期中模拟测试2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年期中数学模拟练习卷 （人教版） 考试范围：九年级上册第25-28章全部内容；考试时间：120分钟 满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．抛物线，，的共同性质是（     ） A．开口向上 B．对称轴是y轴 C．都有最高点 D．函数值y随x的增大而增大 4．某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为4米（如图2），栏杆从水平位置绕点O顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端点升高了（     ）米 A．2 B．4 C．6 D．8 5．二次函数与一次函数（且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 6．如果关于x的方程有两个实数根，那么k的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D． 7．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（     ） A． B． C． D． 8．如图，将三角形绕点沿顺时针方向旋转后得到三角形，若点恰好落在线段上，，交于点，则下面结论错误的是（     ） A． B． C． D． 9．根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解的范围是（     ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 10．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①；②（m为任意实数）；③；④若是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．抛物线的顶点坐标是______． 12．我校组织“求实杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了21场，设共有个班参加比赛，根据题意，列出方程为__________． 13．已知，，在函数的图象上，则的大小关系______． 14．如图，点A坐标为，点B坐标为，点M是正方形的中心，且点D，M均在反比例函数图象的同一分支上，则a的值为______． 15．如图，正方形边长为，点是对角线上一点，，连接，将绕点顺时针旋转，得到，的延长线与的延长线交于点，则长为_________． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（6分）小颖在解方程时出现了错误，解答过程如下所示： 解方程： 解：，…① ，…② ，…③ ，…④ ，…⑤ ，…⑥ (1)小颖的解答过程从第______步开始出错，其错误的原因是______； (2)请你写出此题正确的解题过程． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 19．（9分）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转得到，点，，的对应点分别为，，． (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标； (3)，是内不重合的两点，旋转后的对应点为，，判断线段与线段的关系． 20．（10分）如图所示，已知在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当运动到时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：__________，_________．（用含的代数式表示）； (2)如果、分别从B、A两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． 21．（10分）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 在物理活动课上，我们“领航”小组的同学，参加了一次“探究电功率与电阻之间的函数关系”的活动． 第一步，实验测量．根据物理知识，改变电阻的大小，通过测量电路中的电流，计算电功率． 第二步，整理数据． 组号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ … … 3 6 9 12 15 … … 3 1.5 1 0.75 0.7 … 第三步，描点连线．以的数值为横坐标，对应的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记． 任务： (1)表格中错误的数据是第______组，与的函数表达式为______； (2)直接写出大于时的取值范围为______． 22．（12分）综合与实践． 项目名称 为广场三层叠泉喷泉景观设计抛物线形水流轨迹 问题情境 如图1，某广场计划修建一个三层叠泉喷泉景观，喷泉的水流轨迹可以用抛物线来刻画．喷头位于最高点，距地面，已知从上往下数，第一层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为，第二层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为． 收集信息 ①调整喷头流速时，水流最高点距离立柱的水平距离始终为；②喷泉底部围挡高度为． 抽象模型 图2为喷泉单侧示意图，以地面所在直线为轴，喷泉中心立柱为轴，建立平面直角坐标系．点为喷头，为第一层水池半径，为第二层水池半径． (1)若喷头喷出的水流最高点离地面的高度为，求抛物线的函数解析式． (2)为了形成“叠泉”效果，要求喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上，通过适当调整喷头的流速，使水流最高点距离立柱的水平距离始终为，求该抛物线二次项系数的取值范围． (3)在任务二的基础上，现计划在第二层水面边缘加装若干同样效果的喷头装置，第二层加装的喷头和喷头喷出的水流形状始终相同，直接写出喷泉底部圆形水池的半径的最小值． 23．（12分）综合与探究 (1)【问题发现】在数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，是等腰直角三角形，，，点在上，连接，探究，，之间的数量关系．王林思考片刻后，利用手拉手模型解答问题如下： 如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，易证，，，，在中，，由，，可得，则，，之间的数量关系为______； (2)如图3，当点在线段的延长线上时，请问(1)中的结论还成立吗？请作出判断，并写出你的推导过程． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B A C C B B D B 1．C 【分析】反比例函数上点满足，依次计算各选项横纵坐标乘积，找出乘积等于的点. 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴图象上的点满足， 选项、、的横纵坐标乘积均为，不符合题意. 选项的横纵坐标乘积为，符合题意. 2．D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A．五角星是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B．太极图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C．奥运五环是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意． 3．B 【分析】根据二次函数的图像性质，分别分析开口方向、对称轴、顶点、增减性，筛选出三个抛物线都具备的性质． 【详解】解：与的二次项系数为正，开口向上，有最低点；的二次项系数为负，开口向下，有最高点； 三个抛物线解析式均不含一次项，即，对称轴均为轴，增减性要分对称轴左右两侧讨论． 三个抛物线开口方向不都向上， 选项A不符合题意． 三个抛物线对称轴均为轴， 选项B符合题意． 不是所有抛物线都有最高点， 选项C不符合题意． 不存在随增大而一直增大的情况， 选项D不符合题意． 4．A 【分析】过点作于点D，根据旋转的性质得到米，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点D， 由旋转的性质可得米， 在中，， ∴米， ∴栏杆端点升高了2米． 5．C 【分析】根据一次函数 的图象确定，的符号，再结合二次函数 的开口方向进行验证． 【详解】解： A、由一次函数图象从左往右下降可知，由二次函数图象开口向上可知，矛盾，故错误，该选项不符合题意； B、由一次函数图象从左往右上升可知，由二次函数图象开口向下可知，矛盾，故错误，该选项不符合题意； C、由一次函数图象从左往右下降可知，由二次函数图象开口向下可知，两者一致；由一次函数图象与y轴交于负半轴可知，因此，故正确，该选项符合题意； D、由一次函数图象从左往右上升可知，由二次函数图象开口向上可知 ，两者一致；由一次函数图象与y轴交于负半轴可知，因此，故错误，该选项不符合题意． 6．C 【分析】方程有两个实数根，说明这是一元二次方程，首先二次项系数不能为0，再利用一元二次方程根的判别式列不等式，联立求出的取值范围． 【详解】解：方程有两个实数根， ，． ． ， ， 解得． ∴得且． 7．B 【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”进行求解即可． 【详解】解：∵将的图象向左平移2个单位， ∴得， ∵再向下平移2个单位， ∴得． 8．B 【分析】根据旋转的性质可得，旋转角，再根据全等三角形的性质可得，，由此即可得． 【详解】解：∵将三角形绕点沿顺时针方向旋转后得到三角形， ∴，，故选项A正确，不符合题意； ∴，，故选项C和D均正确，均不符合题意； 由已知条件无法得出，故选项B错误，该选项符合题意． 9．D 【分析】根据表格，找出的值由小于0.06变到大于0.06对应的x的范围即可． 【详解】解：∵当时， ，当 时， ， ∴方程 的一个解的范围是 ． 10．B 【分析】先得出，，再得出，由此可得①错误；得出二次函数的最大值为，则对于任意实数，都有，由此可得②正确；根据函数图象可得当时，，由此可得③正确；根据二次函数的对称性即可得④错误． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，则结论①错误； 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， ∴对于任意实数，都有，即，则结论②正确； 由二次函数的图象可知，当时，， ∴， 又∵， ∴，则结论③正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴点、关于这个二次函数的对称轴对称， ∴， ∴，则结论④错误； 综上，正确的结论有②③． 11． 【分析】根据顶点式的顶点坐标为解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 12． 【分析】根据单循环赛制的规则，推导总比赛场数的表达式，结合已知总场数列出方程． 【详解】解：∵共有个班参加比赛，单循环赛制中每个班需要和除自身外的个班各赛一场， 又∵两个班之间只赛一场，上述计算中每场比赛被重复计算了一次， ∴总比赛场数为， ∵已知总比赛场数为， ∴列方程得． 13． 【详解】解：当； 当； 当， ∴． 14．6 【分析】由题意可得，；如图：过D作y轴，则 ，再结合正方形的性质可证明可得，进而得到，再根据中点坐标求得点M的坐标为，然后根据均在反比例函数图象的同一分支上得到求解即可． 【详解】解：∵点A坐标为，点， ∴，， 如图：过D作y轴，则 ，， ∵正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是正方形的中心， ∴点M的坐标为， ∵点均在反比例函数图象的同一分支上， ∴故横、纵坐标的乘积相等， ∴， 解得：，， ∵在轴正半轴，，舍去， ． 15． 【分析】根据正方形的性质得到，由得到是等腰三角形，从而推出和的度数，根据旋转，得到，从而推出．延长至点，使得，过点作，则，，从而得到为等腰直角三角形．设为，则可以表示出，，利用面积的两种表达式作等量关系求解，即可得到的长． 【详解】解：正方形边长为， ，，， 点在对角线上且， 是等腰三角形， ． 绕点顺时针旋转得到， ，， ， ． 如图，延长至点，使得，过点作．则，为等腰直角三角形． 在中，，． 设，则， 平分， 由角平分线的性质，， ， ， 解得，即． 16．(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，． 17．(1)②；等式右边没有除以2； (2) 或 ∴，． 【分析】（1）根据等式的性质判断即可； （2）直接利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：小颖的解答过程从第②步开始出错，其错误的原因是等式右边没有除以2； （2）略 18．(1)， (2)或 【分析】（1）根据点在直线上，得到，继而根据待定系数法得到反比例函数的解析式，联立反比例函数和直线的解析式，得到点的坐标； （2）根据直线的解析式得到，进而得到，，设，进而得到表示面积的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：把代入，得，解得， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 联立，得，解得，， ∵点位于第一象限， ∴，， ∴； （2）解：∵直线的解析式为， ∴当时，即，解得， ∴，， ∵， ∴，， ∵反比例函数的解析式为， ∴设，则， ∴， ∴， ∴，或， ∴点的坐标为或． 19．(1) (2) (3)， 【分析】（1）作点，，关于原点的对称点，顺次连接即可； （2）关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，由此可直接写出点的坐标； （3）根据成中心对称图形的特点求解． 【详解】（1）略 （2）解：已知点的坐标为，点与点关于原点对称， 则点的坐标为． （3）解：由题意得，线段与线段关于原点对称， 故，． 20．(1)， (2)1秒后，的面积等于； (3)的面积不能等于，理由如下， 假设的面积能等于，则有， 整理得：， ， 所以该方程无实数根， 答：的面积不能等于. 【分析】（1）根据题意列代数式； （2），解一元二次方程，同时确定的取值范围； （3）用判别式判断方程有无实数根． 【详解】（1）解：点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，运动时间为秒， ，， ； （2）由题意可得：， ， 解得：，， 点P从点B到点C需要时间为， 即， 所以不合题意，舍去， 答：1秒后，的面积等于； （3）略 21.(1)⑥， (2) 【分析】本题考查了反比例函数图象与性质，解题关键是根据表格数据确定两个变量成反比例，求出函数解析式． （1）根据P与R是反比例函数求解即可； （2）根据反比例函数图象，直接写出答案即可． 【详解】（1）解：观察表中的数据发现P与R的乘积固定不变，等于9,故P与R是反比例函数， 其中，⑥数据错误； 设P与R的函数解析式为， 把代入得，， 解得，， P与R的函数解析式为， 故答案为：⑥，． （2）解：当，结合反比例函数图象，P大于6W时R的取值范围是． 故答案为：. 22．(1) (2) (3)． 【分析】（1）根据题意得到抛物线顶点坐标，进而设抛物线顶点式为，求解即可； （2）根据已知条件设抛物线顶点式为，得到，根据对称性可知无论a取何负值，水流均能经过第一层水池，进而根据喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上得到当时，，将代入求出a的值，根据“的绝对值越大开口越小”可知a的范围； （3）根据题意求出（2）中抛物线解析式，根据二次函数的平移规律求出第二层喷头的抛物线解析式，将代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意，水流最高点距立柱（y轴）水平距离为，高度为， 因此抛物线顶点坐标为． 设抛物线顶点式为， 又喷头A在y轴上、距地面，即抛物线过点， 将代入解析式：， 解得， 因此抛物线解析式为； （2）解：已知抛物线顶点横坐标恒为1，且过喷头， 设抛物线顶点式为，代入得， 即， 因此抛物线解析式可整理为：， ∵顶点横坐标恒为1，且过喷头， ∴水流过，在C点上方，即无论a取何负值，水流均能经过第一层水池； ∵喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上， ∴当时，， 当时，，解得， ∴； （3）解：底部围挡高度为，要求水流刚好落到围挡高度处时，水池半径最小，即求水流落点最远处距y轴的距离． 第二层边缘加装的喷头与A喷头水流形状完全相同，当（2）中取最大值时，抛物线开口最大，水流落点最远． 此时（2）中抛物线解析式为， ∵，， ∴将A向右移动3个单位，再向下移动个单位得到E， ∵第二层和喷头喷出的水流形状始终相同， ∴第二层喷头的抛物线解析式为， 将代入抛物线解析式得， 解得：（舍去） 因此底部圆形水池的最小半径为． 23．(1) (2)解：（1）中的结论仍然成立．推导过程如下： ∵，， ∴， 如图，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接 ∴，． ∵点在线段的延长线上， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，． ∵点在线段的延长线上， ∴， ∴， ∴在中，， ∵中，，， ∴， ∴， 即（1）中的结论仍然成立． 【分析】（1）由题面给出的推导：、、，用勾股定理即得数量关系； （2）旋转性质不变，仍能证得、，由得，勾股定理即得结论仍成立． 【详解】（1）解：由题意，，得，， ∴在中，(勾股定理)， ∵， ∴， ∴，，之间的数量关系为． （2）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年期中数学模拟练习卷 （人教版） 考试范围：九年级上册第25-28章全部内容；考试时间：120分钟 满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．抛物线，，的共同性质是（     ） A．开口向上 B．对称轴是y轴 C．都有最高点 D．函数值y随x的增大而增大 4．某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为4米（如图2），栏杆从水平位置绕点O顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端点升高了（     ）米 A．2 B．4 C．6 D．8 5．二次函数与一次函数（且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 6．如果关于x的方程有两个实数根，那么k的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D． 7．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（     ） A． B． C． D． 8．如图，将三角形绕点沿顺时针方向旋转后得到三角形，若点恰好落在线段上，，交于点，则下面结论错误的是（     ） A． B． C． D． 9．根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解的范围是（     ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 10．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①；②（m为任意实数）；③；④若是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．抛物线的顶点坐标是______． 12．我校组织“求实杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了21场，设共有个班参加比赛，根据题意，列出方程为__________． 13．已知，，在函数的图象上，则的大小关系______． 14．如图，点A坐标为，点B坐标为，点M是正方形的中心，且点D，M均在反比例函数图象的同一分支上，则a的值为______． 15．如图，正方形边长为，点是对角线上一点，，连接，将绕点顺时针旋转，得到，的延长线与的延长线交于点，则长为_________． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（6分）小颖在解方程时出现了错误，解答过程如下所示： 解方程： 解：，…① ，…② ，…③ ，…④ ，…⑤ ，…⑥ (1)小颖的解答过程从第______步开始出错，其错误的原因是______； (2)请你写出此题正确的解题过程． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 19．（9分）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转得到，点，，的对应点分别为，，． (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标； (3)，是内不重合的两点，旋转后的对应点为，，判断线段与线段的关系． 20．（10分）如图所示，已知在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当运动到时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：__________，_________．（用含的代数式表示）； (2)如果、分别从B、A两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． 21．（10分）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 在物理活动课上，我们“领航”小组的同学，参加了一次“探究电功率与电阻之间的函数关系”的活动． 第一步，实验测量．根据物理知识，改变电阻的大小，通过测量电路中的电流，计算电功率． 第二步，整理数据． 组号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ … … 3 6 9 12 15 … … 3 1.5 1 0.75 0.7 … 第三步，描点连线．以的数值为横坐标，对应的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记． 任务： (1)表格中错误的数据是第______组，与的函数表达式为______； (2)直接写出大于时的取值范围为______． 22．（12分）综合与实践． 项目名称 为广场三层叠泉喷泉景观设计抛物线形水流轨迹 问题情境 如图1，某广场计划修建一个三层叠泉喷泉景观，喷泉的水流轨迹可以用抛物线来刻画．喷头位于最高点，距地面，已知从上往下数，第一层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为，第二层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为． 收集信息 ①调整喷头流速时，水流最高点距离立柱的水平距离始终为；②喷泉底部围挡高度为． 抽象模型 图2为喷泉单侧示意图，以地面所在直线为轴，喷泉中心立柱为轴，建立平面直角坐标系．点为喷头，为第一层水池半径，为第二层水池半径． (1)若喷头喷出的水流最高点离地面的高度为，求抛物线的函数解析式． (2)为了形成“叠泉”效果，要求喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上，通过适当调整喷头的流速，使水流最高点距离立柱的水平距离始终为，求该抛物线二次项系数的取值范围． (3)在任务二的基础上，现计划在第二层水面边缘加装若干同样效果的喷头装置，第二层加装的喷头和喷头喷出的水流形状始终相同，直接写出喷泉底部圆形水池的半径的最小值． 23．（12分）综合与探究 (1)【问题发现】在数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，是等腰直角三角形，，，点在上，连接，探究，，之间的数量关系．王林思考片刻后，利用手拉手模型解答问题如下： 如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，易证，，，，在中，，由，，可得，则，，之间的数量关系为______； (2)如图3，当点在线段的延长线上时，请问(1)中的结论还成立吗？请作出判断，并写出你的推导过程． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $