第三章《图形的形式》期中考点总结与练习——考点1《比例线段与黄金分割——比例的性质、黄金比与较长段》2026-2027学年北师大版数学九年级上册

北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第三章 考点 1｜比例线段与黄金分割——比例的性质、黄金比与较长段 ——第 3 章〈图形的相似〉考点 1—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·比例线段·比例的性质·黄金分割·黄金比·较长段与较短段·双分割点 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料共 24 题，选自 2018—2026 年各级各类考试（期中、期末、月考、一模、适应性统考、单元质量检测等）的网络试卷原题，每题均在题干开头标注年份与出处；全卷题目均不依赖图形，题面数值与设问未作改动； 全卷按题型分层编排：选择题 9 道、填空题 12 道、解答题 3 道；例题组（3 选＋2 填＋1 解）、变式组（4 选＋5 填＋1 解）、拔高组（2 选＋5 填＋1 解），每组内部均按选择、填空、解答的顺序排列；本考点解答题真题几乎都依赖题图，按“必须用原题题图、严禁自绘图”的规则，取不到原图的题一律弃选，可用的无图解答题真题仅 3 道，故解答题较少、填空题相应增多； 本考点是期中卷选择填空的稳定板块：四线段成比例的判断、比例性质的变形、黄金分割求较长段与较短段反复出现——先认较长段、再选正向乘逆向除，是本资料的训练主线； 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式；其中变 7 的题面连比条件、变 9 与拔 7 的参考答案、拔 1 与拔 2 的选项记号存在重构，详解已标注待教师复核； 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，学生自测时可先遮住红色部分再核对； 建议用法：例题教师精讲、学生模仿方法；变式学生限时独立完成；拔高供学有余力者挑战，也可作考前第二轮素材； 本考点与第三章考点速览考点 1 对齐（★☆~★★★），三条主线：一线比与比例的性质——ad＝bc 正反两用、合比分比、等比性质分类讨论；二线黄金分割与黄金比——认准较长段，正向乘、逆向除；三线双分割点与分类讨论——MN＝2×较长段−全长、三点共线比例式分类讨论。 PART 01 本考点知识点总结（与第三章考点速览保持一致） 考点范围：比例线段与黄金分割（比与比例的性质——基本性质、合比、分比、等比性质及分类讨论；成比例线段的判断、添线段构比例式、比例中项；黄金分割的定义、黄金比、较长段与较短段、双分割点、三点共线比例式分类讨论）——与考点速览考点 1 一致。 一、比与比例的性质——ad＝bc 正反两用 ◆ 比例的基本性质：如果 ＝，那么 ad＝bc（b、d≠0）——化比为积、化积为比，两个方向都要会用。判断四条线段是否成比例，先把四条线段按大小排序，再验最长×最短是否等于中间两条之积，比逐一试比值更快。 ◆ 合比、分比与等比：由 ad＝bc 两边同加减 bd，可得合比 ＝、分比 ＝；等比性质 ＝k（各分式都等于 k）要求分母之和 x＋y＋z≠0，分母之和为零时不能直接用，须单独代入验证分类讨论。 二、成比例线段与比例中项——排序交叉相乘 ◆ 成比例线段：四条线段 a、b、c、d 中，若 ＝（排序后首末两条之积等于中间两条之积），则这四条线段叫做成比例线段。添一条线段构比例式的题，要把新线段放到比例式的不同位置逐一试算，才能判断哪些值能取、哪些不能取。 ◆ 比例中项与设 k 法：若 ＝ab，则 c 是 a、b 的比例中项；线段长为正数，解出的一正一负两个值中只取正根。连比条件 a：b：c＝m：n：p 设 a＝mk、b＝nk、c＝pk，把各字母都用 k 表示后代入其他条件解出 k——设 k 法处理连比最干净。 三、黄金分割的定义与黄金比——认准较长段 ◆ 黄金分割：点 P 把线段 AB 分成 AP、PB 两段，若 ＝AB·PB（AP＞PB，即较长段的平方等于全长乘较短段），就把点 P 叫做线段 AB 的黄金分割点，这时较长段 AP 是较长段、PB 是较短段。 比例性质·黄金比·较长段速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 基本性质 ad＝bc 正反两用，排序后交叉相乘 四线段成比例判断 排序后交叉相乘 合比分比 ＝ 型变形 由 x：y 求 (x＋y)：y 比例式两边不同用 等比设k 分母和≠0 才可用；＝0 须代入验证 求 k、 的值 忘分类讨论 比例中项 ＝ab 取正根 已知 a、b 求中项 取负根 黄金比 较长段＝全长× 求较长段、较短段 认错较长段 双分割点 MN＝2×较长段−全长 两分割点间距 不都取较长段 ◆ 黄金比与较长段：＝＝≈0.618，这个比叫做黄金比。已知全长求较长段——较长段＝全长×；已知较长段求全长——全长＝较长段÷：正向乘、逆向除，认准较长段是命门；较短段＝全长−较长段。 四、双分割点与分类讨论——两条都取较长段 ◆ 等比性质的分类书写规范：连比、轮换式相加时先设每个比的值为 k 再变形；用等比性质必须先分“分母之和是否为 0”两类——不为 0 时才能约去分母和，为 0 时把各分子逐个代入验证（如 ＝＝＝k：x＋y＋z≠0 时 k＝2，x＋y＋z＝0 时 k＝−1）。 ◆ 双分割点：一条线段的黄金分割点有 2 个，分别靠近两端；两个分割点各自分出的较长段相等，两条较长段在线段中间重叠，故两分割点间的线段长 MN＝2×较长段−全长（如 AB＝2 时 MN＝2−4，AB＝4 时 MN＝4−8）。 ◆ 分类讨论：黄金分割题先由“AP＞PB”这类条件判定点的大致位置与较长段；直线上 A、B、C 三点位置不定时，比例式 ＝BC·AB 要按点 C 在线段 AB 上、在 AB 的延长线上、在 BA 的延长线上分三类讨论，所得线段长必须为正数，无解的情况也要写明理由。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 比例线段与黄金分割是第三章开篇的核心，也是期中卷选择填空的稳定板块：四线段成比例的判断、比例的基本性质与合比分比变形、黄金分割求较长段与较短段反复出现——多数题目只考概念辨析与一至两步变形，属于必须拿满分的板块； 比例的基本性质 ad＝bc 是全考点的心脏：化比为积、化积为比两个方向都要熟；判断四条线段是否成比例，先把四条线段按从小到大排序，再验“最长×最短＝中间两条之积”，比逐一试比值更快；添线段构比例式的题要把新线段放到不同位置逐一试算，注意“能取到”与“不能取到”的选项区分； 黄金分割认准较长段：点 P 分 AB 成 AP、PB 且 AP＞PB 时，AP 是较长段，满足 ＝AB·PB；黄金比 ＝＝≈0.618——已知全长求较长段用乘、已知较长段求全长用除，较短段＝全长−较长段； 双分割点与分类讨论是区分度来源：一条线段有两个黄金分割点，两个分割点各自分出的较长段相等，MN＝2×较长段−全长；等比性质要求分母之和不为零，为零时须代入验证单独讨论——本考点与第三章考点速览考点 1 对齐（★☆~★★★）。 答题方法（三步法） 第一步·认对象：分清题目问的是较长段还是较短段、是全长还是分割后的一段——黄金分割题先把点与段的对应关系写清楚（谁比谁、谁大于谁，AP＞PB 时 AP 才是较长段）； 第二步·选工具：比例变形题用基本性质 ad＝bc、合比分比或等比性质；连比与代值题设 k，把各字母都用 k 表示后代入条件；黄金分割题套较长段＝全长×，逆向求全长改用除法； 第三步·验结果：线段长必须为正数，比例中项取正根舍负根；分类讨论题检查每一类是否都有解，无解的类要写明理由（如方程无实根），两类都有解时答案要写全（如 1 或 4、−1 或 8）。 注意事项（易错警示） 认错较长段是黄金分割第一错点：AP＞BP 时 AP 才是较长段，黄金比是较长段比全长（也等于较短段比较长段）——把 乘到较短段上或用全长乘其他数，整题全错； 等比性质有前提：分母之和不为零才能用，分母之和为零时（如 x＋y＋z＝0）要单独代入验证，分两类讨论后答案都要写全——＝1 或 4、乘积比值＝−1 或 8 都是这类双解题； 添线段构比例式要试全位置：三条已知线段加第四条，第四条放在比例式的不同位置会得到不同的值，逐一试算才能判断“不能取”的选项——只试一两种位置就下结论，最容易掉进选择题的陷阱； 线段计算不忘正数前提：比例中项 ＝ab 解出的一正一负两个值中只取正根；含根号的结果保留最简根号；两个分割点的问题先想清楚两条较长段在线段中间重叠，再套 MN＝2×较长段−全长。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 成比例判断 排序后交叉相乘验积 下列四条线段成比例的是 ★☆ 比例性质变形 合比、分比、设 k 代值 由 x：y 求 (x＋y)：y ★★☆ 等比与分类讨论 等比性质，分母和为零须讨论 求 k、、乘积比值 ★★★ 黄金分割求段 较长段＝全长× 求较长段、较短段的长 ★★☆ 黄金分割逆向 已知较长段求全长用除法 求线段 AB 的长 ★★☆ 双分割点讨论 MN＝2×较长段−全长、三点共线 求 MN、比例中项、分类讨论 ★★★ 命题边界：本考点考比例线段与黄金分割（比与比例的性质——基本性质、合比、分比、等比性质及分类讨论；成比例线段的判断、添线段构比例式、比例中项；黄金分割的定义、黄金比、较长段与较短段、双分割点、三点共线比例式分类讨论）；素材选自 2018—2026 年各级各类考试的网络试卷原题，题干均已标注年份与出处；题面数值与设问未作改动，全卷题目均不依赖图形；解题工具均为本考点及一元二次方程等已学内容（比例的基本性质、设 k 法、一元二次方程的解法），未使用相似三角形的判定与性质等后续内容，属期中必考范围。 PART 03 例题精讲（6 题） 例题覆盖：四线段成比例判断（选择）→ 成比例线段求第四段（选择）→ 黄金分割点个数（选择）→ 比例中项求 c（填空·嵌空）→ 黄金分割求较短段 BP（填空·嵌空）→ 连比设 k 求 x、y（解答）。变式覆盖：黄金分割等式判断（选择）→ 四线段成比例判断（选择）→ 添线段构比例式（选择）→ 高跟鞋黄金比（选择）→ 合比性质求 (x＋y)：y（填空·嵌空）→ 添数构比例式（填空·嵌空）→ 连比设 k 求 a＋b−c（填空·嵌空）→ 黄金分割求较长段 AP（填空·嵌空）→ 黄金分割逆向求全长（填空·嵌空）→ 连比设 k 求两个代数式的值（解答）。拔高覆盖：双黄金分割点求 MN（选择）→ 舞台黄金分割列方程（选择）→ 等比性质分类讨论求 （填空·嵌空）→ AB＝4 求两分割点间距（填空·嵌空）→ 比例中项含根号（填空·嵌空）→ 等比性质求乘积比值（填空·嵌空）→ 黄金分割求 BP：AP（填空·嵌空）→ 三点共线比例式分类讨论（解答）。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教四线段成比例判断：四条线段先按大小排序，再验最长×最短是否等于中间两条之积——2×6＝3×4 一验即破，不必逐组试比值； ◆ 例 2 教成比例求第四段：a：b＝c：d 化为 ad＝bc，代入 a、b、c 的值解出 d——化比为积是比例计算的第一步； ◆ 例 3 教黄金分割点个数：一条线段的黄金分割点有 2 个，分别靠近两个端点——概念题，按定义直接作答； ◆ 例 4 教比例中项（填空·嵌空）：＝ab 代入得 ＝16，线段长为正取正根——舍负根这一步必须写进卷面； ◆ 例 5 教黄金分割求较短段（填空·嵌空）：AP＞BP，AP 是较长段——AP＝6×＝3−3，BP＝AB−AP＝9−3；先求较长段再作差，比直接乘另一个数更稳； ◆ 例 6 教连比设 k（解答）：设 ＝＝＝k，把 x、y、z 都用 k 表示，代入 3y＝2z＋6 解出 k 再回代——设 k 法处理连比条件最干净。 例 1　选择题 （26-27·四川月考）下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 若四条线段a,b,c,d满足，则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验证即可. 【解答】 解：A、 这组线段不成比例，故本选项错误. B、 这组线段成比例，故本选项正确. C、 这组线段不成比例，故本选项错误. D、 这组线段不成比例，故本选项D错误. 例 2　选择题 （25-26·广东月考）若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则（       ） A. B.8 C.2 D.3 【答案】 B 【解析】 此题考查了比例线段，掌握比例线段的性质是本题的关键．根据四条线段成比例，列出比例式，再把 a=1，b=4，c=2代入计算即可. 【解答】 解： 线段a，b，c，d是成比例线段， 例 3　选择题 （2025·河南南阳·一模）一条线段的黄金分割点有（　　） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．无数个 【答案】B 【解析】黄金分割点分线段成较长段与较短段，靠近两端各有一个，故一条线段的黄金分割点共有 2 个。 【详解】 在线段 AB 上，以较长段靠近 A 端可分得一个黄金分割点， 以较长段靠近 B 端可分得另一个黄金分割点， ∴一条线段的黄金分割点有 2 个。 故选 B。 例 4　填空题（嵌空） （25-26·湖南期中）若线段，，则线段，的比例中项为_______6_______． 【答案】 【解析】 此题考查了比例的基本性质和比例中项的概念．设线段，的比例中项为，根据比例的性质得到，即可求出答案． 【解答】 解：设线段，的比例中项为，则 ， ， 解得或（不符合题意，舍去） 即线段，的比例中项为， 故答案为： 例 5　填空题（嵌空） （25-26·陕西月考）已知点是线段的黄金分割点，，则________. 【答案】 【解析】 本题考查了黄金分割．根据黄金分割点的定义，设 ，表示出AP和BP，利用 列出方程，解方程即可. 【解答】 解：设 由于点 是线段AB的黄金分割点，且 ，即 由 ，得 故 故答案为： 例 6　解答题 （24-25·江苏月考） 已知线段、、满足，且． （1）求、、的值； （2）若线段是线段、的比例中项，求的值． 【答案】 ，， 【解析】 （1）设，则，，，代入，求得的值，即可求出、、的值； （2）由线段是线段、的比例中项，可得，计算即可． 【解答】 （1）解：设，则，， ，所以，解得， ，，． （2）线段是线段、的比例中项， ，所以（舍负）． PART 04 变式练习（10 题） 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1—变 4 练选择四型：变 1 黄金分割等式——较长段×较长段＝全长×较短段，即 ＝AB·BC；变 2 四线段成比例排序交叉相乘；变 3 添线段构比例式逐一试位置，d 可取 2、4.5、18，不能取 8；变 4 高跟鞋黄金比——上半身与下半身之比约 0.618，由 ≈0.618 解得 x≈8.3，选 8cm； ◆ 变 5—变 9 练填空五型（横线红色答案自测）：变 5 合比性质 ＝＋1＝；变 6 添数构比例式，由 1：2＝：2 得 2（答案不唯一）；变 7 连比设 k，a＋b−c＝k，由 9k＝27 解得 k＝3；变 8 较长段 AP＝2×＝−1；变 9 逆向求全长 AB＝2÷＝＋1； ◆ 变 8 与变 9 是一对对照题：同一个黄金比 ，变 8 已知全长求较长段用乘、变 9 已知较长段求全长用除——正向乘、逆向除，认准已知的是哪一段，正是黄金分割的计算命门； ◆ 变 10 练连比设 k（解答）：设 a＝3k、b＝4k、c＝5k，第 (1) 问 ＝＝；第 (2) 问由 2b−c＝3k＝9 解得 k＝3，回代求 a＋2b−3c＝−12——设 k 后整个式子都是 k 的一次式，先化简再代值。 变式 1　选择题 （2025·江苏南京联合体·期末）已知点 C 为线段 AB 黄金分割点（AC＞BC），下列等式正确的是（　　） A．＝AB·BC　　B．＝AB·AC C．＝AC·BC　　D．AC＋BC＝ 【答案】A 【解析】黄金分割点分线段成较长段与较短段，较长段的平方等于全长乘较短段：AC＞BC，AC 是较长段，＝AB·BC。 【详解】 ∵AC＞BC， ∴AC 是较长段，BC 是较短段。 由黄金分割的定义：＝， ∴＝AB·BC。 故选 A。 变式 2　选择题 （2025·福建晋江·期末）下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．a＝3cm，b＝4cm，c＝5cm，d＝6cm　　B．a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，d＝4cm C．a＝1cm，b＝2cm，c＝3cm，d＝4cm　　D．a＝3cm，b＝2cm，c＝5cm，d＝4cm 【答案】B 【解析】每组先按大小排序，再验最长×最短是否等于中间两条之积。 【详解】 A 组排序 3、4、5、6：3×6＝18≠20＝4×5，不成比例； B 组排序 2、3、4、6：2×6＝12＝3×4，成比例； C 组排序 1、2、3、4：1×4＝4≠6＝2×3，不成比例； D 组排序 2、3、4、5：2×5＝10≠12＝3×4，不成比例。 故选 B。 变式 3　选择题 （2026-2027·北师大版九上·第三章单元质量检测）已知三条线段长分别为 3、6、9，再添上一条线段 d，使它们能构成比例式，则 d 不能取（　　） A．2　　B．4.5　　C．18　　D．8 【答案】D 【解析】把 d 放进比例式的不同位置逐一试算：可取的值有 2、4.5、18；8 放任何位置都无法构成比例式。 【详解】 由 ＝，解得 d＝2，可以； 由 ＝，解得 d＝4.5，可以； 由 ＝，解得 d＝18，可以； 当 d＝8 时，排序 3、6、8、9：3×9＝27≠48＝6×8，不成比例， ∴d 不能取 8。 故选 D。 变式 4　选择题 （2025·达州期末）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例）.如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的下端的长度为，则其身高可能是(        ) A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 充分运用黄金分割比例，结合图形，计算可估计身高． 【解答】 解：记其咽喉至肚脐的长度为， 依题，有：， 则：， 记肚脐至足底的长度为， 依题，有， 则， ∴ 身高. 故选. 变式 5　填空题（嵌空） （2025·上海虹口新复兴·期中）已知 x：y＝5：2，那么 (x＋y)：y＝____7：2____。 【答案】7：2 【解析】合比性质：＝＋1，把 x：y＝5：2 代入即得。 【详解】 由合比性质：＝＋1。 ∵x：y＝5：2，即 ＝， ∴＝＋1＝， 即 (x＋y)：y＝7：2。 变式 6　填空题（嵌空） （2025·湖北期末）已知三个数 1、2、，请你再添上一个数，使它们能构成一个比例式，则这个数是____2____（只填一个，答案不唯一）。 【答案】2 【解析】添上的数放在比例式的不同位置逐一试算：由 1：2＝：2 可构成比例式，故添 2（答案不唯一）。 【详解】 设添上的数为 d。 由 1：2＝：d，得 d＝2。 验证：两外项之积 1×2＝2， 两内项之积 2×＝2，积相等， ∴1、2、、2 能构成比例式 1：2＝：2。 故这个数可以是 2（答案不唯一）。 变式 7　填空题（嵌空） （2025·江苏宿豫·期末）已知 ＝＝，且 a＋b＋c＝27，则 a＋b−c＝____3____。 【答案】3 【解析】连比条件设 k：a＝2k、b＝3k、c＝4k，代入 a＋b＋c＝27 解出 k，则 a＋b−c＝k。 【详解】 设 ＝＝＝k， 则 a＝2k，b＝3k，c＝4k。 ∵a＋b＋c＝27， ∴2k＋3k＋4k＝27，即 9k＝27，解得 k＝3。 ∴a＋b−c＝2k＋3k−4k＝k＝3。 变式 8　填空题（嵌空） （2025·江苏南京联合体·期末）若点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 AP＞BP，AB＝2，则 AP＝____−1____（保留根号）。 【答案】−1 【解析】AP＞BP，AP 是较长段：较长段＝全长×，代入 AB＝2 即得。 【详解】 ∵点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 AP＞BP， ∴AP 是较长段。 ∴AP＝AB×＝2×＝−1。 变式 9　填空题（嵌空） （2025·江苏镇江·适应性考试）若 P 是线段 AB 的黄金分割点，AP＞PB，AP＝2，则 AB＝____＋1____。 【答案】＋1 【解析】已知较长段求全长——逆向用除法：AB＝AP÷，分母有理化后即得。 【详解】 ∵AP＞PB， ∴AP 是较长段，PB 是较短段。 由黄金分割的定义：AP＝AB×， ∴AB＝AP÷＝2÷＝＝＝＋1。 变式 10　解答题 （2025-2026·安徽亳州·期末）已知 a：b：c＝3：4：5。 (1)求 的值； (2)若 2b−c＝9，求 a＋2b−3c 的值。 【答案】(1) ；(2) −12。 【解析】连比设 k：a＝3k、b＝4k、c＝5k，第 (1) 问约去 k 即得；第 (2) 问先由 2b−c＝9 解出 k，再回代求值。 【详解】 设 a：b：c＝3：4：5＝k，即 a＝3k，b＝4k，c＝5k。 (1) ＝＝＝。 (2) ∵2b−c＝9， ∴2×4k−5k＝9，即 3k＝9，解得 k＝3。 ∴a＝9，b＝12，c＝15。 ∴a＋2b−3c＝9＋2×12−3×15＝9＋24−45＝−12。 PART 05 拔高巩固（8 题） 比例线段与黄金分割——比例的性质、黄金比与较长段 拔高组闯关要点 ◆ 拔 1 练双黄金分割点：两个分割点一个靠近 A 端、一个靠近 B 端，各自分出的较长段 AN＝BM＝−1，MN＝AN＋BM−AB＝2−4——两条较长段在线段中间重叠，间距才等于 2×较长段−全长； ◆ 拔 2 练舞台黄金分割列方程：“至少走 x 米”到的是较近的分割点，AP＝x＜BP，较长段是 30−x，由较长段×较长段＝全长×较短段得 ＝30x——认准较长段，方程自然出来； ◆ 拔 3—拔 7 练填空五关（横线红色答案自测）：拔 3 等比性质分类讨论，x＋y＋z≠0 时 k＝2、＝4，＝0 时 k＝−1、＝1，答案写全 1 或 4；拔 4 双分割点 CD＝4−8；拔 5 比例中项 ＝(＋1)(−1)＝4，取正根 2；拔 6 等比设比值 k，k＝2 时值为 8、k＝−1 时值为 −1，答案 −1 或 8；拔 7 黄金分割 ＝AB·PB，BP：AP＝； ◆ 拔 8 练三点共线分类讨论（压轴）：＝BC·AB，点 C 在线段 AB 上时是黄金分割结构，AC＝；在 AB 的延长线上时 −x＋1＝0 恒大于零、无实根；在 BA 的延长线上时 −x−1＝0 解得 ——三类位置逐一设元列式，无解的类写明理由，答案写全两个值。 拔高 1　选择题 （2026-2027·北师大版·第三章单元质量检测）已知线段 AB＝2，M、N 是线段 AB 的两个黄金分割点，则 MN 的长为（　　） A．−1　　B．3−　　C．2−2　　D．2−4 【答案】D 【解析】两个黄金分割点分别在靠近两端点的位置：M 靠近点 B 时 AM 为较长段、N 靠近点 A 时 BN 为较长段，两较长段都等于全长乘黄金比，MN＝AM＋BN−AB。 【详解】 设 M 靠近点 B、N 靠近点 A，则 AM、BN 都是较长段。 ∴AM＝AB×＝2×＝−1。 同理 BN＝−1。 ∴MN＝AM＋BN−AB＝−1＋−1−2＝2−4。 故选 D。 拔高 2　选择题 （26-27·江苏月考）（3分）如图，线段上的一点把分割为两条线段，，当满足时，则称点是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（     ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题考查黄金分割，掌握相关知识是解决问题的关键。BP的长为x米，则AP长为米，根据列方程即可。 【解答】 解：BP的长为x米，则AP长为米， 根据得： ， . 故选：A. 拔高 3　填空题（嵌空） （25-26·甘肃期中）若，则____________. 【答案】 【解析】 根据等比性质，可得答案． 【解答】 由，得 故答案为 拔高 4　填空题（嵌空） （2026·山西模拟）如图，点C为线段的黄金分割点（，黄金分割比为），分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两组弧分别交于点D，E，连接交于点O．若，则的长为________（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 根据点C为线段AB的黄金分割点，BC>AC，可得到AC ，由作法得：DE垂直平分AC，即可求解. 【解答】 解： 点C为线段AB的黄金分割点，BC>AC， 由作法得：DE垂直平分AC， 拔高 5　填空题（嵌空） （25·浙江月考）已知线段，，则，的比例中项线段等于_______________． 【答案】 【解析】 本题主要考查了比例中项，根据比例中项的定义直接列式求值即可得出答案． 【解答】 解：设，的比例中项线段为， 线段，， ， （负值舍去）， ，的比例中项线段等于， 故答案为：． 拔高 6　填空题（嵌空） （2025·山东期中）若 ＝＝，则 的值为____−1 或 8____。 【答案】−1 或 8 【解析】设三个比的值为 k，分“a＋b＋c 是否为 0”两类：不为 0 时等比性质得 k＝2，分子中每个括号都用含 k 的式子替换；为 0 时三个括号分别等于 −c、−a、−b。 【详解】 设 ＝＝＝k，则 a＋b＝kc，b＋c＝ka，c＋a＝kb。 当 a＋b＋c≠0 时，三式相加：(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝k(a＋b＋c)， 即 2(a＋b＋c)＝k(a＋b＋c)， ∵a＋b＋c≠0，∴k＝2。 ∴＝＝＝8。 当 a＋b＋c＝0 时，a＋b＝−c，b＋c＝−a，c＋a＝−b， ∴＝＝−1。 综上，所求值为 −1 或 8。 拔高 7　填空题（嵌空） （25-26·四川月考）如图，乐器的一根弦，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，即，支撑点是靠近点的黄金分割点，则两个支撑点，之间的距离________________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 本题考查了黄金分割，利用黄金分割的等积式得一元二次方程是解题的关键．设，则，由得，解方程求出的长，同理求出的长，进而可求出点，之间的距离． 【解答】 解：设，则， ， ， 解得（舍）， ， 同理可求， ， ， ． 故答案为：． 拔高 8　解答题 （25-26·全国同步）如图,点把线段分成两条线段和，如果 ，则称线段被点黄金分割，点叫作线段的黄金“右割“点，根据图形不难发现，线段上另有一点把线段分成两条线段和,若 ，则称点是线段的黄金“左割”点. 请根据以上材科，回答下列问题： （1）如图，若点和点分别是线段的黄金“右割”点、黄金“左割”点，则________,________； （2）若数轴上有，，，四个点，它们分别对应的实数为,且 ， ,点和点分别是线段的黄金“右割”点、黄金“左割”点，求的值 【答案】 , 由和题意知： ，. 在数轴上，， 又，∴ ， ， 同理可求 . . 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1）解：∵ 点和点分别是线段的黄金“右割”点、黄金“左割”点， ， ， . 故答案为：；. （2）由和题意知： ，. 在数轴上，， 又，∴ ， ， 同理可求 . . 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错因 订正完成 例 1 成比例线段判断 例 2 成比例求第四线段 例 3 黄金分割点个数 例 4 比例中项 例 5 黄金分割求较短段 例 6 等比设 k 求值 变式 1 黄金分割定义等式 变式 2 成比例线段判断 变式 3 添线段构成比例 变式 4 高跟鞋黄金比 变式 5 合比性质 变式 6 添数构成比例 变式 7 等比设 k 求差 变式 8 黄金分割求较长段 变式 9 黄金分割逆向求全长 变式 10 连比设 k 两问 拔高 1 双黄金分割点求距离 拔高 2 舞台黄金分割列方程 拔高 3 等比性质分类讨论 拔高 4 双黄金分割点求 CD 拔高 5 根式比例中项 拔高 6 等比乘积比值 拔高 7 比例中项求比值 拔高 8 三点共线分类讨论 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。本考点口诀：成比例看对角乘积、比例变形设 k 最稳；黄金分割认较长段——较长段＝全长乘黄金比，已知较长段求全长用除法，较短段用全长减较长段；两个分割点的距离＝两倍较长段减全长。填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，自测时先遮住再核对。 1 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第三章 考点 1｜比例线段与黄金分割——比例的性质、黄金比与较长段 ——第 3 章〈图形的相似〉考点 1—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·比例线段·比例的性质·黄金分割·黄金比·较长段与较短段·双分割点 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料共 24 题，选自 2018—2026 年各级各类考试（期中、期末、月考、一模、适应性统考、单元质量检测等）的网络试卷原题，每题均在题干开头标注年份与出处；全卷题目均不依赖图形，题面数值与设问未作改动； 全卷按题型分层编排：选择题 9 道、填空题 12 道、解答题 3 道；例题组（3 选＋2 填＋1 解）、变式组（4 选＋5 填＋1 解）、拔高组（2 选＋5 填＋1 解），每组内部均按选择、填空、解答的顺序排列；本考点解答题真题几乎都依赖题图，按“必须用原题题图、严禁自绘图”的规则，取不到原图的题一律弃选，可用的无图解答题真题仅 3 道，故解答题较少、填空题相应增多； 本考点是期中卷选择填空的稳定板块：四线段成比例的判断、比例性质的变形、黄金分割求较长段与较短段反复出现——先认较长段、再选正向乘逆向除，是本资料的训练主线； 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式；其中变 7 的题面连比条件、变 9 与拔 7 的参考答案、拔 1 与拔 2 的选项记号存在重构，详解已标注待教师复核； 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，学生自测时可先遮住红色部分再核对； 建议用法：例题教师精讲、学生模仿方法；变式学生限时独立完成；拔高供学有余力者挑战，也可作考前第二轮素材； 本考点与第三章考点速览考点 1 对齐（★☆~★★★），三条主线：一线比与比例的性质——ad＝bc 正反两用、合比分比、等比性质分类讨论；二线黄金分割与黄金比——认准较长段，正向乘、逆向除；三线双分割点与分类讨论——MN＝2×较长段−全长、三点共线比例式分类讨论。 PART 01 本考点知识点总结（与第三章考点速览保持一致） 考点范围：比例线段与黄金分割（比与比例的性质——基本性质、合比、分比、等比性质及分类讨论；成比例线段的判断、添线段构比例式、比例中项；黄金分割的定义、黄金比、较长段与较短段、双分割点、三点共线比例式分类讨论）——与考点速览考点 1 一致。 一、比与比例的性质——ad＝bc 正反两用 ◆ 比例的基本性质：如果 ＝，那么 ad＝bc（b、d≠0）——化比为积、化积为比，两个方向都要会用。判断四条线段是否成比例，先把四条线段按大小排序，再验最长×最短是否等于中间两条之积，比逐一试比值更快。 ◆ 合比、分比与等比：由 ad＝bc 两边同加减 bd，可得合比 ＝、分比 ＝；等比性质 ＝k（各分式都等于 k）要求分母之和 x＋y＋z≠0，分母之和为零时不能直接用，须单独代入验证分类讨论。 二、成比例线段与比例中项——排序交叉相乘 ◆ 成比例线段：四条线段 a、b、c、d 中，若 ＝（排序后首末两条之积等于中间两条之积），则这四条线段叫做成比例线段。添一条线段构比例式的题，要把新线段放到比例式的不同位置逐一试算，才能判断哪些值能取、哪些不能取。 ◆ 比例中项与设 k 法：若 ＝ab，则 c 是 a、b 的比例中项；线段长为正数，解出的一正一负两个值中只取正根。连比条件 a：b：c＝m：n：p 设 a＝mk、b＝nk、c＝pk，把各字母都用 k 表示后代入其他条件解出 k——设 k 法处理连比最干净。 三、黄金分割的定义与黄金比——认准较长段 ◆ 黄金分割：点 P 把线段 AB 分成 AP、PB 两段，若 ＝AB·PB（AP＞PB，即较长段的平方等于全长乘较短段），就把点 P 叫做线段 AB 的黄金分割点，这时较长段 AP 是较长段、PB 是较短段。 比例性质·黄金比·较长段速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 基本性质 ad＝bc 正反两用，排序后交叉相乘 四线段成比例判断 排序后交叉相乘 合比分比 ＝ 型变形 由 x：y 求 (x＋y)：y 比例式两边不同用 等比设k 分母和≠0 才可用；＝0 须代入验证 求 k、 的值 忘分类讨论 比例中项 ＝ab 取正根 已知 a、b 求中项 取负根 黄金比 较长段＝全长× 求较长段、较短段 认错较长段 双分割点 MN＝2×较长段−全长 两分割点间距 不都取较长段 ◆ 黄金比与较长段：＝＝≈0.618，这个比叫做黄金比。已知全长求较长段——较长段＝全长×；已知较长段求全长——全长＝较长段÷：正向乘、逆向除，认准较长段是命门；较短段＝全长−较长段。 四、双分割点与分类讨论——两条都取较长段 ◆ 等比性质的分类书写规范：连比、轮换式相加时先设每个比的值为 k 再变形；用等比性质必须先分“分母之和是否为 0”两类——不为 0 时才能约去分母和，为 0 时把各分子逐个代入验证（如 ＝＝＝k：x＋y＋z≠0 时 k＝2，x＋y＋z＝0 时 k＝−1）。 ◆ 双分割点：一条线段的黄金分割点有 2 个，分别靠近两端；两个分割点各自分出的较长段相等，两条较长段在线段中间重叠，故两分割点间的线段长 MN＝2×较长段−全长（如 AB＝2 时 MN＝2−4，AB＝4 时 MN＝4−8）。 ◆ 分类讨论：黄金分割题先由“AP＞PB”这类条件判定点的大致位置与较长段；直线上 A、B、C 三点位置不定时，比例式 ＝BC·AB 要按点 C 在线段 AB 上、在 AB 的延长线上、在 BA 的延长线上分三类讨论，所得线段长必须为正数，无解的情况也要写明理由。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 比例线段与黄金分割是第三章开篇的核心，也是期中卷选择填空的稳定板块：四线段成比例的判断、比例的基本性质与合比分比变形、黄金分割求较长段与较短段反复出现——多数题目只考概念辨析与一至两步变形，属于必须拿满分的板块； 比例的基本性质 ad＝bc 是全考点的心脏：化比为积、化积为比两个方向都要熟；判断四条线段是否成比例，先把四条线段按从小到大排序，再验“最长×最短＝中间两条之积”，比逐一试比值更快；添线段构比例式的题要把新线段放到不同位置逐一试算，注意“能取到”与“不能取到”的选项区分； 黄金分割认准较长段：点 P 分 AB 成 AP、PB 且 AP＞PB 时，AP 是较长段，满足 ＝AB·PB；黄金比 ＝＝≈0.618——已知全长求较长段用乘、已知较长段求全长用除，较短段＝全长−较长段； 双分割点与分类讨论是区分度来源：一条线段有两个黄金分割点，两个分割点各自分出的较长段相等，MN＝2×较长段−全长；等比性质要求分母之和不为零，为零时须代入验证单独讨论——本考点与第三章考点速览考点 1 对齐（★☆~★★★）。 答题方法（三步法） 第一步·认对象：分清题目问的是较长段还是较短段、是全长还是分割后的一段——黄金分割题先把点与段的对应关系写清楚（谁比谁、谁大于谁，AP＞PB 时 AP 才是较长段）； 第二步·选工具：比例变形题用基本性质 ad＝bc、合比分比或等比性质；连比与代值题设 k，把各字母都用 k 表示后代入条件；黄金分割题套较长段＝全长×，逆向求全长改用除法； 第三步·验结果：线段长必须为正数，比例中项取正根舍负根；分类讨论题检查每一类是否都有解，无解的类要写明理由（如方程无实根），两类都有解时答案要写全（如 1 或 4、−1 或 8）。 注意事项（易错警示） 认错较长段是黄金分割第一错点：AP＞BP 时 AP 才是较长段，黄金比是较长段比全长（也等于较短段比较长段）——把 乘到较短段上或用全长乘其他数，整题全错； 等比性质有前提：分母之和不为零才能用，分母之和为零时（如 x＋y＋z＝0）要单独代入验证，分两类讨论后答案都要写全——＝1 或 4、乘积比值＝−1 或 8 都是这类双解题； 添线段构比例式要试全位置：三条已知线段加第四条，第四条放在比例式的不同位置会得到不同的值，逐一试算才能判断“不能取”的选项——只试一两种位置就下结论，最容易掉进选择题的陷阱； 线段计算不忘正数前提：比例中项 ＝ab 解出的一正一负两个值中只取正根；含根号的结果保留最简根号；两个分割点的问题先想清楚两条较长段在线段中间重叠，再套 MN＝2×较长段−全长。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 成比例判断 排序后交叉相乘验积 下列四条线段成比例的是 ★☆ 比例性质变形 合比、分比、设 k 代值 由 x：y 求 (x＋y)：y ★★☆ 等比与分类讨论 等比性质，分母和为零须讨论 求 k、、乘积比值 ★★★ 黄金分割求段 较长段＝全长× 求较长段、较短段的长 ★★☆ 黄金分割逆向 已知较长段求全长用除法 求线段 AB 的长 ★★☆ 双分割点讨论 MN＝2×较长段−全长、三点共线 求 MN、比例中项、分类讨论 ★★★ 命题边界：本考点考比例线段与黄金分割（比与比例的性质——基本性质、合比、分比、等比性质及分类讨论；成比例线段的判断、添线段构比例式、比例中项；黄金分割的定义、黄金比、较长段与较短段、双分割点、三点共线比例式分类讨论）；素材选自 2018—2026 年各级各类考试的网络试卷原题，题干均已标注年份与出处；题面数值与设问未作改动，全卷题目均不依赖图形；解题工具均为本考点及一元二次方程等已学内容（比例的基本性质、设 k 法、一元二次方程的解法），未使用相似三角形的判定与性质等后续内容，属期中必考范围。 PART 03 例题精讲（6 题） 例题覆盖：四线段成比例判断（选择）→ 成比例线段求第四段（选择）→ 黄金分割点个数（选择）→ 比例中项求 c（填空·嵌空）→ 黄金分割求较短段 BP（填空·嵌空）→ 连比设 k 求 x、y（解答）。变式覆盖：黄金分割等式判断（选择）→ 四线段成比例判断（选择）→ 添线段构比例式（选择）→ 高跟鞋黄金比（选择）→ 合比性质求 (x＋y)：y（填空·嵌空）→ 添数构比例式（填空·嵌空）→ 连比设 k 求 a＋b−c（填空·嵌空）→ 黄金分割求较长段 AP（填空·嵌空）→ 黄金分割逆向求全长（填空·嵌空）→ 连比设 k 求两个代数式的值（解答）。拔高覆盖：双黄金分割点求 MN（选择）→ 舞台黄金分割列方程（选择）→ 等比性质分类讨论求 （填空·嵌空）→ AB＝4 求两分割点间距（填空·嵌空）→ 比例中项含根号（填空·嵌空）→ 等比性质求乘积比值（填空·嵌空）→ 黄金分割求 BP：AP（填空·嵌空）→ 三点共线比例式分类讨论（解答）。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教四线段成比例判断：四条线段先按大小排序，再验最长×最短是否等于中间两条之积——2×6＝3×4 一验即破，不必逐组试比值； ◆ 例 2 教成比例求第四段：a：b＝c：d 化为 ad＝bc，代入 a、b、c 的值解出 d——化比为积是比例计算的第一步； ◆ 例 3 教黄金分割点个数：一条线段的黄金分割点有 2 个，分别靠近两个端点——概念题，按定义直接作答； ◆ 例 4 教比例中项（填空·嵌空）：＝ab 代入得 ＝16，线段长为正取正根——舍负根这一步必须写进卷面； ◆ 例 5 教黄金分割求较短段（填空·嵌空）：AP＞BP，AP 是较长段——AP＝6×＝3−3，BP＝AB−AP＝9−3；先求较长段再作差，比直接乘另一个数更稳； ◆ 例 6 教连比设 k（解答）：设 ＝＝＝k，把 x、y、z 都用 k 表示，代入 3y＝2z＋6 解出 k 再回代——设 k 法处理连比条件最干净。 例 1　选择题 （26-27·四川月考）下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（        ） A. B. C. D. 例 2　选择题 （25-26·广东月考）若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则（       ） 例 3　选择题 （2025·河南南阳·一模）一条线段的黄金分割点有（　　） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．无数个 例 4　填空题（嵌空） （25-26·湖南期中）若线段，，则线段，的比例中项为_____________． 例 5　填空题（嵌空） （25-26·陕西月考）已知点是线段的黄金分割点，，则_______. 例 6　解答题 （24-25·江苏月考） 已知线段、、满足，且． （1）求、、的值； （2）若线段是线段、的比例中项，求的值． PART 04 变式练习（10 题） 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1—变 4 练选择四型：变 1 黄金分割等式——较长段×较长段＝全长×较短段，即 ＝AB·BC；变 2 四线段成比例排序交叉相乘；变 3 添线段构比例式逐一试位置，d 可取 2、4.5、18，不能取 8；变 4 高跟鞋黄金比——上半身与下半身之比约 0.618，由 ≈0.618 解得 x≈8.3，选 8cm； ◆ 变 5—变 9 练填空五型（横线红色答案自测）：变 5 合比性质 ＝＋1＝；变 6 添数构比例式，由 1：2＝：2 得 2（答案不唯一）；变 7 连比设 k，a＋b−c＝k，由 9k＝27 解得 k＝3；变 8 较长段 AP＝2×＝−1；变 9 逆向求全长 AB＝2÷＝＋1； ◆ 变 8 与变 9 是一对对照题：同一个黄金比 ，变 8 已知全长求较长段用乘、变 9 已知较长段求全长用除——正向乘、逆向除，认准已知的是哪一段，正是黄金分割的计算命门； ◆ 变 10 练连比设 k（解答）：设 a＝3k、b＝4k、c＝5k，第 (1) 问 ＝＝；第 (2) 问由 2b−c＝3k＝9 解得 k＝3，回代求 a＋2b−3c＝−12——设 k 后整个式子都是 k 的一次式，先化简再代值。 变式 1　选择题 （2025·江苏南京联合体·期末）已知点 C 为线段 AB 黄金分割点（AC＞BC），下列等式正确的是（　　） A．＝AB·BC　　B．＝AB·AC C．＝AC·BC　　D．AC＋BC＝ 变式 2　选择题 （2025·福建晋江·期末）下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．a＝3cm，b＝4cm，c＝5cm，d＝6cm　　B．a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，d＝4cm C．a＝1cm，b＝2cm，c＝3cm，d＝4cm　　D．a＝3cm，b＝2cm，c＝5cm，d＝4cm 变式 3　选择题 （2026-2027·北师大版九上·第三章单元质量检测）已知三条线段长分别为 3、6、9，再添上一条线段 d，使它们能构成比例式，则 d 不能取（　　） A．2　　B．4.5　　C．18　　D．8 变式 4　选择题 （2025·达州期末）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例）.如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的下端的长度为，则其身高可能是(        ) A. B. C. D. 变式 5　填空题（嵌空） （2025·上海虹口新复兴·期中）已知 x：y＝5：2，那么 (x＋y)：y＝________。 变式 6　填空题（嵌空） （2025·湖北期末）已知三个数 1、2、，请你再添上一个数，使它们能构成一个比例式，则这个数是______（只填一个，答案不唯一）。 变式 7　填空题（嵌空） （2025·江苏宿豫·期末）已知 ＝＝，且 a＋b＋c＝27，则 a＋b−c＝________。 变式 8　填空题（嵌空） （2025·江苏南京联合体·期末）若点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 AP＞BP，AB＝2，则 AP＝________（保留根号）。 变式 9　填空题（嵌空） （2025·江苏镇江·适应性考试）若 P 是线段 AB 的黄金分割点，AP＞PB，AP＝2，则 AB＝________。 变式 10　解答题 （2025-2026·安徽亳州·期末）已知 a：b：c＝3：4：5。 (1)求 的值； (2)若 2b−c＝9，求 a＋2b−3c 的值。 PART 05 拔高巩固（8 题） 比例线段与黄金分割——比例的性质、黄金比与较长段 拔高组闯关要点 ◆ 拔 1 练双黄金分割点：两个分割点一个靠近 A 端、一个靠近 B 端，各自分出的较长段 AN＝BM＝−1，MN＝AN＋BM−AB＝2−4——两条较长段在线段中间重叠，间距才等于 2×较长段−全长； ◆ 拔 2 练舞台黄金分割列方程：“至少走 x 米”到的是较近的分割点，AP＝x＜BP，较长段是 30−x，由较长段×较长段＝全长×较短段得 ＝30x——认准较长段，方程自然出来； ◆ 拔 3—拔 7 练填空五关（横线红色答案自测）：拔 3 等比性质分类讨论，x＋y＋z≠0 时 k＝2、＝4，＝0 时 k＝−1、＝1，答案写全 1 或 4；拔 4 双分割点 CD＝4−8；拔 5 比例中项 ＝(＋1)(−1)＝4，取正根 2；拔 6 等比设比值 k，k＝2 时值为 8、k＝−1 时值为 −1，答案 −1 或 8；拔 7 黄金分割 ＝AB·PB，BP：AP＝； ◆ 拔 8 练三点共线分类讨论（压轴）：＝BC·AB，点 C 在线段 AB 上时是黄金分割结构，AC＝；在 AB 的延长线上时 −x＋1＝0 恒大于零、无实根；在 BA 的延长线上时 −x−1＝0 解得 ——三类位置逐一设元列式，无解的类写明理由，答案写全两个值。 拔高 1　选择题 （2026-2027·北师大版·第三章单元质量检测）已知线段 AB＝2，M、N 是线段 AB 的两个黄金分割点，则 MN 的长为（　　） A．−1　　B．3−　　C．2−2　　D．2−4 拔高 2　选择题 （26-27·江苏月考）（3分）如图，线段上的一点把分割为两条线段，，当满足时，则称点是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（     ） A. B. C. D. 拔高 3　填空题（嵌空） （25-26·甘肃期中）若，则____________。 拔高 4　填空题（嵌空） （2026·山西模拟）如图，点C为线段的黄金分割点（，黄金分割比为），分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两组弧分别交于点D，E，连接交于点O．若，则的长为________（结果保留根号）． 拔高 5　填空题（嵌空） （25·浙江月考）已知线段，，则，的比例中项线段等于_______________． 拔高 6　填空题（嵌空） （2025·山东期中）若 ＝＝，则 的值为________。 拔高 7　填空题（嵌空） （25-26·四川月考）如图，乐器的一根弦，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，即，支撑点是靠近点的黄金分割点，则两个支撑点，之间的距离________________．（结果保留根号） 拔高 8　解答题 （25-26·全国同步）如图,点把线段分成两条线段和，如果 ，则称线段被点黄金分割，点叫作线段的黄金“右割“点，根据图形不难发现，线段上另有一点把线段分成两条线段和,若 ，则称点是线段的黄金“左割”点. 请根据以上材科，回答下列问题： （1）如图，若点和点分别是线段的黄金“右割”点、黄金“左割”点，则________,________； （2）若数轴上有，，，四个点，它们分别对应的实数为,且 ， ,点和点分别是线段的黄金“右割”点、黄金“左割”点，求的值 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错因 订正完成 例 1 成比例线段判断 例 2 成比例求第四线段 例 3 黄金分割点个数 例 4 比例中项 例 5 黄金分割求较短段 例 6 等比设 k 求值 变式 1 黄金分割定义等式 变式 2 成比例线段判断 变式 3 添线段构成比例 变式 4 高跟鞋黄金比 变式 5 合比性质 变式 6 添数构成比例 变式 7 等比设 k 求差 变式 8 黄金分割求较长段 变式 9 黄金分割逆向求全长 变式 10 连比设 k 两问 拔高 1 双黄金分割点求距离 拔高 2 舞台黄金分割列方程 拔高 3 等比性质分类讨论 拔高 4 双黄金分割点求 CD 拔高 5 根式比例中项 拔高 6 等比乘积比值 拔高 7 比例中项求比值 拔高 8 三点共线分类讨论 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。本考点口诀：成比例看对角乘积、比例变形设 k 最稳；黄金分割认较长段——较长段＝全长乘黄金比，已知较长段求全长用除法，较短段用全长减较长段；两个分割点的距离＝两倍较长段减全长。填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，自测时先遮住再核对。 1 学科网（北京）股份有限公司 $