精品解析：辽宁省丹东市宽甸县第一初级中学2025-2026学年九年级上学期第一次质量监测数学试卷

2025-2026学年度上学期 第一次学业质量监测九年级数学试卷 （时间：110分钟 满分：120分） 一．选择题(共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 现有下列说法：①对角线互相垂直的四边形是菱形．②矩形的对角线互相垂直且互相平分．③对角线相等的四边形是矩形．④对角线相等的菱形是正方形．⑤邻边相等的矩形是正方形．⑥三个角都是直角的四边形是矩形．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列四条线段是成比例线段的是（ ） A. ，， B. C. D. 4. 若方程是关于的一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 5. 一个不透明的盒子里装有a个除颜色外完全相同的球，其中有6个白球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色然后再放回盒子里，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则a的值约为（ ） A. 10 B. 12 C. 15 D. 18 6. 若则的值是（ ） A. 3 B. 6 C. 15 D. 18 7. 已知，，，则的长（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，以，为边作矩形．动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点A，C移动．当移动时间为4秒时，的值为（ ） A. 30 B. 9 C. 15 D. 10 9. 如图，在宽为、长为的长方形耕地上修建同样宽的三条道路(横向与纵向垂直)， 把耕地分成若干块作为小麦试验田，假设三条道路的面积为，则道路的宽为（ ） A. B. C. D. 10. 已知中，，D为边上的一点，且，以D为一个顶点作正方形，且，连接，将正方形绕点D旋转一周，在整个旋转过程中，当取的最大值时，的长度是（ ） A. B. C. D. 二． 填空题(共 5 小题，每题 3 分，共 15 分) 11. 若，则______． 12. 已知分别是一元二次方程的两个根，则的值为_____． 13. 如果关于的一元二次方程有两个不等实数根，那么的取值范围是_____． 14. 如图，用圆中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色就可以配成紫色，则可以配成紫色的概率是____________． 15. 如图，正方形中，，连接，则之间的数量关系为____________． 三．解答题（本题共8小题，共75分．应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 阅读材料，解答问题： 解方程： 解：设，则原方程可化为． 解得，． 当时，，∴；当时，，∴； ∴原方程有四个解：，，，． 以上方法叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料的解题思想与解题步骤，解下列方程：． 18. 随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为除现金之外的一种常见的支付方式．在一次购物中，甲、乙两人随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”（依次用A、B、C表示）三种支付方式中各选一种方式进行支付． （1）乙使用“微信”支付的概率为______； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好都选择“支付宝”支付的概率． 19. 为了保障人民群众的生命安全和身体健康，某感冒退烧药生产企业产能逐步提升，10月份产量为256万片，11月、12月两个月增长率相同，预计12月份产量可达到400万片．求该企业感冒退烧药产量的月增长率． 20. 某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，该商店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，当每件商品降价多少元时，该商品每天的销售利润为1200元？ 21. 如图，矩形中，点E 为边上任意一点，连结，点 F 为线段 的中点，过点F 作，与分别相交于点M、N，连结． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，当 时，求的长． 22. 若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称这个方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如：“快乐方程”的两个根均为整数，其“快乐数”．若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． （1）“快乐方程”的“快乐数”为________； （2）若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； （3）若关于x的一元二次方程与（m，n均为正整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，直接写出n的值． 23. 综合与实践﹣﹣探究图形中角之间的等量关系及相关问题． 【问题情境】 正方形中，点P是射线上的一个动点，过点C作于点E，点Q与点P关于点E对称，连接，设，． 【初步探究】 （1）如图1，为探究α与β的关系，勤思小组的同学画出了时的情形，射线与边交于点F．他们得出此时α与β的关系是．借助这一结论可得当点Q恰好落在线段的延长线上(如图2)时，求α，β的度数； 【深入探究】 （2）敏学小组的同学画出时的图形如图3，射线与边交于点G．请猜想此时α与β之间的等量关系，并证明结论； 【拓展延伸】 （3）请你借助图4进一步探究： ①当时，α与β之间的等量关系为 ； ②已知正方形边长为2，在点P运动过程中，当时，的长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期 第一次学业质量监测九年级数学试卷 （时间：110分钟 满分：120分） 一．选择题(共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．.是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意． 故选D． 2. 现有下列说法：①对角线互相垂直的四边形是菱形．②矩形的对角线互相垂直且互相平分．③对角线相等的四边形是矩形．④对角线相等的菱形是正方形．⑤邻边相等的矩形是正方形．⑥三个角都是直角的四边形是矩形．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形、矩形、正方形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握菱形、矩形、正方形的判定与性质是解题的关键． 根据菱形、矩形、正方形的判定与性质分别判断即可． 【详解】解：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原说法错误；②矩形的对角线不一定垂直但平分，故原说法错误；③对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误；④对角线相等的菱形是正方形，说法正确；⑤邻边相等的矩形是正方形，说法正确；⑥三个角都是直角的四边形是矩形，说法正确， 其中说法正确的有3个， 故选：C． 3. 下列四条线段是成比例线段的是（ ） A. ，， B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比例线段．根据比例线段的概念，利用“最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等”逐项判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴四条线段成比例，符合题意； B、∵， ∴四条线段不成比例，不符合题意； C、∵， ∴四条线段成比例，不符合题意； D、∵， ∴四条线段不成比例，不符合题意． 故选：A． 4. 若方程是关于的一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，绝对值方程等知识点，深刻理解一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义可得且，解该一元一次不等式和绝对值方程即可得出答案． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且， 解得：． 故选：B 5. 一个不透明的盒子里装有a个除颜色外完全相同的球，其中有6个白球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色然后再放回盒子里，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则a的值约为（ ） A. 10 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在0.4左右得到比例关系，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意可得， ， 解得，a=15． 经检验，a=15是原方程的解 故选：C． 【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系． 6. 若则的值是（ ） A. 3 B. 6 C. 15 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，关键是得到，． 根据，可得，，再代入约分即可求解． 【详解】解：， ，， ． 故选：A． 7. 已知，，，则的长（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，解题的关键是根据平行线分线段成比例定理定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， ∴， 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，以，为边作矩形．动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点A，C移动．当移动时间为4秒时，的值为（ ） A. 30 B. 9 C. 15 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得出，，勾股定理求得，，即可求解． 本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，求得的坐标是解题的关键． 【详解】解：连接、， ∵点A的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形． ∴， ∴，， 依题意，，， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9. 如图，在宽为、长为的长方形耕地上修建同样宽的三条道路(横向与纵向垂直)， 把耕地分成若干块作为小麦试验田，假设三条道路的面积为，则道路的宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题关键是找准等量关系列出方程． 设道路的宽为，假设三条道路的面积为，可得出关于x的一元二次方程求解即可． 【详解】解：设道路的宽为， 则， 解得：，（舍去）， ∴道路的宽为， 故选：A． 10. 已知中，，D为边上的一点，且，以D为一个顶点作正方形，且，连接，将正方形绕点D旋转一周，在整个旋转过程中，当取的最大值时，的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，圆内一点与圆上一点距离的最值问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识的综合运用，解决此题的关键是明确当点A、D、E在同一条直线上时，取得最大值． 点E的运动轨迹为以点D为圆心，长为半径的圆，则当点A、D、E在同一条直线上时，取得最大值，画出图形，过点A作于点M，求出的长度，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理，求出的长，进而可得的长． 【详解】解：由题意知，点E的运动轨迹为以点D为圆心，长为半径的圆， 当点A、D、E在同一条直线上时，取得最大值． 如图，过点A作于点M， 中，， ， 又， ， . ， ， ， ， ， ， 在中， ， 故选：C． 二． 填空题(共 5 小题，每题 3 分，共 15 分) 11. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴， 故答案为：． 12. 已知分别是一元二次方程的两个根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知若是一元二次方程的两个实数根为，，则，是解本题的关键．直接根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， 则， 故答案为：． 13. 如果关于的一元二次方程有两个不等实数根，那么的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是能正确计算根的判别式，并注意本题易忽略二次项系数不为的情况． 因为一元二次方程有两个不等实数根，所以且，得关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根， ∴且， 即， ∴且． 故答案为：且． 14. 如图，用圆中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色就可以配成紫色，则可以配成紫色的概率是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用列表法与树状图法求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 先画树状图得出所有等可能的结果数以及可配成紫色的结果数，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：由图可知，第二个转盘中蓝色部分面积是红色部分面积的2倍． 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中可配成紫色的结果有3种． ∴可配成紫色的概率是． 故答案为：． 15. 如图，正方形中，，连接，则之间的数量关系为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用等知识点，依据旋转的性质构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 将逆时针旋转得．在中依据勾股定理可证明，接下来证明得到，再由，然后代入即可解答． 【详解】解：如图：将逆时针旋转得， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 三．解答题（本题共8小题，共75分．应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）用公式法求解比较简便； （2）利用因式分解法求解比较简便 【小问1详解】 解：， 这里，，， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 ， ， ， ∴，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的公式法、因式分解法是解题的关键． 17. 阅读材料，解答问题： 解方程： 解：设，则原方程可化为． 解得，． 当时，，∴；当时，，∴； ∴原方程有四个解：，，，． 以上方法叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料的解题思想与解题步骤，解下列方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，设，则原方程可化为，然后利用因式分解法解该方程，进而求得的值；然后再利用公式法求得的值，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 【详解】解：设， 则原方程可化为， 解得， 或， 解得或． 18. 随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为除现金之外的一种常见的支付方式．在一次购物中，甲、乙两人随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”（依次用A、B、C表示）三种支付方式中各选一种方式进行支付． （1）乙使用“微信”支付的概率为______； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好都选择“支付宝”支付的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查列表法与树状图法，概率公式，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得： 共有3种支付方式，其中“微信”支付有1种， 乙使用“微信”支付的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：将“微信”记为，“支付宝”记为，“银行卡”记为， 列表如下： 甲 乙 共有9种等可能出现的结果，其中甲、乙两人恰好都选择“支付宝”支付的情况有1种， 甲、乙两人恰好都选择“支付宝”支付的概率． 19. 为了保障人民群众的生命安全和身体健康，某感冒退烧药生产企业产能逐步提升，10月份产量为256万片，11月、12月两个月增长率相同，预计12月份产量可达到400万片．求该企业感冒退烧药产量的月增长率． 【答案】设该企业感冒退烧药产量的月增长率为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设该企业感冒退烧药产量的月增长率为，根据10月份产量为256万片，11月、12月两个月增长率相同，预计12月份产量可达到400万片，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设该企业感冒退烧药产量的月增长率为，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：设该企业感冒退烧药产量的月增长率为． 20. 某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，该商店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，当每件商品降价多少元时，该商品每天的销售利润为1200元？ 【答案】每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1200元． 【解析】 【分析】设每件商品降价x元，根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，每件盈利不少于25元”列出关于x的一元二次方程，解之，根据实际情况，找出盈利不少于25元的答案即可． 【详解】解：设每件商品降价元，根据题意，得 解这个方程得， 由，得 的值 答：每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1200元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． 21. 如图，矩形中，点E 为边上任意一点，连结，点 F 为线段 的中点，过点F 作，与分别相交于点M、N，连结． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，当 时，求的长． 【答案】（1） 证明：矩形中，， ， ∵点为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，菱形的判定与性质，熟记矩形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据已知证明，得，结合，点为线段的中点，即可证得结论； （2），则，设，则，利用勾股定理求出即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， ． 22. 若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称这个方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如：“快乐方程”的两个根均为整数，其“快乐数”．若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． （1）“快乐方程”的“快乐数”为________； （2）若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； （3）若关于x的一元二次方程与（m，n均为正整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，直接写出n的值． 【答案】（1） （2）m的值是0，该方程的“快乐数”是 （3）n的值为3 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，熟练掌握题目中“快乐方程”，“快乐数”的定义是解题的关键． （1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，此为完全平方数，根据，得到，即可求出的值为16或25，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）关于x的一元二次方程是“快乐方程”，即可求出m的值，求出方程的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值． 【小问1详解】 的“快乐数”为， 故答案为： 【小问2详解】 ∵一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”， ∴， ∵， ∴， ∵为平方数， ∴，或， ∴（舍去），或， ∴原方程为， ∴“快乐数”为； 【小问3详解】 ∵x的一元二次方程（m为正整数）是“快乐方程”， ∴设（a整数）， ∴， ∴， ∵两因式同奇同偶， ∴，或，或，或， 解得，或(舍去)， ∴， ∴ ∵x的一元二次方程（n为正整数）是“快乐方程”， ∴， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得，，（舍去）． 故n的值是3． 23. 综合与实践﹣﹣探究图形中角之间的等量关系及相关问题． 【问题情境】 正方形中，点P是射线上的一个动点，过点C作于点E，点Q与点P关于点E对称，连接，设，． 【初步探究】 （1）如图1，为探究α与β的关系，勤思小组的同学画出了时的情形，射线与边交于点F．他们得出此时α与β的关系是．借助这一结论可得当点Q恰好落在线段的延长线上(如图2)时，求α，β的度数； 【深入探究】 （2）敏学小组的同学画出时的图形如图3，射线与边交于点G．请猜想此时α与β之间的等量关系，并证明结论； 【拓展延伸】 （3）请你借助图4进一步探究： ①当时，α与β之间的等量关系为 ； ②已知正方形边长为2，在点P运动过程中，当时，的长为 ． 【答案】（1），； （2）α与β的关系是；证明如下： 连接，如图3所示： ∵点Q与点P关于点E对称， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：； （3）①；② 【解析】 【分析】（1）由平行线得出，证出，再根据，即可得出结果； （2）连接，由对称的性质和等腰三角形的性质得出，证明，得出，，推导出，得出，即可得出结论； （3）①，设交于点H，先推出，证明，得出，证明，得出，即可得出结论； ②分三种情况：当时，，不合题意；当时，，得出，作于M，证出，，设，则，，得出方程，解得：，得出，在中，求出；当时，，得出，不合题意． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，点Q恰好落在线段的延长线上， ∴即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，； （2）略 （3）①当时，α与β之间的等量关系为；理由如下： 连接，设交于点H，如图4所示： ∵点Q与点P关于点E对称， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：； 故答案为：； ②当时，，不合题意； 当时，， ∵， ∴， 作于M，如图5所示： ∵，， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 当时，， ∵， ∴，不合题意； 综上所述，在点P运动过程中，当时，的长为； 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、对称的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $