第1章 坐标平面上的直线全章复习讲义-2026-2027学年高二上学期数学沪教版选择性必修第一册

该高中数学复习讲义以“知识点梳理-易错辨析-题型突破”为主线构建知识体系，通过表格对比直线方程五种形式的适用条件与局限性，用分类呈现倾斜角与斜率、位置关系等核心概念，搭配易错点提醒（如截距与距离混淆），清晰呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层设计的题型训练，如“截距相等分类讨论”典例结合变式题，引导学生通过分类讨论思想突破漏解问题，培养数学思维。融入“四个思想方法”与“三个先讨论”策略，基础学生可掌握规范解题流程，优秀学生能深化逻辑推理，教师可依托此实施精准分层教学，提升复习效率。

第1章 坐标平面上的直线全章复习讲义 【知识点01】直线的倾斜角与斜率 1. 倾斜角 直线l与x轴相交时，把x轴绕交点按逆时针方向旋转到与直线l重合所转的最小正角α，叫做直线l的倾斜角；当直线l与x轴平行或重合时，规定倾斜角为。倾斜角α可取0，但不取π。 2. 斜率 当α≠时，直线的斜率为k=tanα；当α=时，直线垂直于x轴，斜率不存在。 符号与大小：k>0⇔α为锐角；k<0⇔α为钝角；k=0⇔α=0；在与上，k均随α增大而增大（α=处断裂）。 3. 斜率公式与方向向量 经过两点P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂)（x₁≠x₂）的直线斜率： 方向向量：斜率存在时取(1,k)，斜率不存在时取(0,1)；一般式Ax+By+C=0的方向向量可取(B,−A)或(−B,A)。 【知识点02】直线的方程（五种形式） 形式 方程 适用条件 局限性 点斜式 斜率存在 不含斜率不存在的直线 斜截式 斜率存在 不含斜率不存在的直线 两点式 x₁≠x₂且y₁≠y₂ 不含与坐标轴垂直的直线 截距式 a、b均不为0 不含过原点及垂直于坐标轴的直线 一般式 A、B不同时为0 可表示平面内任意直线 一般式的常用结论：斜率（B≠0）；x截距（A≠0），y截距（B≠0）；法向量为(A,B)，方向向量为(B,−A)。 【知识点03】两条直线的位置关系 设l₁:A₁x+B₁y+C₁=0，l₂:A₂x+B₂y+C₂=0，判定如下： 位置关系 系数条件 斜率条件（均存在时） 相交 平行 且 且 重合 且 垂直 特殊情况：两条直线斜率均不存在时，它们平行或重合；一条斜率不存在（垂直于x轴）、另一条斜率为0（垂直于y轴）时，两直线垂直。 【知识点04】两条直线的交点 联立两直线方程A₁x+B₁y+C₁=0与A₂x+B₂y+C₂=0构成方程组：有一组解⇔两直线相交，该解即交点坐标；无解⇔两直线平行；有无穷多组解⇔两直线重合。 过两直线交点的直线系：（表示除l₂外所有过交点的直线）。 【知识点05】点到直线的距离 点P(x₀,y₀)到直线Ax+By+C=0的距离： 两条平行线Ax+By+C₁=0与Ax+By+C₂=0间的距离： 距离公式常用于三角形面积、对称点、最值等问题。 1. 倾斜角端点与“不存在”混淆：α∈[0,π)可取0但不取π；α=时“斜率不存在”，但倾斜角是存在的。 2. 用斜率判定位置关系前不讨论斜率不存在：两条都垂直于x轴的直线斜率均不存在，但可能平行或重合；一条竖一条横则垂直，必须分类讨论。 3. 截距不是距离：截距式中a、b可正可负；直线过原点时不能用截距式。求“截距相等”的直线方程，要分截距为0与截距不为0两类，否则漏解。 4. 平行条件不完整：k₁=k₂只能推出平行或重合，必须再验证b₁≠b₂；判垂直用一般式A₁A₂+B₁B₂=0最稳妥，无需讨论斜率。 5. 设方程丢解：默认用点斜式、斜截式设方程，就默认了斜率存在，可能漏掉垂直于x轴的直线；用两点式、截距式要先检查适用条件。 6. 两平行线距离公式误用：必须先把两条直线方程化为A、B系数一致（同号）再代入公式后计算。 7. 点关于直线对称漏条件：必须同时满足“中点在对称轴上”与“连线垂直于对称轴”两个条件，缺一不可。 8. 法向量与方向向量混淆：Ax+By+C=0的法向量是(A,B)，方向向量是(B,−A)，勿记反。 【题型一】倾斜角与斜率的范围 【典例1-1】已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，，如下图示，所以． 故选：D 【典例1-2】直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设的倾斜角为， 由题意可知：直线的斜率， 即，且，所以. 故选：C. 【典例1-3】已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，. 当时，. 因为在上单调递增，在上也单调递增. 当时，； 当时，. 所以的取值范围是. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高二上·上海·期中）已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______. 【答案】 【详解】因为在上为增函数,所以, 因为在上为增函数,所以, 又时,直线的斜率不存在, 所以直线的斜率的取值范围是. 故答案为：. 【变式1-2】（24-25高二上·上海·开学考试）已知为任意实数，直线的倾斜角的范围是______. 【答案】 【详解】记直线的倾斜角为，则， 因为，所以，则， 所以. 故答案为： 【变式1-3】已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为______． 【答案】 【详解】根据题中条件画出图形，如图所示，    因为，，，设直线l的斜率为， 则， 直线l与以为端点的线段相交，结合图形， 则直线l的斜率的取值范围为. 故答案为：. 【变式1-4】已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是____________ 【答案】 【详解】因为，，， 所以，． 直线过点且与线段相交，如下图所示： 或， 直线的斜率的取值范围是：． 故答案为：． 【题型二】截距相等，分类讨论 【典例2-1】（25-26高二上·山东淄博·期中）设直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的一般式方程为________________ 【答案】或 【详解】当截距为0时，设l方程为，代入点，可得，解得， 所以方程为，即； 当截距不为0时，因为截距相等，所以设方程为， 代入点，可得，解得， 所以方程为，即， 综上，直线l的一般方程为或. 故答案为：或. 【典例2-2】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 【详解】(1)将直线整理得 对任意实数都成立， 所以，解得 所以对任意实数，直线都经过一个定点； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为 ， 则有，化简得， 当时，直线的方程为 当时，直线的方程为 所以直线的方程为或. 【变式2-1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知在中，，，点是此三角形的重心. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程. 【详解】（1）设交于，则为的中点，设， 因为点是三角形的重心， 所以，所以， 所以，， 所以， 所以 ， 故，解得. 边所在直线的方程为，即. （2）当在轴、轴上的截距为0时，易知直线方程为：， 当截距不为0时， 设直线方程为：，因为点在直线上， 所以，可得， 即直线方程为：； 综上所述：直线方程为或. 【变式2-2】（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知中，，. (1)若，求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为是边上的高， 所以， 所以高所在直线的方程为； （2）因为点为边的中点， 所以， 设在两坐标轴上截距相等的直线方程为或， 因为直线过点，所以或，所以或， 所以过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或. 【变式2-3】（25-26高二上·上海·期末）已知直线的方程为（）： (1)求证：直线必过定点，并写出此定点的坐标； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (3)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围． 【详解】(1)证明:直线：，即， 由，得，所以直线必过定点，此定点坐标为. （2）依题意，，在直线：中，令，得；令，得， 由直线在两坐标轴上的截距相等，得，解得或， 所以或. （3）直线：的斜率为，纵截距为， 由直线不经过平面直角坐标系的第二象限，得，解得， 所以的取值范围是. 【题型三】垂直条件的参数求解 【典例3-1】已知直线与垂直，则实数的值为（    ） A． B．1或 C．1 D．或5 【答案】B 【详解】由于，所以， 解得或. 故选：B 【典例3-2】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和互相垂直，则实数__________. 【答案】2 【详解】已知直线和互相垂直， 则，解得. 故答案为：2. 【典例3-3】已知直线：，：，若两直线垂直，则______. 【答案】1或 【详解】由题意知直线：和直线：互相垂直， 故，解得或. 故答案为：1或. 【变式3-1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线垂直，则________． 【答案】 【详解】由题知，斜率为， 若，则，，不垂直； 若，则，，不垂直； 若，则斜率为， 所以，解得. 故答案为： 【变式3-2】（24-25高二下·上海·阶段检测）已知直线与垂直，则实数__________. 【答案】或 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得或， 故答案为：或. 【变式3-3】（25-26高二下·上海杨浦·期末）已知三条直线：，：，：，． (1)若，求的值； (2)若、、不能围成三角形，求的值． 【详解】（1）对于直线和，垂直的充要条件为， 代入、的系数得： ，解得 （2）三条直线不能围成三角形分两类： ① 三线共点：联立和的方程，解得交点为， 代入得： ，化简得，解得或； ② 存在平行直线：若，则，解得，此时两直线平行； 若，则，解得，此时两直线平行； 若，则，即，无实根，不存在符合条件的， 综上，的取值为、、、. 【题型四】平行直线与距离 【典例4-1】（25-26高二下·上海·期中）两平行直线与间的距离为______． 【答案】 【详解】因为直线与平行，所以，解得， 即直线方程为， 将化为， 故这两平行直线间的距离为. 【典例4-2】已知直线与直线间的距离为2，则（    ） A．或4 B．4 C．或6 D．或16 【答案】D 【详解】由题意可知，直线与直线平行，所以， 因为直线与直线间的距离为2， 所以，解得或. 故选：D. 【典例4-3】已知直线． (1)求经过点，且垂直于直线的直线的方程； (2)求与直线平行，且到直线的距离为的直线的方程． 【详解】（1）由题知，直线的斜率为，所以，所求直线的斜率为， 又直线过点，由点斜式方程得所求直线方程为， 整理得． （2）设所求直线方程为：， 则，，或， 或为所求． 【变式4-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）过点且和原点距离是2的直线方程是__________. 【答案】或 【详解】依题意，当斜率不存在时，直线方程为：，此时原点到直线的距离为2，满足题意， 当斜率存在时， 所以设直线方程为，即，又原点到直线的距离等于2， 所以，解得． 所以直线方程为或． 故答案为：或． 【变式4-2】（24-25高二下·上海普陀·期中）若直线与直线之间的距离为，则实数的值为________； 【答案】或 【详解】直线，即与直线之间的距离为， 则，解得或，经验证，符合题意， 所以实数的值为或. 故答案为：或 【变式4-3】若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：M点的轨迹为平行于直线和且到、距离相等的直线l， 因为直线和在轴上的截距分别为， 所以直线l在轴上的截距为，故其方程为：， 故到原点的距离的最小值为. 故选：A 【变式4-4】已知直线：. (1)若直线：求直线与直线的夹角； (2)若直线与直线的距离等于，求直线的一般式方程. 【详解】（1）因为直线，斜率， 直线，斜率， 因为，所以， 即直线与直线的夹角为； （2）若直线与直线的距离等于，则， 设直线的一般式方程为，则， 解得， 所以直线的一般式方程为． 【题型五】点关于直线的对称 【典例5-1】（24-25高二下·上海·阶段检测）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即. 故选：C. 【典例5-2】（24-25高二下·上海·阶段检测）已知点，点在轴上，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】如图作出点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 连接，则，此时即为最小值. 理由：在轴上任取点，连接，易得， 则， 故上述点即是使取得最小值的点. 故答案为：.    【典例5-3】（24-25高二下·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点； (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若边上的中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程； 【详解】（1）因，且，则， 因， 则直线的方程为，即. （2）设点，则线段的中点为， 将其代入所在直线方程中，得， 将点代入所在的直线方程中，得， 解得，即， 设点关于直线对称得点， 则，得，即， 因三点共线，则, 直线所在的直线方程为，即. 【变式5-1】（24-25高二上·上海·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是_____. 【答案】 【详解】如图：可知折痕为点与点的中垂线， 中点坐标为， 设折痕直线的斜率为，则，得， 故折痕直线方程为，即， 由题意点与原点关于折痕对称， 故得，故. 故答案为： 【变式5-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为______. 【答案】 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以． 又点的坐标为，所以，直线的方程为， 由对称性可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为． 故答案为： 【变式5-3】在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点，光线经过的重心．以点为坐标原点，以为轴（为正方向），建立平面直角坐标系． (1)求的重心的坐标，及点的坐标； (2)求的周长． 【详解】（1）如图所示： 以为坐标原点，以为轴建立平面直角坐标系， 则， 故的重心的坐标为，即； 设，关于直线的对称点分别设为， 则，设， 直线的方程为，则 解得，即， 由光的反射原理可知共线，且光线经过的重心， 故，解得或（舍去）， 故点的坐标为. （2）由（1）可得，所以即为，即为， 由题意可知， 故的周长为. 【题型六】过交点且与已知直线平行 【典例6-1】直线与直线平行，且过直线与的交点，则直线的方程为________. 【答案】 【详解】联立直线和得，则得其交点为. 因为直线与直线平行， 所以设直线方程为，将点坐标代入得， ∴直线方程为，即， 故答案为：. 【典例6-2】直线l经过两条直线和的交点，且与直线平行. （1）求直线l的方程； （2）求直线l与坐标轴围成的三角形面积. 【详解】解：（1）直线经过直线与直线的交点， 解方程组，解得，即， 平行于直线， 设直线的方程为， 把代入，得，解得， 直线的方程为． （2）在直线中， 令，得；令，得． 直线与两坐标轴围成的三角形的面积： ． 【变式6-1】已知直线l经过直线，的交点M． (1)若直线l与直线平行，求直线l的方程； (2)若直线l与x轴，y轴分别交于A，两点，且M为线段AB的中点，求的面积（其中O为坐标原点）． 【详解】（1）由，得， 所以点M的坐标为， 因为，则设直线l的方程为， 又l过点，代入得，故直线l方程为. （2）设，，因为为线段AB的中点，则 ，所以，故，， 则的面积为. 【变式6-2】已知直线l经过两条直线和的交点. (1)若直线l与直线平行，求直线l的方程； (2)若直线l与夹角为，求直线l的方程. 【详解】（1）由，可得，即直线和的交点为， 因为直线l平行于直线，可设直线l的方程为， 把点代入方程得， 解得，所以直线l的方程为； （2）设l的点法式方程为（a和b不同时为零）， 根据夹角的余弦公式得，化简为. 所以或，此时. 所以直线l的方程有两个，一个是，另一个是. 【变式6-3】求满足下列条件的直线l的一般式方程. (1)直线l经过直线和的交点，且与直线平行； (2)直线l经过点，与直线，的交点分别为B，C，且A是线段BC的中点. 【详解】（1）因为直线直线p，直线， 所以设直线l的方程为. 解方程组，得，所以直线l过点. 所以，解得， 所以直线l的一般式方程为. （2）由题意，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为. 把分别代入直线和的方程，得，， 点不是线段BC的中点，不符合题意. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为（且）. 解方程组，得，则. 解方程组，得，则. 由题意得，，解得， 所以直线l的一般式方程为. 【题型七】斜率范围 · 数形结合 【典例7】设，，，，过点D作直线l，设直线l的斜率为k． (1)当点B到直线l的距离最远时，写出直线l的点法式方程； (2)若直线l分别交线段AB和线段AC于P、Q（两点不重合），求实数k的取值范围． 【详解】（1）当点B到直线l距离最远时，BD⊥l，即是直线l的法向量，所以直线l的点法向式方程为． （2）若直线与线段AB、AC均有交点且交点不重合，则由图像可知． 因为，，所以k的取值范围为． 【变式7-1】已知，，． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 【详解】（1）由斜率公式可得直线AB的斜率， 直线AC的斜率， 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3． （2）当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角， 直线AD的斜率由增大到， 所以直线AD的斜率的变化范围是. 【变式7-2】设、、、，过点作直线，设直线的斜率为， （1）当点到直线的距离最远时，写出直线的点法向式方程； （2）若直线分别交线段和线段于（两点不重合），求实数的取值范围； （3）在（2）的条件下，设的面积为，试将表示为的函数式为 【详解】（1）当点到直线距离最远时，，即是直线的法向量， 直线的点法向式方程为：； （2）若直线与线段，均有交点且交点不重合，则由图象可知：， ，，的取值范围为； （3）设直线，即，由（2）知：； 又直线：；直线； 由得：，即，同理可得：， ， 又原点到直线距离， ，又，，； 【变式7-3】直线l过点P（3，2）且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点． (1)若直线l的斜率为，求△的面积； (2)若的面积S满足，求直线l的斜率k的取值范围； (3)如图，若点P分向量所成的比的值为2，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标． 【详解】（1）因为直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 整理得：， 所以直线与轴、轴正半轴的交点为、， 故的面积为. （2）根据题意，直线的斜率存在且， 所以直线的方程为：， 整理得： 所以直线与轴、轴正半轴的交点为、， 所以，解得 ， 所以的面积， 由于的面积满足， 所以，整理得：， 解不等式得：， 故直线的斜率的取值范围. （3）由（2）知、， 由于点分向量所成的比的值为2， 所以，由于， 所以，即. 所以、，， 故设，， 所以直线的一般式方程为：， 由于直角梯形的面积为， 直线平分直角梯形的面积， 所以直角梯形的面积为， 所以，即， 所以直线的式方程为：， 整理得：， 所以直线过直线与直线的交点， 所以直线过定点. 四个思想方法 ① 数形结合——斜率与倾斜角的对应、旋转过程中区间的划分；② 分类讨论——斜率是否存在、截距是否为0、直线是否重合；③ 待定系数法——设方程形式求参数；④ 转化与化归——对称转化为“垂直+中点”，距离转化为公式。 三个“先讨论”与两个“常检验” 三个“先讨论”：先讨论斜率是否存在、先讨论截距是否为0、先讨论直线是否重合。 两个“常检验”：用点斜式、斜截式设方程后，检验斜率不存在的情形是否漏解；用两平行线距离公式前，检验A、B系数是否一致。 全章公式不多，但设方程、判位置、求距离处处需要分类与检验，建议将易错辨析与7道例题再过一遍，形成完整的解题程序。 一、填空题 1．（25-26高二下·上海青浦·期末）直线的斜率为________． 【答案】 【详解】已知直线的一般式方程为，当时，直线的斜率公式为. 本题中直线方程为，对应参数，，代入斜率公式可得： . 2．（24-25高二下·上海·期中）过点且斜率为2的直线的斜截式方程为__________. 【答案】 【详解】过点且斜率为2的直线的斜截式方程为. 3．（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）直线与直线的夹角为___________ 【答案】 【详解】直线的斜率，则其倾斜角， 直线的斜率，则其倾斜角， 所以直线与直线的夹角为. 故答案为：. 4．（25-26高三上·上海·期中）直线与直线平行，则实数__________． 【答案】 【详解】由直线与直线平行，可得， 当时，直线与直线不重合，满足平行， 故答案为： 5．（25-26高二下·上海·期中）直线的倾斜角为______． 【答案】 【详解】由可知直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 因，故. 6．（25-26高二下·上海·期末）过点且与直线垂直的直线方程为_______. 【答案】 【详解】直线的斜率为， 设待求直线斜率为，则由题意，得，解得. 所以待求直线方程为，即. 7．（25-26高二上·上海徐汇·期末）已知直线的方程为，若直线过点，且直线与直线的夹角为，则直线的方程为____________. 【答案】或 【详解】， 所以直线的斜率为，倾斜角为， 当直线不存在斜率时，方程为， 显然此时直线与直线的夹角为，符合题意； 当直线存在斜率时，设为， 因为直线与直线的夹角为， 所以， 此时方程为. 故答案为：或 8．（25-26高二下·上海徐汇·期中）两平行直线与间的距离为______． 【答案】 【详解】因为直线与平行，所以，解得， 即直线方程为，即， 故这两平行直线间的距离为. 9．直线：，：，若，则______. 【答案】 【详解】直线：，：，且， 所以，且 ，所以 . 故答案为：. 10．（25-26高二上·上海·阶段检测）若直线与直线的夹角是，则实数的值是______. 【答案】 【详解】由，得，直线斜率为，所以直线的倾斜角为， 又因为直线与直线的夹角是， 所以直线的倾斜角为或，又直线的倾斜角不可能为， 所以直线的倾斜角为，所以直线斜率为，所以，解得. 故答案为：. 11．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知第一象限的点和经过直线，若直线的倾斜角为，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】由题设知，可得， ∴， 当且仅当时，即时，等号成立，的最小值为. 故答案为：. 12．（25-26高二上·上海·阶段检测）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，，，若直线与的欧拉线平行，则实数的值为________ 【答案】 可得的重心为，即为， 由为直角三角形，所以外心在斜边的中点，即， 又，所以三角形的欧拉线方程为，即， 因为直线与平行， 可得，解得或. 当时直线与重合，不符合题意； 当时直线与平行，符合题意； 综上可得. 故答案为：. 二、单选题 13．（24-25高二上·上海·阶段检测）已知定直线及其外一点，则方程表示直线（    ） A．过P且与定直线相交 B．过P且与定直线垂直 C．过P且与定直线平行 D．可能不过P点 【答案】C 【详解】由定直线及其外一点，可知， 又因为把点代入方程可得： ，即点代入方程的直线上， 因为，所以直线方程与直线方程不相同， 所以它们的斜率相同，截距不同，即两直线相互平行. 故选：C. 14．（24-25高二下·上海·期中）直线的法向量可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线的斜率为2，则该直线的方向向量为， 垂直于向量的向量为，因此直线的法向量为， 取，得是直线的法向量，C是； 不存在非零实数，使得该直线的法向量为ABD. 15．（24-25高二下·上海·期中）已知两条直线 ，“”是“直线”（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【详解】当时，，解得， 所以，所以是直线的充分不必要条件. 16．直线：和直线：互相平行，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．或1 【答案】A 【详解】因为直线：和直线：互相平行， 所以，解得. 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·期中）已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. (1)若，且经过点，求实数，的值； (2)若且，求实数，的值. 【详解】（1）因为，，且，所以， 又直线过点， 所以， 所以， 所以， 所以或； （2）若且，则或， 解得，或， 由于不能同时为，故这组解舍去， 故 18．在中，，边AC上的高BE所在的直线方程为，边AB上中线CM所在的直线方程为． (1)求点C坐标； (2)求直线BC的方程． 【详解】（1）由直线：的斜率为，得直线的斜率， 直线的方程为，即，由，解得， 所以点C的坐标为. （2）依题意，设，则边的中点在直线上， 于是，解得：，即点， 所以直线BC的方程为，即. 19．已知直线和直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 【详解】（1）由直线即可得其斜率为， 根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得. （2）联立，解得， 即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，由直线经过点得直线方程为； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得， 此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或. 20．已知直线：，：，直线与交于点 (1)求过点且与垂直的直线的方程； (2)点是直线上异于的一点，若为的角平分线，求点所在的直线的方程． 【详解】（1）令，则，解得， 则，因为直线的斜率，则， 则直线的方程为，即. （2）取点，设其关于直线的对称点， 则，解得. 则点所在的直线的方程，即.    21．（24-25高二上·上海·期末）设直线：，：，点的坐标为过点的直线的斜率为，且与，分别交于点，的纵坐标均为正数． (1)点是，中点，求斜率； (2)求为坐标原点面积的最小值. 【详解】（1）由题意可得直线的方程为，如下图所示： 联立，解得； 联立，解得； 又点是，中点，可得，且； 解得； （2）因为的纵坐标均为正数， 所以，解得； 易知的面积为， 令，则； 因此； 当且仅当时，即时，等号成立，此时； 所以的最小值为，即的面积的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 坐标平面上的直线全章复习讲义 【知识点01】直线的倾斜角与斜率 1. 倾斜角 直线l与x轴相交时，把x轴绕交点按逆时针方向旋转到与直线l重合所转的最小正角α，叫做直线l的倾斜角；当直线l与x轴平行或重合时，规定倾斜角为。倾斜角α可取0，但不取π。 2. 斜率 当α≠时，直线的斜率为k=tanα；当α=时，直线垂直于x轴，斜率不存在。 符号与大小：k>0⇔α为锐角；k<0⇔α为钝角；k=0⇔α=0；在与上，k均随α增大而增大（α=处断裂）。 3. 斜率公式与方向向量 经过两点P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂)（x₁≠x₂）的直线斜率： 方向向量：斜率存在时取(1,k)，斜率不存在时取(0,1)；一般式Ax+By+C=0的方向向量可取(B,−A)或(−B,A)。 【知识点02】直线的方程（五种形式） 形式 方程 适用条件 局限性 点斜式 斜率存在 不含斜率不存在的直线 斜截式 斜率存在 不含斜率不存在的直线 两点式 x₁≠x₂且y₁≠y₂ 不含与坐标轴垂直的直线 截距式 a、b均不为0 不含过原点及垂直于坐标轴的直线 一般式 A、B不同时为0 可表示平面内任意直线 一般式的常用结论：斜率（B≠0）；x截距（A≠0），y截距（B≠0）；法向量为(A,B)，方向向量为(B,−A)。 【知识点03】两条直线的位置关系 设l₁:A₁x+B₁y+C₁=0，l₂:A₂x+B₂y+C₂=0，判定如下： 位置关系 系数条件 斜率条件（均存在时） 相交 平行 且 且 重合 且 垂直 特殊情况：两条直线斜率均不存在时，它们平行或重合；一条斜率不存在（垂直于x轴）、另一条斜率为0（垂直于y轴）时，两直线垂直。 【知识点04】两条直线的交点 联立两直线方程A₁x+B₁y+C₁=0与A₂x+B₂y+C₂=0构成方程组：有一组解⇔两直线相交，该解即交点坐标；无解⇔两直线平行；有无穷多组解⇔两直线重合。 过两直线交点的直线系：（表示除l₂外所有过交点的直线）。 【知识点05】点到直线的距离 点P(x₀,y₀)到直线Ax+By+C=0的距离： 两条平行线Ax+By+C₁=0与Ax+By+C₂=0间的距离： 距离公式常用于三角形面积、对称点、最值等问题。 1. 倾斜角端点与“不存在”混淆：α∈[0,π)可取0但不取π；α=时“斜率不存在”，但倾斜角是存在的。 2. 用斜率判定位置关系前不讨论斜率不存在：两条都垂直于x轴的直线斜率均不存在，但可能平行或重合；一条竖一条横则垂直，必须分类讨论。 3. 截距不是距离：截距式中a、b可正可负；直线过原点时不能用截距式。求“截距相等”的直线方程，要分截距为0与截距不为0两类，否则漏解。 4. 平行条件不完整：k₁=k₂只能推出平行或重合，必须再验证b₁≠b₂；判垂直用一般式A₁A₂+B₁B₂=0最稳妥，无需讨论斜率。 5. 设方程丢解：默认用点斜式、斜截式设方程，就默认了斜率存在，可能漏掉垂直于x轴的直线；用两点式、截距式要先检查适用条件。 6. 两平行线距离公式误用：必须先把两条直线方程化为A、B系数一致（同号）再代入公式后计算。 7. 点关于直线对称漏条件：必须同时满足“中点在对称轴上”与“连线垂直于对称轴”两个条件，缺一不可。 8. 法向量与方向向量混淆：Ax+By+C=0的法向量是(A,B)，方向向量是(B,−A)，勿记反。 【题型一】倾斜角与斜率的范围 【典例1-1】已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例1-3】已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二上·上海·期中）已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______. 【变式1-2】（24-25高二上·上海·开学考试）已知为任意实数，直线的倾斜角的范围是______. 【变式1-3】已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为______． 【变式1-4】已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是____________ 【题型二】截距相等，分类讨论 【典例2-1】（25-26高二上·山东淄博·期中）设直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的一般式方程为________________ 【典例2-2】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 【变式2-1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知在中，，，点是此三角形的重心. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程. 【变式2-2】（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知中，，. (1)若，求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【变式2-3】（25-26高二上·上海·期末）已知直线的方程为（）： (1)求证：直线必过定点，并写出此定点的坐标； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (3)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围． 【题型三】垂直条件的参数求解 【典例3-1】已知直线与垂直，则实数的值为（    ） A． B．1或 C．1 D．或5 【典例3-2】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和互相垂直，则实数__________. 【典例3-3】已知直线：，：，若两直线垂直，则______. 【变式3-1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线垂直，则________． 【变式3-2】（24-25高二下·上海·阶段检测）已知直线与垂直，则实数__________. 【变式3-3】（25-26高二下·上海杨浦·期末）已知三条直线：，：，：，． (1)若，求的值； (2)若、、不能围成三角形，求的值． 【题型四】平行直线与距离 【典例4-1】（25-26高二下·上海·期中）两平行直线与间的距离为______． 【典例4-2】已知直线与直线间的距离为2，则（    ） A．或4 B．4 C．或6 D．或16 【典例4-3】已知直线． (1)求经过点，且垂直于直线的直线的方程； (2)求与直线平行，且到直线的距离为的直线的方程． 【变式4-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）过点且和原点距离是2的直线方程是__________. 【变式4-2】（24-25高二下·上海普陀·期中）若直线与直线之间的距离为，则实数的值为________； 【变式4-3】若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-4】已知直线：. (1)若直线：求直线与直线的夹角； (2)若直线与直线的距离等于，求直线的一般式方程. 【题型五】点关于直线的对称 【典例5-1】（24-25高二下·上海·阶段检测）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（24-25高二下·上海·阶段检测）已知点，点在轴上，则的最小值为__________. 【典例5-3】（24-25高二下·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点； (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若边上的中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程； 【变式5-1】（24-25高二上·上海·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是_____. 【变式5-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为______. 【变式5-3】在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点，光线经过的重心．以点为坐标原点，以为轴（为正方向），建立平面直角坐标系． (1)求的重心的坐标，及点的坐标； (2)求的周长． 【题型六】过交点且与已知直线平行 【典例6-1】直线与直线平行，且过直线与的交点，则直线的方程为________. 【典例6-2】直线l经过两条直线和的交点，且与直线平行. （1）求直线l的方程； （2）求直线l与坐标轴围成的三角形面积. 【变式6-1】已知直线l经过直线，的交点M． (1)若直线l与直线平行，求直线l的方程； (2)若直线l与x轴，y轴分别交于A，两点，且M为线段AB的中点，求的面积（其中O为坐标原点）． 【变式6-2】已知直线l经过两条直线和的交点. (1)若直线l与直线平行，求直线l的方程； (2)若直线l与夹角为，求直线l的方程. 【变式6-3】求满足下列条件的直线l的一般式方程. (1)直线l经过直线和的交点，且与直线平行； (2)直线l经过点，与直线，的交点分别为B，C，且A是线段BC的中点. 【题型七】斜率范围 · 数形结合 【典例7】设，，，，过点D作直线l，设直线l的斜率为k． (1)当点B到直线l的距离最远时，写出直线l的点法式方程； (2)若直线l分别交线段AB和线段AC于P、Q（两点不重合），求实数k的取值范围． 【变式7-1】已知，，． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 【变式7-2】设、、、，过点作直线，设直线的斜率为， （1）当点到直线的距离最远时，写出直线的点法向式方程； （2）若直线分别交线段和线段于（两点不重合），求实数的取值范围； （3）在（2）的条件下，设的面积为，试将表示为的函数式为 【变式7-3】直线l过点P（3，2）且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点． (1)若直线l的斜率为，求△的面积； (2)若的面积S满足，求直线l的斜率k的取值范围； (3)如图，若点P分向量所成的比的值为2，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标． 四个思想方法 ① 数形结合——斜率与倾斜角的对应、旋转过程中区间的划分；② 分类讨论——斜率是否存在、截距是否为0、直线是否重合；③ 待定系数法——设方程形式求参数；④ 转化与化归——对称转化为“垂直+中点”，距离转化为公式。 三个“先讨论”与两个“常检验” 三个“先讨论”：先讨论斜率是否存在、先讨论截距是否为0、先讨论直线是否重合。 两个“常检验”：用点斜式、斜截式设方程后，检验斜率不存在的情形是否漏解；用两平行线距离公式前，检验A、B系数是否一致。 全章公式不多，但设方程、判位置、求距离处处需要分类与检验，建议将易错辨析与7道例题再过一遍，形成完整的解题程序。 一、填空题 1．（25-26高二下·上海青浦·期末）直线的斜率为________． 2．（24-25高二下·上海·期中）过点且斜率为2的直线的斜截式方程为__________. 3．（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）直线与直线的夹角为___________ 4．（25-26高三上·上海·期中）直线与直线平行，则实数__________． 5．（25-26高二下·上海·期中）直线的倾斜角为______． 6．（25-26高二下·上海·期末）过点且与直线垂直的直线方程为_______. 7．（25-26高二上·上海徐汇·期末）已知直线的方程为，若直线过点，且直线与直线的夹角为，则直线的方程为____________. 8．（25-26高二下·上海徐汇·期中）两平行直线与间的距离为______． 9．直线：，：，若，则______. 10．（25-26高二上·上海·阶段检测）若直线与直线的夹角是，则实数的值是______. 11．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知第一象限的点和经过直线，若直线的倾斜角为，则的最小值为___________． 12．（25-26高二上·上海·阶段检测）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，，，若直线与的欧拉线平行，则实数的值为________ 二、单选题 13．（24-25高二上·上海·阶段检测）已知定直线及其外一点，则方程表示直线（    ） A．过P且与定直线相交 B．过P且与定直线垂直 C．过P且与定直线平行 D．可能不过P点 14．（24-25高二下·上海·期中）直线的法向量可以是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高二下·上海·期中）已知两条直线 ，“”是“直线”（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 16．直线：和直线：互相平行，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．或1 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·期中）已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. (1)若，且经过点，求实数，的值； (2)若且，求实数，的值. 18．在中，，边AC上的高BE所在的直线方程为，边AB上中线CM所在的直线方程为． (1)求点C坐标； (2)求直线BC的方程． 19．已知直线和直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 20．已知直线：，：，直线与交于点 (1)求过点且与垂直的直线的方程； (2)点是直线上异于的一点，若为的角平分线，求点所在的直线的方程． 21．（24-25高二上·上海·期末）设直线：，：，点的坐标为过点的直线的斜率为，且与，分别交于点，的纵坐标均为正数． (1)点是，中点，求斜率； (2)求为坐标原点面积的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $