精品解析：河南省郑州市金水区实验中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

2024-2025学年阶段性评估1 （时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 关于x的方程是一元二次方程的条件是（ ） A. B. C. D. a为任意实数 2. 一元二次方程 的根为（　　） A. B. C. ， D. ， 3. 关于菱形的性质，以下说法不正确的是（ ） A. 四条边相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 是轴对称图形 4. 如图，是矩形的一条对角线，点E，F分别是的中点．若，则的长为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A. －2 B. 2 C. －4 D. 4 6. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③.其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 8. 某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（ ） A. 1000（1+x）2＝3990 B. 1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990 C. 1000（1+2x）＝3990 D. 1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3990 9. 如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 10. 如图，正方形的顶点B、C的坐标分别为，，则点A关于原点O的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程x2+2x＝0的解为_____． 12. 如图，已知，a与b的距离为3，b与c的距离为5，若，则的长为________． 13. 如图，的三个顶点均在的网格的格点上，现任选三个格点，组成一个格点三角形与相似（不全等），则这个格点三角形可以是________（写出一个即可）． 14. 如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域(指针指向区域分界线时，忽略不计)的颜色，则两次颜色相同的概率是__________． 15. 如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时，________． 三．解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）解方程：； （2）已知a、b、c为的三边长，且，，求三边的长． 17. 某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到A班”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 18. 如图，是菱形的一条对角线，点在射线上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，，求菱形的面积． 19. 已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0． （1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？ 20. 如图所示，在矩形中，．点沿边从点开始向点以秒的速度移动，点沿边从点开始向点以秒的速度移动，如果同时出发，用（秒）表示移动的时间，那么： （1）点运动多少秒时，的面积为； （2）当为何值时，与相似？ 21. 某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示： 销售单价x（元/千克） 40 45 55 60 销售量y（千克） 80 70 50 40 （1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式； （2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，则每天的销售单价应为每千克多少元？ 22. 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，垂美四边形的对角线，交于点．猜想：与有什么关系？并证明你的猜想． （3）解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结，，．已知，，求的长． 23. 综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A． （1）【操作判断】 如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：； （3）【拓展延伸】 点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年阶段性评估1 （时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 关于x的方程是一元二次方程的条件是（ ） A. B. C. D. a为任意实数 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可得，再解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 2. 一元二次方程 的根为（　　） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程. 解题关键是选用正确的解法准确的计算. 用因式分解法将方程化为，得或，再解一元一次方程即可． 【详解】解：方程可化为 ， 所以，或， 所以，， 故选C． 3. 关于菱形的性质，以下说法不正确的是（ ） A. 四条边相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 是轴对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质判断即可． 【详解】解：A、菱形的四条边都相等，A选项正确，不符合题意； B、菱形的对角线不一定相等，B选项错误，符合题意； C、菱形的对角线互相垂直，C选项正确，不符合题意； D、菱形是轴对称图形，D选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了对菱形的性质的理解，关键是根据菱形的性质解答． 4. 如图，是矩形的一条对角线，点E，F分别是的中点．若，则的长为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形中位线定理得到的长，再根据直角三角形斜边上中线的性质可得的长，最后代入计算即可解答． 【详解】解：∵点E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 又∵E是的中点， ∴中，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知识点，掌握“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”和“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”成为解答本题的关键． 5. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A. －2 B. 2 C. －4 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程根的情况可得，再代入式子即可求解． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 ∴ ∴， 故选：A. 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 6. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键在于掌握概率所求情况数与总情况数之比． 根据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，即可解题． 【详解】解：画树状图如下： 由图知，共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种， 两次都取到白色小球的概率为． 故选：D． 7. 如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③.其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理可得出DE是△ABC的中位线，再由中位线的性质得出△ADE∽△ABC，进而可得出其他结论． 【详解】∵在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点， ∴DEBC，且DE=BC， ∴BC=2DE，故①正确； ∵DEBC， ∴△ADE∽△ABC，故②正确； ∴，故③正确． 故选C． 8. 某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（ ） A. 1000（1+x）2＝3990 B. 1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990 C. 1000（1+2x）＝3990 D. 1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3990 【答案】B 【解析】 【分析】设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1+x）万元，三月份的营业额为100（1+x）2万元，根据该超市第一季度的总营业额是3990万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1+x）万元，三月份的营业额为100（1+x）2万元， 依题意，得1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990． 故选B． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知增长率问题的求解. 9. 如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形，， ∴， ∵正方形，， ∴， ∴， 由题意得， ∴， ∴，即， 解得， 故选：B． 10. 如图，正方形的顶点B、C的坐标分别为，，则点A关于原点O的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，过点A作轴于．先求出，，再证明，得到，，则可求出，最后根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于． ∵B、C的坐标分别为，， ∴，， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ，， ， ， ∴点A关于原点O的对称点的坐标为 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，关于原点对称的点的坐标特点，正确根据一线三垂直模型构造全等三角形求出点A的坐标是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程x2+2x＝0的解为_____． 【答案】0，﹣2． 【解析】 【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题． 【详解】x2+2x＝0, x（x+2）＝0, ∴x＝0或x+2＝0, ∴x＝0或﹣2,故本题的答案是0，﹣2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法． 12. 如图，已知，a与b的距离为3，b与c的距离为5，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，过点A作直线c的垂线，垂足为D，设与直线b交于E，则垂直于直线b，再由题意可得，根据平行线分线段成比例定理得到，据此代值计算即可． 【详解】解：如图所示，过点A作直线c的垂线，垂足为D，设与直线b交于E， ∵，垂直于直线c， ∴垂直于直线b， ∵a与b的距离为3，b与c的距离为5， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，的三个顶点均在的网格的格点上，现任选三个格点，组成一个格点三角形与相似（不全等），则这个格点三角形可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，先利用勾股定理求出三边的长，再根据三边对应成比例的三角形相似在图中找到与三边对应边成比例的三角形即可． 【详解】解：由网格的特点和勾股定理可得， ，， ∴，， ∴， 同理可得，， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域(指针指向区域分界线时，忽略不计)的颜色，则两次颜色相同的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次颜色相同的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】画树状图得： ∵共有16种等可能的结果，两次颜色相同的有4种情况， ∴两个数字都是正数的概率是, 故答案为：． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解题时注意：概率＝所求情况数与总情况数之比． 15. 如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时，________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的性质的综合，掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质可得的值，作，根据平行线的性质可得是等腰直角三角形，可求出的长，在直角中，根据勾股定理可求出的长度，由此即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴在中，， ∵将绕点旋转得到， ∴， ∴，，， 分情况讨论： ①如图所示，过点B作，垂足为点， ∵∥， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 在中，， ∴， ②如图所示，当点D运动到点F′时，此时， 同理可得，， ∴ 故答案为：或． 三．解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）解方程：； （2）已知a、b、c为的三边长，且，，求三边的长． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，比例的性质： （1）利用公式法解方程即可； （2）设，根据得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）设， ∵， ∴， ∴， ∴． 17. 某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到A班”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 【答案】（1） （2）甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 【解析】 【分析】本题考查的是求简单事件的概率和两步操作事件的概率，用表格或树状图表示出总结果数是解答此类问题的关键． （1）根据概率公式计算可得； （2）用画树状图列出所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，根据概率公式计算可得． 【小问1详解】 解：有A，B，C三个班级，“学生甲分到A班”有一种情况， 则“学生甲分到A班”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如图： 共有9个等可能的结果，甲、乙两位新生分到同一个班的有3种情况， ∴甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 18. 如图，是菱形的一条对角线，点在射线上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 如图所示菱形即为所求： （2） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，连接，以为圆心，为半径作弧，交的垂直平分线于点，连接、，根据线段垂直平分线的性质可知，则四边形是菱形； （2）根据菱形的性质及解直角三角形求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴ ∴， ∴， 即菱形的面积为． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握基本作图、解直角三角形． 19. 已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0． （1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？ 【答案】（1）详见解析；（2）k＝或2． 【解析】 【分析】（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△＝（2k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论； （2）利用求根公式解方程得到x1＝2k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形的性质得到2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，然后分别解关于k的方程即可． 【详解】（1）∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0， ∴该方程总有实数根； （2） ∴x1＝2k﹣1，x2＝2， ∵a、b、c为等腰三角形的三边， ∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3， ∴k＝或2． 【点睛】本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键. 20. 如图所示，在矩形中，．点沿边从点开始向点以秒的速度移动，点沿边从点开始向点以秒的速度移动，如果同时出发，用（秒）表示移动的时间，那么： （1）点运动多少秒时，的面积为； （2）当为何值时，与相似？ 【答案】（1）当为1或5时，的面积等于 （2）当或时，与相似 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，相似三角形的判定和性质，动点问题．利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． （1）由题意可知，，再根据三角形面积公式列方程求解，即可得到答案； （2）由题意可知，，，分两种情况进行讨论，根据相似三角形的判定和性质分别求解，即可得到答案． 【小问1详解】 解：当运动时间为时，， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 答：当为1或5时，的面积等于； 【小问2详解】 解：， ， ， ①当时，， ， 解得：； ②当时，， ， 解得：， 当或时，与相似． 21. 某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示： 销售单价x（元/千克） 40 45 55 60 销售量y（千克） 80 70 50 40 （1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式； （2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，则每天的销售单价应为每千克多少元？ 【答案】（1） （2）每天的销售单价应为每千克元． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题关键． （1）设y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式为，利用待定系数法即可求解； （2）根据题意列一元二次方程，求解取其符合条件的值，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式为， 则，解得：， y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得：，， 销售单价不低于成本价，且不高于60元， 即每天的销售单价应为每千克元． 22. 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，垂美四边形的对角线，交于点．猜想：与有什么关系？并证明你的猜想． （3）解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结，，．已知，，求的长． 【答案】 （1）四边形是垂美四边形，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线，即， ∴四边形是垂美四边形； （2）猜想，证明如下： ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（1）连接，先根据线段垂直平分线的判定定理可证直线是线段的垂直平分线，再根据垂美四边形的定义即可得证； （2）先根据垂美四边形的定义可得，再利用勾股定理解答即可； （3）设分别交于点，交于点，连接，先证明，得到，再根据角的和差可证，即，从而可得四边形是垂美四边形，然后结合（2）的结论、利用勾股定理进行计算即可得． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图，设分别交于点，交于点，连接， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， ∴四边形是垂美四边形， 由（2）得：， ∵是的斜边，且，， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， 解得或（不符题意，舍去）， 故的长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定、勾股定理等知识点，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题关键． 23. 综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A． （1）【操作判断】 如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：； （3）【拓展延伸】 点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值． 【答案】（1） 如图，即为所求， 90 （2） 证明：过P作于C， 由（1）知：四边形是矩形， ∵点P在的平分线上，，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ； （3）或 【解析】 【分析】（1）依题意画出图形即可，证明四边形是矩形，即可求解； （2）过P作于C，证明矩形是正方形，得出，利用证明，得出，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可得证； （3）分M在线段，线段的延长线讨论，利用相似三角形的判定与性质求解即可； 【小问1详解】 解：如图，即为所求， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：90； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当M在线段上时，如图，延长、相交于点G， 由（2）知， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当M在的延长线上时，如图，过P作于C，并延长交于G 由（2）知：四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性质，相似三角形的判断与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形，合理分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $