单元集训卷42统计与成对数据的统计分析(培优)-2027年高考数学一轮复习

单元集训卷42　统计与成对数据的统计分析(培优) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高三上·四川德阳·阶段检测）下列说法正确的是（ ） A．数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5 B．已知点关于轴的对称点为 C．若，，…，的方差为4，则，，，…，的方差是16 D．若某组数据的频率分布直方图是单峰不对称的，且在左边“拖尾”，则该组数据的平均数大于中位数 2．（25-26高三下·河南郑州·期末）观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系系数为，图2两个变量的相关关系系数为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山东·学业考试真题）在“校园安全”知识竞赛中，对某校学生的参赛成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．其中样本数据的分布区间为，分组区间是，，，，，．根据频率分布直方图，估计该校学生参赛成绩的80%分位数是（   ） A．75 B．80 C．85 D．90 4．（26-27高三上·江苏南京·开学考试）某校对“学生性别与喜欢某款社交软件是否有关”作了一次调查，结果显示喜欢该软件的学生人数是不喜欢该软件的，喜欢该软件的学生中男生占比为，不喜欢该软件的学生中男生占比为.若有99%的把握认为是否喜欢该软件与性别有关，则参与调查的男生至少有（    ） 参考公式：. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．12人 B．18人 C．24人 D．30人 5．（25-26高三下·福建南平·期末）某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 （参考公式与数据：，，，），则下列叙述正确的是（     ） A．相关系数的绝对值越接近0，表示，的线性相关程度越强 B．， C．当时，残差为 D．用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 6．（25-26高三下·全国·课后作业）用模型拟合与的关系，令，得到数据： 3 4 6 7 2 2.5 4.5 7 若关于的经验回归方程为，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·湖北随州·期末）从某学校获取了容量为400的简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下单位：人 数学成绩 语文成绩 合计 不优秀 优秀 不优秀 210 60 270 优秀 50 80 130 合计 260 140 400 某同学为了计算简洁，把表中所有数据都缩小为原来的（即去掉最后面那个0）后，代入公式，计算得出，则（    ） 附：统计量临界值表 0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 A．该同学的计算方法正确，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩有关联 B．该同学的计算方法正确，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩没有关联 C．该同学的计算方法不正确，正确的计算结果应该为，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩有关联 D．该同学的计算方法不正确，正确的计算结果应该为，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩没有关联 8．（2027高三·全国·专题练习）根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型①，得到经验回归模型，对应的残差如图①所示．根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型②，得到经验回归模型，对应的残差如图②所示，则（   ） A．模型①的误差满足一元线性回归模型的的假设，不满足的假设 B．模型①的误差不满足一元线性回归模型的的假设，满足的假设 C．模型②的误差满足一元线性回归模型的的假设，不满足的假设 D．模型②的误差不满足一元线性回归模型的的假设，满足的假设 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三上·广东梅州·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．数据的第百分位数为 B．若一组样本数据的极差为，则实数的取值范围为 C．和的方差分别为和，若，则 D．在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生人，其平均数为，抽取女生人，其平均数为，则这名学生数学成绩的平均数为 10．（25-26高三下·安徽合肥·期末）随着人工智能技术的快速发展，AI图像识别在工业质检、安防监控等领域得到广泛应用.某科技公司为提升自主研发的AI图像识别模型的识别准确率，研发了一种基于国产算力优化的特征提取算法.为检验该算法的实际效果，研究人员随机选取了200个同批次的工业零件检测样本，随机分为两组，每组100个样本：第一组使用新优化算法进行识别，第二组使用传统算法进行识别，记录两组样本的识别成功与失败情况，得到如下列联表： 识别成功 识别失败 合计 新优化算法 85 15 100 传统算法 70 30 100 合计 155 45 200 附：统计量临界值表 0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 其中，. 则下列说法正确的是（   ） A．有99%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效 B．有95%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效 C．若将列联表中每个单元格的数据都扩大为原来的2倍，统计量的值扩大2倍 D．新优化算法的样本识别成功率比传统算法高15个百分点，因此新算法在所有工业检测场景中都优于传统算法 11．（2026·山东济南·模拟预测）2026年4月，教育部发布新版本科专业目录，新增太极拳等专业，传统体育教育再度受到关注.某地区2021年至2025年太极拳爱好者人数统计如下表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 太极拳爱好者人数（万人） 1.2 1.4 1.5 1.6 1.8 根据表中数据建立关于的线性回归方程，则（    ） A． B．当时，残差为0.02万人 C．预测2026年该地区的太极拳爱好者人数约为1.92万人 D．表中数据的第80百分位数为1.7 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高三上·广东珠海·阶段检测）某中学对高三年级学生进行体质健康测试，按性别用分层随机抽样的方法抽取了男生60人、女生40人，测得样本中男生的平均身高为170cm、方差为9，女生的平均身高为165cm、方差为4，则估计该年级全体学生身高的方差为________. 13．（25-26高三下·广西钦州·期末）某软件科技公司近6年的年利润额y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如表所示. 6 11 11 12 15 17 根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，且相关系数，用最小二乘法求线性回归方程为，则___（用分数表示）. 附：（1）参考数据：. （2）参考公式：，． 14．（2026高三·全国·专题练习）米接力短跑作为田径运动的重要项目，展现了一个国家短跑运动的团体最高水平．每支队伍都有自己的一个或几个明星队员，现有一支米接力短跑队，张三是其队员之一，经统计该队伍在参加的所有比赛中，张三是否上场时该队伍是否取得第一名的情况如下表．若已知张三上场，则该队伍取得第一名的概率约为______．若有的把握认为该队伍是否取得第一名与张三是否上场有关，则认为张三是这支队伍的明星队员，则依据表中数据可判断张三______（填“是”或“不是”）这支队伍的明星队员． 张三上场情况 队伍取得第一名的情况 取得第一名 未取得第一名 总计 上场 未上场 总计 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026高三·全国·专题练习）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图： (1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； (2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表： 超过 不超过 第一种生产方式 第二种生产方式 (3)根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附： 16．（26-27高三上·四川德阳·阶段检测）2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房（含港澳台和海外票房）已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影．某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值以及计算第85百分位数； (2)若样本中年龄在［0，10）的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在［50，60）的观众年龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差；附： (3)为进一步了解观众的年龄结构，现采用按比例分层随机抽样的方法从年龄位于分组［40，50），［50，60）的观众中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求2人年龄均在［40，50）的概率． 17．（25-26高三下·陕西西安·期末）乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了年每年油纸伞的销量数据，结果如下表： 年份/年 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 年销量/万把 7 8 10 11 14 (1)根据表中样本数据，计算与的样本相关系数（精确到0.01），并推断它们线性相关程度的强弱； (2)求关于的经验回归方程，并预测该工坊油纸伞的年销量最早在哪一年能超过20万把． 附：①样本相关系数； ②经验回归方程的斜率的最小二乘法估计公式为； ③． 18．（26-27高三上·四川成都·开学考试）青白江区城厢古镇为打造群众满意的旅游景区，大力开发旅游产业. (1)某部门对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，下表是从接待游客中随机抽取的 100 位游客的满意度调查表，依据小概率值 的独立性检验，分析游客对本地景区的满意度是否与报团游或自助游有关联； 报团游 自助游 合计 满意 30 30 60 不满意 30 10 40 合计 60 40 100 附表： α 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 . (2)为安排好 2026 年 6 月份的游客接待工作，该部门统计了景区 2026 年 1 月份到 5 月份的接待游客人数 （单位：万人），统计结果如下： 月份 1 2 3 4 5 接待游客人数 （万人） 1 2 2.5 3 4 求样本相关系数 的值（精确到 0.01），请说明月份 与接待游客人数 之间线性相关的强弱；若线性相关强，求出 关于 的经验回归方程，并预测 2026 年 6 月份游客的人数. 附：经验回归方程的斜率及截距的最小二乘估计公式分别为：， ；相关系数，. 19．（26-27高三·全国·一轮复习）为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．图1是该公司2015年至2024年的年份代码和年研发投入(单位：亿元)的散点图，其中年份代码1－10分别对应年份2015－2024．     根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值： 75 2.25 82.5 4.5 120 28.35 表中，． (1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并说明理由． (2)①根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程； ②设该科技公司的年利润(单位：亿元)和年研发投入满足（且），该科技公司哪一年的年利润最大？ 附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷42　统计与成对数据的统计分析(培优) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高三上·四川德阳·阶段检测）下列说法正确的是（ ） A．数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5 B．已知点关于轴的对称点为 C．若，，…，的方差为4，则，，，…，的方差是16 D．若某组数据的频率分布直方图是单峰不对称的，且在左边“拖尾”，则该组数据的平均数大于中位数 【答案】C 【分析】对于A利用百分位数的定义即可判断，对于B求出点关于轴对称即可判断，对于C根据方差的性质即可判断，对于D根据频率分布直方图即可判断. 【详解】对于A，先将数据从小到大排序：1，3，5，6，8，因为， 则第60百分位数为第3位数据和第4位数据的平均数，即第60百分位数为，故A错误； 对于B，点关于轴的对称点为,故B错误； 对于C，由方差计算公式可得，故C正确； 对于D，由题意，该组数据的频率分布直方图是左偏态分布，数据大多集中在数值较大的区间，少数数值较小的数据会导致平均数小于中位数，故D错误. 2．（25-26高三下·河南郑州·期末）观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系系数为，图2两个变量的相关关系系数为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象和相关系数的意义可得，，且，依次判断即可． 【详解】①分析图的相关系数：观察图1，散点图中的点大致分布在从左上到右下的带状区域内， 随着的增大，总体呈减小趋势，根据相关系数的定义，两个变量呈负相关，故； ②分析图的相关系数：观察图2，散点图中的点大致分布在从左下到右上的带状区域内， 随着的增大，总体呈增大趋势，根据相关系数的定义，两个变量呈正相关，故； 此外，观察图中点的分布比图1更紧密地围绕在一条直线附近，说明图的线性相关性更强，即， 对于A，，，且，所以，A正确； 对于B，，，所以，B错误； 对于CD，，，所以，CD错误． 3．（25-26高三上·山东·学业考试真题）在“校园安全”知识竞赛中，对某校学生的参赛成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．其中样本数据的分布区间为，分组区间是，，，，，．根据频率分布直方图，估计该校学生参赛成绩的80%分位数是（   ） A．75 B．80 C．85 D．90 【答案】C 【详解】由图知40至80所占百分数为．80至90分占20%． 因此，80%分位数应为85． 4．（26-27高三上·江苏南京·开学考试）某校对“学生性别与喜欢某款社交软件是否有关”作了一次调查，结果显示喜欢该软件的学生人数是不喜欢该软件的，喜欢该软件的学生中男生占比为，不喜欢该软件的学生中男生占比为.若有99%的把握认为是否喜欢该软件与性别有关，则参与调查的男生至少有（    ） 参考公式：. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．12人 B．18人 C．24人 D．30人 【答案】B 【分析】由有99%的把握认为是否喜欢该软件与性别有关可得，列方程求男生人数的范围，结合条件确定男生人数的最小值. 【详解】设喜欢该软件的有人，则不喜欢的有人，总人数，列联表为： 喜欢 不喜欢 合计 男 女 合计 于是，所以， 若有99%的把握认为是否喜欢该软件与性别有关，则，即， 又表中数据须为整数，故的最小值为9， 此时男生的人数为18，即参与调查的男生至少有18人. 5．（25-26高三下·福建南平·期末）某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 （参考公式与数据：，，，），则下列叙述正确的是（     ） A．相关系数的绝对值越接近0，表示，的线性相关程度越强 B．， C．当时，残差为 D．用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 【答案】C 【分析】根据相关系数与线性相关程度的关系，平均数，残差，线性回归方程计算的结果判断各个选项； 【详解】对于A，根据表格作出散点图如下所示，    由图可知，变量和正相关，但相关系数的绝对值越接近1，线性相关程度越强，越接近0，相关程度越弱，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于D，根据公式计算回归系数， ，所以回归直线方程为，故D错误； 对于C，当时，预测值，残差为，故C正确. 6．（25-26高三下·全国·课后作业）用模型拟合与的关系，令，得到数据： 3 4 6 7 2 2.5 4.5 7 若关于的经验回归方程为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据经验回归直线过样本点计算. 【详解】由表得，． 经验回归直线经过，所以，解得． 因此．又，故，所以． 7．（25-26高三下·湖北随州·期末）从某学校获取了容量为400的简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下单位：人 数学成绩 语文成绩 合计 不优秀 优秀 不优秀 210 60 270 优秀 50 80 130 合计 260 140 400 某同学为了计算简洁，把表中所有数据都缩小为原来的（即去掉最后面那个0）后，代入公式，计算得出，则（    ） 附：统计量临界值表 0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 A．该同学的计算方法正确，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩有关联 B．该同学的计算方法正确，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩没有关联 C．该同学的计算方法不正确，正确的计算结果应该为，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩有关联 D．该同学的计算方法不正确，正确的计算结果应该为，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩没有关联 【答案】C 【分析】求出实际的值，根据独立性检验的知识逐一判断即可. 【详解】由题意可知该同学在计算时将都缩小了10倍， 又因为， 故计算得出的是实际值的， 即实际中， 所以该同学计算不正确，故A，B错误； 因为， 所以在犯错的概率不超过的前提条件下，认为“数学成绩与语文成绩有关联”,故C正确，D错误. 8．（2027高三·全国·专题练习）根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型①，得到经验回归模型，对应的残差如图①所示．根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型②，得到经验回归模型，对应的残差如图②所示，则（   ） A．模型①的误差满足一元线性回归模型的的假设，不满足的假设 B．模型①的误差不满足一元线性回归模型的的假设，满足的假设 C．模型②的误差满足一元线性回归模型的的假设，不满足的假设 D．模型②的误差不满足一元线性回归模型的的假设，满足的假设 【答案】A 【分析】根据一元线性回归模型误差项的核心假设推断即可. 【详解】：残差在直线上下随机分布，没有持续偏向正或负. （方差为常数）：残差波动幅度不随自变量的变化而改变. 对于残差图（1）对应的散点，随机误差满足的假设，但是方差随着的变化而变化，不满足的假设； 对于图（2）对应的散点，均匀分布在水平带状区域内，随机误差满足的假设，方差不随的变化而变化，满足的假设． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三上·广东梅州·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．数据的第百分位数为 B．若一组样本数据的极差为，则实数的取值范围为 C．和的方差分别为和，若，则 D．在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生人，其平均数为，抽取女生人，其平均数为，则这名学生数学成绩的平均数为 【答案】BC 【分析】选项A：利用求百分位数的方法求解；选项B：利用极差公式求解，分别按照，，讨论求解；选项C：利用方差性质求解；选项D，利用求平均数的公式求解. 【详解】选项A：数据共个：，， 此时第百分位数为第项与第项的平均值，即，故选项A错误； 选项B：已知数据，极差， 若：最大值仍为8，最小值仍为3，极差； 若：最大值变为，极差； 若：最小值变为，极差； 综上可知，实数的取值范围为，故选项B正确； 选项C：和的方差分别为和， 因为，所以，故选项C正确； 选项D，，故选项D错误. 10．（25-26高三下·安徽合肥·期末）随着人工智能技术的快速发展，AI图像识别在工业质检、安防监控等领域得到广泛应用.某科技公司为提升自主研发的AI图像识别模型的识别准确率，研发了一种基于国产算力优化的特征提取算法.为检验该算法的实际效果，研究人员随机选取了200个同批次的工业零件检测样本，随机分为两组，每组100个样本：第一组使用新优化算法进行识别，第二组使用传统算法进行识别，记录两组样本的识别成功与失败情况，得到如下列联表： 识别成功 识别失败 合计 新优化算法 85 15 100 传统算法 70 30 100 合计 155 45 200 附：统计量临界值表 0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 其中，. 则下列说法正确的是（   ） A．有99%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效 B．有95%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效 C．若将列联表中每个单元格的数据都扩大为原来的2倍，统计量的值扩大2倍 D．新优化算法的样本识别成功率比传统算法高15个百分点，因此新算法在所有工业检测场景中都优于传统算法 【答案】BC 【分析】根据表中数据，求出，与临界值比较，可判断A、B；根据的公式，将数据扩大2倍，可得新旧统计量间的关系，即可判断C；样本具有局限性，推广需要更多数据支撑，所以D选项属于过度推断，由此判断D错误. 【详解】由列联表可得， 因为， 所以有95%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效. 故A错误，B正确. 若将列联表中每个单元格的数据都扩大为原来的2倍， ， 所以统计量的值扩大为原来的2倍，故C正确. 传统算法的样本识别成功率约为，新优化算法的样本识别成功率约为，比传统算法高15个百分点， 但只能说明在受检批次的工业零件检测中，新算法优于传统算法， 并不能说明新算法在所有工业检测场景中都优于传统算法，故D错误. 11．（2026·山东济南·模拟预测）2026年4月，教育部发布新版本科专业目录，新增太极拳等专业，传统体育教育再度受到关注.某地区2021年至2025年太极拳爱好者人数统计如下表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 太极拳爱好者人数（万人） 1.2 1.4 1.5 1.6 1.8 根据表中数据建立关于的线性回归方程，则（    ） A． B．当时，残差为0.02万人 C．预测2026年该地区的太极拳爱好者人数约为1.92万人 D．表中数据的第80百分位数为1.7 【答案】BCD 【分析】根据求出，可判断A；根据残差的定义可判断B；时，代入求解，可判断C；根据第80百分位数的计算方法求解可判断D. 【详解】对于A：，， 所以，即，解得，故A错误； 对于B：由A知，时，， 所以当时，残差为万人，故B正确； 对于C：时，， 所以预测2026年该地区的太极拳爱好者人数约为1.92万人，故C正确； 对于D：表中数据从小到大排列为：， ，所以表中数据的第80百分位数为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高三上·广东珠海·阶段检测）某中学对高三年级学生进行体质健康测试，按性别用分层随机抽样的方法抽取了男生60人、女生40人，测得样本中男生的平均身高为170cm、方差为9，女生的平均身高为165cm、方差为4，则估计该年级全体学生身高的方差为________. 【答案】13 【分析】根据分层抽样方差公式直接计算即可. 【详解】全体学生的平均身高. 由分层随机抽样方差公式，总体方差. 13．（25-26高三下·广西钦州·期末）某软件科技公司近6年的年利润额y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如表所示. 6 11 11 12 15 17 根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，且相关系数，用最小二乘法求线性回归方程为，则___（用分数表示）. 附：（1）参考数据：. （2）参考公式：，． 【答案】 【详解】由题意可得：，， 由条件可得， 得， 所以． 14．（2026高三·全国·专题练习）米接力短跑作为田径运动的重要项目，展现了一个国家短跑运动的团体最高水平．每支队伍都有自己的一个或几个明星队员，现有一支米接力短跑队，张三是其队员之一，经统计该队伍在参加的所有比赛中，张三是否上场时该队伍是否取得第一名的情况如下表．若已知张三上场，则该队伍取得第一名的概率约为______．若有的把握认为该队伍是否取得第一名与张三是否上场有关，则认为张三是这支队伍的明星队员，则依据表中数据可判断张三______（填“是”或“不是”）这支队伍的明星队员． 张三上场情况 队伍取得第一名的情况 取得第一名 未取得第一名 总计 上场 未上场 总计 【答案】 / 是 【分析】完善列联表，结合条件概率公式可求得所求事件的概率；计算出的观测值，结合独立性检验可得结论, 【详解】根据题意，可得列联表如下（列完列联表后注意检查数据是否正确）： 张三上场情况 队伍取得第一名的情况 取得第一名 未取得第一名 总计 上场 未上场 总计 设“张三上场”为事件，“该队伍取得第一名”为事件， 由表中数据，得，，则， 即已知张三上场，该队伍取得第一名的概率约为， 由表中数据，得， 故有的把握认为该队伍是否取得第一名与张三是否上场有关， 则认为张三是这支队伍的明星队员． 故答案为：；是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026高三·全国·专题练习）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图： (1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； (2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表： 超过 不超过 第一种生产方式 第二种生产方式 (3)根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附： 【答案】(1)第二种生产方式的效率更高.理由如下： （i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高. （ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高. （iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高. （iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高. (2)80 超过 不超过 第一种生产方式 15 5 第二种生产方式 5 15 (3)能 【分析】（1）计算两种生产方式的平均时间即可. （2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表． （3）由公式计算出的观测值，再与比较大小即可得结果． 【详解】（1）略 （2）由茎叶图知， 列联表如下： 超过 不超过 第一种生产方式 15 5 第二种生产方式 5 15 （3）由（2）得， 所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 16．（26-27高三上·四川德阳·阶段检测）2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房（含港澳台和海外票房）已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影．某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值以及计算第85百分位数； (2)若样本中年龄在［0，10）的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在［50，60）的观众年龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差；附： (3)为进一步了解观众的年龄结构，现采用按比例分层随机抽样的方法从年龄位于分组［40，50），［50，60）的观众中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求2人年龄均在［40，50）的概率． 【答案】(1)，第85百分位数为 (2)， (3) 【分析】（1）由频率分布直方图矩形面积为1即可求得的值，并由频率分布直方图求百分位数的计算方法计算第85百分位数. （2）由总体平均数与总体方差的计算方法，即，即可求解. （3）由题意得，的两组观众频率之比为：，则年龄在中的观众应抽取4人，年龄在中的观众应抽取1人，列出所有选取的可能，即可确定符合题意的概率. 【详解】（1）由题意可得，解得， 由频率分布直方图可知的频率为，而的频率为，所以第85百分位数在区间内， 设第85百分位数为，则，解得， 所以第85百分位数为； （2）由频率分布直方图可知的频率为，的频率为， 所以， ； （3）由频率分布直方图可知年龄为，的两组观众频率之比为：， 所以按比例用分层随机抽样的方法抽取5人， 则年龄在中的观众应抽取4人，年龄在中的观众应抽取1人； 记的四名观众编号为1、2、3、4，记的一名观众编号为5， 则选出两名观众的可能结果为12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共10种； 设事件“抽到的两名观众的年龄都来自”， 则事件包含的样本点有12，13，14，23，24，34，共6种， 所以两名观众的年龄均在的概率． 17．（25-26高三下·陕西西安·期末）乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了年每年油纸伞的销量数据，结果如下表： 年份/年 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 年销量/万把 7 8 10 11 14 (1)根据表中样本数据，计算与的样本相关系数（精确到0.01），并推断它们线性相关程度的强弱； (2)求关于的经验回归方程，并预测该工坊油纸伞的年销量最早在哪一年能超过20万把． 附：①样本相关系数； ②经验回归方程的斜率的最小二乘法估计公式为； ③． 【答案】(1)0.98，与的线性相关程度很强 (2)； 2029年． 【分析】（1）根据公式计算样本相关系数，并判断线性相关程度即可； （2）根据公式求出经验回归方程后再通过解不等式即可. 【详解】（1），， ，，， 所以，     所以与的线性相关程度很强． （2）由（1）知，，， 所以， ， 所以关于的经验回归方程为；     令，得， 所以预测该工坊油纸伞的年销量最早在2029年能超过20万把． 18．（26-27高三上·四川成都·开学考试）青白江区城厢古镇为打造群众满意的旅游景区，大力开发旅游产业. (1)某部门对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，下表是从接待游客中随机抽取的 100 位游客的满意度调查表，依据小概率值 的独立性检验，分析游客对本地景区的满意度是否与报团游或自助游有关联； 报团游 自助游 合计 满意 30 30 60 不满意 30 10 40 合计 60 40 100 附表： α 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 . (2)为安排好 2026 年 6 月份的游客接待工作，该部门统计了景区 2026 年 1 月份到 5 月份的接待游客人数 （单位：万人），统计结果如下： 月份 1 2 3 4 5 接待游客人数 （万人） 1 2 2.5 3 4 求样本相关系数 的值（精确到 0.01），请说明月份 与接待游客人数 之间线性相关的强弱；若线性相关强，求出 关于 的经验回归方程，并预测 2026 年 6 月份游客的人数. 附：经验回归方程的斜率及截距的最小二乘估计公式分别为：， ；相关系数，. 【答案】(1) 依据小概率值的独立性检验，推断游客对本地景区的满意度与出游方式有关联。 (2) 样本相关系数，月份与接待游客人数线性相关极强；经验回归方程为；预测2026年6月份游客人数为4.6万人。 【分析】（1）由 列联表计算 ，并与 对应的临界值比较； （2）计算样本相关系数判断线性相关程度，再用最小二乘估计公式求经验回归方程，最后代入 进行预测． 【详解】（1）设游客对本地景区的满意度与出游方式无关联， 由列联表得 ，所以 因为所以依据小概率值 的独立性检验，否定， 推断游客对本地景区的满意度与出游方式有关联． （2）由题中数据得 又 ， 因此 故月份 与接待游客人数 线性相关极强． 经验回归方程斜率的最小二乘估计为截距为 所以经验回归方程为 当 时， 故预测 2026 年 6 月份接待游客人数约为 万人． 19．（26-27高三·全国·一轮复习）为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．图1是该公司2015年至2024年的年份代码和年研发投入(单位：亿元)的散点图，其中年份代码1－10分别对应年份2015－2024．     根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值： 75 2.25 82.5 4.5 120 28.35 表中，． (1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并说明理由． (2)①根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程； ②设该科技公司的年利润(单位：亿元)和年研发投入满足（且），该科技公司哪一年的年利润最大？ 附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 【答案】(1)选择模型②更适宜，理由如下： 根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差； 模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜. (2)①；②该公司2030年的年利润最大 【分析】（1）根据残差图确定即可； （2）①根据最小二乘法求非线性回归方程即可求解；②根据题意结合二次函数性质计算求解即可. 【详解】（1）略 （2）①设，所以， 所以， ， 所以关于的经验回归方程为； ②由题设可得， 当，即时，年利润有最大值， 故该公司2030年的年利润最大. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $