第五章一元一次方程章末专题（一）概念、性质与解法综合2026-2027学年七年级数学人教版上册

七年级数学（人教版）上册第五章一元一次方程章末专题 （一）概念、性质与解法综合 一元一次方程是只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 、等号两边都是整式的方程．判断一个式子是否为一元一次方程，要同时满足“一个未知数”“次数为 ”“整式方程”三个条件． 等式的性质是解方程的依据：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 的数，结果仍相等．解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 ． 本专题包括六个子专题，依次为一元一次方程的定义与识别、方程的解与参数求值、等式的性质与变形判断、解一元一次方程、看错问题与错解分析、含参整数解与综合探究． 专题1　一元一次方程的定义与识别 1．【教材改编·人教七上第五章】判断下列各式是不是一元一次方程，并说明理由． ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ． （1）逐一判断上述各式是否为一元一次方程； （2）若关于 的方程 是一元一次方程，求 应满足的条件； （3）若关于 的方程 是一元一次方程，求 的值． 2．【2025南京期末·定义与解方程】已知关于 的方程 是一元一次方程． （1）求 的值； （2）解这个方程； （3）若 是该方程的解，求 的值． 3．【2025苏州期中·方程的解】下列方程中，解为 的是（　　）． A．　　B．　　C．　　D． （1）逐一检验各选项中的方程的解是否为 ； （2）求方程 的解； （3）若关于 的方程 的解为 ，求 的值． 4．【2025武汉期中·含参定义】已知关于 的方程 是一元一次方程． （1）求 应满足的条件； （2）若该方程的解为 ，求 的值； （3）若该方程的解为负整数，且 为整数，求 的所有值． 专题2　方程的解与参数求值 5．【教材改编·人教七上第五章】已知 是关于 的方程 的解． （1）求 的值； （2）求代数式 的值； （3）若 是关于 的方程 的解，求 的值． 6．【2025成都期末·解与求值】已知关于 的方程 的解为 ． （1）求 的值； （2）求 的值； （3）若 满足 ，求 的值． 7．【2025杭州期中·含参求解】已知关于 的方程 ． （1）用含 的式子表示这个方程的解； （2）若这个方程的解为 ，求 的值； （3）若这个方程的解为不超过 的正整数，且 为整数，求 的所有值． 8．【原创·含参方程】已知关于 的方程 ． （1）整理方程，用含 的式子表示这个方程的解； （2）若这个方程的解为 ，求 的值； （3）若这个方程与方程 的解相同，求 的值． 专题3　等式的性质与变形判断 9．【教材改编·人教七上第五章】根据等式的性质，判断下列变形是否正确，并说明理由． （1）由 ，得 ； （2）由 ，得 ； （3）由 ，得 ； （4）由 ，得 ． 10．【2025长沙期末·变形判断】下列等式变形中，正确的是（　　）． A．由 ，得 B．由 ，得 C．由 ，得 D．由 ，得 （1）判断各选项的正误，并说明理由； （2）由 得到 ，依据的是等式的哪一条性质？ （3）由 得到 ，依据的是等式的哪一条性质？ 11．【教材改编·人教七上第五章】已知等式 ． （1）利用等式的性质，在等式两边同时减去 ，可以得到什么？ （2）在（1）所得等式的基础上，在两边同时加上 ，可以得到什么？ （3）求 的值． 12．【2025福州期末·性质应用】利用等式的性质解方程 ． （1）第一步应作怎样的变形？依据是什么？ （2）第二步应作怎样的变形？依据是什么？ （3）写出方程的解，并检验． 专题4　解一元一次方程 13．【教材改编·人教七上第五章】解下列方程： （1）； （2）； （3） ． 14．【2025济南期中·解方程】解下列方程： （1）； （2）； （4） ． 15．【2025合肥期末·解方程】解下列方程： （1）； （2）； （3） ． 16．【2025青岛期中·解方程】解下列方程： （1）； （2）； （4） ． 专题5　看错问题与错解分析 17．【2025长沙期末·看错系数】小明在解关于 的方程 时，误将“”看成“”，解得 ． （1）求 的值； （2）求原方程的正确解； （3）判断小明解得的解与正确解之和是否为零，并说明理由． 18．【2025郑州期中·看错分子】小华在解关于 的方程 时，把分子中的“”看成了“”，解得 ． （1）求 的值； （2）求原方程的正确解； （3）检验正确解是否满足原方程． 19．【教材改编·人教七上第五章·污染问题】某同学在解方程 时，发现方程中 的系数被墨水污染了，看不清．已知该方程的解为 ． （1）设被污染的系数为 ，求 的值； （2）若被污染的是一常数项，且方程为 ，在解仍为 的条件下，求 的值； （3）在（1）的条件下，求方程 的解． 20．【2025武汉期末·错解分析】小刚在解方程 时，解答过程如下： 第一步：去分母，得 ； 第二步：去括号，得 ； 第三步：移项，得 ； 第四步：合并同类项，得 ； 第五步：系数化为 ，得 ． （1）指出上述解答从第几步开始出错，并说明原因； （2）写出正确的解答过程； （3）检验所求得的解是否满足原方程． 专题6　含参整数解与综合探究 21．【教材改编·人教七上第五章·含参求解】已知关于 的方程 ． （1）用含 的式子表示这个方程的解； （2）若这个方程的解为不超过 的正整数，且 为整数，求 的所有值； （3）若这个方程的解为 ，求 的值． 22．【2025福州期末·含参整数解】已知关于 的方程 ． （1）用含 的式子表示这个方程的解； （2）若这个方程的解为大于 的负整数，且 为整数，求 的所有值； （3）若这个方程的解为 ，求 的值． 23．【含参整数解与无解】已知关于 的方程 ． （1）若这个方程的解为 ，求 的值； （2）若这个方程的解为正整数，且 为整数，求 的所有值； （3）判断当 时这个方程的解的情况． 24．【2025青岛期中·含参综合】已知关于 的方程 ． （1）整理方程，用含 的式子表示这个方程的解； （2）若这个方程有唯一解，且解为 ，求 的值； （3）判断当 时这个方程的解的情况． 参考答案 1．解：（1）①是一元一次方程：只含一个未知数 ，未知数的次数是 ，且等号两边都是整式； ②不是：含有 、 两个未知数； ③不是：未知数 的最高次数是 ； ④不是：未知数出现在分母上，等号左边不是整式； ⑤不是：式中不含未知数，它是一个等式而不是方程； ⑥是一元一次方程：化简后为 ，即 ，符合一元一次方程的定义． （2） 方程 是一元一次方程， 一次项系数不为 ，即 ， 应满足的条件是 ． （3） 该方程是一元一次方程， 二次项系数为 且一次项系数不为 ． 由 得 或 ； 由 得 ． ． 2．解：（1） 该方程是一元一次方程， 未知数 的次数为 ，且一次项系数不为 ， ，解得 或 ； 又 ，即 ，． （2）把 代入原方程得 ，即 ． 移项得 ，系数化为 得 ． （3） 是该方程的解，． 3．解：（1）把 分别代入各选项的方程： A 中左边 ，右边 ，左边 右边，故 不是它的解； B 中左边 ，右边 ，左边 右边，故 是它的解； C 中左边 ，右边 ，左边 右边，故 不是它的解； D 中左边 ，右边 ，左边 右边，故 不是它的解． 应选 B． （2）解方程 ： 移项得 ，即 ，系数化为 得 ． （3） 是方程 的解， ，即 ，解得 ． 4．解：（1） 该方程是一元一次方程，， 应满足的条件是 ． （2）把 代入方程得 ， ，即 ，解得 ． （3）由 得 ． 为负整数， 是 的正因数， 可取 、、、． 当 时，，此时 ，符合题意； 当 时，，不是整数，舍去； 当 时，，此时 ，符合题意； 当 时，，不是整数，舍去． 的所有值为 、． 5．解：（1）把 代入方程得 ， ，解得 ． （2）把 代入得 ． （3） 是方程 的解，且 ， ，即 ，解得 ． 6．解：（1）把 代入方程得 ， ，即 ，解得 ． （2）． （3）把 代入 得 ， ，解得 ． 7．解：（1）移项得 ， 方程的解为 ． （2）把 代入 得 ， ． （3） 方程的解为不超过 的正整数， 可取 、、． 当 时，； 当 时，； 当 时，． 的所有值为 、、． 8．解：（1）移项得 ， 合并同类项得 ． 当 时，方程两边同时除以 ，得 ． （2）把 代入 得 ， ，解得 ． （3）解方程 得 ，． 两方程的解相同， 原方程的解也是 ． 由（2）知，当 时 ． 9．解：（1）正确．等式两边同时加上 ，所得结果仍是等式（等式性质 ）． （2）不正确．当 时， 与 都没有意义； 只有当 时，等式两边同时除以 才成立（等式性质 ）． （3）正确．等式两边同时除以 ，所得结果仍是等式（等式性质 ）． （4）正确．等式两边同时乘 ，所得结果仍是等式（等式性质 ）． 10．解：（1）A 不正确：当 时， 与 都没有意义，变形不能成立； B 不正确：当 时，由 不能得到 ； C 正确：等式两边同时减去 ，所得结果仍是等式； D 不正确：等式两边同时乘 应得 ，而不是 ． 应选 C． （2）依据的是等式性质 ：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等． （3）依据的是等式性质 ：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 的数，结果仍相等． 11．解：（1）等式两边同时减去 ，得 ，即 ． （2）在 两边同时加上 ，得 ，即 ． （3）． 12．解：（1）方程两边同时减去 ，得 ，即 ． 依据是等式性质 ：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等． （2）方程两边同时除以 ，得 ，即 ． 依据是等式性质 ：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 的数，结果仍相等． （3）方程的解为 ． 检验：把 代入原方程左边，得 ，右边 ，左边 右边， 是原方程的解． 13．解：（1）移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化为 得 ． （2）去括号得 ， 移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化为 得 ． （3）去分母，方程两边同乘 ，得 ， 去括号得 ， 合并同类项得 ， 移项得 ． 14．解：（1）去分母，方程两边同乘 ，得 ， 去括号得 ， 合并同类项得 ， 移项得 ． （2）方程两边同乘 ，得 ， 移项得 ， 合并同类项得 ． （3）去分母，方程两边同乘 ，得 ， 去括号得 ， 移项得 ， 合并同类项得 ． 15．解：（1）去括号得 ， 合并同类项得 ， 移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化为 得 ． （2）去分母，方程两边同乘 ，得 ， 去括号得 ， 合并同类项得 ， 移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化为 得 ． （3）化简各分数：，， 原方程化为 ， 移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化为 得 ． 16．解：（1）去分母，方程两边同乘 ，得 ， 去括号得 ， 合并同类项得 ， 移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化为 得 ． （2）去括号得 ， 合并同类项得 ， 移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化为 得 ． （3）去分母，方程两边同乘 ，得 ， 去括号得 ， 合并同类项得 ， 移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化为 得 ． 17．解：（1）依题意，小明实际解的方程是 ，且它的解为 ． 把 代入得 ， ，解得 ． （2）原方程为 ， 移项得 ， 合并同类项得 ． 原方程的正确解为 ． （3）不为零． ， 小明解得的解与正确解之和不为零． 18．解：（1）依题意，小华实际解的方程是 ，且它的解为 ． 把 代入得 ， ，即 ， ，，解得 ． （2）原方程为 ． 去分母，方程两边同乘 ，得 ， 去括号得 ， 合并同类项得 ， 移项得 ． 原方程的正确解为 ． （3）检验：把 代入原方程左边，得 ， 右边 ，左边 右边， 是原方程的解． 19．解：（1）依题意，方程为 ，且它的解为 ． 把 代入得 ， ，，解得 ． （2）依题意，方程为 ，且它的解为 ． 把 代入得 ， ，解得 ． （3）由（1）知 ，此时方程为 ， 移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化为 得 ． 20．解：（1）从第一步开始出错． 原因：去分母时，方程左边的“”也要乘各分母的最小公倍数 ，而解答中漏乘了． （2）正确的解答过程如下： 去分母，方程两边同乘 ，得 ； 去括号，得 ； 合并同类项，得 ； 移项，得 ； 合并同类项，得 ； 系数化为 ，得 ． （3）检验：把 代入原方程左边，得 ； 右边 ，左边 右边， 是原方程的解． 21．解：（1）移项得 ， 方程的解为 ． （2） 方程的解为不超过 的正整数， 可取 、、． 当 时，； 当 时，； 当 时，． 的所有值为 、、． （3）把 代入 得 ， ． 22．解：（1）移项得 ， ，即方程的解为 ． （2） 方程的解为大于 的负整数， 可取 、、、． 当 时，； 当 时，； 当 时，； 当 时，． 的所有值为 、、、． （3）把 代入 得 ， ． 23．解：（1）把 代入方程得 ， ，，解得 ． （2）当 时，． 方程的解为正整数， 是 的正因数， 可取 、、、． 当 时，，此时 ，符合题意； 当 时，，不是整数，舍去； 当 时，，此时 ，符合题意； 当 时，，不是整数，舍去． 的所有值为 、． （3）当 时，，原方程化为 ． 无论 取何值，左边都等于 ，而右边等于 ，等式不成立， 此时方程无解． 24．解：（1）移项得 ， 合并同类项得 ． 当 时，方程两边同时除以 ，得 ． （2） 方程的解为 ， ，，解得 ． （3）当 时，，原方程化为 ． 无论 取何值，左边都等于 ，而右边等于 ，等式不成立， 当 时方程无解． 学科网（北京）股份有限公司 $