠CBG， ∴设∠CBG＝α，则∠ACN＝2α， ∴∠BCD＝60°﹣2α，由（1）知∠BCD＝∠CAE， ∴∠CAE＝∠BCD＝60°﹣2α， ∴∠BAH＝∠BAC﹣∠CAE＝60°﹣（60°﹣2α）＝2α＝∠ACN， 又∵AB＝AC， ∴△ANC≌△BHA（AAS）， ∴CN＝AH＝2AF， ∵∠CBG＝α，∠BCD＝60°﹣2α， ∴∠CFG＝∠CBG+∠BCD＝60°﹣α， ∴∠AGF＝∠CFG+∠ACN＝60°+α，∠CAE＝∠BCD＝60°﹣2α， ∴∠AFG＝180°﹣∠CAE﹣∠AGF＝60°+α＝∠AGF， ∴AF＝AG， ∴CN＝AH＝2AF＝2AG； （3）解：过点N作NH⊥AB交AB于点H，过点A作AH1⊥BC交BC于点H1， 过点C作CH2⊥AB交AB于点H2，如图， 设NH＝h，AH1＝h1和CH2＝h2， ∵△ABC为等边三角形， ∴AH1＝CH2，即h1＝h2， 由△AFM≌△HFB，得S△ABM＝S△HAB， ∵△ABM的面积为2， ∴S△ABM＝S△HAB＝2， ∵△ANC≌△BHA， ∴S△ANC＝S△BHA＝2， ∵∠CBG＝α， ∴∠ABG＝60°﹣α， ∵∠AFD＝60°，∠AFG＝60°+α， ∴∠BFD＝∠CFG＝180°﹣∠DFA﹣∠AFG＝60°﹣α． ∴∠ABG＝∠BFD，则DF＝DB， 由（2）AF＝AG， ∵AF+GC＝DF+1， ∴AG+GC＝DF+1，即AC＝DF+1， ∵AC＝AB， ∴AB＝DB+1＝AD+DB， ∴AD＝1，S△ANC＝S△AND+S△ADC， ∴h+h2＝4， ∴h+h1＝4， .则点A到BC的距离与点N到AB的距离之和4． 【点评】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形外角性质等知识点，解题的关键是熟悉倍长中线和半角求解的常见做法． 34．（2026春•凌海市期末）定义：在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a2+ab＝c2，则称△ABC为“类直角三角形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）如图1，△ABC为等边三角形，请判断该三角形是否为“类直角三角形”，并说明理由； （2）如图2，等腰三角形ABC为“类直角三角形”，其中AC＝BC，AB＞AC，请求出∠B的大小． 【分析】（1）由△ABC是等边三角形，得到a2+ab＞c2，因此等边三角形不是“类直角三角形”； （2）由“类直角三角形”的定义得到a2+b2＝c2，推出∠ACB＝90°，判定△ABC是等腰直角三角形，得到∠B＝45°． 【解答】解：（1）如图1，等边三角形不是“类直角三角形”，理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴a＝b＝c， ∴a2+ab＞c2， ∴等边三角形不是“类直角三角形”； （2）如图2，∵等腰三角形ABC为“类直角三角形”， ∴a2+ab＝c2， ∵AC＝BC， ∴a＝b， ∴a2+b2＝c2， ∴∠ACB＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B＝45°． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，关键是掌握“类直角三角形”的定义． 35．（2024春•铁西区校级月考）如图，过边长为4的等边三角形的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交边AC于点D． （1）求证：D为PQ中点； （2）DE的长为 　2　 ． 【分析】（1）过点P作PF∥BC，交AC于F，先证明△APF为等边三角形得PA＝PF＝CQ，进而再证明△DPF和△DQC全等得PD＝QD，据此即可得出结论； （2）由（1）可知△DPF≌△DQC，△APF为等边三角形，则DF＝DC，AE＝FE，由此得DE＝CD+AE，据此可得DE的长． 【解答】（1）证明：过点P作PF∥BC，交AC于F，如图所示： ∵△ABC为等边三角形且边长且为4， ∴AC＝4，∠A＝∠B＝60°， ∵PF∥BC， ∴∠APF＝∠B＝60°，∠DPF＝∠Q， ∴△APF为等边三角形， ∴PA＝PF， ∵PA＝CQ， ∴PF＝CQ， 在△DPF和△DQC中， ， ∴△DPF≌△DQC（AAS）， ∴PD＝QD， 即点D为PQ中点； （2）解：由（1）可知：△DPF≌△DQC，△APF为等边三角形， ∴DF＝DC， ∵△APF为等边三角形，PE⊥AC， ∴AE＝FE， ∴DE＝DF+EF＝CD+AEAC＝2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 36．（2025秋•海淀区校级期中）如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，E是CB延长线上的一点，且∠BDE＝30°，DM⊥BC，垂足为M． 求证： （1）DE＝2DM； （2）M是CE的中点． 【分析】（1）根据直角三角形的性质即可解答； （2）根据等边三角形的性质即可证明． 【解答】证明：（1）∵DM⊥BE， ∴∠DME＝90°， 在Rt△DME 中，∠BDE＝30°， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∴∠ABE＝180°﹣60°＝120°， ∴∠E＝180°﹣∠ABE﹣∠BDE＝30°， ∴DE＝2DM； （2）在等边三角形ABC中，D是AB的中点， ∴， ∵∠BDE＝30°，∠ABC＝60°，∠BMD＝90°， ∴∠BDM＝30°，∠EDM＝60°， ∴∠E＝180°﹣∠BMD﹣∠EDM＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∴∠DCB＝∠E， ∴DE＝DC， ∵DM⊥BC， ∴M是CE的中点． 【点评】本题考查了直角三角形的性质及等边三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质及等边三角形的性质是解题的关键． 37．（2026春•兴宁市期末）根据所给素材，完成相应任务． 玩转三角板 活动背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角板，如图1所示，其中∠F，∠A为直角，∠E＝30°，∠B＝45°，要求两直角顶点重合（A与F重合于点O）进行探究活动． 素材1 小明同学的探究结果如图2所示，D，O，C三点在一条直线上． 素材2 小聪同学的探究结果如图3所示，DE∥BC，连结BD，CE，发现四边形BCED是平行四边形． 素材3 李老师提出问题，在上述操作过程中，△DOB与△COE的面积比是否为定值？ 解决问题 任务1 （1）根据图2，计算线段CD的长度． 任务2 （2）根据图3写出小聪同学判定平行四边形的依据：　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形　 ． （3）计算▱BCED的面积． 任务3 （4）请你解答李老师的问题，并说明理由． 【分析】（1）在Rt△DOE中，利用直角三角形的性质求得，在Rt△BOC中，利用等腰直角三角形和勾股定理求得，即可由CD＝OD+OC求解； （2）根据平行四边形的判定定理解答即可； （3）过点O作OH⊥BC于点H，交DE于点G，利用，求得，利用，求得OH＝1，从而求得，然后根据平行四边形的面积公式求解即可． （4）作CM⊥OE于M，BN⊥OD交DO延长线于N，证明△BON≌△COM（AAS），得到BN＝CM，然后由三角形面积公式计算出，从而得出结论． 【解答】解：（1）在Rt△DOE中，∠DOE＝90°，∠E＝30°，DE＝2， ∴， 在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，∠B＝∠C＝45°，BC＝2， ∴OC＝OB， ∴2OC2＝BC2＝4， ∴， ∴； （2）∵DE＝BC＝2（已知），DE∥BC（已知）， ∴四边形BCED是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （3）过点O作OH⊥BC于点H，交DE于点G，如图3， ∵DE∥BC，OH⊥BC， ∴OG⊥DE， ∵∠E＝30°，DE＝2， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵∠B＝∠C＝45°，BC＝2， ∴， ∵， ∴ ∴OH＝1， ∴， ∴． （4）△DOB与△COE的面积比是定值；理由如下： 作CM⊥OE于M，BN⊥OD交DO延长线于N，如图4， ∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠2， ∵∠BNO＝∠CMO＝90°，OB＝OC， ∴△BON≌△COM（AAS）， ∴BN＝CM， ∵OD＝1，， ∴， ∴△DOB与△COE的面积比是定值． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 随堂检测 · 精选练习 【练习 1】（2025秋•武汉期末）如图，D是等边△ABC内一点，连接AD，BD，CD，以CD为边作等边△CDE，使得点E在直线AC的右侧，若∠ADB＝m°，∠BDC＝n°，且△ADE是等腰三角形，则m与n的关系是 m＝n或m+2n＝360或2m+n＝360　 ． 【分析】证明△BCD和△ACE全等得∠BDC＝∠AEC＝n°，则∠AED＝n°﹣60°，再分三种情况讨论如下：①当DA＝DE时，则∠DAE＝∠AED＝n°﹣60°，进而得∠ADE＝300°﹣2n°，则∠ADC＝360°﹣2n°，然后根据∠ADB+∠BDC+∠ADC＝360°得m°+n°+360°﹣2n°＝360°，据此可得m与n的关系；②当DA＝EA时，则∠ADE＝∠AED＝n°﹣60°，进而得∠ADC＝n°，然后根据∠ADB+∠BDC+∠ADC＝360°得m°+n°+n°＝360°，据此可得m与n的关系；③当EA＝DE时，则∠ADE＝∠DAE（180°﹣∠AED），进而得∠ADC，然后根据∠ADB+∠BDC+∠ADC＝360°得，据此可得m与n的关系，综上所述即可得出答案． 【解答】解：连接AE，如图所示： ∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCD＝∠DCE＝∠CDE＝∠CED＝60°， ∴∠BCA﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD， ∴∠BCD＝∠ACE， 在△BCD和△ACE中， ， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴∠BDC＝∠AEC＝n°， ∴∠AED＝∠AEC﹣∠CED＝n°﹣60°， 当△ADE是等腰三角形时，有以下三种情况： ①当DA＝DE时，则∠DAE＝∠AED＝n°﹣60°， 在△DAE中，∠ADE＝180°﹣（∠DAE+∠AED）＝180°﹣（n°﹣60°+n°﹣60°）＝300°﹣2n°， ∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝300°﹣2n°+60°＝360°﹣2n°， ∵∠ADB+∠BDC+∠ADC＝360°， ∴m°+n°+360°﹣2n°＝360°， ∴m＝n； ②当DA＝EA时，则∠ADE＝∠AED＝n°﹣60°， ∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝n°﹣60°+60°＝n°， ∵∠ADB+∠BDC+∠ADC＝360°， ∴m°+n°+n°＝360°， ∴m+2n＝360； ③当EA＝DE时， 在△ADE中，∠ADE＝∠DAE（180°﹣∠AED）（180°﹣n°+60°）， ∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE， ∵∠ADB+∠BDC+∠ADC＝360°， ∴， ∴2m+n＝360， 综上所述：m与n的关系是m＝n或m+2n＝360或2m+n＝360． 故答案为：m＝n或m+2n＝360或2m+n＝360． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，理解等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 【练习 2】（2026•柳江区模拟）如图，点D为等边△ABC的边BC上的一个动点，BC＝6，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC交边AB于点F，连接EF，则△DEF的面积最大值为 　　 ． 【分析】首先利用等边三角形的性质和已知条件得到∠BFD＝∠CDE＝30°，∠FDE＝60°，设BD＝x，然后用x分别表示DF、CD、DE，如图，过F作FH⊥⊥DE于H，在Rt△EFD中，用x表示FH，最后利用三角形的面积公式建立二次函数模型即可求解． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∵DE⊥AC于点E，DF⊥BC交边AB于点F， ∴∠BFD＝∠CDE＝30°，∠FDE＝60°， 设BD＝x， ∴DFx， ∵BC＝6， ∴CD＝6﹣x， ∴DE（6﹣x）， 如图，过F作FH⊥DE于H， 在Rt△EFD中，FHFDxx， ∴S△DEFDE×FH x（6﹣x） （﹣x2+6x） （x﹣3）2， ∴当x＝3时，△DEF的面积最大值为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，同时也利用了含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是建立二次函数的模型求出最值． 【练习 3】（2025春•碑林区校级期末）如图，△ABC是等边三角形，E为BC上一点，在AB上取一点D，使AD＝AE，且∠AED＝65°，则∠EAC的度数是 　10°　 ． 【分析】根据等边对等角可得∠ADE＝65°，再根据三角形内角和定理求出∠DAE＝50°，最后根据等边三角形的性质即可求解． 【解答】解：∵AD＝AE，且∠AED＝65°， ∴∠ADE＝65°， ∴∠DAE＝50°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠EAC＝∠BAC﹣∠DAE＝10°， 故答案为：10°． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，关键是等边三角形性质的熟练掌握． 【练习 4】（2024春•福田区校级期末）如图，在等边△ABC中，AB＝6，BE＝2，∠DFC＝60°，DF，则CF的长为 　　 ． 【分析】过点D作DH⊥CE于点H，根据等边三角形性质及∠DFC＝60°得∠ECB＝∠DBA，进而可依据“ASA”判定△ECB和△DBA全等，则BE＝AD＝2，进而得CD＝AC﹣AD＝4，然后在Rt△DHF中求出∠FDH＝30°，则FHDF，DH，在Rt△CDH中再由勾股定理求出CH，继而可得CF的长． 【解答】解：过点D作DH⊥CE于点H，如图所示： ∵△ABC为等边三角形，AB＝6， ∴∠A＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝CA＝6， ∵∠DFC＝∠ECB+∠DBC＝60°，∠ABC＝∠DBA+∠DBC＝60°， ∴∠ECB＝∠DBA， 在△ECB和△DBA中， ， ∴△ECB≌△DBA（ASA）， ∴BE＝AD＝2， ∴CD＝AC﹣AD＝6﹣2＝4， ∵DH⊥CE于点H， ∴△DHF和△DHC均为直角三角形， 在Rt△DHF中，∠DFC＝60°，DF， ∴∠FDH＝30°， ∴FHDF， 由勾股定理得：DH， 在Rt△CDH中，由勾股定理得：CH， ∴CF＝CH+FH． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地添加辅助线构造含有30°角的直角三角形，然后利用含有30°角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 【练习 5】（2024秋•南平期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，以AC为边，在△ABC的外部作等边三角形ACD，E是AC的中点，连接DE并延长交BC于F．求∠DFC的度数． 【分析】根据题意先求出∠ACB，再证明∠CEF＝90°，再根据直角三角形两内角互余即可得解． 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°， ∴， ∵△ACD是等边三角形，E是AC的中点， ∴DE⊥AC， ∴∠CEF＝90°， ∴∠DFC+∠ACB＝90°， ∴∠DFC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣40°＝50°， 所以∠DFC的度数为50°． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 1. 熟记等边三角形4条判定，做题优先观察是否已有等腰，再找60°角； 2. 计算题遇到等边，第一时间写出：三边相等，三角60°，三线合一三个条件； 3. 遇到求多条线段和的最值，优先考虑轴对称，把折线转化为垂线段； 4. 压轴题重视面积法（维维安尼定理）、旋转全等（手拉手）两个模型，多整理错题； 5. 区分“等腰不一定等边，等边一定等腰”，做题警惕缺少条件误判等边。 【作业 1】（2025春•徐汇区校级月考）下列说法中，正确的有（　　）个． ①有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形； ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形； ③三个外角都相等的三角形是等边三角形； ④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形； ⑤△ABC的三边为a，b，c，满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，则这个三角形是等边三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由等边三角形的判定方法，即可判断． 【解答】解：①有一个外角为120°的等腰三角形的一个内角是60°，判定这样的等腰三角形是等边三角形，故①符合题意； ②任何等腰三角形的两个底角的外角相等，因此这样的等腰三角形不一定是等边三角形，故②不符合题意； ③三个外角都相等的三角形，其三个内角相等，判定这样的三角形是等边三角形，故③符合题意； ④等腰三角形底边的高也是这边上的中线，这样的等腰三角形不一定是等边三角形，故④不符合题意； ⑤△ABC的三边为a，b，c，满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，那么a﹣b＝0或b﹣c＝0或c﹣a＝0，因此a＝b或b＝c或c＝a，则这个三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，故⑤不符合题意， ∴说法正确的有2个． 故选：B． 【点评】本题考查等边三角形的判定，等腰三角形的性质，关键是掌握等边三角形的判定方法． 【作业 2】下列条件不能判定如图的△ABC是等边三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，且∠B＝60° C．∠A＝∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C 【分析】根据等边三角形的定义和判定定理判断即可． 【解答】解：A．∵∠A＝∠B＝∠C， ∴△ABC是等边三角形，故A选项不符合题意； B．∵AB＝BC＝AC， ∴△ABC是等边三角形，故B选项不符合题意； C．∵∠A＝∠B＝60°， ∴∠C＝60°， ∴△ABC是等边三角形，故C选项不符合题意； D．AB＝BC且∠B＝∠C，但无法确定∠A＝60°， ∴不能判断△ABC是等边三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟悉等边三角形的定义及等边三角形的判定定理．注意：等边三角形的判定定理有：①三边都相等的三角形是等边三角形，②三角都相等的三角形是等边三角形，③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 【作业 3】（2024秋•谯城区期末）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，A4在射线ON上，点B1，B2，B3在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4均为等边三角形．若OA1＝2，则A1A4的长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【分析】根据等边三角形性质及三角形外角性质证明△OA2B2是等腰三角形，得OA1＝A1B1＝A1A2＝2，进而得OA2＝4，再证明△OA2B2是等腰三角形，得OA2＝A2B2＝A2A3＝4，进而得OA3＝8，同理可证明△OA3B3是等腰三角形，得OA3＝A3B3＝A3A4＝8，然后根据A1A4＝A1A2+A2A3+A3A4即可得出答案． 【解答】解：如图所示： ∵△A1B1A2是等边三角形， ∴A1A2＝A2B1＝A1B1，∠1＝60°， ∵∠1是△OA1B1的外角， ∴∠1＝∠2+∠MON， 又∵∠MON＝30°， ∴60°＝∠2+30°， ∴∠2＝30° ∴∠2＝∠MON＝30°， ∴△OA2B2是等腰三角形，即OA1＝A1B1＝2， ∴A1A2＝A2B1＝A1B1＝2， ∴OA2＝OA1+A1A2＝4， ∵△A2B2A3是等边三角形， ∴∠4＝60°，A2A3＝A3B2＝A2B2， ∴∠1＝∠4＝60°， ∴A1B1∥A2B2， ∴∠3＝∠2＝∠MON＝30°， ∴△OA2B2是等腰三角形，即OA2＝A2B2＝4， ∴A2A3＝A3B2＝A2B2＝4， ∴OA3＝OA2+A2A3＝4+4＝8， 同理可证明：△OA3B3是等腰三角形，即OA3＝A3B3＝8， ∵△A3B3A4是等边三角形， ∴A3A1＝A3B3＝8， ∴OA4＝OA3+A3A4＝2+4+8＝14． 故选：B． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定，熟练掌握等边三角形的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定是解决问题的关键． 【作业 4】（2024春•龙华区期中）如图，△ABC是等边三角形，点E与点F分别在边BC与AC上，将△CEF沿直线EF折叠，使得C的对应点C′落到AB边上，当△C′BE为直角三角形时，∠FEC的度数为（　　） A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 【分析】先根据等边三角形性质得∠B＝60，因此当△C'BE为直角三角形时，有以下两种情况：①当∠C′EB＝90时，则∠C'EC＝90°，由折叠的性质可得出∠FEC的度数；②当∠BC'E为直角时，则∠C'EB＝30°，进而得∠C'EC＝150，由折叠的性质可得出∠FEC的度数，综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝60， ∴当△C'BE为直角三角形时，有以下两种情况： ①当∠C′EB＝90时，如图1所示： 则∠C'EC＝180﹣∠C'EB＝90°， 由折叠的性质得：∠FEC＝1/2∠C'EC＝45°， ②当∠BC'E为直角时，如图2所示： 则∠C'EB＝90﹣∠B＝30°， ∴∠C'EC＝180﹣∠C'EB＝150， 由折叠的性质得：∠FEC＝1/2∠C'EC＝75°， 综上所述：∠FEC的度数为 45°或75°． 故选：A． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠及其性质，熟练掌握等边三角形的性质，图形的折叠及其性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 【作业 5】（2024秋•丰泽区期末）如图，在等边三角形ABC中，AD平分∠BAC，若BC＝10，则CD的长为 　5　 ． 【分析】根据等边三角形的性质得CD＝BDBC，再根据BC＝10即可得出CD的长． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC， ∴CD＝BDBC， ∵BC＝10， ∴CD＝5． 故答案为：5． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形角的平分线，与对边上的中线，对边上的高重合（三线合一）是解决问题的关键． 【作业 6】（2025春•溧阳市期末）如图，等边△ABC的边长为6，D为BC上一点，，P是线段AD上的动点，若点P和△ABC中的一个顶点的连线与PD的夹角为60°，则PD的长为 　或　 ． 【分析】根据题意，分两种情况讨论，即∠BPD＝60°或∠CPD＝60°，进而根据ABPD∽△ABD与ACPD∽△ACD即可求出PD的长． 【解答】解：如图，过点D作DM⊥AB于点M， ∵等边△ABC的边长为6，CD＝2BD， ∴BD＝2，BM＝1， ∴AM＝5，， ∴． 分两种情况：①如图，连接BP，若∠BPD＝60°， ∵∠BPD＝∠ABD＝60°，∠BDP＝∠ADB， ∴BPD∽△ABD， ∴， 即， 解得， ②如图，连接CP，若∠CPD＝60°， ∵∠CPD＝∠ACD＝60°，∠CDP＝∠ADC， ∴CPD∽ACD， ∴，即， 解得， 综上所述，PD的长为或， 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质及判定，熟练掌握三角形相似的证明及性质的使用是解决本题的关键． 【作业 7】（2026春•东丽区期末）等边三角形ABC的边长为6，则三角形ABC的面积是　9　 ． 【分析】过A作AH⊥BC于H，由等边三角形的性质得到BHBC＝3，由勾股定理求出AH＝3，即可求出三角形ABC的面积． 【解答】解：过A作AH⊥BC于H， ∵三角形ABC是边长为6的等边三角形， ∴BC＝AB＝6，BHBC， ∴BH＝3， 由勾股定理得到：AH3， ∴三角形ABC的面积BC•AH6×39． 故答案为：9． 【点评】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，关键是掌握等边三角形三线合一的性质，由勾股定理求出AH的长． 【作业 8】（2023秋•江岸区期末）如图，等边ABC中，点D为线段AC上一动点，BD为边作等边△BDE（B、D、E顺时针排列）．将△DCE沿AC对称得到△DCE'，若BC＝a，CD＝b，则E′B＝　2a﹣b （用含a，b的式子表示）． 【分析】先依题意作出△DCE关于AC对称的△DCE'，根据对称性得△DCE≌△DCE'，则∠DCE＝∠DCE'，CE＝CE'，再由等边三角形的性质得AB＝CB＝AC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，BD＝BE，∠DBE＝60°，由此得∠ABD＝∠CBE，然后依据“SAS”判定△ABD和△CBE全等，从而得∠A＝∠BCE＝60°，AD＝CE，由此得∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝120°，则∠DCE'＝∠DCE＝120°，据此得∠ACB+∠DCE'＝180°，则点B，C，E在同一条直线上，此时E'B＝BC+CE'，然后根据BC＝AC＝a，CD＝b得E'B＝AD＝a﹣b，再根据E'B＝BC+CE'可得出答案． 【解答】解：作出△DCE关于AC对称的△DCE'，如图所示： 根据对称性得：△DCE≌△DCE'， ∴∠DCE＝∠DCE'，CE＝CE'， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝CB＝AC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠ABD+∠DBC＝60°， ∵△BDE为等边三角形， ∴BD＝BE，∠DBE＝60°， ∴∠DBC+∠CBE＝60°， ∴∠ABD＝∠CBE， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴∠A＝∠BCE＝60°，AD＝CE， ∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝60°+60°＝120°， ∴∠DCE'＝∠DCE＝120°， ∴∠ACB+∠DCE'＝120°+60°＝180°， ∴点B，C，E在同一条直线上， ∴E'B＝BC+CE'， ∵BC＝AC＝a，CD＝b， ∴AD＝AC﹣CD＝a﹣b， ∵AD＝CE，CE＝CE'， ∴CE'＝AD＝a﹣b， ∴E'B＝BC+CE'＝a+a﹣b＝2a﹣b． 故答案为：2a﹣b． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平角的意义，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解等边三角形的性质，利用平角的意义证明点B，C，E在同一条直线上是解决问题的关键． 【作业 9】（2025秋•怀化校级期末）如图，△ABC是等边三角形，在△ACD中，AC＝CD，∠ACD＝90°，连接BD交AC于点E，则∠BEC的度数为 　105°　 ． 【分析】根据等边三角形的性质得AC＝BC，∠ACB＝60°，再根据AC＝CD得BC＝CD，由此得∠CBD＝∠CDB，再求出∠BCD＝150°，由三角形内角和定理得∠CBD＝15°，然后在△BCE中，再由三角形内角和定理即可得出∠BEC的度数． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， ∵AC＝CD， ∴BC＝CD， ∴∠CBD＝∠CDB， ∵∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝150°， 在△CBD中，∠CBD+∠CDB+∠BCD＝180°， ∴2∠CBD+150°＝180°， ∴∠CBD＝15°， 在△BCE中，∠BEC＝180°﹣（∠CBD+∠ACB）＝180°﹣（15°+60°）＝105° 即∠BEC的度数为105°． 故答案为：105°． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 【作业 10】（2024秋•福田区校级期末）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE． （1）求证：BE＝CD； （2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数． 【分析】（1）过点A作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF＝CF，DF＝EF，相加后即可得到正确的结论； （2）根据等边三角形的判定得到△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解． 【解答】（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于点F， 由条件可知BF＝CF， ∵AD＝AE，AF⊥BC， ∴DF＝EF， ∴BF+EF＝CF+DF， 即BE＝CD； （2）解：由条件可知△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝∠ADE＝60°， ∵AD＝BD， ∴∠DAB＝∠DBA， 又∠DAB+∠DBA＝∠ADE＝60°， ∴， ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝30°+60°＝90°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 【作业 11】（2024秋•宁江区期中）如图∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于点E，∠BCE＝60°．求证：△BCE是等边三角形． 【分析】根据平行线的性质和等角对等边，得出CB＝CE，然后根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，即可说明理由． 【解答】证明：∵CE∥DA， ∴∠A＝∠CEB， ∵∠A＝∠B， ∴∠CEB＝∠B， ∴CB＝CE； 又∵∠BCE＝60°， ∴△BCE是等边三角形． 【点评】本题考查等边三角形的判定，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 【作业 12】（2026春•同步）如图，在△ABC中，AB＝BC＝CA，点O在△ABC内，OA＝OB＝OC，找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【分析】根据等腰三角形和等边三角形的定义，进行判断即可． 【解答】解：∵OA＝OB＝OC， ∴△AOB，△BOC，△AOC是等腰三角形； ∵AB＝BC＝CA， ∴△ABC既是等腰三角形，也是等边三角形； 综上分析可知：等腰三角形有：△AOB，△BOC，△AOC，△ABC；等边三角形有：△ABC． 【点评】本题主要考查了等腰三角形和等边三角形的定义，熟练掌握等腰三角形定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；等边三角形定义：三边都相等的三角形是等边三角形． 【作业 13】（2024秋•市中区期末）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是边AB、AC上的动点，BD＝CE，BE与CD交于点O． （1）求证：OB＝OC； （2）当△BDO是等腰三角形时，求∠ABE的度数． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得：∠DBC＝∠ECB＝60°，证明△BCD≌△CBE，得到∠BCD＝∠CBE，即可得证； （2）由（1）得：∠BCD＝∠CBE，∠ABC＝60°，设∠BCD＝∠CBE＝x，则∠ABE＝60°﹣x，∠BOD＝2x，在△BOD中，∠BDO＝∠A+∠ACD＞60°，∠DBO＜60°，推出OB≠OD，当△BDO是等腰三角形时，分两种情况：①BD＝OD，②BD＝OB，列方程即可求解． 【解答】（1）证明：由题意可得：∠DBC＝∠ECB＝60°， ∵BD＝CE， 在△BCD和△CBE中， ， ∴△BCD≌△CBE（SAS）， ∴∠BCD＝∠CBE， ∴OB＝OC； （2）由（1）得：∠BCD＝∠CBE，∠ABC＝60°， 设∠BCD＝∠CBE＝x，则∠ABE＝60°﹣x，∠BOD＝∠BCD+∠CBE＝2x， ∵∠BDO＝∠A+∠ACD＞60°，∠DBO＜60°， ∴∠BDO≠∠DBO， ∴OB≠OD， ①若BD＝OD，则∠ABE＝∠BOD， ∴60°﹣x＝2x， 解得：x＝20°， ∴∠ABE＝60°﹣20°＝40°； ②若BD＝OB，则∠BDO＝∠BOD＝2x， ∴∠ABE+∠BDO+∠BOD＝180°， ∴60°﹣x+2x+2x＝180°， ∴x＝40°， ∴∠ABE＝60°﹣40°＝20°； ∴∠ABE的度数是20°或40°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识． 【作业 14】如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝a，BD＝b，求CD的长． 【分析】以CD为边作等边△CDE，连接AE，证明△BCD≌△ACE（SAS），得出BD＝AE＝b，∠ADC＝30°，∠CDE＝60°，再结合勾股定理求解． 【解答】解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE， ∵△ABC和△CDE是等边三角形， ∴BC＝AC，CD＝CE＝DE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝60°， ∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD， ∴∠BCD＝∠ACE， 在△BCD 和△ACE中， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝AE＝b，∠ADC＝30°，∠CDE＝60°， ∴∠ADE＝90°， ∵AD＝a，AE＝b， ∴DE， ∴CD． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【作业 15】（2025春•富平县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于E，且D、E分别是AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝CE． （1）∠ABC的度数． （2）求证：BE＝FE． 【分析】（1）根据等边三角形的判定得出△ABC是等边三角形，即可得出∠ABC的度数； （2）根据BE＝FE得出∠F＝∠CEF＝30°，再等边三角形的性质得出∠EBC＝30°，即可证明． 【解答】（1）解：∵BE⊥AC于E，E是AC的中点， ∴△ABC是等腰三角形，即AB＝BC， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°； （2）∵CF＝CE， ∴∠F＝∠CEF， ∵∠ACB＝60°＝∠F+∠CEF， ∴∠F＝30°， ∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC， ∴∠EBC＝30°， ∴∠F＝∠EBC， ∴BE＝EF． 【点评】此题考查等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 等边三角形 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版八年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 理解等边三角形的定义，区分等边三角形与等腰三角形的从属关系 熟练掌握等边三角形的性质，能利用边角性质进行角度、线段长度计算 掌握等边三角形的三类判定方法，能选择合适条件证明三角形为等边三角形 会结合全等、轴对称最短路径、含30°直角三角形综合解决几何计算题与证明题 掌握等边三角形背景下的压轴模型：截长补短、面积法、动点折叠、旋转全等 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 等边三角形定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，属于特殊的等腰三角形。等腰三角形包含两类：普通等腰三角形（腰≠底）、等边三角形（腰=底）。 概念辨析例题：把“等腰三角形”特殊化可以得到（）A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.正方形 解析：三角形特殊化为等腰三角形，等腰三角形进一步特殊化，三边全部相等得到等边三角形。答案：C。 ☆ 2. 等边三角形的性质 1. 边：三边长度相等； 2. 角：三个内角都等于； 3. 对称性：3条对称轴（每条边上的高/中线/角平分线重合，三线合一）； 4. 高与边长关系：若边长为，高 ；面积 ； 5. 推论：等边三角形任意边上的高、中线、角平分线三线重合。 概念辨析例题：等边△ABC边长为6，则它的面积是多少？ 解析：代入面积公式。答案：。 ☆ 3. 等边三角形的判定 1. 定义判定：三边都相等的三角形是等边三角形； 2. 角判定1：三个内角都相等（均）的三角形是等边三角形； 3. 角判定2：有两个内角等于的三角形是等边三角形； 4. 等腰+60°判定：有一个角是的等腰三角形是等边三角形（高频考点）。 概念辨析例题：△ABC中，添加哪个条件不能判定等边三角形（）A. B. C. D. 解析：只代表有一条高线，无法保证另外两边/角相等，不能判定。答案：C。 ☆ 4. 重要衍生模型 1. 等边三角形内部一点到三边距离之和等于三角形的高（维维安尼定理）；点在外部时：两距离相加减去第三个距离等于高； 2. 等边三角形+平行线：平行于一边的直线截另外两边，得到的小三角形依然是等边三角形； 3. 最短路径：利用等边三角形对称轴做对称，转化“折线段”为垂线段求最小； 4. 等边三角形+全等：常见“手拉手”旋转全等模型。 概念辨析例题：点P在等边三角形内部，到三边距离，三角形高为，关系式是？ 解析：面积分割法，；若点在外部，则。 ☆ 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 等边三角形定义 三边全部相等的三角形；特殊等腰三角形 等边一定是等腰，等腰不一定是等边 边角性质 三边相等；三内角均；三线合一；， 三线合一：高、中线、角平分线是同一条线段 判定方法 ①三边相等；②三角相等；③等腰+一个；④两角为 “等腰+”是考试最高频判定条件 维维安尼定理 内部点：；外部点： 只针对等边三角形，用面积法推导 平行线截等边三角形 平行于一边，截得小三角形仍为等边三角形 可直接得到三边相等、三角，省去重复证明 核心考点 ·典型考点精讲 【考点1】等边三角形性质（第112题） 利用三内角、三线合一计算角度； 边长、高、面积互相换算，熟练使用、； 结合全等三角形，证明线段相等； 轴对称最短路径，求折线段最小值； 面积分割法，应用维维安尼定理。 1．（2025秋•桥西区期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别是边BC，AC上的点，∠BAD＝15°，∠AFE＝60°，若，则EF的长为（　　） A． B．2 C． D．3 2．（2024秋•思明区校级期中）类比“三角形”特殊化后得到研究对象等腰三角形，把“等腰三角形”特殊化可以得到研究对象（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．正方形 3．（2024•仙居县二模）如图，把边长6cm的等边△ABC沿CA，BA方向分别平移2cm得到△DEF和△GMN，连接DG，BE，CN，则图中阴影部分面积为 ____________________ ． 4．（2024春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，过点D作DE⊥BC．若AB＝5.4，CE＝3，则BE＝________ ． 5．（2024秋•廉江市期中）如图，等边△ABC的边长为6，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点D，过点D作EF∥BC，交AB、AC于点E、F，则△AEF的周长为 _______ ． 6．（2026•金华模拟）如图，在等边三角形网格中每个小等边三角形的面积都是1，图中以格点为顶点的△ABC面积为_______ ． 7．（2025春•云岩区校级期中）如图，在等边△ABC中，AD是∠BAC的平分线，点E、P分别是AB、AD上的动点．若AB＝4，则PE+PB的最小值是________________ ． 8．（2025春•天心区校级月考）如图，在△ABD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，交BD于点E，连接BC，CD． （1）求证：△BCD是等腰三角形； （2）若∠BCD＝130°，求∠ABC的度数． 9．（2023秋•临潼区期中）如图，在等边△ABC中，BC＝10，BD垂直AC，垂足为D，E在BC的延长线上，连接DE，且DB＝DE．求CE的长． 10．（2024秋•抚顺县期末）如图，在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD． （1）当点E为AB的中点时，如图1，求证EC＝ED； （2）当点E不是AB的中点时，如图2， ①过点E作EF∥BC．请补全图形，并求证△AEF是等边三角形； ②直接写出EC与ED的数量关系． 11．（2022秋•丛台区校级期中）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD． （1）求∠E的度数． （2）求证：△DBE是等腰三角形． 12．如图所示，已知等边三角形ABC和点P，设点P到△ABC的三边AB，AC，BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高AM为h． （1）当点P在△ABC的边BC上时，如图（1）所示，h3＝0，猜想h1+h2+h3与h的数量关系，并说明理由． （2）当点P在△ABC内部时，如图（2）所示，当点P在△ABC外部时，如图（3）所示．请问这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的关系式（不要求说明理由）． 【考点2】等边三角形判定（第1321题） 1. 利用三内角、三线合一计算角度； 1. 边长、高、面积互相换算，熟练使用、； 1. 结合全等三角形，证明线段相等； 1. 轴对称最短路径，求折线段最小值； 1. 面积分割法，应用维维安尼定理。 13．（2025秋•大连期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，且DE＝BE．下列结论：①△ADE是等边三角形；②DE∥AC；③∠DAE＝60°．其中正确的有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 14．（2023秋•溧阳市期中）在△ABC中，∠A＝60°，添加下列一个条件后，仍不能判定△ABC为等边三角形的是（　　） A．AB＝AC B．∠A＝∠B C．AD⊥BC D．∠B＝∠C 15．下列说法中，不能判定△ABC是等边三角形的是（　　） A．有两个角等于60°的三角形 B．有一个角等于60°的等腰三角形 C．三个角都相等的三角形 D．有两边相等且有两角相等的三角形 16．（2025秋•建瓯市期中）如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，∠A＝60°，点P以2cm/s的速度从B处向A处运动，同时点Q以1cm/s的速度从A处向C处运动，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当运动时间为 ___________________ 秒，△APQ是等边三角形． 17．（2024秋•襄城区校级月考）已知a，b，c是△ABC的三条边，若满足|a﹣b|+（b﹣c）2＝0，则△ABC的形状为__________ ． 18．（2025秋•府谷县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥CB，∠ADC的角平分线与CB的延长线交于点E，∠E＝60°，求证：△ECD为等边三角形． 19．（2025•郧西县模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE．若∠E＝60°，CE平分∠BCD，求证：△BCE为等边三角形． 20．（2025秋•泸县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，BD平分∠ABC． （1）求∠ABC的度数； （2）连接CE，且，求证：△BCE是等边三角形． 21．（2024春•清远校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB，交CD于E，交BC于F （1）求证：△CEF是等腰三角形． （2）若AF＝BF，求证：△CEF是等边三角形． 【考点3】性质与判定综合（第2231题） 1. 等边+平行线模型，识别小等边三角形； 1. 动点问题，设未知数建立方程求解等边条件； 1. 结合方位角得到夹角，识别实际场景中等边三角形； 1. 多步推理，同时用到性质+判定完成证明。 22．（2024春•锦江区期末）如图，△ABC为等边三角形，D为BC延长线上一点，作DE∥AB交AC的延长线于E．若AB＝5，AE＝8，则DE的长为（　　） A．3 B．5 C．7 D．8 23．（2025秋•和平区期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，AD经过点O与BC交于点D，以AD为边向两侧作等边△ADE和等边△ADF，分别和AB，AC交于点G，H，连接GH．若∠BAC＝60°，AB＝x，AC＝y，AD＝z．有下列结论：①∠BOC等于120°；②△AGH是等边三角形；③；④．其中，正确的结论的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．（2024秋•常州期末）人字梯是家庭常用的生活工具．如图，人字梯撑开时两侧梯子的夹角为60°．若两侧梯子的长度都是2m，则人字梯顶端距离地面的高度是 _______________ m． 25．（2025秋•白塔区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝7，则EF的长为_____ ． 26．（2025秋•石泉县校级期末）如图，两艘货船从海岛B分别同时沿北偏西20°方向，北偏东40°方向驶出．若两艘货船的速度均为20海里/时，两小时后，两艘货船A，C之间的距离为_______ 海里． 27．（2024秋•义乌市期末）如图，在等边△ABC中，点D是BC边上固定一点，点P是AB边上一动点，连接AD，PD．当AP＝1时，PD＝BD，当AP＝3时，PD有最小值，则线段AD的长为 ________________ ． 28．（2025秋•朔州期中）已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD＝AE． 求证：△ADE是等边三角形． 29．（2024秋•安康期中）已知在△ACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连接BC，AP． （1）如图1，若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，AC＝BD，试判断AP与CD的位置关系； （2）过点D作DE∥AC，交AP延长线于点E，连接BE，如图2所示，若∠CAD＝60°，BD＝AC，试说明：BC＝2AP． 30．（2025秋•同步）已知：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E．试判断△ADE的形状． 31．（2026•肥东县校级开学）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，过点D作DF⊥DE交CA的延长线于点F． （1）求∠F的度数； （2）若EF＝6，求AE的长． 【考点4】创新压轴（第3237题） · 手拉手旋转全等，对称变换； · 新定义题型，按照定义列式推理； · 动点、折叠背景下，分类讨论； · 三角板组合探究，面积比值定值探究。 32．（2024秋•仓山区校级期中）如图，在等边△ABC中，D为边AC上一点，延长BD至F使得AF＝AC，过A作AH⊥BF于H，AH与FC的延长线交于点G． （1）若∠CAF为α，直接写出∠AFC的度数；（用含α的代数式表示） （2）求∠GFH的度数； （3）已知C为GF的中点，且CD＝1.5，求AD的长． 33．（2025春•北碚区校级期末）已知：△ABC为等边三角形，点D、E分别为AB、BC边上一点，AE、CD相交于点F，BD＝CE． （1）如图1，求∠AFD的度数； （2）如图2，连接BF并延长，与AC相交于点G，点M为BF延长线上一点，MF＝BF，点N为CD延长线上一点，∠MAN＝120°，∠ACF＝2∠CBG．求证：CN＝2AG； （3）在（2）的条件下（可使用备用图），若△ABM的面积为2，AF+GC＝DF+1，直接写出点A到BC的距离与点N到AB的距离之和． 34．（2026春•凌海市期末）定义：在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a2+ab＝c2，则称△ABC为“类直角三角形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）如图1，△ABC为等边三角形，请判断该三角形是否为“类直角三角形”，并说明理由； （2）如图2，等腰三角形ABC为“类直角三角形”，其中AC＝BC，AB＞AC，请求出∠B的大小． 35．（2024春•铁西区校级月考）如图，过边长为4的等边三角形的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交边AC于点D． （1）求证：D为PQ中点； （2）DE的长为 _____ ． 36．（2025秋•海淀区校级期中）如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，E是CB延长线上的一点，且∠BDE＝30°，DM⊥BC，垂足为M． 求证： （1）DE＝2DM； （2）M是CE的中点． 37．（2026春•兴宁市期末）根据所给素材，完成相应任务． 玩转三角板 活动背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角板，如图1所示，其中∠F，∠A为直角，∠E＝30°，∠B＝45°，要求两直角顶点重合（A与F重合于点O）进行探究活动． 素材1 小明同学的探究结果如图2所示，D，O，C三点在一条直线上． 素材2 小聪同学的探究结果如图3所示，DE∥BC，连结BD，CE，发现四边形BCED是平行四边形． 素材3 李老师提出问题，在上述操作过程中，△DOB与△COE的面积比是否为定值？ 解决问题 任务1 （1）根据图2，计算线段CD的长度． 任务2 （2）根据图3写出小聪同学判定平行四边形的依据：____________________ ． （3）计算▱BCED的面积． 任务3 （4）请你解答李老师的问题，并说明理由． 随堂检测 · 精选练习 【练习 1】（2025秋•武汉期末）如图，D是等边△ABC内一点，连接AD，BD，CD，以CD为边作等边△CDE，使得点E在直线AC的右侧，若∠ADB＝m°，∠BDC＝n°，且△ADE是等腰三角形，则m与n的关系是 ____________________ ． 【练习 2】（2026•柳江区模拟）如图，点D为等边△ABC的边BC上的一个动点，BC＝6，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC交边AB于点F，连接EF，则△DEF的面积最大值为 ____________________ ． 【练习 3】（2025春•碑林区校级期末）如图，△ABC是等边三角形，E为BC上一点，在AB上取一点D，使AD＝AE，且∠AED＝65°，则∠EAC的度数是 ________ ． 【练习 4】（2024春•福田区校级期末）如图，在等边△ABC中，AB＝6，BE＝2，∠DFC＝60°，DF，则CF的长为 ____________________ ． 【练习 5】（2024秋•南平期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，以AC为边，在△ABC的外部作等边三角形ACD，E是AC的中点，连接DE并延长交BC于F．求∠DFC的度数． 课后巩固 · 针对性练习 【作业 1】（2025春•徐汇区校级月考）下列说法中，正确的有（　　）个． ①有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形； ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形； ③三个外角都相等的三角形是等边三角形； ④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形； ⑤△ABC的三边为a，b，c，满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，则这个三角形是等边三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【作业 2】下列条件不能判定如图的△ABC是等边三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，且∠B＝60° C．∠A＝∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C 【作业 3】（2024秋•谯城区期末）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，A4在射线ON上，点B1，B2，B3在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4均为等边三角形．若OA1＝2，则A1A4的长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【作业 4】（2024春•龙华区期中）如图，△ABC是等边三角形，点E与点F分别在边BC与AC上，将△CEF沿直线EF折叠，使得C的对应点C′落到AB边上，当△C′BE为直角三角形时，∠FEC的度数为（　　） A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 【作业 5】（2024秋•丰泽区期末）如图，在等边三角形ABC中，AD平分∠BAC，若BC＝10，则CD的长为 _____ ． 【作业 6】（2025春•溧阳市期末）如图，等边△ABC的边长为6，D为BC上一点，，P是线段AD上的动点，若点P和△ABC中的一个顶点的连线与PD的夹角为60°，则PD的长为 ____________________ ． 【作业 7】（2026春•东丽区期末）等边三角形ABC的边长为6，则三角形ABC的面积是________________ ． 【作业 8】（2023秋•江岸区期末）如图，等边ABC中，点D为线段AC上一动点，BD为边作等边△BDE（B、D、E顺时针排列）．将△DCE沿AC对称得到△DCE'，若BC＝a，CD＝b，则E′B＝_________ （用含a，b的式子表示）． 【作业 9】（2025秋•怀化校级期末）如图，△ABC是等边三角形，在△ACD中，AC＝CD，∠ACD＝90°，连接BD交AC于点E，则∠BEC的度数为 _________ ． 【作业 10】（2024秋•福田区校级期末）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE． （1）求证：BE＝CD； （2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数． 【作业 11】（2024秋•宁江区期中）如图∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于点E，∠BCE＝60°．求证：△BCE是等边三角形． 【作业 12】（2026春•同步）如图，在△ABC中，AB＝BC＝CA，点O在△ABC内，OA＝OB＝OC，找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【作业 13】（2024秋•市中区期末）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是边AB、AC上的动点，BD＝CE，BE与CD交于点O． （1）求证：OB＝OC； （2）当△BDO是等腰三角形时，求∠ABE的度数． 【作业 14】如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝a，BD＝b，求CD的长． 【作业 15】（2025春•富平县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于E，且D、E分别是AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝CE． （1）∠ABC的度数． （2）求证：BE＝FE． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $