精品解析：辽宁丹东市宽甸满族自治县第一初级中学2026-2027学年九年级上学期第一次质量监测数学试卷

2026-2027学年度上学期第一次学业质量监测 九年级数学试卷 （时间：110分钟满分：120分） 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，一元二次方程共有（ ） ① ② ③ ④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数是1的方程是一元二次方程，根据定义判断即可． 【详解】解：①符合定义，是一元二次方程； ②含有两个未知数，不符合定义，不是一元二次方程； ③未知数的最高次数是3，不符合定义，不是一元二次方程； ④符合定义，是一元二次方程； 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键． 2. 在四边形中，，若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知四边形是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形即可判断． 【详解】解：在四边形中， ， 四边形是矩形， 邻边相等的矩形是正方形， 可判断是正方形． 3. 某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. 48（1﹣x）2=36 B. 48（1+x）2=36 C. 36（1﹣x）2=48 D. 36（1+x）2=48 【答案】D 【解析】 【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设教育经费的年平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程． 【详解】∵某超市一月份的营业额为36万元，每月的平均增长率为x， ∴二月份的营业额为36（1+x），三月份的营业额为36（1+x）×（1+x）=36（1+x）2. ∴根据三月份的营业额为48万元，可列方程为36（1+x）2=48. 故选D. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律. 4. 根据表格，估计一元二次方程的一个解的范围（ ） 0 1 2 13 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】比较与10的大小，找到值跨越10的相邻区间即可． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴一元二次方程的一个解的范围是． 5. 下列命题中，正确的是（ ） A. 两个等腰三角形一定相似 B. 两个等腰梯形一定相似 C. 两个菱形一定相似 D. 两个正方形一定相似 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似图形的判定，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、两个顶角或底角相等的等腰三角形一定相似，故本选项不符合题意； B、两个等腰梯形的形状不唯一，则两个等腰梯形不一定相似，故本选项不符合题意； C、两个菱形的形状不唯一，则两个菱形不一定相似，故本选项不符合题意； D、两个正方形一定相似，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题主要考查相似图形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键． 6. 下列各组线段中，、、、成比例的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】B 【解析】 【分析】利用比例的基本性质，通过验证与是否相等判断四条线段是否成比例． 【详解】解：A、， ，， ， 该组线段不成比例； B、， ，， ， 该组线段成比例； C、， ，， ， 该组线段不成比例； D、， ，， ， 该组线段不成比例． 7. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程的二次项系数不能为0，且当时，有两个实数根，计算即可得到参数取值范围． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， ∴， 又∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 即：， ， ， ∴满足题意的的取值范围是：且， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程判别式，以及一元二次方程的定义，根据知识点解题是关键． 8. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知比例式用a、c分别表示b、d，代入所求分式化简求值． 【详解】解：∵， ∴，， 将其代入得 ， 故B选项符合题意． 9. 小美同学按如下步骤作四边形；（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（4）连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得 ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，在正方形中，是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于．连接，现在有如下四个结论：①；②；③∥；④; 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】①正确．证明Rt△AGD≌Rt△AGF,得到∠GAF＝∠GAD，结合∠EAB＝∠EAF可得结果． ②错误．可以证明DG＝GC＝FG，显然△GFC不是等边三角形，可得结论． ③正确．证明CF⊥DF，AG⊥DF即可． ④错误．证明FG：EG＝3：5，求出△ECG的面积即可． 【详解】解：如图，连接DF． ∵四边形ABC都是正方形， ∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝∠ECG＝90°， 由翻折可知：AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°，BE＝EF＝4，∠BAE＝∠EAF， ∵∠AFG＝∠ADG＝90°，AG＝AG，AD＝AF， ∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL）， ∴DG＝FG，∠GAF＝∠GAD，设GD＝GF＝x， ∴∠EAG＝∠EAF＋∠GAF＝（∠BAF＋∠DAF）＝45°，故①正确， 在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2＋CG2， ∴（4＋x）2＝82＋（12−x）2， ∴x＝6， ∵CD＝BC＝BE＋EC＝12， ∴DG＝CG＝6， ∴FG＝GC， 易知△GFC不是等边三角形，显然FG≠FC，故②错误， ∵GF＝GD＝GC， ∴∠DFC＝90°， ∴CF⊥DF， ∵AD＝AF，GD＝GF， ∴AG⊥DF， ∴CF∥AG，故③正确， ∵S△ECG＝×6×8＝24，FG：FE＝6：4＝3：2， ∴FG：EG＝3：5， ∴S△GFC＝×24＝，故④错误， 故选B． 【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题（5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知菱形的两条对角线长分别是5和6，则这个菱形的面积为__________． 【答案】15 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可． 本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键． 【详解】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，得这个菱形的面积为． 故答案为：15． 12. 关于的方程是一元二次方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，熟记一般形式为． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平行线分线段成比例证，进而得，，再证明，得，从而即可得解． 【详解】解：∵，过点作，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 14. 若，且，求的值为________． 【答案】24 【解析】 【分析】设，用参数表示，代入已知等式求出的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴． 15. 如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点过点分别作于点，作于点连接，在点运动过程中，的最小值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】证四边形是菱形，得，连接，由三角形面积关系求出，得当最短时，有最小值，则当时，最短，即可得出答案． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：，， ，四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形，， ， 连接，如图所示： ， ， 即， ， ， 当最短时，有最小值， 由垂线段最短可知：当时，最短， 当点与点重合时，有最小值，最小值， 故答案为：． 三、解答题（8小题，共75分） 16. 用适当的方法解方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） 或 （2） 或 （3） 或 （4） 或 ． 【解析】 【分析】（1）形如 ，用直接开平方法求解； （2）二次项系数为 1，用配方法求解； （3）移项后各项含公因式 ，用因式分解法求解； （4）移项整理为 ，用配方法求解． 【小问1详解】 解：直接开平方，得 ， 即 或 ， 解得 或 ． 【小问2详解】 解：移项，得 ， 配方，得 ， 即 ， 直接开平方，得 ， 解得 或 ． 【小问3详解】 解：移项，得 ， 因式分解，得 ， 即 ， ∴ 或 ， 解得 或 ． 【小问4详解】 解：移项、合并同类项，得 ， 移项，得 ， 配方，得 ， 即 ， 直接开平方，得 ， 解得 或 ． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根满足，求k的值． 【答案】（1）证明：这里，， ． ． 所以无论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）或 【解析】 【分析】（1）写出 ，，，计算判别式 ，代入化简得 ，从而证得方程总有两个不相等的实数根； （2）由根与系数的关系用 表示 与 ，利用 建立关于 的方程，求解并检验． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的两个实数根为 ，． 由根与系数的关系，，． ， ， 即 ． 展开，得 ， 即 ， ． 两边同除以 ，得 ． 因式分解，得 ， ，． 由（1）知方程总有两个不相等的实数根，对任意实数 均成立， 的值为 或 ． 18. 已知a，b，c是的三边长，且 （1）求的值； （2）若的周长为91，求各边的长． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】（1）设，表示出a，b，c，然后代入求解； （2）根据的周长求出，然后求解即可． 【小问1详解】 解：设， ∴，，， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意得，， ∴， ∴，，． 19. 如图，在中，点D在上，，， （1）求证：； （2）当时，求的大小． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质： （1）先证，再结合即可证明； （2）先证，再根据相似三角形对应角相等求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 20. 阅读材料题：我们知道，所以代数式的最小值为．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即来求一些多项式的最小值． 例如，求的最小值问题． 解：∵， 又∵， ∴， ∴的最小值为． 请应用上述思想方法，解决下列问题： （1）代数式有最大还是最小值呢？尝试求出这个最值； （2）应用：若与，试比较与的大小． 【答案】（1）有最小值，这个最值为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据配方法，对式子进行配方，求解即可； （2）用作差法求得的范围，然后判断即可． 【小问1详解】 解： 又∵， ∴， ∴的最小值为 【小问2详解】 解：∵， ∵， ∴， ∴ ∴ 【点睛】此题考查了配方法的应用，解题的关键是掌握完全平方公式进行配方求解． 21. 某科技公司研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，售价为40万元时，年销售量为600台；经过市场调研发现，这种设备每涨价1万元，年销量就会减少10台．根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元/台，如果该公司想获得10000万元的年利润，那么该设备的销售单价应是多少万元/台？ 【答案】50万元/台 【解析】 【分析】设该设备的销售单价为万元，则提高了万元，每台利润为万元，销量减少了台，然后利用每台利润乘以销量等于总利润，列方程求解． 【详解】解：设该设备的销售单价为每台x万元 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该设备的销售单价应是50万元/台． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，掌握营销问题的关系式是解题的关键，最后需要注意舍去不符合条件的解. 22. 如图，在平行四边形中，线段的垂直平分线分别交、、于O、E、F，连接，． （1）证明：四边形是菱形； （2）在（1）的条件下，如果，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：是线段的垂直平分线 ， 是等腰三角形 四边形是平行四边形 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定与性质． （1）先根据垂直平分线的性质得出，，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据平行四边形的性质、平行线的性质可得，从而可得，最后根据等腰三角形的性质可得，根据菱形的判定即可得证； （2）先根据直角三角形的性质可得，再根据菱形的性质可得，然后根据直角三角形的性质、勾股定理可得、的长，最后根据菱形的面积公式即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ，即 四边形是菱形， ， 在中， ， 即四边形的面积为． 23. 探究以下问题： （1）【问题情境】正方形是生活中常见的几何图形，如图1，在正方形中，分别在边、上，且，垂足为，判断：______（填“”或“”） （2）【问题探究】如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为，请你写出线段与线段的数量关系，并证明你的结论； （3）【问题拓展】如图3，将边长为的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕的长为，则线段的长为______． 【答案】（1） （2）． 证明：如图2，过点A作，交于点H，交于点N，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵于M， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）过点A作，交于点H，交于点N，先证明四边形是平行四边形得到，再证明得到，进而可得结论； （3）连接交于M，过点A作，交于点H，交于点N，由折叠性质得，同（2）方法可得，然后根据正方形的性质和勾股定理可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接交于M，过点A作，交于点H，交于点N， 由折叠性质得， 同（2）可得四边形是平行四边形，， ∴， ∵四边形是正方形，边长为， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期第一次学业质量监测 九年级数学试卷 （时间：110分钟满分：120分） 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，一元二次方程共有（ ） ① ② ③ ④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 在四边形中，，若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是（ ） A. B. C. D. 3. 某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. 48（1﹣x）2=36 B. 48（1+x）2=36 C. 36（1﹣x）2=48 D. 36（1+x）2=48 4. 根据表格，估计一元二次方程的一个解的范围（ ） 0 1 2 13 A. B. C. D. 5. 下列命题中，正确的是（ ） A. 两个等腰三角形一定相似 B. 两个等腰梯形一定相似 C. 两个菱形一定相似 D. 两个正方形一定相似 6. 下列各组线段中，、、、成比例的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 7. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 小美同学按如下步骤作四边形；（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（4）连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于．连接，现在有如下四个结论：①；②；③∥；④; 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知菱形的两条对角线长分别是5和6，则这个菱形的面积为__________． 12. 关于的方程是一元二次方程，则______． 13. 如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则______． 14. 若，且，求的值为________． 15. 如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点过点分别作于点，作于点连接，在点运动过程中，的最小值等于______． 三、解答题（8小题，共75分） 16. 用适当的方法解方程 （1） （2） （3） （4） 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根满足，求k的值． 18. 已知a，b，c是的三边长，且 （1）求的值； （2）若的周长为91，求各边的长． 19. 如图，在中，点D在上，，， （1）求证：； （2）当时，求的大小． 20. 阅读材料题：我们知道，所以代数式的最小值为．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即来求一些多项式的最小值． 例如，求的最小值问题． 解：∵， 又∵， ∴， ∴的最小值为． 请应用上述思想方法，解决下列问题： （1）代数式有最大还是最小值呢？尝试求出这个最值； （2）应用：若与，试比较与的大小． 21. 某科技公司研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，售价为40万元时，年销售量为600台；经过市场调研发现，这种设备每涨价1万元，年销量就会减少10台．根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元/台，如果该公司想获得10000万元的年利润，那么该设备的销售单价应是多少万元/台？ 22. 如图，在平行四边形中，线段的垂直平分线分别交、、于O、E、F，连接，． （1）证明：四边形是菱形； （2）在（1）的条件下，如果，求四边形的面积． 23. 探究以下问题： （1）【问题情境】正方形是生活中常见的几何图形，如图1，在正方形中，分别在边、上，且，垂足为，判断：______（填“”或“”） （2）【问题探究】如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为，请你写出线段与线段的数量关系，并证明你的结论； （3）【问题拓展】如图3，将边长为的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕的长为，则线段的长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $