2.1.4圆与圆的位置关系 教学设计-2025-2026学年高二上学期数学沪教版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦圆与圆的位置关系这一核心知识点，通过日食现象引入，巧妙搭建从直线与圆到两圆位置关系的认知桥梁，引导学生类比迁移，构建几何法与代数法双重判断体系，形成清晰的学习支架。 本设计亮点突出，体现数学眼光、数学思维与数学语言的深度融合。以天文现象激发兴趣，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，如通过摆纸圆模拟月食过程，直观发现圆心距与半径的关系；借助动画演示和数轴可视化强化几何法理解，体现数形结合的数学思维；在代数法探究中，通过联立方程分析解的个数与公共点对应关系，并进一步揭示两圆公共弦所在直线方程的本质，彰显数学语言的精确表达能力。此过程既提升学生逻辑推理与问题解决能力，又帮助教师高效落实核心素养导向的教学目标。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高二 学期 秋季 课题 高中数学选择性必修第一册 2.1.4圆与圆的位置关系 教科书 书 名：高中数学选择性必修第一册教材 出版社：上海教育出版社 出版日期：2021年12月 教学目标 1. 理解圆与圆的位置关系。 2. 掌握对圆与圆的位置关系进行判断的两种方法。 3. 类比直线与圆研究位置关系的方法，探究用方程判断两圆位置关系的方法。 教学内容 教学重点： 1. 理解圆与圆的五种位置关系。 2. 掌握圆与圆位置关系的判断方法。 教学难点： 1. 会用圆心距与圆半径的关系来判断圆与圆的位置关系。 2. 会用大致判断圆与圆的位置关系。 教学过程 引言：结合常见的天文现象引入圆与圆的位置关系 前面两节课我们运用直线的方程、圆的方程，研究了直线与圆的位置关系，今天我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系。 日食是一种天文现象，在古代民间称此现象为天狗食日。日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食，日食只在月球与太阳呈现相合的状态时发生。 一、设疑启学 我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的?两个圆心之间的距离和两个圆的半径之间有什么样的关系呢？ 2、 自主探学 1、 摆一摆：用两张圆纸张，模拟月食过程，观察两圆的位置关系，用直尺判断在每一关系下，两圆的圆心距d（连心线长度）和它们的半径分别有什么关系？ 2、 想一想：填写学习单，思考你发现了什么？ （展示学生的演示视频和学习单）通过这位同学的展示，我们可以直观看到两个圆的变化，也对两圆不同位置关系所对应的圆心距与半径的关系进行了部分的观察和推断，接下来我们全面的学习圆与圆的位置关系 3、 两圆位置关系 通过同学们的展示我们可以看到两圆位置的关系有以下五种 （展示五种圆的位置图）那这五种位置关系分别叫什么呢？ 在直线与圆的位置关系中我们是根据公共点的个数来区分不同位置关系，这里我们也用同样的方式来区分五种不同的位置关系。 （根据交点个数分类展示） 五种不同位置关系我们学习完了，那么如何判断他们的位置关系呢？ 4、 几何法判断 通过动画演示我们来直观体会下两圆不同位置半径之间的关系（放动画演示），我们将动画演示的五种位置关系简化出来。（分别讲述每种位置关系下的半径与圆心距的关系）我们可以把这种关系清晰的在数轴上表示出来。 在内含中我们有一种特殊的内含——同心圆 r R 练一练：已知圆 和圆，试判断圆C1与圆C2的位置关系. 所以两圆相交（结合PPT上的数轴讲解） 5、 代数法判断 探讨两圆的方程联立后所组成的方程组解的个数与公共点的关系 方程解的个数 2个 1个 0个 两圆的公共点 2个 1个 0个 如何用代数法研究圆与圆的位置关系？ 练一练：已知圆C1：x^2+y^2+2x+8y−8=0,圆C2：x^2+y^2−4x−4y−2=0.试用代数法判断两圆之间的位置关系 所以方程组有两组实数根，所以圆与圆有两个公共点，它们相交. 问题：代数法中两式相减所得（3）式方程表示什么图像？ 表示一条直线 问题：该图像是否具有什么特殊含义？ 从代数角度看，满足方程（1）、（2）的方程组的解，必满足方程（3），我们确定方程组有两个解，即两圆有两个公共点，那么两个点坐标满足方程（3），两点确定一直线，因此方程（3）表示的就是两圆公共弦所在直线方程. 6、 课堂小结，点拨归纳 今天我们学了什么？ 知识归纳： 1.圆与圆的五种位置关系 2.圆与圆位置关系的判断方法 ①代数法 ②几何法 方法归纳： 1.类比 2.数形结合 学科网（北京）股份有限公司 代数法：通过两圆方程所组成方程组的公共解的个数进行判断． eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(圆C1方程,圆C2方程)) eq \o(――→,\s\up17(消元))一元二次方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Δ＞0⇒____，,Δ＝0⇒__________，,Δ＜0⇒__________.)) $