第三章《图形的相似》期中复习考点速览 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第三章 图形的相似｜考点速览 ——第 3 章〈图形的相似〉考点速览（期中备考）—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考 选择·填空·解答 知识点总览 → 考点分析 → 考点 6 项 · 选择 6 · 填空 6 · 解答 6 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料是第 3 章〈图形的相似〉的期中复习考点速览：按 6 个考点给“要点归纳 + 精选题卡”——考点 1 为比例基础（比例线段与黄金分割），考点 2-3 为相似多边形的定义、对应角、对应边与周长比，考点 4-5 为相似三角形的判定与性质两大主干，考点 6 图形的位似为坐标拓展考点；选择题 4 道、填空题 4 道、解答题 2 道共 10 道真题覆盖全部 6 个考点，按「选择 → 填空 → 解答」顺序编排；与后续第三章逐考点讲义同一版式、配套使用；每题按【答案】【解析】【详解】三段编写，填空题答案以红色嵌在黑色横线上（如 ___3___）。 第 3 章是几何关系升级章（★★★）：概念重“对应”（角对应、边对应、点对应），判定重“配对”（三边配对、两边夹角），性质与位似重“翻译”（比例式与图形互相转化）——全卷题目均选自 2025—2026 年各地中考、期中期末、模拟考真题与新版教材配套的单元检测卷，含一定数量的图形题（图形均取自原题），可直接演练；正式使用前请按本校考情与本地考纲校准。 PART 01 本章 6 个考点知识点总结（比例·判定·性质·位似） 本部分知识总结共六节：一、比例线段与黄金分割；二、相似多边形——定义与对应角；三、相似多边形的对应边与周长比；四、相似三角形的判定；五、相似三角形的性质；六、图形的位似。 考点范围：① 比例线段与黄金分割（比例的性质、黄金比）；② 相似多边形（定义、对应角、一定相似的判断）；③ 相似多边形的对应边与周长比（相似比的计算与应用）；④ 相似三角形的判定（两角、两边夹角、三边成比例、平行线型）；⑤ 相似三角形的性质（周长比、面积比）；⑥ 图形的位似（位似中心、坐标规律）。 一、比例线段与黄金分割 ◆ 比例线段：四条线段 a、b、c、d 中，若 ＝（即 a:b＝c:d），则 ad＝bc——内项之积等于外项之积；判断四条线段是否成比例，先按大小排序，验证“最长×最短＝中间两段之积”即可（见题 7）。 ◆ 比与比例的性质：比的前项与后项同乘（或同除）一个不为 0 的数，比值不变；比例的基本性质正反两用——由 ＝ 得 ad＝bc，反之由 ad＝bc 也能写出比例式；合比性质：若 ＝，则 ＝，同理分比 ＝；等比性质：若 ＝＝…＝＝k，且 b＋d＋…＋n≠0，则 ＝k（见题 7）。 ◆ 黄金分割：点 P 把线段 AB 分成 AP、BP 两段，若 ＝，且 AP＞BP，则 P 叫做线段 AB 的黄金分割点，此时 ＝≈0.618（黄金比）——一条线段有两个黄金分割点，求较长段用 AB×（见题 8）。 二、相似多边形——定义与对应角 ◆ 相似多边形的定义：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形——两个条件缺一不可；记相似用“∽”，各对应边的比叫做相似比（相似比为 1 时两个图形全等）——全等是特殊的相似。 ◆ 对应关系是计算第一步：书写相似必须把对应顶点放在对应位置——△ABC∽△DEF 即 A 对 D、B 对 E、C 对 F，＝＝；找错了对应边，比例式全盘皆错（见题 2）。 ◆ 相似多边形的周长比：相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方——各边按同一比例 k 缩放，周长随之缩放 k 倍、面积随之缩放 倍（见题 4）。 三、相似多边形的对应边与周长比 ◆ 平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例——推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；由 DE∥BC 可得 ＝＝（A 型），也可得 ＝“上比下等于上比下”的比例式与平行线可以互相转化；D、E 为两边中点时 DE 是中位线，它平行于第三边且等于第三边的一半（见题 9）。 四、相似三角形的判定 ◆ 判定一（两角）：两角对应相等的两个三角形相似——最常用、首选；平行线型（A 型、X 型）里由 DE∥BC 直接得 △ADE∽△ABC，公共角＋平行角一步到位（见题 9）。 ◆ 判定二与判定三：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似——三边判定先“短对短、中对中、长对长”排序再配比，乱序配对不等于对应成比例（见题 14）。 ◆ 判定的陷阱：两边成比例、一角相等但该角不是两边的夹角（SSA）不能判定相似——角必须是“夹角”；已知的角是公共角时，对应边有两种配法，须分类讨论。 五、相似三角形的性质 ◆ 对应线段的比：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比——“对应”是前提，先找准对应边与对应线段，再列比例式。 ◆ 周长比：相似三角形周长的比等于相似比——由三边同时缩放 k 倍直接推出；已知周长比反过来也可当相似比使用（见题 4）。 ◆ 面积比：相似三角形面积的比等于相似比的平方——边各缩放 k 倍，面积缩放 倍；由面积比反求相似比时开平方取正值，“面积比 1:9”对应“相似比 1:3”（见题 9）。 六、图形的位似 ◆ 位似的定义：两个相似图形的每组对应点所在的直线都经过同一个点时，这两个图形位似，该点叫做位似中心——位似是特殊的相似：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形（见题 12）。 ◆ 位似作图与位置关系：以点 O 为位似中心、相似比为 k 作位似图形，每对对应点与 O 在同一条直线上，且对应点到位似中心的距离之比等于 k——对应点可在 O 的同侧（像与原图同向）或异侧（像旋转 180°），位似中心可取在图形内部、边上或外部。 ◆ 位似与坐标：在平面直角坐标系中，以原点 O 为位似中心、相似比为 k 时，点 (x，y) 的对应点坐标为 (kx，ky) 或 (−kx，−ky)——横、纵坐标同时乘 k（同侧）或同时乘 −k（异侧），两个答案都要写全（见题 12）。 图形的相似速记表 模块 要点 示例 易错点 比例与黄金分割 比的前后项同乘除不为 0 的数，比值不变；四条线段成比例：＝，则 ad＝bc；合比 ＝；等比 ＝k；黄金分割：较长段与全长的比＝≈0.618 a:b＝2:3，则 ＝（合比性质） 比例式写颠倒；黄金分割不辨长短段 相似多边形 对应角相等、对应边成比例，缺一不可；相似比＝对应边的比 最长边 10cm、15cm ⟹ 相似比 2:3，周长比 2:3 只看角相等（如两个矩形）就判相似 平行线分线段 两条直线被一组平行线所截，对应线段成比例；DE∥BC ⟹ ＝＝ DE∥BC，BC＝9，＝，则 DE＝3 比例式上下没按对应关系配比 相似判定 两角对应相等（首选）；两边成比例且夹角相等；三边成比例 三边 3、4、5 与 6、8、10 对应成比例，相似比 1:2 角不是夹角（SSA）也拿来判定相似 相似性质 对应高、中线、角平分线之比＝相似比；周长比＝相似比；面积比＝（k 为相似比） 相似比 1:3 ⟹ 周长比 1:3，面积比 1:9 面积比误写成相似比（应开平方） 图形的位似 对应点连线过位似中心，对应点到位似中心的距离比＝相似比；以原点为中心、相似比 k 时坐标同乘 k 或 −k A(4，2) 缩小一半 ⟹ 对应点 (2，1) 或 (−2，−1) 位似与相似混为一谈；坐标只写一个答案 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 考点总览（本章共 6 个考点，与全卷 18 题对应关系如下）： 考点 1　比例线段与黄金分割——比例的性质、黄金比与较长段（对应题 7、题 8、题 13）； 考点 2　相似多边形——定义、对应角与一定相似的判断（对应题 1、题 3）； 考点 3　相似多边形的对应边与周长比——相似比的计算与应用（对应题 2）； 考点 4　相似三角形的判定——两角、两边夹角、三边成比例、平行线型（对应题 5、题 6、题 9、题 10、题 14、题 15、题 16、题 17）； 考点 5　相似三角形的性质——周长比与面积比（对应题 4、题 11、题 18）； 考点 6　图形的位似——位似中心、坐标规律、分类讨论（对应题 12）。 考点特点 概念辨析是常客：相似多边形与位似的定义是选择填空高频——“一定相似的是”直接考定义（见题 3），对应角、对应边的“翻译”是计算第一步（见题 1、题 2）； 判定与配对是主力：三边成比例先“短对短、中对中、长对长”再配比；两边成比例时角必须是夹角，SSA 是高频设误点；平行线型（A 型）判定一步到位（见题 9）； 性质与“比”的翻译：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 ——由面积比反求线段要开平方（见题 9）；“谁与谁的比”要看清顺序（见题 4）；位似与坐标规律是本章特色题，同侧、异侧两个答案都要写全（见题 12），更专项的真题训练见后续逐考点资料。 答题方法（三步法） 第一步·找对应：角对角、边对边、点对点——书写相似时把对应顶点放在对应位置，先找准对应关系再动笔； 第二步·定方法：证相似先看角（两角相等最快），再看边（两边夹角、三边成比例）；求线段长用相似列比例式，涉及面积先换成“相似比的平方”再开平方； 第三步·验答案：位似题检查同侧、异侧两个答案是否写全（见题 12）；“谁与谁的比”与对应顺序前后一致；应用中求出的线段为正值才符合图形实际。 命题边界：限于第 3 章〈图形的相似〉——概念只考比例线段、黄金分割、相似多边形与位似的定义；判定只用两角对应相等、两边成比例且夹角相等、三边对应成比例，以及平行线导出的相似（A 型、X 型）；性质只用对应线段之比、周长比、面积比与位似坐标规律；解题可用的前置工具包括全等、勾股与平行四边形等，不使用圆与三角比等后续知识；题目均选自真题，个别真题的官方解析若超出本章范围，本资料详解一律改给界内解法。 PART 03 选择题（6 题）· 考点 1~6 题 1　选择题　　考点 2｜相似多边形的对应角 （2025·贵州贵阳花溪区·期中）已知四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 相似，∠A＝70°，∠B＝80°，∠C′＝120°，则∠D 的度数是（　　） A．100°　　B．110°　　C．90°　　D．120° 题 2　选择题　　考点 3｜相似多边形的对应边 （2026·贵州贵阳观山湖区·二模）矩形 ABCD 与矩形 EFGH 相似，其中 AB＝4，BC＝6，EF＝2，则 FG 的长为（　　） A．3　　B．4　　C．6　　D．8 题 3　选择题　　考点 2｜一定相似的多边形判断 （2025·贵州贵阳云岩区·期末）下列说法中，正确的是（　　） A．任意两个矩形都相似　　B．任意两个菱形都相似 C．任意两个正方形都相似　　D．任意两个等腰梯形都相似 题 4　选择题　　考点 5｜相似比与周长之和 （2025·黑龙江绥化·中考）两个相似三角形的最长边分别为 10cm 和 6cm，若它们的周长之和为 48cm，则较小的三角形的周长为（　　） A．15cm　　B．18cm　　C．24cm　　D．30cm 题 5　选择题　　考点 4｜网格中三边成比例判相似 如图，A、B、C、D、E、G、H、M、N 都是方格纸中的格点，每个小正方形的边长都是 1。要使 △DEF 与 △ABC 相似，则点 F 应是点 G、H、M、N 中的（　　） A．H 或 N　　B．G 或 H　　C．M 或 N　　D．G 或 M 题 6　选择题　　考点 4｜三垂直构型与平行线相似 如图，AB、CD、EF 都与线段 BD 垂直，垂足分别为 B、D、F。若 AB＝1，CD＝3，则 EF 的长为（　　） A．　　B．　　C．　　D． PART 04 填空题（6 题）· 考点 1~6 题 7　填空题　　考点 1｜比例线段求分式值 （2025·上海浦东新区·一模）已知 a:b＝2:3，那么 的值是 _____。 题 8　填空题　　考点 1｜黄金分割求较长段 （2025·上海浦东新区·一模）已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 AP＞BP，AB＝4，那么 AP＝ ______。 