第二十七章 《反比例函数》单元复习卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十七章 《反比例函数》 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列函数是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数的形式为（为常数，）， ∴只有是反比例函数. 2．反比例函数的图象经过（     ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】反比例函数的图象位置取决于比例系数k的符号，当时，图象位于第二、四象限． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴图象经过第二、第四象限． 3．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第二、四象限 C．图象经过点 D．当时，随的增大而增大 【答案】A 【分析】由反比例函数解析式确定的正负，结合其图象性质与点坐标验证判断各选项． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴图象位于第一、三象限，故B错误． ∵时，在每个象限内随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，A正确； 当时，随的增大而减小，D错误． ∵当时，， ∴图象不经过点，故C错误． 4．若点在反比例函数的图象上，则a的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在函数图象上的坐标特征，代入计算求a的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入解析式， 解得． 5．李明需要制作一个底面积为的长方体无盖纸盒，底面矩形的一边长y（单位：）与其邻边长x（单位：）之间的关系可以用图象大致表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形面积公式列出与的函数关系式，结合自变量的取值范围确定图象． 【详解】解：由题意得， ． 表示矩形的边长， ， 该函数图象是位于第一象限的双曲线的一支． 6．若反比例函数的图象经过点，则此函数图象也经过的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积为定值的性质，先求再判断各选项的点是否在图象上． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵函数图象经过点． ∴， ∴该函数解析式为， A、当时，，则此函数图象不经过该点，故本选项不符合题意； B、当时，，则此函数图象不经过该点，故本选项不符合题意； C、当时，，则此函数图象不经过该点，故本选项不符合题意； D、当时，，则此函数图象经过该点，故本选项符合题意． 7．若点都在反比例函数的图象上，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出，，的值后比较大小． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 8．若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，异号，分两种情况，根据一次函数与反比例函数的性质分析即可． 【详解】解：∵，互为相反数，且根据反比例函数的定义得， ∴，异号且均不为零， 当时，函数的图象过第一、三、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项符合； 当时，函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项． 9．如图，矩形的顶点在双曲线上，点在反比例函数第二象限的图象上，若矩形面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题由反比例函数解析式设、的坐标，再由矩形面积公式列出关于的方程来求解得到结果． 【详解】解：在矩形中，有，，， 在双曲线上， 设，其中． 且点在反比例函数第二象限的图象上， ，其中，． ． 矩形面积为， ,即，化简得，解得． 10．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别为、，顶点在反比例函数（）上，顶点在反比例函数（）上．当点坐标为时，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据待定系数法得到，过点作轴于点，通过证明，得到，过点作轴于点，同理可证，继而得到，从而根据待定系数法得到． 【详解】解：将点代入反比例函数表达式， ，故①正确； 如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，解得，故②，③正确； ，，，， 如图，过点作轴于点， 同理可证， ，， ， ， 将点代入反比例函数表达式， ，故④正确． 2、 填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11．反比例函数的图象位于第______象限． 【答案】三 【分析】先根据反比例函数比例系数的符号确定图象的所有可能象限，再结合的限定判断最终位置． 【详解】解：反比例函数中，比例系数， 反比例函数的图象整体位于第一、三象限， 时，， 该函数的图象位于第三象限． 12．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】先求出点的坐标，再找出一次函数图象在反比例函数图象的下方部分即可． 【详解】解：将代入反比例函数的解析式得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数解析式得， ∴， ∴， ∵直线与双曲线交于点和点， ∴由函数图象可得，不等式的解集是或． 13．已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先根据点的坐标求出反比例函数的值，得到反比例函数解析式，再利用反比例函数的增减性，结合的取值范围，得到的取值范围． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为， ， 反比例函数在第一象限内，随的增大而减小， 点在该反比例函数图象上，且， 当时，， ． 14．已知反比例函数（为常数，），在每个象限内的值随的增大而增大，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的增减性，可得反比例函数的比例系数小于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数（为常数，），在每个象限内的值随的增大而增大， ∴， 解得． 15．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，，则的面积为_____________． 【答案】4 【分析】如图所示，连接、，可得，由反比例函数中的几何意义可得，，最后由即可得出结果． 【详解】解：如图所示，连接、， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴． 16．如图，在轴的正半轴上依次截取 ，过，，，，，分别作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，，，，，，并设，，，的面积分别为，，，，按此作法进行下去，则的值为_____________________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的系数k的几何意义解答． 【详解】解：∵在反比例函数的图象上，轴于 ∴， 连接，， ， 同理， ∵ ， ∴， ， … ∴， ∴当时，． 3、 解答题（本题共9小题，共86分．第17-18题每题8分，第19-25题每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．下列函数中，哪些是正比例函数，哪些是反比例函数？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【答案】正比例函数：（2）（4）（6）；反比例函数：（1）（3）（5） 【分析】根据正比例函数和反比例函数的定义即可求解． 【详解】解：形如（）的函数是正比例函数，其中为常数；形如（）的函数是反比例函数，其中为常数； 所以正比例函数有（2）（4）（6）；反比例函数有（1）（3）（5）． 18．已知． (1)当m为何值时，y是x的正比例函数？ (2)当m为何值时，y是x的反比例函数？ 【答案】(1) 当或时，是的正比例函数 (2) 当时，是的反比例函数 【分析】（1）根据正比例函数的定义，列关于的方程与不等式求解； （2）根据反比例函数的定义，列关于的方程与不等式求解． 【详解】（1）解：∵是的正比例函数， ∴， 由得， 解得或， 由得， ∵，，均满足条件， ∴或． （2）解：∵是的反比例函数， ∴， 由得， 解得或， 由得， ∴． 19．已知与成反比例关系，且当时，． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据反比例函数的定义设出函数解析式，再代入已知的x、y值求出比例系数，进而得到函数关系式； （2）把代入（1）中所求的函数解析式即可求得y的值． 【详解】（1）解：设， ∵当时， ∴， 解得． ； （2）解：当时，． 20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)_________，_________； (2)根据图象，写出当时，x的取值范围_________； (3)一次函数与y轴交于点C，则C点坐标为_________； (4)分别连结和，求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4)4 【分析】（1）将点代入即可求解； （2）的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时，对应交点的横坐标的取值范围； （3）令即可求解； （4）根据求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，反比例函数经过两点 ∴， ∴； （2）解：∵反比例函数图象与一次函数图象交于点， ∴由函数图象可得，时，或； （3）解：当时， ∴； （4）解：如图，． 21．同学们学习了物理知识后，知道在力（单位：N）的作用下，如果物体在力的方向上发生位移（单位：m），那么力所做的功（单位：J）满足．某数学兴趣小组在综合实践探究实验中得到：当为定值时，与之间的函数关系如下图所示． 请根据以上信息解决以下问题： (1)写出关于的函数解析式； (2)当物体受到的力为时，求物体在该力方向上的位移； (3)因安全需要，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的范围． 【答案】(1) (2)当物体受到的力为时，物体在该力方向上的位移是． (3)要使物体在力的作用下的位移小于，力要大于． 【分析】（1）将，代入求出W即可； （2）将代入第一问求出的解析式即可； （3）将代入第一问求出的解析式，结合图象回答即可． 【详解】（1）解：由图可知，当力为时，物体在力的方向上发生的位移为， 此时所做的功． 当W为定值时，与之间的函数解析式为． （2）解：当时，， 即当物体受到的力为时，物体在该力方向上的位移是． （3）解：将代入，得． 随着的增大而减小， 要使物体在力的作用下的位移小于，力要大于． 22．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 【答案】(1)， (2)或 (3)当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 【分析】（1）把点坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）只需要根据函数图像找到一次函数图像在反比例函数图像下方时自变量的取值范围即可； （3）如图：作点B关于x轴的对称点D，连接，则，由轴对称的性质可得；由两点距离计算公式可得，则可推出的周长，根据，可推出当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，利用两点距离计算公式可得，则的周长的最小值为；求出直线解析式为，易得． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，， ∴，解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：由函数图像可知，当一次函数的图像在反比例函数的图像下方时自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或． （3）解；如图：作点B关于x轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得； ∵，， ∴， ∴的周长， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的周长的最小值为； 设直线解析式为， 则， 解得：， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴． 综上，当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 23．如图，四边形是矩形，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动．同时，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，当点到达点时，，两点同时停止运动．设运动时间为秒，的面积为，与的面积之比为． (1)请直接写出、关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围； (2)请在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)如图， 当时，随着的增大而增大，（合理即可） (3)（答案不唯一，误差不超过均可） 【分析】（1）先根据动点速度得到线段长度，利用三角形面积公式求出，再分、两段，借助相似三角形求出高，分别列出面积表达式，得到分段函数，同时确定自变量取值范围； （2）根据分段函数关键点描点画出折线，取反比例函数若干点描点画出双曲线，观察折线变化趋势，写出增减性：当时，随增大而增大（或时，随增大而减小）； （3）令分段函数两段分别等于反比例函数，解方程求出两段上交点横坐标近似值，结合图像取折线在双曲线上方对应的即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：四边形是矩形，，， ，， ， 由题意得，当时，，当时，， ，， ， 当时，如图，过点作， ， ， ， ， ， ， 当时，， 综上，； （2）略 （3）解：令，则， ， ， 令，则， ， ， 当时，． 24．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标分别为，． (1)点的坐标是____； (2)若过点的反比例函数的图象经过直线上的点，且点的坐标为，求的值及反比例函数的解析式； (3)若（）中的反比例函数的图象与相交于点，连接，在直线上找一点，使得是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】（）根据矩形的性质解答即可求解； （）先求出点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式，进而求出的值即可； （）先求出点坐标，设，再根据等腰三角形的定义分三种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴轴， ∵， ∴， ∴点的坐标是； （2）解：∵矩形，， ∴，轴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； （3）解：由（）知， 把代入，得， ∴， ∵点在直线上， ∴可设， ∵是等腰三角形， ∴有如下三种情况： ①当时，则， 解得或， ∴或； ②当时，则， 此时方程无解； ③当时，则， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或或． 25．在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点和函数图象，给出如下定义：过点作竖直直线交图象于点；过点作水平直线交图象于点，若存在多个交点，选取横坐标与点最接近的交点为，称线段的长度为点对图象的纵横距． 已知：反比例函数，抛物线，直线． (1)求点对反比例函数的纵横距． (2)当时，点的纵坐标为，若点对抛物线的纵横距等于，直接写出点的横坐标． (3)点在直线上运动，定点，点在线段上，且．当点对反比例函数的纵横距等于时，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）根据题意计算出点、的坐标，再求出线段的长即可； （2）先计算出点的坐标，设点，表示出点的坐标后，利用勾股定理构造方程，求解出即可； （3）设点的坐标为，表示出点、的坐标，再根据的长构造方程求解出的值．由题意可知，点为的中点，使用中点公式计算出点的坐标． 【详解】（1）解：由题意可知，轴， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， 同理，将代入，得， ∴点的坐标为， ∴； （2）解：由题意可得，抛物线解析式为， 将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为， 设点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴， 设，则原方程为， 因式分解，得， 解得，， ∵， ∴，即， 解得，， ∴点的横坐标为或； （3）解：设点的坐标为， 将代入，得；将，代入，得； ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴，即 ∴， 当时， 整理，得， 解得或， 当时， 整理，得， 解得或， 经检验，或，都符合原方程， ∴点的坐标为或或或， ∵点在线段上，且， ∴点为的中点， 又∵， ∴点的坐标为或或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 《反比例函数》 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列函数是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．反比例函数的图象经过（     ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限 3．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第二、四象限 C．图象经过点 D．当时，随的增大而增大 4．若点在反比例函数的图象上，则a的值为（     ） A．2 B． C． D． 5．李明需要制作一个底面积为的长方体无盖纸盒，底面矩形的一边长y（单位：）与其邻边长x（单位：）之间的关系可以用图象大致表示为（    ） A． B． C． D． 6．若反比例函数的图象经过点，则此函数图象也经过的点是（     ） A． B． C． D． 7．若点都在反比例函数的图象上，则有（     ） A． B． C． D． 8．若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 9．如图，矩形的顶点在双曲线上，点在反比例函数第二象限的图象上，若矩形面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别为、，顶点在反比例函数（）上，顶点在反比例函数（）上．当点坐标为时，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 2、 填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11．反比例函数的图象位于第______象限． 12．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________． 13．已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 14．已知反比例函数（为常数，），在每个象限内的值随的增大而增大，则的取值范围是__________． 15．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，，则的面积为_____________． 16．如图，在轴的正半轴上依次截取 ，过，，，，，分别作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，，，，，，并设，，，的面积分别为，，，，按此作法进行下去，则的值为_____________________． 3、 解答题（本题共9小题，共86分．第17-18题每题8分，第19-25题每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．下列函数中，哪些是正比例函数，哪些是反比例函数？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 18．已知． (1)当m为何值时，y是x的正比例函数？ (2)当m为何值时，y是x的反比例函数？ 19．已知与成反比例关系，且当时，． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求的值． 20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)_________，_________； (2)根据图象，写出当时，x的取值范围_________； (3)一次函数与y轴交于点C，则C点坐标为_________； (4)分别连结和，求的面积． 21．同学们学习了物理知识后，知道在力（单位：N）的作用下，如果物体在力的方向上发生位移（单位：m），那么力所做的功（单位：J）满足．某数学兴趣小组在综合实践探究实验中得到：当为定值时，与之间的函数关系如下图所示． 请根据以上信息解决以下问题： (1)写出关于的函数解析式； (2)当物体受到的力为时，求物体在该力方向上的位移； (3)因安全需要，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的范围． 22．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 23．如图，四边形是矩形，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动．同时，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，当点到达点时，，两点同时停止运动．设运动时间为秒，的面积为，与的面积之比为． (1)请直接写出、关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围； (2)请在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 24．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标分别为，． (1)点的坐标是____； (2)若过点的反比例函数的图象经过直线上的点，且点的坐标为，求的值及反比例函数的解析式； (3)若（）中的反比例函数的图象与相交于点，连接，在直线上找一点，使得是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 25．在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点和函数图象，给出如下定义：过点作竖直直线交图象于点；过点作水平直线交图象于点，若存在多个交点，选取横坐标与点最接近的交点为，称线段的长度为点对图象的纵横距． 已知：反比例函数，抛物线，直线． (1)求点对反比例函数的纵横距． (2)当时，点的纵坐标为，若点对抛物线的纵横距等于，直接写出点的横坐标． (3)点在直线上运动，定点，点在线段上，且．当点对反比例函数的纵横距等于时，求此时点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $