14.2.5三角形全等的判定(HL)(第5课时）教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

14.2 三角形全等的判定（第五课时 HL）（教学设计） 项目 内容 项目 内容 年级 八年级 学科 数学 课题 14.2 三角形全等的判定（第五课时 HL） 课时 第1课时 教材 人教版八年级数学上册第十四章 课型 新授课 授课教师 ＿＿＿＿＿＿ 授课班级 ＿＿＿＿＿＿ 一、教材分析 判定方法学到这节课已经是第五条，也是最后一条，而且是最特殊的一条——它只对直角三角形有效。斜边和一条直角边分别相等，两个直角三角形就全等。放在一般的三角形里，"两边和其中一边的对角"是定不出全等的，可一旦把范围缩到直角三角形，直角那个"对角"恰好被钉死了，事情就起了变化。 这节课在整章里的位置是收口。五条判定凑齐了，学生的任务从"学一条用一条"变成"面对一个图形，自己挑哪条顺手"。所以这节课的例题综合性明显上去了，一道题里常常要先用 HL 证一次，再借全等的结论去推线段、推角度，甚至再证第二次全等。 另外要特别当心一件事：HL 是"斜边、直角边"的缩写，字母 H 指的是斜边（hypotenuse）。学生最容易犯的错就是把它当成一般的"边边角"到处乱套，或者忘了交代"这是两个直角三角形"。这个前提条件，得从第一道例题起就咬死。 二、学情分析 学生手里已经有四条判定，套路基本摸熟，书写也比三节课前强多了。这节课的新东西不多，但有两处坑我提前想到了。一个是把 HL 和一般的"边边角"混为一谈——学生记住了"两条边加一个角"，至于那个角是不是直角、是不是对边，一紧张就顾不上了。另一个是"在Rt△×××和Rt△×××中"这个说法，好学生也常写成普通的"在△×××和△×××中"，直角三角形的身份没交代，HL 用得就没根。 好在这节课有动手环节。让学生拿尺规照着"斜边一条、直角边一条"去画直角三角形，画出来一比，只有一种结果，HL 的道理不用讲就明白了。这种先画后证的路子，前面几节课一直这么走，学生已经习惯了。 三、教学目标 1．理解并掌握判定两个直角三角形全等的"斜边、直角边"（HL）定理，能准确表述定理内容，明确它仅适用于直角三角形。 2．能综合运用 SSS、SAS、ASA、AAS 和 HL 五种判定方法判定三角形全等，并规范书写证明过程；经历"尺规作图—观察猜想—逻辑推理—证明应用"的探究过程，体会由特殊到一般、由直观到推理的思想方法。 3．能运用 HL 定理解决与直角三角形全等相关的简单计算与证明问题，在推理论证中感受数学的严谨性。 四、教学重点与难点 教学重点：运用"斜边、直角边"（HL）判定两个直角三角形全等。 教学难点：1．准确理解 HL 判定仅适用于直角三角形，并能与其他判定方法正确区分；2．在复杂图形中灵活选择判定方法，合理转化条件；3．规范、完整地书写直角三角形全等的证明过程。 五、教学准备 直尺、三角尺、圆规、量角器；多媒体课件（含情境视频《建筑中的秘密》）。 六、教学过程 （一）情境导入（约5分钟） 【教师活动】 播放短视频《建筑中的秘密》，看工地上怎么用三角形框架把架子撑稳。看完我问学生：视频里那些三角形的架子，工人师傅凭什么保证每一个都一样规格？ 然后让学生动手画一画：一个直角三角形，斜边定了，一条直角边也定了，这样的直角三角形你能画出几种？动手画完再回来回答。 【学生活动】 看视频，动手画图，汇报自己画出的结果，发现满足条件的直角三角形只有一种，产生"是不是也能这样判定全等"的猜想。 【设计意图】 用工地上的真事儿起头，把"规格统一"这件事跟全等挂上钩；动手画图环节让学生自己撞出结论，比老师直接给定理印象深。 （二）新知探究（约15分钟） 如图△ABC，请利用尺规作图，画出一个△A'B'C'，满足∠C'=∠C=90°，A'B'=AB，B'C'=BC． 【教师活动】 让学生先画直角，再量斜边、再量直角边，三步画完跟同桌的图比一比。比完追问：条件只给了一条斜边、一条直角边，加上直角本身，为什么画出来的三角形只有一种？一般的三角形里这样给条件行不行？——把"边边角"的反例再翻出来对照一次，学生立刻明白 HL 特殊在哪儿。 判定直角三角形全等的方法 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等．（简写成"斜边、直角边"或"HL"） 几何语言：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，AB=A'B'，BC=B'C' ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（HL）． 【易错提醒】 两件事必须咬死：一是写几何语言时三角形前面要带"Rt"，先把"这是直角三角形"交代清楚，HL 才有资格用；二是 HL 里的角是直角，不用单独写条件，但直角三角形这个前提不能省。我会当场写一个不带 Rt 的错误示范让学生改。 【学生活动】 动手用尺规作图，比较所画三角形；记录 HL 的内容与几何语言，明确书写规范。 （三）典例分析（约12分钟） 例1 如图，AB⊥AC，DC⊥AC，要使△ABC≌△CDA，现已有条件＿＿AC＝AC＿＿＿＿和＿＿∠BAC＝∠DCA＿＿＿＿＿＿，还需要添加什么条件（最直接的）才能保证结论成立？ (1)AB＝CD（SAS）； (2)＿＿BC＝DA＿＿＿＿（HL）； (3)＿＿∠B＝∠D＿＿＿＿＿＿（AAS）； (4)＿＿∠BCA＝∠DAC＿＿＿＿（ASA）． 【讲解思路】 这道题是五条判定的"总复习"——一个图形，四条路都能走通。我先让学生把已有的条件列出来：公共边 AC，加上两组垂直带来的直角。然后一问一问地过：走 SAS 缺什么？走 HL 缺什么？走 AAS、ASA 又缺什么？四问下来，学生对"已知什么、还缺什么"的感觉就出来了。这题讲透了，后面挑判定方法就有谱。 例2 如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，AD，BC交于点O．求证：AC＝BD． 证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD， ∴∠C＝∠D＝90°． 在Rt△ABD和Rt△BAC中，AB=AB，AD=BC ∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL）． ∴AC＝BD． 【易错提醒】 这题的斜边是公共边 AB，学生得自己看出来。公共边在直角三角形里常常就是斜边，这一层要提醒。另外，题里给的两个垂直条件先各自翻成 90°，写全等时才顺手。 例3 如图，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在AC上，点E在BA的延长线上，BD＝CE．求证：BD⊥CE． 证明：∵∠BAC＝90°， ∴△ABD与△ACE都是直角三角形． 在Rt△ABD和Rt△ACE中，BD=CE，AB=AC ∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL）． ∴∠ADB＝∠E． ∵∠EBF＋∠ADB＝90°， ∴∠EBF＋∠E＝90°． ∴∠BFE＝90°，即BD⊥CE． 【讲解思路】 这道题两步走：先靠 HL 证全等，把∠ADB 搬到∠E 的位置上；再用直角三角形两个锐角互余，凑出 ∠BFE＝90°。第一步用 HL，第二步是余角的事，两件事接力才够到垂直。学生容易在第二步卡住，我会让他们先在图上把要证的 90° 标出来，再倒着看它由哪两个角拼成。 例4 如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD=AF，AC=AE． 求证：(1)BD=BF　(2)BC=BE 证明(1)：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高， ∴∠D=∠F=90°， 在Rt△ABD和Rt△ABF中，AB=AB，AD=AF， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）， ∴BD=BF； (2)证明：在Rt△ADC和Rt△AFE中，AC=AE，AD=AF， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）， ∴CD=EF， 由（1）得BD=BF， ∴BD−CD=BF−EF， 即BC=BE． 【讲解思路】 一道题证两次全等，第一次证出 BD=BF，第二次证出 CD=EF，最后做减法把 BC=BE 拼出来。我要让学生注意两点：一是钝角三角形的高在形外，图要能看懂；二是第二次全等用的还是公共斜边 AB 换成 AC=AE 这条路子，两段全等各自管一段线段。做完让学生回头数一数：这道题一共用了几次 HL？ 【学生活动】 先独立完成例1的填空并说明每条路用的判定；再跟着分析例2、例3，独立书写例4，小组内互查"Rt"和判定依据写没写。 （四）变式训练（约10分钟） 1．如图，AB=CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE=CF．那么BD平分EF吗？证明你的结论． 证明：结论：BD平分EF，理由如下： ∵BF⊥AC，DE⊥AC， ∴∠AFB＝∠DEC=∠BFG=∠DEG=90°． ∵AF=AE−EF，CE=CF−EF，AE=CF， ∴AF=CE． 在Rt△AFB和Rt△CED中，AB=CD，AF=CE ∴Rt△AFB≌Rt△CED（HL），∴BF＝DE． 在△BGF和△DGE中，∠BFG=∠DEG，∠BGF=∠DGE，BF=DE ∴△BGF≌△DGE（AAS），∴FG＝EG． 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D为BC上一点，且DE⊥AB于点E，DE＝CD，AB＝8 cm，求△DEB的周长． 解：∵DE⊥AB，∠C=90°， ∴∠C=∠DEA=90°， 在Rt△ACD和Rt△AED中，CD=DE，AD=AD， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC=AE， ∵AC＝BC， ∴AE＝BC， ∴△BDE的周长=BE＋DE＋BD=BE＋CD＋BD =BE＋BC=BE＋AE=AB． ∵AB＝8 cm ∴△BDE的周长是8 cm 3．如图，∠C=90°，AC=20，BC=10，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB=PQ，当AP为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等． 解：∵AX⊥AC，∴∠PAQ=90°，即∠C=∠PAQ=90° 分两种情况： 当AP=BC=10时，在Rt△ABC和Rt△QPA中，AB=QP，BC=AP ∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）； 当AP=CA=20时，在Rt△ABC和Rt△PQA中，AB=PQ，AC=AP ∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）， 综上所述：当点P运动到AP=10或20时，△ABC与△APQ全等 【讲解思路】 三道题把 HL 的用法铺开：第1题靠线段的差凑出 AF=CE，再用 HL；第2题更妙，周长算不出来不要紧，把三段线段一路"换"过去，最后全换成 AB，这类"换线段"的功夫前面练过，这里再巩固一次；第3题是动点问题，要分两种情况讨论，谁当斜边、谁当直角边，画图摆清楚再下结论。分类讨论这一步千万别漏，漏一种就少一个答案。 【学生活动】 独立完成变式1、2，小组讨论变式3的两种情况，派代表汇报，全班订正。 （五）当堂检测（约7分钟） 1．下列命题中，正确的有（C） ①两直角边对应相等的两个直角三角形全等； ②两锐角对应相等的两个直角三角形全等； ③斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等； ④一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等． A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 2．如图，已知AB＝CD，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE＝CF，则图中的全等三角形有＿3对＿＿＿＿ 3．如图，AD是△ABC的BC边上的高，补充下列一个条件后，能判定△ADB≌△ADC的有＿＿①②③④＿＿＿＿＿ ①D是BC的中点；②AB＝AC；③AD是∠BAC的平分线；④∠B＝∠C． 4．如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O． (1)求证：Rt△ABC≌Rt△DEF； (2)若∠A＝51°，求∠BOF的度数． 证明（1）：∵AE＝DB， ∴AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE． 在Rt△ABC和Rt△DEF中，AC=DF，AB=DE ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）． （2）∵∠C＝90°，∠A＝51°， ∴∠ABC＝∠C−∠A＝90°−51°＝39°． 由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF， ∴∠ABC＝∠DEF． ∴∠DEF＝39°． ∴∠BOF＝∠ABC＋∠BEF＝39°＋39°＝78°． 5．如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M，N，且BM＝AN．求证： (1)△AMB≌△CNA； (2)∠BAC＝90°． 证明：(1)∵BM⊥直线l，CN⊥直线l， ∴∠AMB＝∠CNA＝90°． 在Rt△AMB和Rt△CNA中，AB=CA，BM=AN ∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）． (2)由(1)得Rt△AMB≌Rt△CNA， ∴∠BAM＝∠ACN． ∵∠CAN＋∠ACN＝90°， ∴∠CAN＋∠BAM＝90°． ∴∠BAC＝180°−90°＝90°． 【处理方式】 第1、2、3题当堂口答，重点听判断的理由；第4、5题抽两人板演，其余同学写完互批，重点看"Rt"和 HL 有没有写全。 （六）课堂小结（约3分钟） 下课前把五条判定放一块儿理一理：哪几条对一般三角形适用？哪一条只对直角三角形适用？用 HL 最容易漏掉什么？学生说，我在黑板上把五条判定排成表，标清楚各自的"身份"。 七、板书设计 课题：14.2 三角形全等的判定（第五课时 HL） 左侧—— 判定直角三角形全等的方法： 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等．（简写成"斜边、直角边"或"HL"） 几何语言：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，AB=A'B'，BC=B'C' ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（HL）． 右侧—— 例1（五种判定对照）、例2、例3、例4 八、作业布置 1．完成课后作业：教材P43练习1、2 2．配套同步分层作业 九、教学反思 画图探究那个环节效果不错，学生画完互相一比，"只有一种"这个结论自己就出来了，HL 接受得比我想的快。但到书写上问题就露出来了：例2板演的时候，五个学生里有三个把"Rt"漏了，还有一个把公共边 AB 写成了对应边条件却没交代它是斜边。看来 HL 的书写规范得再盯两节课，尤其"Rt"这个帽子不能丢。 变式3的动点分类讨论，一半学生只想到了一种情况。这道题提醒我：到了综合阶段，学生缺的不是判定定理本身，而是把条件摆清楚、把情况分周全的习惯。下一节课的例题里我要专门放一道分类讨论的题，让他们先猜有几种、再动手验证，把"漏解"这个毛病治一治。 学科网（北京）股份有限公司 $