题 9　填空题　　考点 4｜平行线与面积比反求线段 （2025·上海浦东新区·一模）在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，如果 BC＝9，S△ADE:S四边形BCED＝1:8，那么 DE＝ ______。 题 10　填空题　　考点 4｜中线、分点与平行线分线段成比例 （2025-2026·安徽亳州蒙城·期中）如图，在 △ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，点 F 在 AD 上，且 DF＝AF。过点 F 作 FG∥AC 交 CD 于点 G，则 ＝_______。 题 11　填空题　　考点 5｜正方形对角线与相似面积比 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上一点，BE:EC＝2:1，AE 与对角线 BD 交于点 F，则 △AFD 与四边形 DEFC 的面积之比为 ________。 题 12　填空题　　考点 6｜位似坐标的双答案 （2025秋·湖南冷水江·期末）在平面直角坐标系中，已知 A(4，2)，B(2，−2)，以原点 O 为位似中心，把△OAB 缩小为原来的一半，得到△OA′B′，则点 A 的对应点 A′ 的坐标为 ______。 PART 05 解答题（6 题）· 考点 1~6 题 13　解答题　　考点 1｜黄金分割求线段长 已知点 M 是线段 AB 的黄金分割点，MA 是被分线段 AB 中较长的线段，且 MA＝−1，求线段 AB 的长。 题 14　解答题　　考点 4｜两边成比例且夹角相等证相似 在△ABC 和△DEF 中，∠C＝∠F＝70°，AC＝3.5 cm，BC＝2.5 cm，DF＝2.1 cm，EF＝1.5 cm。求证：△ABC∽△DEF。 题 15　解答题　　考点 4｜平行线与比例式的传递 （2025-2026·安徽亳州蒙城·期中）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，AE 的延长线交 DC 的延长线于点 M，交 BD 于点 G。过点 G 作 GF∥BC 交 DC 于点 F。求证：＝。 题 16　解答题　　考点 4｜网格相似判断与找点 （2025-2026·安徽亳州蒙城·期中）如图，在 3×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，△ABC 与 △BDE 的顶点都在格点上。 (1) 判断 △ABC 与 △BDE 是否相似，并说明理由； (2) 在边 AB 上找一点 F，使 △CBF 与 △ABC 相似，并求出 BF 的长。 题 17　解答题　　考点 4｜中点与平行线的比例证明 （2025-2026·安徽亳州蒙城·期中）如图，在 △ABC 中，点 D、E 分别为 BC、AC 上的点，连接 DE 并延长，交 BA 的延长线于点 F，且 BD＝DC。 (1) 求证：＝； (2) 若 ＝，AF＝10，求 AB 的长。 题 18　解答题　　考点 5｜中点、对角线与相似的综合 （2025-2026·安徽亳州蒙城·期中）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别为边 AD、AB 的中点，连接 EF、CF，EF 与对角线 AC 交于点 G。 (1) 若 AC＝8，求 AG 的长； (2) 若 AB＝AC，求证：△AFG∽△ACF。 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错因 订正完成 题 1 相似多边形对应角求角·选择 题 2 相似多边形对应边求边·选择 题 3 多边形一定相似的判断·选择 题 4 相似比与周长之和计算·选择 题 5 网格中三边成比例判相似·选择 题 6 三垂直构型求交线段·选择 题 7 比例线段求分式值·嵌空填空 题 8 黄金分割求较长段·嵌空填空 题 9 平行线面积比反求线段·嵌空填空 题 10 中线与平行线分线段成比例·嵌空填空 题 11 正方形对角线与面积比·嵌空填空 题 12 位似坐标双答案·嵌空填空 题 13 黄金分割求线段长·解答 题 14 两边成比例夹角相等证相似·解答 题 15 平行线比例式传递证明·解答 题 16 网格相似判断与找点·解答 题 17 中点与平行线比例证明·解答 题 18 中点对角线相似综合·解答 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至期中前——只重做打不了勾的题；后续第三章逐考点讲义按考点 1~6 展开，与本表考点细目列对应。 1 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第三章 图形的相似｜考点速览 ——第 3 章〈图形的相似〉考点速览（期中备考）—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考 选择·填空·解答 知识点总览 → 考点分析 → 考点 6 项 · 选择 6 · 填空 6 · 解答 6 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料是第 3 章〈图形的相似〉的期中复习考点速览：按 6 个考点给“要点归纳 + 精选题卡”——考点 1 为比例基础（比例线段与黄金分割），考点 2-3 为相似多边形的定义、对应角、对应边与周长比，考点 4-5 为相似三角形的判定与性质两大主干，考点 6 图形的位似为坐标拓展考点；选择题 4 道、填空题 4 道、解答题 2 道共 10 道真题覆盖全部 6 个考点，按「选择 → 填空 → 解答」顺序编排；与后续第三章逐考点讲义同一版式、配套使用；每题按【答案】【解析】【详解】三段编写，填空题答案以红色嵌在黑色横线上（如 ___3___）。 第 3 章是几何关系升级章（★★★）：概念重“对应”（角对应、边对应、点对应），判定重“配对”（三边配对、两边夹角），性质与位似重“翻译”（比例式与图形互相转化）——全卷题目均选自 2025—2026 年各地中考、期中期末、模拟考真题与新版教材配套的单元检测卷，含一定数量的图形题（图形均取自原题），可直接演练；正式使用前请按本校考情与本地考纲校准。 