河南省实验中学2026-2027学年上学期九年级第一次学情自测数学试卷

2026-2027学年上期阶段性测评 九年级 数学 命题人：马聪聪审题人：李娟 (时间：100分钟，满分：120分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.根据表格中的信息，估计一元二次方程x2-3x-5=0的一个解的范围是() A.-2<x<-1 B.-1<x<0 C.0<x<1 D.1<x<2 2.下列说法正确的是() A.菱形的四个内角都是直角 B.矩形的对角线互相垂直 C.正方形的每一条对角线平分一组对角 D.平行四边形是轴对称图形 3.如图，点E为正方形ABCD中CD边上一点，AC为对角线，连接BE,交AC于点F, 若∠CBE=40°，则∠AFE的度数为() A.90° B.95° C.100° D.105° 4.如图，将一个正方形变为一个含60°角的菱形，则下列说法正确的是（) A.周长变小 B.面积变大 C.两条对角线长度的和变小 D.两条对角线的夹角的度数变大 x2-3x-5 向左推 第1题图 第3题图 第4题图 5.如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，AB=6,点E在边BC上，连接AE,将△ABE 沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则C℉的长为() A.2 B.6-3V2 C.22 D.62-6 6.在长为30m,宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地 的面积为468m2,求道路的宽度.设道路的宽度为x（m),则可列方程() A.(30-2x)(20-x)=468 B.（20-2x)(30-x)=468 .九年级数学第1页（共6页) C.30×20-2×30x-20x=468 D.(30-x)(20-x)=468 7.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，添加一个条件一定能使 △ADE∽△ACB,则这个条件可以是( A.∠ADE=∠ABC B.DE∥BC C. AE AD D.AEAC=ADAB AB E B 第5题图 第6题图 第7题图 8.·我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的 几何解法.以方程x2+5x-14=0即x(x+5)=14为例，记载的方法是：构造如图所示 的正方形，大正方形的面积是(x+x+5)2.同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方 形的面积，即4×14+52=81，因此(x+x+5)2=81,所以x=2.在下面四个选项中，能正 确说明方程2-2x-8=0解法的构图是（ A 9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，'AB=AC=16cm,AD为BC边上的高.动点P 从点A出发，沿A→D方向以V瓦cmls的速度向点D运动.设△ABP的面积为S1,长方 形PDFE的面积为S2,运动时间为t秒(0<1<8)，则=（)秒时，S1=2S2. A.5 B.6 C.7 D.8 +5 x+5 +5 x +5 B D F 第8题图 第9题图 九年级数学第2页（共6页) 10.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)有两个实数根，且其中一个根是另 一个根的n倍，则称这样的方程为“n倍方程”，以下关于n倍方程的说法正确的是() ①方程x2-3x+2=0是2倍方程： ②若(x-3)(nmx+1)=0为3倍方程，则m=) ③若p,g满足pg=8,则关于x的方程px2-6x+g=0为2倍方程： ④若关于x的方程ax2+br+c=0为n倍方程，则nb2=（n+1)2ac. A.①③ B.①④ C.①②③ D.①③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1.若后，则若=一 12.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支.主干、支 干和小分支的总数是91，则每个支干长出一个小分支， .已知在黄金矩形BCD中，D-2,以宽B为边在其内部作正方形BFB,厕匹 边形CDEF是黄金矩形.按照此方法继续作图，可得四边形DEGH,四边形KEGL也 是黄金矩形.分别以点E,G,L为圆心作弧AF,弧FH,弧HK,则曲线AFHK叫做 “黄金螺线”，若D=2,则“黄金螺线”AFHK的长为·（结果用表示）· 14.若一个菱形的两条对角线长是关于x的一元二次方程x2-10x+m=0的两个实数根， 且该菱形的面积为12，则这个菱形的边长为 、 15.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点D是边AD的中点.点E为边BC上一 点，连接AE,交CD于点F.若AE=2V5,则AF的长为 B D E K 第13题图 第15题图 九年级数学第3页（共6页） 三.解答题（本大题共8小题，共75分） 16.解方程（每小题5分，共10分)： (1)x(x-5)=3x-15: (2)x2-4x-1=0. 17.(9分)【阅读材料】： 老师的问题 小丽的做法： 如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD (1)取CD的中点M: 是斜边AB上的中线，求作菱形ADCE, (2)连接BM并延长到点E,使ME=MB: (3)连接AE,CE; 则四边形ADCE即为所求作的菱形 D 【解答问题】 (1)请根据小丽的作法利用尺规作图补全图形，不写作法，保留作图痕迹： (2)请根据材料中的信息，证明四边形ADCE是菱形. 18.(8分)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是CD边的中点，连接 OE,分别过点O,E作直线BC的垂线，垂足分别为F,G. (1)求证：四边形OEGF是矩形： (2)若四边形ABCD是菱形，AC=6,BD=8,则矩形OEGF的面积为 九年级数学第4页（共6页） 19.（9分)已知关于x的一元二次方程x2-（k+2)x+2k-1=0（k为常数). (1)求证：无论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根： (2)若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根， 20.(9分)如图，四边形ABCD是正方形，点G为边CD上一点，连接AG并延长，交 BC的延长线于点F,连接BD交AF于点E,连接EC (1)求证：△ADE≌△CDE; (2)求证：AE2=EFEG. G 21.(9分)网络直播为农产品销售开辟了重要渠道，不少果农借助直播带货实现销售转型。 河阴石榴是我省极具代表性的特色果品，已知该石榴若按每箱70元销售，平均每天可 售出100箱：扣除种植与人工成本后，每箱可获利26元，另外每日需支付直播推广费 300元，每箱还需额外支付纸箱打包费2元。经直播大数据统计：每箱石榴售价每降低 1元，日销售量就增加10箱。为提升经营收益，果农决定下调售价。 (1)设每箱降价x元，则每天可以售出 箱？（用含x的代数式表示) (2)若果农希望每日纯利润达到2550元，那么每箱石榴的售价应该定为多少元？ 22.（10分)形如x2土232的代数式叫做完全平方式，我们通常对代数式进行配方，构 造出完全平方式，再利用完全平方式的非负性解决问题，这种解题方法叫做配方法.配 方法在代数式求值、解方程、求最值等问题中都有广泛的应用. 例如：用配方法求a2-4a+3的最小值 九年级数学第5页（共6页） 解：a2-4a+3=a2-4a+22-22+3=(a-2)2-1. ,无论a取何值，(a-2)2总是非负数，即(a-2)2≥0， ∴.(a-2)2-1≥-1，即当a=2时，a2-4a+3有最小值-1. 根据上述材料，解答下列问题： (1)多项式x2-4x-3的最小值为 (2)已知M=2a2+3a,N=3a2+5,试比较M、N的大小（写出比较过程)： (3)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD.若AC+BD=10,求四边形ABCD面积的最 大值（写出求解过程）. B 23.(11分)某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)问题发现：如图①，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP,以 AP为边作等边△AP2,连接C2,BP与C2的数量关系是 (2)变式探究：如图②，在等腰△ABC中，AB=BC,点P是边BC上任意一点，以 AP为腰作等腰△APQ,使AP=P2,∠AP2=∠ABC,连接C2,判断∠ABC和∠AC2 的数量关系，并说明理由： (3)解决问题：如图③，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正 方形APER,2是正方形APBF的中心，连接CO,若正方形APBF的边长为5，CQ号， 求正方形ADBC的边长（直接写出答案)· 九年级数学第6页（共6页） 河南省实验中学2026-2027学年上期阶段性测评 数学参考答案 一.选择题（共10小题） 1.A.2.C.3.B.4.C.5.D.6.A.7.D.8.C.9.B.10.D. 二.填空题（共5小题） 11.3. 12.9. 13.(W5-1)π. 14.13. 15. 11 三.解答题（共8小题） 16.（1)原方程移项可得： x(x-5)-3(x-5)=0, (x-5)(x-3)=0, x-5=0,x-3=0: x1=5,x2=3:(5分) (2)原方程移项可得： x2-4x=1, x2-4x+4=1+4, (x-2)2=5, x-2=士5， x1=2+5,x2=2-V5.…(5分) 17.解：(1)如图所示，四边形ADCE即为所求： A (4分) 第1页（共6页） (2)证明：△MBC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线， c0子8=D, ME =MB, :.DM为△ABE的中位线， DW=cD=号4，DM14E 2 ∴.CD=AE .四边形AECD是平行四边形， .CD=AD, .平行四边形AECD是菱形.…(9分) 18.（1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.BO=OD, ,E是CD边的中点， ∴.DE=CE, ∴.OE是△BCD的中位线， .OE∥BC, 即OE∥FG, .OF⊥BC,EG⊥BC ∴.OF∥EG, ∴.四边形OFGE是平行四边形， ,∠0FG=90°， .平行四边形OEGF是矩形：(5分) (2)答案为：6.(8分)】 解：，四边形ABCD是菱形， ∴.AC⊥BD, ∠B0C=∠C0D=90°，0B=0D=2BD=4,0C=2AC=3, ∴.BC=CD=V42+32=5, E是CD边的中点， 第2页（共6页） ∴.0E=2CD=2 OF⊥BC, ∴SaB0c=BC0F=0BOC, 0r=B89-答=号 BC 矩形OBGF的面积=0r~06=多×号=6， 19.(1)证明：△=[-(k+2)]2-4(2k-1) =2+4k+4-8k+4 =2-4k+4+4 =(k-2)2+4, (k-2)2≥0， .△>0， ∴.该方程总有两个不相等的实数根：…(5分) (2)解：：方程的一个根为 ∴.9-3(k+2)+2k-1=0, .k=2,(7分) .方程为x2-4x+3=0, ∴.x1=3,x1=1, .另一个根为1，k=2.…(9分) 20.(1)证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.∠ADB=∠CDB=45°，AD=CD, 在△ADE和△CDE中， (AD=CD LADC=∠CDB, DEDE .△ADE≌△CDE(SAS):(4分) 第3页（共6页） (2)证明：四边形ABCD是正方形， ∴.AD∥BC, ∴.∠DAF=∠F, .△ADE≌△CDE, .AE=CE,∠DAF=∠DCE, ∴.∠DCE=∠F, 又.∠GEC=∠CEF ∴.△GEC∽△CEF, 器-器 .CE2=EF·EG, ∴.AE2=EFEG.(9分) 21.解：(1)由题意，可知：降价x元，则每天可以售出(100+10x)箱： 故答案为：（100叶10x):(3分) (2)设每箱降价x元， 由题意列一元二次方程得：(26-2-x)(100+10x)-300=2550, 解得：x1=5,2=9, .70-5=65（元)或70-9=61（元）， 答：每箱售价应该定为65元或61元.(9分) 22.解：（1)答案为：-7.(2分) (2)由条件可得，M-N=2a2+3a-(3a245)=-a243a-5=-(a-Z》2-号 -(a-2)2≤0， -a-多)-￥≤-头，即M-N<0. .M<N.(6分)） 第4页（共6页） (3)由愿意得，四边形ABCD面积为：4C×D0+号AC×B0=AC,BD=克AC(10-A0=- 1 34c2+5ac=-ac-52+ 1 2 (AC-5)2≥0， -24c-5≤0. 5 当-2(4C-5)2=0时，四边形ABCD面积的最大值为2 。(10分) 23.解：（1)答案为：BP=C2:(2分) (2)变式探究：∠ABC=∠ACQ, 理由如下：，AB=BC, ∠BMC=180°-LABC 2 AP=PO, ∴∠PAQ=180°-∠APQ 2 ,∠APQ=∠ABC, ∴.∠BAC=∠PAQ, ∴.△BAC∽△PAQ, .AB AP ·Ac=AQ '∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ, .∠BAP=∠CAQ, ∴.△BAP∽△CAQ, .∠ABC=∠ACQ:(9分) (3)答案为：4(11分) 解决问题：如图③，连接AB、AQ, ,四边形ADBC是正方形， AC=V2,∠BAC=45°， 第5页（共6页） ,Q是正方形APEF的中心， ,∠PAQ=45°， ∴.∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ,即∠BAP=∠CAQ, .AB AP AC-AR .△ABP∽△ACQ, 器治方 :c0=9 .BP=1, 设PC=x,则BC=AC=1+x, 在Rt△APC中，AP2=AC2+PC2,即S2=(1+x)2+x2, 解得，x1=-4(舍去)，x2=3, ∴.正方形ADBC的边长为：3+1=4. ③ 第6页（共6页）