精品解析：广东广州外国语学校2026-2027学年九年级上学期九月学情自测数学卷

2026—2027学年第一学期初三综合训练（一） 数学学科 本试卷共4页，25小题，满分150分 用时120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各数中，最大的数是（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先比较出，再根据正数大于0，负数小于0，即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴最大的数是． 2. 某班选拔学生参加学校的运动会，如图是测量的每位学生心率的箱线图，则这组数据的第一四分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】箱线图中箱体的左边界表示第一四分位数． 【详解】解：由图可知，箱体的左边界对应的数值为， 这组数据的第一四分位数是． 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类项合并法则与同底数幂的乘除运算法则，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】对于选项A，∵ ， ∴ A错误； 对于选项B，与不是同类项，不能合并， ∴ B错误； 对于选项C，与不是同类项，不能合并， ∴ C错误； 对于选项D，∵ ， ∴ D正确． 4. 南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？其大意是：一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？若设长方形的长为步，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据所设的长表示出宽，再结合长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：∵设长方形的长为步，宽比长小步， ∴宽为步， ∵长方形面积为平方步，且长方形面积长宽， ∴可得方程． 5. 如图，直线与交点的横坐标为2，则关于x、y的二元一次方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出交点坐标，即可得出关于x、y的二元一次方程组的解． 【详解】解：把代入，得：， 则直线与交点为， 故关于x、y的二元一次方程组的解为． 6. 如图是高铁线路上某高压线支撑结构的部分示意图，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． 7. 二次函数的图象经过，，．则当时，y的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先设交点式，然后求出表达式，再把代入求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象过，两点， ∴设其解析式为 将代入解析式，得， 解得 ∴ 当时，． 8. 若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过第（ ）象限． A. 四 B. 三 C. 二 D. 一 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程无实根求出的取值范围，再判断一次函数图象经过的象限即可． 【详解】解：∵一元二次方程无实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得， ∴， 又∵一次函数中的， ∴这个一次函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 9. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①；②（m为任意实数）；③；④若是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】先得出，，再得出，由此可得①错误；得出二次函数的最大值为，则对于任意实数，都有，由此可得②正确；根据函数图象可得当时，，由此可得③正确；根据二次函数的对称性即可得④错误． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，则结论①错误； 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， ∴对于任意实数，都有，即，则结论②正确； 由二次函数的图象可知，当时，， ∴， 又∵， ∴，则结论③正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴点、关于这个二次函数的对称轴对称， ∴， ∴，则结论④错误； 综上，正确的结论有②③． 10. 若无论t为何值，抛物线都不经过原点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】代入原点坐标，将问题转化为关于的一元二次方程无实根问题，利用判别式求解． 【详解】解：将代入抛物线解析式得，， ∵无论为何值，抛物线都不经过原点， ∴该关于的方程无实数根， ∵， ∴， 化简得， 解得． ∴的取值范围是且． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．） 11. 分式有意义的条件是__________． 【答案】x≠﹣1 【解析】 【分析】根据分式有意义，分母不等于零，列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得： x＋1≠0， 解得：x≠﹣1， 故答案为：x≠﹣1 【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是从以下三方面透彻理解分式的概念：分式无意义时，分母为零；分式有意义时，分母不为零；分式的值为零时，分子为零且分母不为零． 12. 二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是_____． 【答案】（0，1） 【解析】 【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可． 【详解】二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是（0，1）， 故答案为：（0，1）． 13. 将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到的抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先写出抛物线的顶点坐标为，根据平移的方向和距离得到平移后的抛物线的顶点坐标为，再根据抛物线的顶点坐标写出平移后的抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 平移后的顶点坐标为， 平移后抛物线的解析式为 ． 14. 如图，在平行四边形（）中，按如下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若，，则的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得到，则，由作图方法可知，平分，则可推出，得到，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 由作图方法可知，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴正半轴上，顶点D在x轴负半轴上，若抛物线经过点B，C，则点A的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出点B的坐标，根据菱形的性质得到，即轴，，则可证明点B与点C关于对称轴对称，求出对称轴，则可求出点C的坐标，进而可求出的长，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，即轴，， ∵抛物线经过点B，C， ∴点B与点C关于对称轴对称， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为． 16. 如图，在中，，，点P在边上，，分别为，的中点，连接，若点是中点时，的长度为______；若P在边上运动时（与A、B不重合），过点E作的垂线，与、分别交于F、G两点，连接，当为______时，取得最小值． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理可得，再求出的长，即可得的长；延长，交于点，设，先得出，再证出，进而可得的长，然后在中，利用勾股定理求出与之间的函数关系式，进而利用二次函数的性质求最小值即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 若点是中点，则， ∴； ∵， ∴， 如图，延长，交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， 由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最小值， ∴当为时，取得最小值． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．） 17. 解方程组：． 【答案】． 【解析】 【分析】两方程相加消去，得到关于的一元一次方程，求解得的值，再代入任一方程求即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解是． 18. 如图，已知，，，求证：． 【答案】 ∵， ∴， 在和中 ∴ ∴ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证即可； 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ． 将代入得：原式． 20. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． 【小问1详解】 解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； 【小问2详解】 解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 21. 如图，抛物线与直线交于点和点． （1）求点B的坐标，并结合图象直接写出不等式的解集； （2）点P为抛物线上一动点，当的面积为3时，求点P的坐标． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出交点的坐标，再根据不等式的解集即为抛物线在一次函数图象上方时对应交点的横坐标取值范围求解即可； （2）根据三角形面积公式求出点P的纵坐标，再把点P纵坐标代入抛物线解析式中求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与直线交于点和点． ∴， 解得 ∴ ∵由函数图象可知，当抛物线在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，解得或； 在中，当时，此时方程无解； ∴点P的坐标为或． 22. 某水果商场经销一种水果，原价每千克50元． （1）若连续两次降价后每千克32元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出1000千克，经调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克，现该商场要求每天盈利12000元，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，具体涉及以下知识点：增长率/下降率问题模型，销售利润问题分析，考查了对实际问题的综合分析能力． （1）根据原价和两次降价后的价格，利用降价公式建立方程求解降价百分率； （2）依据每千克的盈利、销售量与涨价的关系，构建盈利方程来确定涨价金额． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为x． 第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为元． 已知两次降价后每千克32元，可得方程． 解得 当时，； 当时，（舍去）． 所以每次下降的百分率是． 【小问2详解】 解：设每千克应涨价y元． 每千克盈利变为元，日销售量变为千克． 要保证每天盈利12000元，可列方程． ， 解得，． 因为每千克涨价不能超过8元，所以． 每千克应涨价5元． 23. 【发现问题】 投掷实心球是某市中考体育考试项目之一，淇淇发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化． 【提出问题】 实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 淇淇利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离（单位：m）与竖直高度（单位：m）的数据如表： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 1.1 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，淇淇发现其图象是二次函数的一部分． 【解决问题】 （1）在淇淇投掷过程中，出手时实心球竖直高度是______m，实心球在空中的最大高度是______m； （2）求满足条件的二次函数的解析式； （3）根据该市中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于8m时，即可得满分10分，淇淇在此次考试中能否得到满分，请说明理由． 【答案】（1）2， （2） （3） 淇淇在此次考试中能得到满分，理由如下： 把代入， 得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴淇淇在此次考试中能得到满分． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，本题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质． （1）根据图表即可求解； （2）设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式； （3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． 【小问1详解】 解：由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 通过图表可得当时，， 得在淇淇投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是， 由当时，；当时，， 可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得当时，， 得实心球在空中的最大高度是； 【小问2详解】 解：设抛物线的解析式为， 由（1）得抛物线的顶点坐标为， 则， 得抛物线的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问3详解】 略 24. 已知点E为边长为2的正方形内部一点，且满足，连接，，． （1）如图1，若，则______，若，则______． （2）如图2，将线段绕点D顺时针旋转到，连接，延长交于点M，探究线段，的数量关系，并证明． （3）在满足（2）条件下，点O是线段的中点，求线段的最小值． 【答案】（1）， （2）， 证明：连接，过点作交延长线于点， ∵四边形是正方形 ∴ ∴， 由旋转可得， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 由（1）可得， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）①证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质以及等腰三角形的性质求解即可； ②可得均是等腰三角形，则结合等边对等角以及三角形内角和定理求解即可； （2）连接，过点作交延长线于点，先证明，然后导角证明是等腰三角形，再证明即可； （3）连接，则是的中位线，故，可得，由于，那么，故当点三点共线时，取得最小值，即取得最小值，再由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：①∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴， ∴为等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴； ②∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴ 由旋转可得， ∴ ∴ ∵在正方形中， ∴ ∵ ∴ ∴当点三点共线时，取得最小值，即取得最小值， ∵， ∴ ∴的最小值为， ∴的最小值为． 25. 已知抛物线，和直线． （1）当，时，求抛物线和直线的交点坐标； （2）是否存在，使得无论取何值抛物线和直线都有交点，若存在，求出的值或取值范围，若不存在，请说明理由； （3）已知，将直线向上平移2个单位得直线，直线与抛物线交于两点，当直线与抛物线相交所围成的面积最小时，求线段的长． 【答案】（1） （2）解：不存在满足条件的． 理由如下： 若，不是二次函数，不符合题意； 若， 联立， 消去得， 则， 取，此时判别式，方程无实根， 即抛物线和直线无交点，与题设矛盾； 综上所述，不存在这样的； （3）线段的长为 【解析】 【分析】（1）联立抛物线与直线方程求解即可； （2）联立抛物线与直线方程，消去得，分情况讨论求解即可； （3）联立抛物线与直线方程，消去得，设、，由两点之间距离公式得到，数形结合可知线段的长度越小，直线与抛物线相交所围成的面积越小，因此求出线段长度的最小值即可得到答案． 【小问1详解】 解：当，时，抛物线，和直线， 联立， 解得， 抛物线和直线的交点坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，抛物线；将直线向上平移2个单位得直线，则直线， 联立，消去得， 直线与抛物线交于两点， ，即此情况下，无论取何值抛物线和直线都有交点， 设、，则，， 线段的长为 ， ， ，即线段长度的最小值为， 当直线确定时，直线与抛物线相交所围成的弓形面积的大小受线段的长度影响，即线段的长度越小，围成的弓形面积越小， 当直线与抛物线相交所围成的面积最小时，线段的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期初三综合训练（一） 数学学科 本试卷共4页，25小题，满分150分 用时120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各数中，最大的数是（ ） A. 0 B. C. 2 D. 2. 某班选拔学生参加学校的运动会，如图是测量的每位学生心率的箱线图，则这组数据的第一四分位数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？其大意是：一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？若设长方形的长为步，则可列方程（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线与交点的横坐标为2，则关于x、y的二元一次方程组的解为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是高铁线路上某高压线支撑结构的部分示意图，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象经过，，．则当时，y的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过第（ ）象限． A. 四 B. 三 C. 二 D. 一 9. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①；②（m为任意实数）；③；④若是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 10. 若无论t为何值，抛物线都不经过原点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．） 11. 分式有意义的条件是__________． 12. 二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是_____． 13. 将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到的抛物线的解析式为______． 14. 如图，在平行四边形（）中，按如下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若，，则的长为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴正半轴上，顶点D在x轴负半轴上，若抛物线经过点B，C，则点A的坐标为______． 16. 如图，在中，，，点P在边上，，分别为，的中点，连接，若点是中点时，的长度为______；若P在边上运动时（与A、B不重合），过点E作的垂线，与、分别交于F、G两点，连接，当为______时，取得最小值． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．） 17. 解方程组：． 18. 如图，已知，，，求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 21. 如图，抛物线与直线交于点和点． （1）求点B的坐标，并结合图象直接写出不等式的解集； （2）点P为抛物线上一动点，当的面积为3时，求点P的坐标． 22. 某水果商场经销一种水果，原价每千克50元． （1）若连续两次降价后每千克32元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出1000千克，经调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克，现该商场要求每天盈利12000元，那么每千克应涨价多少元？ 23. 【发现问题】 投掷实心球是某市中考体育考试项目之一，淇淇发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化． 【提出问题】 实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 淇淇利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离（单位：m）与竖直高度（单位：m）的数据如表： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 1.1 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，淇淇发现其图象是二次函数的一部分． 【解决问题】 （1）在淇淇投掷过程中，出手时实心球竖直高度是______m，实心球在空中的最大高度是______m； （2）求满足条件的二次函数的解析式； （3）根据该市中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于8m时，即可得满分10分，淇淇在此次考试中能否得到满分，请说明理由． 24. 已知点E为边长为2的正方形内部一点，且满足，连接，，． （1）如图1，若，则______，若，则______． （2）如图2，将线段绕点D顺时针旋转到，连接，延长交于点M，探究线段，的数量关系，并证明． （3）在满足（2）条件下，点O是线段的中点，求线段的最小值． 25. 已知抛物线，和直线． （1）当，时，求抛物线和直线的交点坐标； （2）是否存在，使得无论取何值抛物线和直线都有交点，若存在，求出的值或取值范围，若不存在，请说明理由； （3）已知，将直线向上平移2个单位得直线，直线与抛物线交于两点，当直线与抛物线相交所围成的面积最小时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $