上册 第28章追梦综合演练卷-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级数学单元检测卷（人教版·河南专版）

+1)(3x+1)=0.于是x+1=0,或3x+1=0,即x1=-1,x2 = 31 (10分) 17.(1)证明：由题意得，4=(m+1)2-4m=m2+2m+1-4m= （m-1)2≥0，∴.无论m为何值，方程总有两个实数根； (4分) (2)解：将x=-2代入方程，得(-2)2+(m+1)×(-2)+m =0,解得m=2,∴.原方程为x2+3x+2=0,解得x=-1或 x=-2,∴.原方程的另一个根为x=-1. (9分) 18.解：(1)将(-2，-2)，(1,1)代入y=ax2+bx-2,得 {24物-26-2，解得82二次函数的表达式为y (1=a+b-2 x2+2x-2: (6分) (2)由(1)，得y=x2+2x-2=(x+1)2-3,.顶点坐标为 (-1,-3). 卷 作图如下. (9分) 4花 19.解：(1)把点A(-4,0),点B(0,3)代入直线y=kx+b得， {仁46+b=0,解得k= 1b=3 4心直线的表达式为y= 4x+3; b=3 把=2代入直线y=子+3得y=x2+3= 4 2C(2, ，把c(2,)代入反比例函数=公，得m=2x号 9 9 9,反比例的表达式为y=9 (4分) (2)设Pe,子a+3),则Qa,.过点P作x轴的 9 垂线，交双曲线于点Q,.PQ∥OB.四边形PQ0B为 平行四边形，PQ=0B+39 3 =3,解得a=-23 (正值舍去)，∴.点P的横坐标a的值为-23.(9分) 20.解：(1)将点0(0,0)代入二次函数解析式y=-x2+3x+k +1,得0=k+1,解得k=-1,.二次函数的解析式为y= -x2+3x; (4分) (2)当y=-x2+3x=0时，解得x=3或x=0,∴.A(3,0), 0A=3,Sa40s=20A·y1=6,ya=-4(正值舍 去)，令y=-x2+3x=-4时，解得x=-1(舍去)或x=4, .点B的坐标为(4，-4). (9分) 21.解：(1)100-20 4(min),设水温下降过程中，y与x的 20 函数关系式为y=,将点(4,100)代入反比例函数y= 4=100,解得k=400,∴水温下降过程中，y与x 的函数关系式是y=40, (4分) 2)把y=40代人解析式y=x,得40=400 二，解得x= 10,即4-10min内温度都高于40℃.40-20 20=1,10-1 =9(min),.一个加热周期内水温不低于40℃的时间 为9min. (9分) 22.解：(1)设该跳绳销售量的月增长率为x,由题意得：300 (1+x)2=432,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题 意，舍去)，答：该跳绳销售量的月增长率为20%； (5分) (2)设该跳绳的售价应定为a元/条，由题意得：(a- 追梦之旅铺路卷·九年 30)[600-10(a-40)]=10000,解得：a,=50,a2=80,又 要尽可能让顾客得到实惠，∴.α=50，所以该跳绳的售 价应定为50元/条. (10分) 23.解：(1)根据题意知，点D坐标(0,3)，顶点坐标(2， 3.5),设抛物线解析式为y=a(x-2)2+3.5,把(0,3)代 入解析式，得3=4a+3.5,解得a=-0.125,∴.抛物线解 析式为y=-0.125(x-2)2+3.5; (3分) (2)当x=5时，y=-0.125×(5-2)2+3.5=2.375,.点P 离地面的距离为2.375米； (7分) (3)当x=4时，y=-0.125×(4-2)2+3.5=3,.B(4,3), 设直线AB的解析式为y=x+b(k≠0)，把A(0,2),B (4,3)代人解折式y=红+6，得么=3解得化三92 ∴.直线AB的解析式为y=0.25x+2,设点E横坐标为x, 则E(x,-0.125(x-2)2+3.5),F(x,0.25x+2),.EF= -0.125(x-2)2+3.5-(0.25x+2)=-0.125x2+0.25x+1= -0.125(x-1)2+1.125..-0.125<0,∴.当x=1时，EF 最大，最大值为1.125..支架EF的最大长度为1.125 米 (10分) 第二十八章追梦综合演练卷 答案12345678910 速查BDA CBBBBD B 1.B2.D 3.A 【知识回顾】中心对称除了具有旋转的性质外，成中心对 称的两个图形中，对称点所连线段经过对称中心，并且 被对称中心平分 4.C5.B 6.B【解析】由旋转得AC=CD,∠CED=∠B=55°， △ACD是等腰直角三角形，.∠CAD=45°，∴.∠ADE= ∠CED-∠CAD=55°-45°=10°.故选B. 7.B【解析】由旋转得，A'B=AB,∠BA'C'=∠BAC=45° ∠BC'A'=∠BCA=65°.AA'∥BC',.∠AA'B+45°+65° =180°，.∠AA'B=70°..A'B=AB,∴.∠A'AB=∠AA'B= 70°，·.∠ABA'=180°-∠A'AB-∠AA'B=40°故选B. 8.B【解析】连接BD.AB=BC,LABC=90°，点D是AC 的中点，.BD=AD=2,∠CBD=∠A=45°，BD⊥AC, ∠ADB=∠EDF=90°，∴.∠BDM=∠ADN,∴.△ADN≌ △BDM(ASA),.SADN=SARDM,.Sm这考BNDN=S△ABD=2X 2×2=2.故选B. 9.D【解析】由旋转，得AC=AC,=6,∠CAC,=60°，AB= AB1=8,.∠BAC1=90°，.BC1=√/AB2+C1A2=10.故选 D. 0R【解折点A的坐标为（号，号），0A=1 ∠BAD=60°，四边形ABCD是菱形，'.BD⊥AC,△ABD 是等边三角形.AB=√3，.AC=3,.0C=2.360°÷ 45°=8，.每旋转8次后，菱形回到原位置..85÷8=10 …5,∴.菱形ABCD旋转85次后C点在y轴正半轴. ∴.C(0,2).故选B. 11.①②12.-4 13.115°【解析】由旋转得，∠BAB1=25°，∠B=∠B1= 90°，∴.∠DAB,=∠DAB-∠BAB1=65°..∠D+∠B1+ ∠DAB,+∠DMB,=360°，∴.∠DMB,=115°，.∴.∠CMC,= 115°. 14.9 15.√2【解析】过点E作EF⊥BC于点F..·∠C=∠ADE =∠EFD=90°，∠FED+∠EDF=90°，∠EDF+∠ADC= 90°，∴∠DEF=∠ADC.在△EDF和△DAC中， I∠DEF=∠ADC ∠EFD=∠C,∴.△EDF≌△DAC(AAS),∴.DF=AC DE=AD =3,EF=CD,设CD=x,则BE2=x2+(2-x)2=2(x-1)2+ 2,.BE2的最小值是2，.BE的最小值是V2. 16.解：(1)(2)(3)如图所示. (9分) 级·RJ·数学第7页 17.解：(1)点B是旋转中心； (2分) (2)旋转角度是60°： (4分) (3)连接PP'后，△BPP是等边三角形， (5分) 理由：旋转角是60°，.∠PBP'=60°.又：BP=BP ∴△BPP'是等边三角形. (9分) 18.解：(1)△ABC如图1所示； (4分) (2)四边形EFGH如图2所示.（答案不唯一) (9分) 图1 图2 19.解：(1)由旋转性质知BD=BA,∠CBA=∠EBD. ∠BDA=70°，.∠BAD=70°，∴.∠ABD=∠ABC=40°. ∠C=90°，.∠BAC=50°： (4分) (2)BC=8,AC=6,∠C=90°，.AB=10, (5分) 由旋转性质知△ABC≌△DBE,则BE=BC=8,DE=AC= 6,∴.AE=2,在Rt△ADE中，AD=√DE2+AE=√62+2 =2√10. (7分) 作BF⊥AD于点F..BA=BD,∴.AF= 2AD=10,则 BF=√BA2-AF=√102-（√10）2=3√10. (9分) 20.(1)证明：由旋转可知∠DCE=60°，CD=CE..·△ABC 是等边三角形，..∠ACB=60°，AC=BC,.∠ACB+ ∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE,在△BCD和 (BC=AC △ACE中， ∠BCD=∠ACE,∴.△BCD≌△ACE(SAS), CD=CE ∴.AE=BD (4分) (2)连接DE,由(I)的结论知AE=BD.:BD=5,.AE= 5,由旋转可知LDCE=60°，.△DCE是等边三角形，∴ ∠CDE=60°..'∠ADC=30°，∴.∠ADE=∠ADC+∠CDE =90°，在Rt△ADE中，DE=√AE2-AD2=√52-32=4. .·△CDE是等边三角形，.CD=DE=4. (9分) 21.解：(1)由旋转得AC=CD=6,∠ACD=60°，.△ACD是 等边三角形.过点D作DE⊥BC于点E..AC⊥BC,· ∠DCE=∠ACB-∠ACD=30°.∴.在Rt△CDE中，DE= 2 CD=3,CE-CD-DE-33..BE=BC-CE=/3. ∴.BD=√BE2+DE2=2√3. (5分) (2):S四边形ACaD=SAACD+SARCD=6X33 2 2×43x3= 1 153 (10分) 22.(1)证明：由旋转得AE=AB,AF=AC,∠EAF=∠BAC,∴ ∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF,即∠EAB=∠FAC., AB=AC,.AE=AF=AB=AC,.△AEB≌△AFC(SAS) ·.BE=CF. (5分) (2)解：四边形ACDE为菱形，AB=AC=1,∴.DE=AE =AC=1,AC∥DE,∴.∠AEB=∠ABE=∠BAC=45° ∠EAB=90°，∴△ABE为等腰直角三角形，.BE= √AE2+AB2=√2，.BD=BE-DE=√2-1. (10分) 23.解：(1)BC=2AF. (1分) 理由：.·△ABC是等边三角形，.AB=AC=BC,∠BAC= 60°..·△ADE是△ABC的“旋补三角形”，∴.∠BAD+ 追梦之旅铺路卷·九年 ∠CAE=180°，AB=AD,AC=AE,.∴.∠DAE=120°，AD= AE=AB=AC=BC,∴.∠D=∠E=30°. (3分) 点F为DE的中点，.AF⊥DE,即∠AFD=90°，在 △ADF中，∠AFD=90°，∠D=30°，.AD=2AF,.BC= 2AF; (5分) (2)(1)中AF与BC的数量关系仍然成立. (6分) 理由：：△ADE是△ABC的“旋补三角形”，.∠BAD+ ∠CAE=180°，AB=AD,AC=AE.,:∠BAC=90°，. ∠DAE=90°..AB=AD,∠BAC=∠DAE=90°，AC=AE, ∴.△ABC≌△ADE(SAS),∴.BC=DE. (8分) ,在Rt△ADE中，AF为DE边上的中线，∴.DE=2AF, ∴.BC=2AF.即(1)中AF与BC的数量关系仍然成立. (10分) 第二十九章追梦综合演练卷 答案12345678910 大 速查ABD D C ACCBD 1.A2.B3.D4.D 5.C【解析】由题意可得：AD=BD,∠A0B=100°， 案 LA0D=LB0D=2∠A0B=50°.故选C. 6.A 7.C【解析】设旋转的角度是n°，滑轮的半径是OA=9cm, 由孤长公式可得m=6m,解得n=120.故选C 180 8.C【解析】连接OE,由题意，得CD垂直平分OA..直线 CD交半圆O于点E,AE=OE.:AB是半圆O的直径， .0A=0E,.0A=AE=OE,△A0E为等边三角形， 1 A0E=60°，.∠ABE=7∠A0E=30°.故选C. 9.B【解析】连接OA,0C,OC交AB于D,则OC⊥AB,又 AB=8米，∴.AD=BD=AB=4米.在Rt△OAD中，OA =5米，AD=4米，.0D=√52-4=3（米），CD=5-3= 2(米).故选B. 10.D【解析】作DH⊥AE于点H.:∠AOB=90°，OA=2, OB=1,.AB=√OA+0B2=√5.由旋转得△E0F≌ △BOA,∴.∠OAB=LEFO.:LFEO+LEFO=LFEO+ ∠HED=90°，.∠EFO=∠HED,∴.∠HED=∠OAB. ∠DHE=∠AOB=90°，DE=AB,.△DHE≌△BOA (AAS),.DH=OB=1,Sm影=S△ADs+S△BOP+S角形A0r S扇衫DEP=2 ×3×1+。×1×2+ ,90·T×2290·T×5 2 360 360 10-T故选D. 4 11.∠A≤90°12.（2,0) 13.3【解析】作AH⊥BC于H,作直径CF,连接BF., ∠BAC+∠EAD=180°，∠BAC+∠BAF=180°，∴.∠DAE= ∠BAF,.DE=BF,.DE=BF=6.AH⊥BC,.CH= BH,而CA=AF,AH为△CBF的中位线，AH=2BF =3. 14m【解析AB=18cm,BD=9em,LDAE=150°，2 AD=9cm,D呢的长为150xmx9_15 180 s2π(cm). 15.4m-4W2【解析】连接AB,CD,OE,OE交CD于点J.. OC=AC,OD=DB,.CD∥AB.AE=BE,.OE⊥AB, CD⊥0E..·∠C0D=90°，.CD=W/OC2+0D2= 1 V2+2=22,Sat0m=2·CD·0B=42, 1 S阴影=S扇形10B一S四边形0CBD=4 ·π·42-42=4m-42. 16.解：：∠BAC=60°，.∠B0C=2∠BAC=120°.（3分) 0B=0C,∠0BC=L0CB=7×(180°-120°)=30 级·RJ·数学第8页铺路卷 河南专版·RJ·九年级数学上 ”为期中、期末铺路”为中考、未来铺路 第二十八章追梦综合演练卷 测试时间：100分钟 测试分数：120分 得分： 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 2 3 4 5 6 7 9 10 答案 1.中国的货币不仅历史悠久而且种类繁多，形成了独具一格的货 地 币文化.以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分货币 黑 图形，其中是中心对称图形的是( 咖 r 内回 2.下列正多边形绕着它的中心旋转60°后，能与自身重合 的是( ) A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 T 3.如图，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，点A、B、C的对称 点分别为D、E、F.下列结论不一定正确的是( ) A.AD⊥BE B.AO=DO C.AB∥DE D.△ABC≌△DEF 纯 爵 B 第3题图 第5题图 第6题图 4.在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，将点A(4,3)按逆时 针方向旋转90°，得到点A',则点A'的坐标为( ) A.(4,-3) B.(-4,1) C.(-3,4) D.(3,-4) 5.如图4×4的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定 的角度，得到三角形②，则其旋转中心是( A.点A B.点B C.点C D.点D 6.如图，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得 到Rt△DEC,连接AD,若∠B=55°，则∠ADE等于( A.5° B.10° C.15° D.20° 7.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，∠BCA=65°，将△ABC绕点B 旋转到△A'BC'的位置，使得AA'∥BC',则∠ABA'的度 数为( A.35° B.40° C.50° D.55° E B a 第7题图 第8题图 第9题图 8.如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC,AC=4,把一块含有30°角的 三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（∠F=30),将 △DEF绕点D按顺时针方向旋转α度(E始终在点B上方)，则 △ABC与△DEF重叠部分的面积为( A.1 B.2 C.3 D.4 9.如图，在△ABC中，AB=8,AC=6,∠BAC=30°，将△ABC绕点A 逆时针旋转60°得到△AB1C1,连接BC1,则下列结论错误的 是( A.AC=AC B.∠CAC,=60° C.AB=8 D.BC1=12 10.学科内融合如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=√3，点 1,C在直线y=x上，且点A的坐标为（气，）.将菱形ABCD 绕原点0逆时针旋转，每次旋转45°，则第85次旋转结束时， 点C的坐标为( A.(2,0) B.(0,2) C.(0,2) D.(2,0) 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.下列现象：①时针的转动；②摩天轮的转动；③地下水位逐年下 降；④传送带上的机器人.其中，属于旋转的是 12.已知，点A(a,1)和点B(3,b)关于原点0对称，则a+b的值为 13.如图，将长方形ABCD绕点A逆时针旋转25°，得到长方形 AB,C1D1,B,C1交CD于点M,则∠CMC1= C D 第13题图 第14题图 第15题图 14.如图，在△ABC中，AB=6,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转 30°后得到△ABC1,则阴影部分的面积为 15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,CB=5,点D是CB边上 的一个动点，将线段AD绕着点D顺时针旋转90°，得到线段 DE,连接BE,则线段BE的最小值是 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.（9分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标都 在格点上，A点坐标为(-3,1). (1)△AB,C1与△ABC关于原点0成中心对称，请画 出△A1B1C1· (2)P(a,b)是△ABC内一点，将△ABC平移后点P的对应点 P'(a+2,b-6),请画出平移后的△A2B2C2 (3)将△ABC绕着点0按顺时针方向旋转90°得到△A3B,C3, 请画出△A3B,C3: THE ROAD TO 17.(9分)如图，△ABC是等边三角形，△ABP旋转后能与△CBP 重合 (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转角度是多少度？ (3)连接PP'后，△BPP'是什么三角形？简单说明理由. 。13… 18.(9分)同学们利用几何画图软件开展了“图案设计”项目式学 习，下面在4×4的正方形网格中设计的两种不同图案的一 部分。 （1)请将图1中的阴影三角形以点M为旋转中心逆时针旋转 90°，画出旋转后得到的三角形； (2)利用图2中的阴影三角形，通过添加全等三角形的方式， 补成一个图案，使其既是轴对称图形，又是中心对称图形；（可 以补充一个或多个) 图1 图2 19.（9分)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，把Rt△ABC绕着B点逆时 针旋转，得到Rt△DBE,点E在AB上. (1)若∠BDA=0°，求∠BAC的度数； (2)若BC=8,AC=6,求△ABD中AD边上的高. THE ROAD TO 20.(9分)如图，在四边形ABCD中，AC,BD是对角线，△ABC是等 边三角形.线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE,连 接AE. （1)求证：AE=BD: (2)若∠ADC=30°，AD=3,BD=5,求CD的长. 。14… 21.(10分)如图，AC⊥BC,垂足为C,AC=6,BC=43,将线段AC 绕点C按顺时针方向旋转60°，得到线段CD,连接AD,DB. (1)求线段BD的长度； (2)求四边形ACBD的面积. 22.(10分)如图，在△ABC中，AB=AC=1,∠BAC=45°，△AEF是 由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE,CF交于 点D (1)求证：BE=CF; (2)当四边形ACDE为菱形时，求BD的长. 23.新定义(10分)【定义新知】 如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转a(0°<a<180°) 得到AD,把AC绕点A逆时针旋转B得到AE,连接DE,当+B =180时，我们称△ADE是△ABC的“旋补三角形”，边DE上 的中线AF叫作△ABC的“旋补中线”，点A叫作“旋补中心”. 【特例感知】 易错 分析 (1)如图2，△ADE是△ABC的“旋补三角形”，AF是△ABC的 “旋补中线”，点A是“旋补中心”，若△ABC为等边三角形，请 判断AF与BC的数量关系，并说明理由； 【迁移探究】 (2)如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，△ADE是△ABC的“旋 补三角形”，AF是△ABC的“旋补中线”，点A是“旋补中心”， 请你判断(1)中AF与BC的数量关系是否仍然成立，并说明 理由. 图3 壁 做题 心得