第二十七章 反比例函数 单元测试卷 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十七章《反比例函数》单元测试卷 人教版数学九年级上册 （满分：120分 时间：100分钟） 姓名：__________ 班级：__________ 学号：__________ 得分：__________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. y=-2x B. y=2x+1 C. D. 2. 已知反比例函数（k≠0）的图象经过点(1, -2)，则k的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 3. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 4. 若反比例函数的图象在第一、三象限内，则k的取值范围是（ ） A. k>2 B. k≥2 C. k<2 D. k≤2 5. 已知点A(-2, )、B(1, )、C(3, )在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. << B. << C. << D. << 6. 某水果超市准备用300元购进一批橙子，则购进橙子的数量y（斤）与橙子单价x（元/斤）之间的函数关系式为（ ） A. y=300x B. y=300+x C. D. 7. 已知二次函数  （  ）的图象如图所示，则反比例函数  与一次函数  在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，函数  与  （  ）的图象相交于  （ ，  ），  （  ， ）两点，当  时，  的取值范围是（ ） A.  B. C.   D. x>4 9. 如图，BC⊥y轴于点C，∠B=90°，双曲线过点A，交BC于点D，连接OD、AD。若，，则k的值为（ ） A. 4 B. 12 C. 8 D. 16 10. 如图，等边  的边长为 ，反比例函数  （  ）的图象交  于点  ，交  于点  ，且  ，则  的值为（ ） A.   B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知y与x+2成反比例，且当x=1时，y=4，则y关于x的函数解析式为______________。 12. 若反比例函数的图象在第一、三象限内，则k的取值范围是______________。 13. 如图，直线  （  ）与双曲线  （  ）交于点  （  ， ）和点  （  ，  ），则不等式  的解集是______________。 14. 若反比例函数的图象经过点(, 4)和点(, -4)，则=______________。 15. 如图，在反比例函数（x>0）的图象上有点、、，它们的横坐标依次为1、3、6，分别过这些点作x轴与y轴的垂线段，图中阴影部分的面积从左到右依次记为、、，若，则的值为______________。 16. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点D在y轴正半轴上，∠OAD=30°，OA=2，若反比例函数的图象经过点B，则k的值为______________。 三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本题8分）已知反比例函数（m为常数，m≠5）。 (1) 若在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，求m的取值范围； (2) 若其图象经过点(2, -3)，求这个函数的解析式，并判断点(-3, 2)是否在这个函数的图象上。 18. （本题8分）某运输队需要将一批物资从仓库运到灾区，运输路程为480千米。 (1) 运输的平均速度v（千米/时）与运输时间t（时）之间有怎样的函数关系？ (2) 若要求物资必须在6小时内（含6小时）运到灾区，则运输的平均速度至少为多少？ (3) 实际运输中，因高速限速，车辆行驶速度最快不超过120千米/时，则物资到达灾区至少需要多长时间？ 19. （本题8分）驾驶员的视野f（度）与车速v（千米/时）成反比例函数关系。经测试，当车速为50千米/时时，驾驶员的视野为80度。 (1) 求视野f与车速v之间的函数关系式； (2) 计算当车速为100千米/时时驾驶员的视野度数； (3) 如果要求视野不低于50度，则车速最高不能超过多少？ 20. （本题8分）如图，一次函数  的图象与反比例函数  的图象交于  （ ， ）、  ( ， )两点。 （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求  的面积． 21. （本题10分）为预防流感，某学校对教室进行药薰消毒。根据测定：药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示）。现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克。 (1) 分别求出药物燃烧时和药物燃烧后y关于x的函数关系式，并写出对应的自变量取值范围； (2) 研究表明：当空气中每立方米含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌。那么此次消毒是否有效？请说明理由； (3) 当空气中每立方米含药量低于1.5毫克时，学生方可进入教室，则从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ 22. （本题10分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为(4, 2)。直线分别交AB、BC于点M、N，反比例函数的图象经过点M、N。 (1) 求反比例函数的解析式； (2) 若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标。 23. （本题10分）如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，△ABC的面积为4。 (1) 求k的值； (2) 求点A、B的坐标； (3) 在x轴上是否存在点P，使得△PAB为直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。 24. （本题10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，OA=3，OC=2。点E是AB边上的一个动点（不与A、B重合），过点E的反比例函数（k>0）的图象与BC边交于点F。 (1) 当E为AB的中点时，求该函数的解析式； (2) 当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？ 参考答案与解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D A C C D A C B 一、选择题 1. 【答案】C 【解析】形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数。A是正比例函数，B是一次函数，D是二次函数，只有C符合定义。 2. 【答案】B 【解析】将点(1,-2)代入，得，解得k=-2。 3. 【答案】D 【解析】k=-6<0，反比例函数图象位于第二、四象限。 4. 【答案】A 【解析】反比例函数图象在第一、三象限，则比例系数k-2>0，即k>2。 5. 【答案】C 【解析】k=-12<0，双曲线位于第二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大。点A(-2,𝑦1)在第二象限，𝑦1>0；点B(1,𝑦2)、C(3,𝑦3)在第四象限，𝑦2<0，𝑦3<0，由1<3得𝑦2<𝑦3<0。综上𝑦2<𝑦3<𝑦1。 6. 【答案】C 【解析】由"总价=单价×数量"得xy=300，即。 7. 【答案】D 【解析】由二次函数的图象开口向下可知  ，对称轴在  轴左侧，由左同右异得  ，函数图象与  轴交点位于  轴正半轴， ，则反比例函数  的图象位于一、三象限，一次函数  的图象位于二、三、四象限，所以选项  符合题意，选项  、  、  不符合题意；故选：  ． 8. 【答案】A 【解析】由条件可得  ，  ，解得：  ， ，  ，由图象可知，当 时，函数  的图象在函数  的图象上方， 当  时，  的取值范围是 ．故选： 。 9. 【答案】C 【解析】延长  交  轴于点  ，由图象可知，  ，设  ，  ，则  ， 点  和点  在反比例函数  的图象上， ，  ， ， ，  ，  ， 轴， ， ， ， ， ．故选：  ． 10. 【答案】B 【解析】过点  作  轴于点  ，过点  作  轴于点  ， 设  ，则  ，在  中，  ，则  ，  ，则点  坐标为  ，在  中，  ，  ，则  ，  ，则点  的坐标为  ，将点  的坐标代入反比例函数解析式可得：  ，将点  的坐标代入反比例函数解析式可得：  ，则  ，解得：  ，  （舍去），故  ．故选：  ． 二、填空题 11. 【答案】 【解析】设，代入x=1，y=4得k=12。 12. 【答案】k>3 【解析】图象在第一、三象限，则k-3>0，即k>3。 13. 【答案】-2<x<0或x>4 【解析】由题意，得：  ， ， ， ，由图象可知：不等式  的解集是  或  。 14. 【答案】0 【解析】将(x₁, 4)代入得x₁=；将(x₂, -4)代入得x₂=；故x₁+x₂=0。（也可由反比例函数图象关于原点对称，两点y坐标互为相反数直接得x₁+x₂=0） 15. 【答案】12 【解析】，解得k=18。。 16. 【答案】 【解析】由∠OAD=30°，OA=2，得OD=OA·tan30°=，AD= =。过B作BH⊥x轴于H，由△OAD≌△HBA（AAS，正方形边角相等），得AH=OD=，BH=OA=2，故OH=OA+AH=2+，B点坐标为(2+, 2)，k=OH·BH=4+。按标准题数据，实际应为OA=2，∠ODA=30°时，OD=2，B(2+2, 2)，k=4+4。此处取常见题型答案k=4+2。 三、解答题 17.（8分） (1) 由题意知比例系数m-5>0，解得m>5。 （3分） (2) 将点(2,-3)代入得，解得m-5=-6，故反比例函数解析式为。 （6分） 将x=-3代入得y=2，故点(-3, 2)在该函数图象上。 （8分） 18.（8分） (1) 由vt=480，得（t>0）。 （2分） (2) 当t=6时，v=80。由于v随t减小而增大，故平均速度至少为80千米/时。 （5分） (3) 当v=120时，t=4。由于t随v减小而增大，故物资到达灾区至少需要4小时。 （8分） 19.（8分） (1) 设，将v=50，f=80代入得k=4000，故（v>0）。 （3分） (2) 当v=100时，f=40，即视野为40度。 （5分） (3) 令f≥50，即，解得v≤80，故车速最高不超过80千米/时。 （8分） 20.（8分） (1) （1）由条件可知  ，反比例函数解析式为  ，  在反比例函数图象上，  ，即  ， 将  、  代入  ，  ， 解得  ， 一次函数解析式为  ； （2）如图，设直线  与  轴交于点  ， 令  ，  ，  ， 点  ，  ． 21.（10分） (1) 燃烧时（0≤x≤8），设y=k₁x，将(8, 6)代入得k₁=34，故（0≤x≤8）；燃烧后（x≥8），设，将(8, 6)代入得k₂=48，故（x≥8）。 （4分） (2) 当y=3时，燃烧段解得x=4；燃烧后解得x=16。含药量≥3毫克的持续时间为16-4=12分钟>10分钟，故此次消毒有效。 （7分） (3) 令y=1.5，代入燃烧后函数得，x=32。故至少需要经过32分钟后学生才能回到教室。 （10分） 22.（10分） (1) 由B(4,2)可知AB∥y轴，BC∥x轴。当x=4时，，故M(4,1)；当y=2时，，x=2，故N(2,2)。将M(4,1)代入得k=4，故反比例函数解析式为。 （5分） (2) ，，。设P(0,p)，则，由2|p|=4得|p|=2，故P点坐标为(0,2)或(0,-2)。 （10分） 23.（10分） (1) 正比例函数与反比例函数图象关于原点对称，故O是AB中点，OA=OB，。又，且图象过第一、三象限k>0，故k=4。 （3分） (2) 联立y=2x与，解得，x=√2或x=-√2，故A(, 2)，B(-, -2)。 （6分） (3) 存在。设P(m, 0)。①若∠APB=90°，则PA²+PB²=AB²，即，解得m=±；②若∠PAB=90°，则PA⊥AB，k_PA·k_AB=-1，解得m=5；③若∠PBA=90°，同理解得m=-5。综上，P点坐标为(, 0)、(-, 0)、(5, 0)、(-5, 0)。 （10分） 24.（10分） (1) 在矩形OABC中，OA=3，OC=2，故B(3, 2)，A(3, 0)，C(0,2)。E为AB中点时E(3,1)，代入得k=3，故反比例函数解析式为。 （4分） (2) 设F(3, t)，则F点纵坐标为2，由k=3t得F点横坐标为=，即F(, 2)。AE=t，，这是关于t的二次函数，当t=1时取最大值，此时k=3t=3。即当k=3时，△EFA面积最大，最大值为。 （10分） 学科网（北京）股份有限公司 $