PART 01 本章 6 个考点知识点总结（比例·判定·性质·位似） 本部分知识总结共六节：一、比例线段与黄金分割；二、相似多边形——定义与对应角；三、相似多边形的对应边与周长比；四、相似三角形的判定；五、相似三角形的性质；六、图形的位似。 考点范围：① 比例线段与黄金分割（比例的性质、黄金比）；② 相似多边形（定义、对应角、一定相似的判断）；③ 相似多边形的对应边与周长比（相似比的计算与应用）；④ 相似三角形的判定（两角、两边夹角、三边成比例、平行线型）；⑤ 相似三角形的性质（周长比、面积比）；⑥ 图形的位似（位似中心、坐标规律）。 一、比例线段与黄金分割 ◆ 比例线段：四条线段 a、b、c、d 中，若 ＝（即 a:b＝c:d），则 ad＝bc——内项之积等于外项之积；判断四条线段是否成比例，先按大小排序，验证“最长×最短＝中间两段之积”即可（见题 7）。 ◆ 比与比例的性质：比的前项与后项同乘（或同除）一个不为 0 的数，比值不变；比例的基本性质正反两用——由 ＝ 得 ad＝bc，反之由 ad＝bc 也能写出比例式；合比性质：若 ＝，则 ＝，同理分比 ＝；等比性质：若 ＝＝…＝＝k，且 b＋d＋…＋n≠0，则 ＝k（见题 7）。 ◆ 黄金分割：点 P 把线段 AB 分成 AP、BP 两段，若 ＝，且 AP＞BP，则 P 叫做线段 AB 的黄金分割点，此时 ＝≈0.618（黄金比）——一条线段有两个黄金分割点，求较长段用 AB×（见题 8）。 二、相似多边形——定义与对应角 ◆ 相似多边形的定义：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形——两个条件缺一不可；记相似用“∽”，各对应边的比叫做相似比（相似比为 1 时两个图形全等）——全等是特殊的相似。 ◆ 对应关系是计算第一步：书写相似必须把对应顶点放在对应位置——△ABC∽△DEF 即 A 对 D、B 对 E、C 对 F，＝＝；找错了对应边，比例式全盘皆错（见题 2）。 ◆ 相似多边形的周长比：相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方——各边按同一比例 k 缩放，周长随之缩放 k 倍、面积随之缩放 倍（见题 4）。 三、相似多边形的对应边与周长比 ◆ 平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例——推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；由 DE∥BC 可得 ＝＝（A 型），也可得 ＝“上比下等于上比下”的比例式与平行线可以互相转化；D、E 为两边中点时 DE 是中位线，它平行于第三边且等于第三边的一半（见题 9）。 四、相似三角形的判定 ◆ 判定一（两角）：两角对应相等的两个三角形相似——最常用、首选；平行线型（A 型、X 型）里由 DE∥BC 直接得 △ADE∽△ABC，公共角＋平行角一步到位（见题 9）。 ◆ 判定二与判定三：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似——三边判定先“短对短、中对中、长对长”排序再配比，乱序配对不等于对应成比例（见题 14）。 ◆ 判定的陷阱：两边成比例、一角相等但该角不是两边的夹角（SSA）不能判定相似——角必须是“夹角”；已知的角是公共角时，对应边有两种配法，须分类讨论。 五、相似三角形的性质 ◆ 对应线段的比：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比——“对应”是前提，先找准对应边与对应线段，再列比例式。 ◆ 周长比：相似三角形周长的比等于相似比——由三边同时缩放 k 倍直接推出；已知周长比反过来也可当相似比使用（见题 4）。 ◆ 面积比：相似三角形面积的比等于相似比的平方——边各缩放 k 倍，面积缩放 倍；由面积比反求相似比时开平方取正值，“面积比 1:9”对应“相似比 1:3”（见题 9）。 六、图形的位似 ◆ 位似的定义：两个相似图形的每组对应点所在的直线都经过同一个点时，这两个图形位似，该点叫做位似中心——位似是特殊的相似：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形（见题 12）。 ◆ 位似作图与位置关系：以点 O 为位似中心、相似比为 k 作位似图形，每对对应点与 O 在同一条直线上，且对应点到位似中心的距离之比等于 k——对应点可在 O 的同侧（像与原图同向）或异侧（像旋转 180°），位似中心可取在图形内部、边上或外部。 ◆ 位似与坐标：在平面直角坐标系中，以原点 O 为位似中心、相似比为 k 时，点 (x，y) 的对应点坐标为 (kx，ky) 或 (−kx，−ky)——横、纵坐标同时乘 k（同侧）或同时乘 −k（异侧），两个答案都要写全（见题 12）。 图形的相似速记表 模块 要点 示例 易错点 比例与黄金分割 比的前后项同乘除不为 0 的数，比值不变；四条线段成比例：＝，则 ad＝bc；合比 ＝；等比 ＝k；黄金分割：较长段与全长的比＝≈0.618 a:b＝2:3，则 ＝（合比性质） 比例式写颠倒；黄金分割不辨长短段 相似多边形 对应角相等、对应边成比例，缺一不可；相似比＝对应边的比 最长边 10cm、15cm ⟹ 相似比 2:3，周长比 2:3 只看角相等（如两个矩形）就判相似 平行线分线段 两条直线被一组平行线所截，对应线段成比例；DE∥BC ⟹ ＝＝ DE∥BC，BC＝9，＝，则 DE＝3 比例式上下没按对应关系配比 相似判定 两角对应相等（首选）；两边成比例且夹角相等；三边成比例 三边 3、4、5 与 6、8、10 对应成比例，相似比 1:2 角不是夹角（SSA）也拿来判定相似 相似性质 对应高、中线、角平分线之比＝相似比；周长比＝相似比；面积比＝（k 为相似比） 相似比 1:3 ⟹ 周长比 1:3，面积比 1:9 面积比误写成相似比（应开平方） 图形的位似 对应点连线过位似中心，对应点到位似中心的距离比＝相似比；以原点为中心、相似比 k 时坐标同乘 k 或 −k A(4，2) 缩小一半 ⟹ 对应点 (2，1) 或 (−2，−1) 位似与相似混为一谈；坐标只写一个答案 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 考点总览（本章共 6 个考点，与全卷 18 题对应关系如下）： 考点 1　比例线段与黄金分割——比例的性质、黄金比与较长段（对应题 7、题 8、题 13）； 考点 2　相似多边形——定义、对应角与一定相似的判断（对应题 1、题 3）； 考点 3　相似多边形的对应边与周长比——相似比的计算与应用（对应题 2）； 考点 4　相似三角形的判定——两角、两边夹角、三边成比例、平行线型（对应题 5、题 6、题 9、题 10、题 14、题 15、题 16、题 17）； 考点 5　相似三角形的性质——周长比与面积比（对应题 4、题 11、题 18）； 考点 6　图形的位似——位似中心、坐标规律、分类讨论（对应题 12）。 考点特点 概念辨析是常客：相似多边形与位似的定义是选择填空高频——“一定相似的是”直接考定义（见题 3），对应角、对应边的“翻译”是计算第一步（见题 1、题 2）； 判定与配对是主力：三边成比例先“短对短、中对中、长对长”再配比；两边成比例时角必须是夹角，SSA 是高频设误点；平行线型（A 型）判定一步到位（见题 9）； 性质与“比”的翻译：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 ——由面积比反求线段要开平方（见题 9）；“谁与谁的比”要看清顺序（见题 4）；位似与坐标规律是本章特色题，同侧、异侧两个答案都要写全（见题 12），更专项的真题训练见后续逐考点资料。 答题方法（三步法） 第一步·找对应：角对角、边对边、点对点——书写相似时把对应顶点放在对应位置，先找准对应关系再动笔； 第二步·定方法：证相似先看角（两角相等最快），再看边（两边夹角、三边成比例）；求线段长用相似列比例式，涉及面积先换成“相似比的平方”再开平方； 第三步·验答案：位似题检查同侧、异侧两个答案是否写全（见题 12）；“谁与谁的比”与对应顺序前后一致；应用中求出的线段为正值才符合图形实际。 命题边界：限于第 3 章〈图形的相似〉——概念只考比例线段、黄金分割、相似多边形与位似的定义；判定只用两角对应相等、两边成比例且夹角相等、三边对应成比例，以及平行线导出的相似（A 型、X 型）；性质只用对应线段之比、周长比、面积比与位似坐标规律；解题可用的前置工具包括全等、勾股与平行四边形等，不使用圆与三角比等后续知识；题目均选自真题，个别真题的官方解析若超出本章范围，本资料详解一律改给界内解法。 PART 03 选择题（6 题）· 考点 1~6 题 1　选择题　　考点 2｜相似多边形的对应角 （2025·贵州贵阳花溪区·期中）已知四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 相似，∠A＝70°，∠B＝80°，∠C′＝120°，则∠D 的度数是（　　） A．100°　　B．110°　　C．90°　　D．120° 【答案】C 【解析】相似多边形的对应角相等——∠C′ 已知，先由对应关系翻译出∠C＝∠C′＝120°，再由四边形内角和 360° 求出∠D。故选 C。 【详解】因为四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 相似， 所以∠C＝∠C′＝120°。 因为四边形的内角和为 360°， 所以∠D＝360°−70°−80°−120°＝90°。故选 C。 【易错警示】∠C′ 是另一个四边形中的角——先用“对应角相等”把它翻译成本四边形的∠C，再进内角和；漏掉这一步翻译，120° 就用不到∠D 上。 题 2　选择题　　考点 3｜相似多边形的对应边 （2026·贵州贵阳观山湖区·二模）矩形 ABCD 与矩形 EFGH 相似，其中 AB＝4，BC＝6，EF＝2，则 FG 的长为（　　） A．3　　B．4　　C．6　　D．8 【答案】A 【解析】两个矩形相似，对应边成比例——按顶点书写顺序 ABCD 对 EFGH：AB 对 EF、BC 对 FG，列比例式求 FG。故选 A。 【详解】因为矩形 ABCD 与矩形 EFGH 相似， 所以对应边成比例，即 ＝。 代入得 ＝，即 2＝， 所以 FG＝＝3。故选 A。 【易错警示】相似多边形按顶点书写顺序确定对应——ABCD 对 EFGH 就是 AB 对 EF、BC 对 FG；矩形相似的前提是长宽之比相同，对应边不按比例的“长对宽”配法是错的。 题 3　选择题　　考点 2｜一定相似的多边形判断 （2025·贵州贵阳云岩区·期末）下列说法中，正确的是（　　） A．任意两个矩形都相似　　B．任意两个菱形都相似 C．任意两个正方形都相似　　D．任意两个等腰梯形都相似 【答案】C 【解析】“一定相似”要求对任意取值都同时满足对应角相等、对应边成比例——正方形四角都是直角、四边都相等，两个条件都稳；矩形只占角、菱形只占边。故选 C。 【详解】A：任意两个矩形的角都是直角，但长与宽之比不一定相同，对应边不一定成比例； B：任意两个菱形的四条边各自相等，但内角不一定对应相等； C：任意两个正方形的四个角都是直角、四条边各自相等（对应边成比例），一定相似； D：任意两个等腰梯形的角与边都不保证对应相等或成比例。故选 C。 【易错警示】角相等、边成比例缺一不可——矩形输在边、菱形输在角；判断“一定相似”就看图形的形状是否完全确定：正方形、等边三角形都是“形状唯一”的图形。 题 4　选择题　　考点 5｜相似比与周长之和 （2025·黑龙江绥化·中考）两个相似三角形的最长边分别为 10cm 和 6cm，若它们的周长之和为 48cm，则较小的三角形的周长为（　　） A．15cm　　B．18cm　　C．24cm　　D．30cm 【答案】B 【解析】最长边对最长边——由 10cm 与 6cm 得相似比 5:3；周长比等于相似比，把周长之和 48cm 按 5:3 分配。故选 B。 【详解】两个相似三角形的最长边分别为 10cm 和 6cm， 所以相似比为 10:6＝5:3，周长比也为 5:3。 设两个三角形的周长分别为 5x cm 与 3x cm（x＞0）， 则 5x＋3x＝48，解得 x＝6， 所以较小的三角形的周长为 3x＝18（cm）。故选 B。 【易错警示】周长比等于相似比（5:3），不是相似比的平方；问的是“较小”的周长——对应 3 份共 18cm，别顺手选成 5 份的 30cm。 题 5　选择题　　考点 4｜网格中三边成比例判相似 如图，A、B、C、D、E、G、H、M、N 都是方格纸中的格点，每个小正方形的边长都是 1。要使 △DEF 与 △ABC 相似，则点 F 应是点 G、H、M、N 中的（　　） A．H 或 N　　B．G 或 H　　C．M 或 N　　D．G 或 M 【答案】C 【解析】网格中线段的长度都要用勾股定理计算（横平竖直的距离平方和开方）——三边对应成比例才相似，且要“短对短、中对中、长对长”排序后再配比。先算出 △ABC 的三边，再逐个检验 F 的四个位置与 D、E 围成的三角形，三边能否同时放大同一个倍数。 【详解】由勾股定理可得： △ABC 中，AB＝3，AC＝，BC＝。 当点 F 与点 M 重合时：DE＝6，DF＝＝2，EF＝＝2。 因为 ＝＝＝2， 所以 △DEF∽△ABC（三边对应成比例的两个三角形相似）。 当点 F 与点 N 重合时，同理三边仍为 6、2、2，与 △ABC 的三边对应成比例，相似成立。 当点 F 与点 G（或点 H）重合时，出现 、 等边长，三边的比不相等，不能与 △ABC 相似。 故选 C。 【易错警示】不能只数“横竖各几格”就下结论——斜边必须开方；三边成比例的判定中“排序再配比”不能省，只验证两条边就选，恰是本题的设误点。 题 6　选择题　　考点 4｜三垂直构型与平行线相似 如图，AB、CD、EF 都与线段 BD 垂直，垂足分别为 B、D、F。若 AB＝1，CD＝3，则 EF 的长为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】三条线段都垂直于 BD，则 AB∥CD∥EF——交叉构型中，EF 同时是两个三角形的“中间平行线”：在 △ABD 中 EF∥AB，在 △CBD 中 EF∥CD。两个相似各列一个比例式，再用 BF＋DF＝BD 把两式相加，即可解出 EF。 【详解】因为 AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD， 所以 AB∥CD∥EF。 在 △ABD 中，因为 EF∥AB， 所以 ＝，即 ＝。 在 △CBD 中，因为 EF∥CD， 所以 ＝，即 ＝。 两式相加：EF＋＝＝＝1， 即 EF＝1， 所以 EF＝。故选 C。 【易错警示】EF 不能只用一个相似就求——它同时受上、下两条平行线约束，必须两个比例式相加；漏掉一个相似，就会错选 或 。 PART 04 填空题（6 题）· 考点 1~6 题 7　填空题　　考点 1｜比例线段求分式值 （2025·上海浦东新区·一模）已知 a:b＝2:3，那么 的值是 ______。 【答案】 【解析】比例式 a:b＝2:3 说明 a 是 2 份、b 是 3 份——设份设 k，把 整体用 k 表示，分子分母的 k 约去即得。 【详解】设 a＝2k，b＝3k（k＞0），则 a＋b＝2k＋3k＝5k。 所以 ＝＝。 【易错警示】 不是 ——看清分母是“a＋b”这个整体；设份（设 k）是比例计算的基本功，分子分母同时含 k 才能约分。 题 8　填空题　　考点 1｜黄金分割求较长段 （2025·上海浦东新区·一模）已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 AP＞BP，AB＝4，那么 AP＝ ___2−2___。 【答案】2−2 【解析】黄金分割点把线段分成较长段与较短段，较长段与全长的比等于黄金比 ——AP＞BP 说明 AP 是较长段，用 AB×黄金比直接求。 【详解】因为 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 AP＞BP，所以 AP 是较长段，＝（黄金比）。 所以 AP＝AB×＝4×＝2(−1)＝2−2。 【易错警示】条件 AP＞BP 决定 AP 是较长段、用“较长段＝全长×黄金比”求——若求的是较短段，须先求出较长段再作差 BP＝AB−AP；一条线段有两个黄金分割点，别默认给定的一定是较长段。 题 9　填空题　　考点 4｜平行线与面积比反求线段 （2025·上海浦东新区·一模）在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，如果 BC＝9，S△ADE:S四边形BCED＝1:8，那么 DE＝ ___3___。 【答案】3 【解析】DE∥BC 得 △ADE∽△ABC，面积比等于相似比的平方 ；S△ADE:S四边形BCED＝1:8 先换成 S△ADE:S△ABC，再开平方得相似比 DE:BC。 【详解】因为 DE∥BC，所以 △ADE∽△ABC。 由 S△ADE:S四边形BCED＝1:8，得 S△ADE:S△ABC＝1:(1＋8)＝1:9。 因为面积比等于相似比的平方，所以相似比 DE:BC＝（1:9 开平方取正值）。 所以 DE＝BC＝×9＝3。 【易错警示】S四边形BCED 是“剩余部分”，先把它并回整体再算——S△ADE:S△ABC＝1:9 不是 1:8；面积比开平方才是相似比，别直接拿 1:9 当线段比用。 题 10　填空题　　考点 4｜中线、分点与平行线分线段成比例 （2025-2026·安徽亳州蒙城·期中）如图，在 △ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，点 F 在 AD 上，且 DF＝AF。过点 F 作 FG∥AC 交 CD 于点 G，则 ＝________。 【答案】 【解析】DF＝AF 说明 AD 被分成三份——DF 只占 AD 的 ；FG∥AC 截 △DAC 的两边，得 △DFG∽△DAC，把 换成 ＝；最后乘上中线给出的 DC＝BC。两步比例相乘，是这类“连环比”的通用做法。 【详解】因为 DF＝AF， 所以 AD＝AF＋DF＝AF， 所以 ＝。 因为 FG∥AC， 所以 △DFG∽△DAC（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的三角形与原三角形相似）， 所以 ＝＝。 因为 AD 是 BC 边上的中线， 所以 DC＝BC。 所以 ＝×＝×＝。 【易错警示】DF＝AF 不能直接写成 ＝——DA＝AF＋DF 是三份，DF 只占 ；中线 DC＝BC 也要乘进去，两步比例相乘才是 。 题 11　填空题　　考点 5｜正方形对角线与相似面积比 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上一点，BE:EC＝2:1，AE 与对角线 BD 交于点 F，则 △AFD 与四边形 DEFC 的面积之比为 ____9:11____。 【答案】9:11 【解析】设份是首选：设 CE＝x，则 BE＝2x、边长为 3x。△EBF 与 △ADF 中，∠EBF＝∠ADF＝45°（BD 平分正方形的角）、∠EFB＝∠AFD（对顶角），两角相等得相似，面积比等于相似比的平方——用“小三角形的面积 a”表示出各部分面积，再整体减出四边形面积。 【详解】设 CE＝x，则 BE＝2x，正方形的边长 AD＝BC＝3x；设 S△BEF＝a。 因为四边形 ABCD 是正方形，BD 是对角线， 所以 ∠EBF＝∠CBD＝45°，∠ADF＝∠ADB＝45°， 又 ∠EFB＝∠AFD（对顶角相等）， 所以 △EBF∽△ADF（两角对应相等的两个三角形相似）。 所以 ＝＝， 所以 ＝＝，即 S△ADF＝a。 因为点 F 在对角线 BD 上，点 F 到 AB、BC 的距离相等， 所以 ＝＝，即 S△ABF＝a。 所以 S△ABE＝S△ABF＋S△BEF＝a。 又 S△ABE＝×AB×BE＝×3x×2x＝3， 所以 3＝a，即 ＝a。 所以 S正方形ABCD＝9＝a。 所以 S四边形DEFC＝S正方形ABCD−S△ABE−S△ADF＝a−a−a＝a。 所以 S△AFD:S四边形DEFC＝a:a＝9:11。 【易错警示】四边形 DEFC 的面积不能按顶点顺序直接套公式——它是正方形挖去两个三角形后的剩余部分，用“整体减”才可靠；相似三角形的面积比是相似比的平方， 对应 ，别只写比本身。 题 12　填空题　　考点 6｜位似坐标的双答案 （2025秋·湖南冷水江·期末）在平面直角坐标系中，已知 A(4，2)，B(2，−2)，以原点 O 为位似中心，把△OAB 缩小为原来的一半，得到△OA′B′，则点 A 的对应点 A′ 的坐标为 ___(2，1) 或 (−2，−1)___。 【答案】(2，1) 或 (−2，−1) 【解析】以原点为位似中心时，对应点的横、纵坐标分别同乘位似比 k——“缩小为原来的一半”即 |k|＝；k 可正可负：k＝ 时图形与原图形同侧，k＝− 时在异侧，两个答案都要写全。 【详解】位似中心为原点、位似比为 k 时，对应点 A′ 的坐标等于 A 的坐标乘 k。 当 k＝ 时，A′＝(4×，2×)＝(2，1)； 当 k＝− 时，A′＝(4×(−)，2×(−))＝(−2，−1)。 所以点 A 的对应点 A′ 的坐标为 (2，1) 或 (−2，−1)。 【易错警示】“缩小为原来的一半”没有说图形在哪一侧——同侧、异侧各有一个位似图形，坐标分别乘 与 −，只答一个丢一半分；点 B 的对应点同理为 (1，−1) 或 (−1，1)。 PART 05 解答题（6 题）· 考点 1~6 题 13　解答题　　考点 1｜黄金分割求线段长 已知点 M 是线段 AB 的黄金分割点，MA 是被分线段 AB 中较长的线段，且 MA＝−1，求线段 AB 的长。 【答案】AB＝2 【解析】黄金分割点把线段分成长、短两段——较长段与全长的比等于黄金比 ；MA 是较长段，按 列比例式，把 MA＝−1 代入即可解出 AB。 【详解】因为点 M 是线段 AB 的黄金分割点，且 MA 是较长的线段， 所以 ＝（较长段与全长的比为黄金比）。 因为 MA＝−1，代入上式得 ＝。 两个比例式的分子相同，所以 AB＝2。 经检验，MA＝−1＜AB＝2，符合较长段小于全长。 答：线段 AB 的长为 2。 【易错警示】较长段与“全长”的比才是黄金比——MA 是较长段，应列 而不是 ；解出 AB 后注意检验它比 MA 长，方向才没有搞反。 题 14　解答题　　考点 4｜两边成比例且夹角相等证相似 在△ABC 和△DEF 中，∠C＝∠F＝70°，AC＝3.5 cm，BC＝2.5 cm，DF＝2.1 cm，EF＝1.5 cm。求证：△ABC∽△DEF。 【答案】△ABC∽△DEF（证明见下方详解） 【解析】已知 ∠C＝∠F，只须再验证这两个角的邻边是否对应成比例——把 AC 与 DF、BC 与 EF 分别作比，比值相等即可由“两边成比例且夹角相等”判定相似。 【详解】因为 AC＝3.5 cm，BC＝2.5 cm，DF＝2.1 cm，EF＝1.5 cm， 所以 ＝＝，＝＝， 所以 ＝。 又因为 ∠C＝∠F＝70°， 所以 △ABC∽△DEF（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。 【易错警示】成比例的两组边必须是相等角两边的对应边——∠C 的邻边是 AC、BC，∠F 的邻边是 DF、EF，配对顺序不能乱；若相等的角不是两组成比例边的夹角（SSA），不能判定相似。 题 15　解答题　　考点 4｜平行线与比例式的传递 （2025-2026·安徽亳州蒙城·期中）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，AE 的延长线交 DC 的延长线于点 M，交 BD 于点 G。过点 G 作 GF∥BC 交 DC 于点 F。求证：＝。 【答案】证明见下方详解。 【解析】要证的比例式中， 与 分属不同的三角形——用“换比传递”：GF∥BC 在 △DBC 中给出 ＝；AB∥DM（平行四边形对边平行）加对顶角给出 △AGB∽△MGD，得 ＝；最后用平行四边形 AB＝CD 把 AB 换成 CD。三个比例环环相扣，是这类证明的骨架。 【详解】因为 GF∥BC， 所以 ＝（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）。 因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 AB∥DC，AB＝CD。 所以 AB∥DM。 因为 ∠AGB＝∠MGD（对顶角相等），∠ABG＝∠MDG（两直线平行，内错角相等）， 所以 △AGB∽△MGD（两角对应相等的两个三角形相似）。 所以 ＝（相似三角形的对应边成比例，AB 与 DM 是对应边）。 所以 ＝。 又 AB＝CD， 所以 ＝。 【易错警示】 与 不在同一个三角形里，不能指望一个相似一步到位——中间比 是桥梁；最后的 AB＝CD 换比最容易漏。 题 16　解答题　　考点 4｜网格相似判断与找点 （2025-2026·安徽亳州蒙城·期中）如图，在 3×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，△ABC 与 △BDE 的顶点都在格点上。 (1) 判断 △ABC 与 △BDE 是否相似，并说明理由； (2) 在边 AB 上找一点 F，使 △CBF 与 △ABC 相似，并求出 BF 的长。 【答案】(1) △ABC 与 △BDE 不相似；(2) BF＝2。 【解析】(1) 网格中线段的长度全部用勾股定理计算——三边是否对应成比例，要“短对短、中对中、长对长”排序后逐个配比，三边都对上才相似。(2) △CBF 与 △ABC 共用 ∠B（公共角），只需夹公共角的两边对应成比例：＝，即 BF＝——“公共角＋两边成比例”是找点的依据，不是靠目测。 【详解】(1) 由勾股定理可得： AB＝4，AC＝＝2，BC＝＝2； BD＝＝3，BE＝，DE＝2。 因为 ＝2，＝＝，＝， 三边的比不相等， 所以 △ABC 与 △BDE 不相似。 (2) 因为 ∠ABC＝∠CBF（公共角）， 要使 △CBF 与 △ABC 相似，只需夹公共角的两边对应成比例： ＝， 即 BF＝＝＝2。 此时 ＝＝＝（点 F 为 AB 的中点，CF＝2）， 所以 △ABC∽△CBF（两边对应成比例且夹角相等）。 所以 BF 的长为 2。 【易错警示】(1) “形状看起来像”不能代替计算——必须三边都比；(2) 找点 F 不能连中点“碰运气”——依据是公共角的两边成比例，由 ＝ 推出 BF＝。 题 17　解答题　　考点 4｜中点与平行线的比例证明 （2025-2026·安徽亳州蒙城·期中）如图，在 △ABC 中，点 D、E 分别为 BC、AC 上的点，连接 DE 并延长，交 BA 的延长线于点 F，且 BD＝DC。 (1) 求证：＝； (2) 若 ＝，AF＝10，求 AB 的长。 【答案】(1) 证明见下方详解；(2) AB＝20。 【解析】(1) “中点＋延长线”构型的标准辅助线是过 C 作 CH∥BA，交 FE 的延长线于 H：△DCH∽△DBF 加上 BD＝DC 得 CH＝BF；再由 CH∥AF 得 △AEF∽△CEH，＝＝。(2) 由 ＝ 得 ＝，代入 (1) 的比例式即可。 【详解】(1) 过点 C 作 CH∥BA，交 FE 的延长线于点 H。 因为 CH∥BF， 所以 △DCH∽△DBF（两直线平行，同位角相等）， 所以 ＝。 因为 BD＝DC， 所以 CH＝BF。 因为 CH∥AF， 所以 △AEF∽△CEH（∠AEF＝∠CEH 是对顶角，∠AFE＝∠CHE 是平行线的内错角）， 所以 ＝。 又 CH＝BF， 所以 ＝。 (2) 因为 ＝， 所以 ＝（AC＝AE＋EC，AE 占 1 份、EC 占 3 份）， 由 (1) 得 ＝。 因为 AF＝10， 所以 FB＝30。 所以 AB＝FB−FA＝30−10＝20。 【易错警示】(1) 的关键是 CH＝BF——它把 换成 ，少了这一步比例式对不上；(2) ＝ 对应 ＝，分母是 EC 不是 AC，别把 4 当分母。 题 18　解答题　　考点 5｜中点、对角线与相似的综合 （2025-2026·安徽亳州蒙城·期中）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别为边 AD、AB 的中点，连接 EF、CF，EF 与对角线 AC 交于点 G。 (1) 若 AC＝8，求 AG 的长； (2) 若 AB＝AC，求证：△AFG∽△ACF。 【答案】(1) AG＝2；(2) 证明见下方详解。 【解析】(1) 见到“平行四边形＋对角线”，先连接 BD 设交点 O——对角线互相平分给 AO＝AC；E、F 是中点给 EF∥BD（中位线），于是 FG∥BO，在 △AOB 中 ＝＝，AG＝AC。(2) AB＝AC 时 AF＝AC， 与 都等于 ，加上公共角 ∠FAG，两边成比例且夹角相等即得相似。 【详解】(1) 连接 BD，设 BD 与 AC 交于点 O。 因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 AO＝AC＝4（平行四边形的对角线互相平分）。 因为 E、F 分别是 AD、AB 的中点， 所以 EF 是 △ABD 的中位线，EF∥BD。 所以 FG∥BO。 在 △AOB 中，因为 FG∥BO， 所以 ＝＝， 所以 AG＝AO＝×4＝2。 (2) 因为 AB＝AC，且 F 是 AB 的中点， 所以 AF＝AB＝AC， 所以 ＝。 由 (1) 得 AG＝AC， 所以 ＝＝。 又 ∠FAG＝∠CAF（公共角）， 所以 △AFG∽△ACF（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。 【易错警示】(1) AG＝AO＝AC，两个 缺一不可——只乘一次会得 AG＝4；(2) 相似的对应是 A 对 A、F 对 C、G 对 F，正确的比例是 ＝，配错对应边比例式就全错。 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错因 订正完成 题 1 相似多边形对应角求角·选择 题 2 相似多边形对应边求边·选择 题 3 多边形一定相似的判断·选择 题 4 相似比与周长之和计算·选择 题 5 网格中三边成比例判相似·选择 题 6 三垂直构型求交线段·选择 题 7 比例线段求分式值·嵌空填空 题 8 黄金分割求较长段·嵌空填空 题 9 平行线面积比反求线段·嵌空填空 题 10 中线与平行线分线段成比例·嵌空填空 题 11 正方形对角线与面积比·嵌空填空 题 12 位似坐标双答案·嵌空填空 题 13 黄金分割求线段长·解答 题 14 两边成比例夹角相等证相似·解答 题 15 平行线比例式传递证明·解答 题 16 网格相似判断与找点·解答 题 17 中点与平行线比例证明·解答 题 18 中点对角线相似综合·解答 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至期中前——只重做打不了勾的题；后续第三章逐考点讲义按考点 1~6 展开，与本表考点细目列对应。 1 学科网（北京）股份有限公司 $