精品解析：江苏师范大学附属实验学校2026-2027学年第一学期高二年级十月月考数学试题

2026-2027学年度第一学期师大附实校 高二年级十月月考数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 已知直线过、两点，则该直线的斜率为（     ） A. B. C. D. 2. 已知直线与直线垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 直线：与：相交，则交点是（ ） A. B. C. D. 4. 若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（ ） A. B. C. D. 5. 若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A. ±2 B. C. 2 D. 2 6. 点到直线的最大距离是（ ） A. B. 2 C. D. 不存在 7. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 已知直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 在轴上的截距为2 B. 与直线垂直 C. 与直线之间的距离为 D. 与圆相离 10. 的三个顶点是，下列说法正确的是（ ） A. 边上的中线所在的直线的方程： B. 边上的高所在的直线的方程： C. 过点，且平行于边的直线的方程： D. 过点，且在轴､轴上的截距相等的直线的方程： 11. 已知：，：，则（ ） A. 点的坐标为 B. 当时，与轴相切 C. 当时，与相切 D. 当与相交时，两个交点所在直线的方程为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 过三点的圆的方程为___________． 13. 若直线与圆相切，则________． 14. ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知圆，直线. （1）判断直线与圆C的位置关系； （2）求该圆过点的切线方程. 16. 已知平面内两点A(8,-6),B(2,2). (1)求过点P(2,-3)且与直线AB平行的直线l的方程; (2)一束光线从B点射向(1)中直线l，若反射光线过点A,求反射光线所在的直线方程. 17. 已知圆，圆. （1）证明：圆与圆相交； （2）求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 18. 如果实数，满足，求： （1）的最大值与最小值； （2）的最大值与最小值； （3）的最大值和最小值． 19. 已知点，圆．直线与圆相交于A、B两点，． （1）若直线过点，求直线的方程； （2）若线段AB的中点为，的轨迹为曲线，过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期师大附实校 高二年级十月月考数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 已知直线过、两点，则该直线的斜率为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两点连线的斜率公式可求得该直线的斜率. 【详解】由题意可知，直线的斜率为. 2. 已知直线与直线垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线垂直斜率间的关系得出实数的值. 【详解】直线可化为，即斜率为， 因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率存在且等于，即. 3. 直线：与：相交，则交点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立直线方程求解即可. 【详解】联立，解得，即l1与l2的交点坐标为． 4. 若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，设对应的倾斜角为，则，又的倾斜角为，则，使用二倍角的正切公式求解即可. 【详解】因为直线的斜率，设对应的倾斜角为，则， 由题意可得，直线的倾斜角为， 故其斜率，解得. 故选：C 5. 若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A. ±2 B. C. 2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由直线和圆相交时的弦长公式求解即可. 【详解】由题意可得圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 又因为截得的弦长为， 所以， 化简得，解得. 故选：A. 6. 点到直线的最大距离是（ ） A. B. 2 C. D. 不存在 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线l所过的定点，利用两点间距离公式并结合判断是否存在最值，即可求解答案. 【详解】直线即， 令，解得， 即直线过定点，设为B， 当直线与l垂直时，点到直线的距离最大， 即为， 此时的斜率为，则l的斜率为2，故，方程无解， 即直线l和不可能垂直，则点到直线l的距离小于，不存在最大值， 故选：D 7. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两点坐标得到，再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可. 【详解】直线分别与轴，轴交于，两点， ，则. 点P在圆上， 圆心为，则圆心到直线距离. 故点P到直线的距离的范围为. 则. 【点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题． 8. 已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心坐标和半径，再根据弦长求出圆心到弦MN的距离，进而确定点的轨迹，最后根据点到直线的距离公式求出的最小值. 【详解】已知圆的方程为，将其配方可得. 可知该圆的圆心坐标为，半径.  因为点为线段MN的中点，根据垂径定理可知. 已知，则. 在中，根据勾股定理. 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.  已知点在直线上，可得圆心到直线的距离为： .  因为点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以的最小值等于圆心到直线的距离减去圆的半径，即 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 已知直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 在轴上的截距为2 B. 与直线垂直 C. 与直线之间的距离为 D. 与圆相离 【答案】BC 【解析】 【分析】令，解得的值就是直线在轴上的截距为；直线的斜率为，直线的斜率为，由得到与直线垂直；易知与直线平行，利用两平行线间的距离公式求解；求出圆心到直线的距离得到与圆相交. 【详解】对于A，令，则，解得， 所以在轴上的截距为，A错误； 对于B，直线：的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以与直线垂直，B正确； 对于C，易知与直线平行，所以它们之间的距离为，C正确； 对于D，因为圆心到直线的距离，所以与圆相交，D错误. 故选：BC. 10. 的三个顶点是，下列说法正确的是（ ） A. 边上的中线所在的直线的方程： B. 边上的高所在的直线的方程： C. 过点，且平行于边的直线的方程： D. 过点，且在轴､轴上的截距相等的直线的方程： 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，由的坐标求出中点，求出，利用点斜式得到中线为AD的直线的方程；B选项，求出直线的斜率，利用两线垂直，得到上的高所在直线的斜率；C选项，由点斜式可得过点且平行于边的直线的方程；D选项若直线在轴､轴上的截距相等不为0，设直线方程为截距式，代入点的坐标得到无解，直线不存在；若直线在轴､轴上的截距相等为0，设直线方程为：，代入点的坐标得该直线方程. 【详解】因为，所以中点，边上的中线为AD，所在的直线的方程：，A正确； 由可得直线的斜率为1，所以边上的高所在直线的斜率为-1，方程为：，B正确； 由点斜式可得，过点，且平行于边的直线的方程：，C正确； 若直线在轴､轴上的截距相等不为0，设直线方程为：， 代入点，得a无解，直线不存在； 若直线在轴､轴上的截距相等为0，设直线方程为：，代入点，得该直线方程为：，D错误. 故选：ABC． 11. 已知：，：，则（ ） A. 点的坐标为 B. 当时，与轴相切 C. 当时，与相切 D. 当与相交时，两个交点所在直线的方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，求出的圆心坐标即可判断； 对于B，利用圆心到的距离即可判断； 对于C，求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断； 对于D，将两个圆的方程相减化简即可求解. 【详解】由：，化简可得， 所以，的圆心，半径，故A错误； 对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确； 对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确； 对于D，由，化简得：， 所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 过三点的圆的方程为___________． 【答案】(或者写成) 【解析】 【分析】待定系数法求出圆的方程. 【详解】设圆的方程为， 将代入得， ，解得， 故圆的方程为. 故答案为： 13. 若直线与圆相切，则________． 【答案】 【解析】 【详解】圆的圆心为，半径. 由直线与圆相切，则得， 解得. 14. ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知圆，直线. （1）判断直线与圆C的位置关系； （2）求该圆过点的切线方程. 【答案】（1）相交 （2）和 【解析】 【分析】（1）根据圆的方程求出圆心和半径，结合圆心到直线的距离与半径的大小关系判断； （2）讨论斜率情况，结合相切的等量关系可求答案. 【小问1详解】 圆，圆心，半径， 因为直线，所以圆心C到直线l的距离为， 因为，即，所以直线与圆C相交. 【小问2详解】 若切线没有斜率，则方程为. 圆心C到直线的距离为，满足条件； 若切线有斜率，设其值为，切线方程为，即， ，解得；此时，切线方程为； 综上所述，该圆过点的切线方程和. 16. 已知平面内两点A(8,-6),B(2,2). (1)求过点P(2,-3)且与直线AB平行的直线l的方程; (2)一束光线从B点射向(1)中直线l，若反射光线过点A,求反射光线所在的直线方程. 【答案】(1) 直线l的方程4x+3y+1=0,(2) 11x+27y+74=0. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据平行得出斜率，从而由点斜式求出直线方程； （2）求得点B关于直线l的对称点B'的坐标，然后求出斜率，再由点斜式求出 试题解析：（1）由点斜式 ∴直线l的方程4x+3y+1=0 （2）设B（2，2）关于直线l的对称点B'（m，n）∴ 解得 ∴ ； 由点斜式可得 整理得11x+27y+74=0； 17. 已知圆，圆. （1）证明：圆与圆相交； （2）求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】（1）因为圆，即， 圆心，半径， 圆，即，圆心，半径， 且，，， 所以，即，所以圆与圆相交. （2） 【解析】 【分析】（1）将两圆方程配方化为标准式以求出各自的圆心和半径，再通过计算证明圆心距大于两半径之差且小于两半径之和，即可证得两圆相交。 （2）先利用圆系方程设出过两圆交点的圆的方程并用参数表示出其圆心坐标，再将圆心坐标代入已知直线方程解出参数值，即可得到所求圆的方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 两圆作差得， 即公共弦方程为， 设所求圆的方程为， 即， 可知圆心坐标为，因为圆心在直线上， 可得，解得， 所以所求圆的方程为. 18. 如果实数，满足，求： （1）的最大值与最小值； （2）的最大值与最小值； （3）的最大值和最小值． 【答案】（1）最大值为，最小值为，（2），最大值为，最小值为； （3）最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】（1）设，利用圆心到直线的距离小于等于半径，计算得到答案. （2）设，利用圆心到直线的距离小于等于半径，计算得到答案. （3）的表示的是，原点到圆上的任意点的距离的平方，利用原点到圆心距离加上减去半径，平方得到最大最小值. 【详解】（1）实数，满足， 则设整理得，所以圆心到直线的距离， 整理得，即， 所以的最大值为，最小值为． （2）设，所以整理直线为， 圆心到直线的距离， 整理得，解得， 所以的最大值为，最小值为． （3）由于的表示的是，原点到圆上的任意点的距离的平方 所以利用最大距离为圆心到原点的距离与半径的和， 即的平方，故最大值为． 最小距离为的平方，故最小值为． 【点睛】本题考查了与圆相关的取值范围的计算，转化为圆心到直线的距离和点到点的距离是解题的关键. 19. 已知点，圆．直线与圆相交于A、B两点，． （1）若直线过点，求直线的方程； （2）若线段AB的中点为，的轨迹为曲线，过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值． 【答案】（1）或 （2） 若线段AB的中点为，可得，即， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程； 由（1）可知：直线的斜率存在， 设直线的方程为，即，点、， 联立方程，消去y可得， 则，解得， 由韦达定理可得，， 则 . 所有为定值． 【解析】 【分析】（1）先求出圆心到直线的距离，考虑直线的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线的距离公式得到方程，求出答案； （2）先求出曲线的方程，设直线的方程。点、，联立曲线的方程，得到两根之和，两根之积，表达出. 【小问1详解】 由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，即直线，满足题意； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则，解得， 所以直线； 综上所述：直线的方程为或. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $