圆与椭圆基础训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆与椭圆基础训练 满分150分，用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）椭圆的一个焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【详解】把椭圆方程化为标准方程可得 ，所以椭圆焦点在轴，，坐标为.故选：B 2.（26-27高二上·天津河西·阶段检测）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【详解】因为点在圆的外部，则满足，解得 所以实数的取值范围是.故选：C 3.（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】圆的圆心坐标为，半径为8．依题意知：，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，，所求点的轨迹方程为．故选：C 4.（26-27高三上·湖北·开学考试）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上的动点，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【详解】由题可知：，由椭圆性质可得：，，设，则，且，所以，函数为二次函数，开口向下，对称轴为，当或时，取得最小值，最小值为．故选：C 5.（26-27高三上·甘肃白银·阶段检测）已知圆的圆心在直线上，圆被轴截得的弦长为8，且与圆：内切，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【详解】设圆心，圆的半径为，圆心到轴距离，根据弦长公式可知：，圆：，圆心，半径，两圆内切可知，同时，则，代入得，令，则，解得，则故选：B 6.（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上的一个动点，当的面积最大时，其内切圆的半径是（   ） A．1 B． C． D． 【详解】如图所示，设的内切圆的半径为，由，则，，，所以，，由，即， 若的面积最大，即最大，又因为，所以，所以，故D正确. 7.（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在E上．若的周长为6，面积为，且其内心I满足，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为 ，所以．设，，焦距．的周长为．由椭圆的定义可知，代入得，所以．三角形面积，所以．在中，由余弦定理得，即．又．代入得．整理得，即．由代入得．联立解得．故离心率．故选：B 8.（26-27高二上·江苏泰州·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】设．由，解得 于是所以点的轨迹在以为圆心、为半径的圆上，轨迹如图所示； 由上面的参数式反解得，故除点外，圆上的点均可取得． 取点．由得因此即．于是又，，故线段与圆有唯一交点．该点纵坐标为正，故，可以由某个实数取得；此时在线段上，等号成立．所以的最小值为，故A正确． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知点，椭圆的左、右焦点分别为，，是上的动点，则（    ） A．的离心率为 B． C．可能为直角三角形 D． 【详解】对于A：，故A正确；对于B：，所以，所以，，所以，故B正确； 对于C：当或时，为直角三角形，故C正确；对于D：，故D错误.故选：ABC 10.（26-27高二上·江西·阶段检测）已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆切线，，切点为，，下列结论正确的是（    ） A．若，则直线方程为 B．若，则 C．当四边形面积最小时， D．当四边形面积最小时，直线方程为 【详解】对于A，圆的方程化为，故圆心为，半径为．设，由在直线上，得．由圆的切点弦方程，直线满足， 即． 当时，由得，所以的方程为，选项A正确； 对于B，此时．在直角三角形中，，且．又平分等腰三角形的顶角，所以，不等于，选项B错误；对于C，由于，，且，四边形的面积为．又，所以四边形面积最小时，取最小值，即为圆心到直线的垂足．，故，选项C正确；对于D，圆心到直线的垂足为．代入切点弦方程，得，即，选项D正确．故选：ACD 11.（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知椭圆，左，右焦点分别为、，点为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．若椭圆上存在点，使得，则该椭圆离心率的取值范围为 C．若，则的面积为 D．当，时，坐标原点为，则的取值范围为 【详解】选项A、由椭圆定义，由均值不等式得， 当且仅当时取等号，则选项A正确；选项B、已知，又， 联立可得，则，由，可得， 解不等式，可得，解不等式，可得，所以，则该椭圆离心率的取值范围为，则选项B错误；选项C、设，，已知，，由余弦定理得，即，则，解得，所以的面积为，则选项C正确；选项D、因为，，则，所以，，，则，设，满足．则，，，可变形为，代入上式，可得，这是开口向下的二次函数，对称轴为，在对称轴处，，在端点处，，在端点处，，所以的取值范围为，则选项D正确．故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（26-27高二上·山东菏泽·阶段检测）方程若表示圆，实数的取值为___________，若表示椭圆，则实数的取值范围为___________． 【详解】方程若表示圆，则，解得：，此时实数的取值为6 方程若表示椭圆，则，解得：，或，此时实数的取值范围为. 13.（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）设点，，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是________． 【详解】设关于直线的对称点为，则，得，所以， 即直线关于对称的直线为直线，因为，所以直线的方程为：，即，因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，整理得：，解得，所以的取值范围是. 14.（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知为椭圆的右焦点，的顶点为椭圆上的三点，且，则顶点的横坐标的取值范围为__________． 【详解】由题意可知，，设， 则，由得， ，整理得， 则的中点坐标为.因为在椭圆内， 所以,解得,又， 所以顶点的横坐标的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（满分13分） （26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知点，圆. （1）若直线与圆C相交于A，B两点，弦AB的长为，求a的值. （2）若过点M的直线l与圆C相切，求直线l的方程. 【详解】（1）圆的圆心，半径，点到直线的距离为，由弦的长为，得，所以. （2）当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到此直线的距离为2，直线与圆相切； 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，即，则，解得，直线的方程为，所以直线的方程为或. 16.（满分15分） （26-27高二上·江苏南通·阶段检测）设椭圆的离心率为，左、右焦点为，，且，为上的点． （1）求的方程； （2）若在第一象限，，求点的坐标； （3）若，求的面积． 【详解】（1）由焦距.离心率 ，所以, 椭圆方程： （2）由已知，，设，则, 因为，所以，故. 联立椭圆方程： ,由①得代入②可得 ， .在第一象限，，，，.故. （3）根据椭圆定义可得，又，设，则. 故，所以，，又 .设，由余弦定理在中有，代入数值可得，，故.由同角三角关系得.，所以. 17.（满分15分） （26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦． （1）当时，求的长； （2）求弦中点的轨迹方程． （3）过点的直线与圆交于两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【详解】（1），∴ ：，即 ， ∴圆心 到直线距离∴ . （2）设弦 的中点为 ，且为圆心，，又∵在弦 上，， ∴，∴ ，化简：，即： . （3）假设在 轴正半轴上存在定点 ，使得 轴平分 ，设过点 的直线方程为 ，联立直线与圆的方程：消去 得： ， 设 ，则 ，∵ 轴平分 ，∴， 即 ，将 代入上式得：，整理得 ，∴ 化简得 ，解得 ， ∴存在定点 ，使得 轴平分 . 18.（满分17分） （26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4. （1）求椭圆的方程； （2）设为坐标原点，点在椭圆上，直线与直线，分别交于点，.设与的面积分别为，. （i）证明直线与椭圆相切，并求出切点； （ii）比较与的大小. 【详解】（1）由椭圆可知，，所以，又，所以，， 故椭圆E的方程为. （2）（i）联立，消去得，， 整理得，①，又，所以，， 故①式可化简为，即，所以，所以直线与椭圆相切，为切点. （ii）设，易知，当时，由对称性可知，．当时，不妨设，易知，联立，解得，联立，解得， 所以， ，故． 19.（满分17分） （26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知椭圆分别为的左右焦点，点在上，且轴． （1）求的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点， （ⅰ）若是的中点，求直线的方程； （ⅱ）若是椭圆的右焦点，且，为椭圆的左、右顶点，设和的面积为，当时，求的取值范围. 【详解】（1）轴， 横坐标与相同，即 ，，由椭圆关系：，将 代入椭圆方程：，即：，把 代入：， 整理得：，即，， ，，， 椭圆标准方程：. （2）(i)设 ，两点在椭圆上：则，∴ ， ， ，两边同除以 ，记 ： ，，∵直线过 ，∴化简得：； (ii)由椭圆方程：， ，则：纵坐标 ，则 ，∴， ∴，，∵ 以为底，纵坐标差为高： ∴，代入 ：∴， 化简：，∴ ， 函数 在 单调递增，当：， 当：， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆与椭圆基础训练 满分150分，用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）椭圆的一个焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2.（26-27高二上·天津河西·阶段检测）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3.（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4.（26-27高三上·湖北·开学考试）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上的动点，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 5.（26-27高三上·甘肃白银·阶段检测）已知圆的圆心在直线上，圆被轴截得的弦长为8，且与圆：内切，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 6.（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上的一个动点，当的面积最大时，其内切圆的半径是（   ） A．1 B． C． D． 7.（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在E上．若的周长为6，面积为，且其内心I满足，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 8.（26-27高二上·江苏泰州·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知点，椭圆的左、右焦点分别为，，是上的动点，则（    ） A．的离心率为 B． C．可能为直角三角形 D． 10.（26-27高二上·江西·阶段检测）已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆切线，，切点为，，下列结论正确的是（    ） A．若，则直线方程为 B．若，则 C．当四边形面积最小时， D．当四边形面积最小时，直线方程为 11.（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知椭圆，左，右焦点分别为、，点为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．若椭圆上存在点，使得，则该椭圆离心率的取值范围为 C．若，则的面积为 D．当，时，坐标原点为，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（26-27高二上·山东菏泽·阶段检测）方程若表示圆，实数的取值为___________，若表示椭圆，则实数的取值范围为___________． 13.（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）设点，，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是________． 14.（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知为椭圆的右焦点，的顶点为椭圆上的三点，且，则顶点的横坐标的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（满分13分） （26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知点，圆. （1）若直线与圆C相交于A，B两点，弦AB的长为，求a的值. （2）若过点M的直线l与圆C相切，求直线l的方程. 16.（满分15分） （26-27高二上·江苏南通·阶段检测）设椭圆的离心率为，左、右焦点为，，且，为上的点． （1）求的方程； （2）若在第一象限，，求点的坐标； （3）若，求的面积． 17.（满分15分） （26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦． （1）当时，求的长； （2）求弦中点的轨迹方程． （3）过点的直线与圆交于两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 18.（满分17分） （26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4. （1）求椭圆的方程； （2）设为坐标原点，点在椭圆上，直线与直线，分别交于点，.设与的面积分别为，. （i）证明直线与椭圆相切，并求出切点； （ii）比较与的大小. 19.（满分17分） （26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知椭圆分别为的左右焦点，点在上，且轴． （1）求的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点， （ⅰ）若是的中点，求直线的方程； （ⅱ）若是椭圆的右焦点，且，为椭圆的左、右顶点，设和的面积为，当时，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $