专题11 全等三角形模型之角平分线模型（全等）（几何模型讲义）数学新教材人教版八年级上册

专题11.全等三角形模型之角平分线模型（全等） 角平分线模型是依托角平分线定义，结合全等三角形判定构造辅助线的一类基础几何模型，核心思路：见到角平分线，利用角相等，通过作垂线、截等长、作平行线构造全等三角形，实现线段、角度的转化。 模型包含 4 个经典子模型：①角平分线上的点向两边作垂线；②截长补短（角平分线截等线段）；③角平分线 + 垂直（三线合一，延长构造全等）；④角平分线 + 平行线出等腰（此模型再前面的倒角模型已总结）。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 2 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 6 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 10 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 24 C组（综合压轴题） 29 角平分线的性质早在欧几里得《几何原本》中就有记载。古代工匠在平分土地、修建城墙时，利用 “角平分线上任意一点到角两边距离相等”，来保证到两条边界距离相同。 这个模型是几何辅助线入门第一个 “条件触发式” 模型：看到某类条件，就固定做某条辅助线，是学生从单纯证明全等，进阶到主动构造全等的转折点。现代数学教育工作者根据角平分线的对称轴总结三类辅助线的添加方法，即：1）角平分线垂两边（角平分线+外垂直）；2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）；3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）。 1）角平分线定义：平分一个角，分成两个相等的角； 2）角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 3）全等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL； 4）垂直定义、直角相等；对顶角相等；三角形外角定理。 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）模型 【模型提炼与证明】 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在四边形中，，，，点在边上，若，且平分，则的长为______． 【典例2】（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3）；（4）若，则，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例3】（25-26浙江·八年级专题练习）如图，四边形中，，点O为的中点，且平分．(1)求证：平分；(2)求证：；(3)求证：．    【典例4】（25-26八年级上·山西临汾·阶段练习）【教材呈现】下面是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容：已知：如图，是的平分线，点是上的任意一点．，，垂足分别为点和点．求证：．    分析：图中有两个直角和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． (1)【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明过程． (2)【类比探究】如图②，是的平分线，是上任意一点，点M、N分别在、上，连接和，若，求证：． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）模型 【模型提炼与证明】 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，点D在内部，平分，且，连接．若的面积为2，则的面积为 ． 【典例2】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，平分，于E，若，，则的长为（    ） A．5 B．1 C．3 D．2 【典例3】（25-26湖北黄冈·八年级校考期中）如图， 中， 是 的角平分线， ；若的最大值为，则长为 ． 【典例4】（25-26七年级下·广东深圳·期中）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法， (1)如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据_______，证明，则，（即点C为的中点）． (2)【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得_______． (3)【拓展延伸】如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (4)【实际应用】亚太经合组织（）第三十三次领导人非正式会议将于2026年11月18日~19日在深圳市福田区香蜜湖新金融中心举行．为建设会议配套景观广场，政府统一规划一块三角形土地，如图4，其中与香蜜湖路相邻．规划人员进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知米，米，面积为4200平方米，则划出的的面积是多少平方米？ 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）模型 【模型提炼与证明】 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 【模型运用】 【典例1】（25-26山东·八年级专题练习）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【典例2】（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在四边形中，，平分，，则下列结论中错误的是（  ） A．平分 B． C． D． 【典例3】（24-25八年级上·辽宁大连·期中）【问题初探】（1）综合与实践数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1，若，，平分，求证：． ①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为与的数量关系； ②如图3，小强同学从平分这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点E，使，连接，将线段之间的数量关系转化为与的数量关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程： 【类比分析】（2）李老师发现两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将问题进行变式，请你解答：如图4，在四边形中，E是的中点，若平分，，请你探究的数量关系并证明； 【学以致用】（3）如图5，在中，，和的平分线交于点P，M，N为上的点，且P为中点，若，，，求的值． 【典例4】（24-25七年级下·山东青岛·期末） 【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B．结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 模型常见易错点 1）直接默认 “角平分线上点到两边线段相等”，忽略必须是垂线段。 解决方案：审题看清楚，不是垂直的线段，不能直接相等；只有垂线段才满足性质。 2）分不清什么时候用截长、什么时候补短，辅助线画错。 解决方案：求证线段和差等式，角平分线在角上，长边截短边（截长）；短边向外延长（补短）。 3）角平分线 + 垂直，只看到直角，想不到延长线段构造全等。 解决方案：条件出现【角平分线 + 一条垂线，垂足在角平分线上】，优先延长垂线，构造对称全等。 解题方法总结 步骤 1：标记条件 找到题干中角平分线，标出相等两角； 步骤 2：匹配模型，做辅助线（四选一） ①有垂直求距离：向角两边作垂线； ②证明线段和差：角边上截取等长线段； ③角平分线 + 垂线：延长垂线，构造全等； ④ 有平行线：倒角，找等腰三角形； 步骤 3：写出全等条件，证明三角形全等； 步骤 4：转化线段 / 角度，代换，推导出结论； 步骤 5：检查：确认线段是否为垂线段，全等判定使用正确。 模型口诀：遇角分，四套路；作垂线，截等长；作平行，出等腰；角分垂，延长造。 1．（25-26八年级上·广东深圳·阶段练习）如图所示，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E．若AB＝8，则△DEB的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（25-26·山东泰安·七年级统考期末）如图，的外角的平分线与内角的平分线交与点P，若，则（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26·浙江宁波·八年级校考期中）如图，△ABC的面积为16，∠PBC与∠PAB互余，AP⊥BP，则△PBC的面积 ． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在中，已知，的平分线与的平分线相交于点O，的平分线交于F，则： （1）的度数是 ．（2）若，，则的长是 ． 5.（25-26四川广元·八年级校考阶段练习）如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD．（1）求证：∠B与∠AHD互补；（2）若∠B+2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，是角平分线，E，F分别为上的点，且．与有何数量关系？请说明理由． 1.（25-26八年级上·陕西安康·阶段练习）如图，平分，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南·期末）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；已知，且于点．若，则线段长为 ． 3．（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，，是的角平分线. (1)当时，求的度数；(2)当时，求证：. 4．（25-26绵阳市·八年级期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E．若AB=BF，求证：BD垂直平分AF． （2）如图2，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由． （3）如图3，点F为BC上一点，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点M．直接写出线段CE与线段FM的数量关系． 5.（24-25湖北十堰·九年级期末）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD．      （1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 6.（25-26八年级上·吉林长春·期中）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容． 角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图1，是的平分线，点是上的任何一点，，，垂足分别为点和点．求证：．请写出完整的证明过程：… (1)请根据教材内容，结合图2，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)【应用】如图3，在中，，平分于点，点在上，，若，则的长为______． (3)【拓展】如图4，在中，平分交于点于点，若，，，则的面积为____． 1．（25-26江苏·八年级期末）如图，中， ， ，平分，则的最大值为 ． 2.（25-26七年级下·山东·期末）如图，在中，和的角平分线，相交于点，于点 ，连接． 下列结论： 平分 ；；若，则 ；若 的周长为， ， 则 其中正确的是 ．（请填写序号） 3．（25-26河北·八年级校考期末）定理的回顾与应用： (1)填空：角平分线的性质定理：角平分线上的点到 　 　． 符号语言：∵如图1，为上的平分线，且 　 　，∴　 　． (2)解答：已知：如图2，，为的平分线，以点为顶点的与角的两边相交于点、 ，且．求证：． (3)作图：根据以上种情况，再次寻找其它情况，点 P为的平分线上的点，请你用尺规作图3，分别在角的两边上找点、，使得（要求保留作图痕迹，不写作法） (4)思考：如图4，为的平分线，以点为顶点的与角的两边相交于点、，当与有怎样的数量关系时，．（只写数量关系，不必证明） 4．（25-26七年级下·广东深圳·期末）在学习七下课本121页“三线合一”时罗老师在课堂上进行探究式教学．    (1)【问题原型】定理：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．如图，在中，平分．根据图形1用几何语言写出该定理 ①∵，平分，∴ ， ； ②在中，的周长为32，的周长为23，则的长为 ．    (2)【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现了同学们有以下两种解题思路，请任选其中一种，完成命题的证明． 已知：在中，平分，且点D是的中点．求证：． 方法一：如图2，延长到点E，使， 连接． 方法二：如图3，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F． (3)【拓展延伸】如图4，在中，平分，点E为中点，与相交于点F，过点B作交延长线于点H，设的面积分别为，若，试求的最大值． 5.（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，射线平分，在射线，上分别截取线段．；使；在射线上任取一点D，连接，．则与的数量关系为______． （2）如图2，在中，，平分，求证：； （3）如图3，在四边形中，，，，C为边中点，若平分，平分，，求的值． 6．（25-26八年级上·宁夏石嘴山·期末）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据_____证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】如图，在中，平分，于，若，，通过上述构造全等的办法，可求得_____． 【拓展延伸】如图，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【实际应用】如图，李刚同学将一块直角三角形纸片沿折叠，使得点的对应点在的角平分线上．已知，，的面积为，求的面积． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.全等三角形模型之角平分线模型（全等） 角平分线模型是依托角平分线定义，结合全等三角形判定构造辅助线的一类基础几何模型，核心思路：见到角平分线，利用角相等，通过作垂线、截等长、作平行线构造全等三角形，实现线段、角度的转化。 模型包含 4 个经典子模型：①角平分线上的点向两边作垂线；②截长补短（角平分线截等线段）；③角平分线 + 垂直（三线合一，延长构造全等）；④角平分线 + 平行线出等腰（此模型再前面的倒角模型已总结）。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 2 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 6 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 10 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 24 C组（综合压轴题） 29 角平分线的性质早在欧几里得《几何原本》中就有记载。古代工匠在平分土地、修建城墙时，利用 “角平分线上任意一点到角两边距离相等”，来保证到两条边界距离相同。 这个模型是几何辅助线入门第一个 “条件触发式” 模型：看到某类条件，就固定做某条辅助线，是学生从单纯证明全等，进阶到主动构造全等的转折点。现代数学教育工作者根据角平分线的对称轴总结三类辅助线的添加方法，即：1）角平分线垂两边（角平分线+外垂直）；2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）；3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）。 1）角平分线定义：平分一个角，分成两个相等的角； 2）角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 3）全等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL； 4）垂直定义、直角相等；对顶角相等；三角形外角定理。 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）模型 【模型提炼与证明】 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在四边形中，，，，点在边上，若，且平分，则的长为______． 【答案】7 【详解】解：如图，过点作，交延长线于点，过点作于点， ∵，∴，设，则， ∵，∴，∴， ∵平分，，， ∴，，，∴， ∴在中，， ∵，∴，∴在中，， 在四边形中，， ∵，∴，又∵，，∴， 在和中，，∴，∴，故答案为：7． 【典例2】（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3）；（4）若，则，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：过点P作PG⊥AB，连接,如图： ∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA，，，PG⊥AB， ∴；故（1）正确；∴点在的平分线上；故（2）正确； ，， ，， ，， 又，∴；故（3）错误； ,， ，， ， ， ∴正确的选项有3个；故选C． 【典例3】（25-26浙江·八年级专题练习）如图，四边形中，，点O为的中点，且平分．(1)求证：平分；(2)求证：；(3)求证：．    【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）证明：过点作于，    ∵，平分，∴， ∵点为的中点，∴，∴，又∵，∴平分； （2）证明：在和中，，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴； （3）证明：∵，∴， ∵，∴，∵，∴． 【典例4】（25-26八年级上·山西临汾·阶段练习）【教材呈现】下面是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容：已知：如图，是的平分线，点是上的任意一点．，，垂足分别为点和点．求证：．    分析：图中有两个直角和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． (1)【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明过程． (2)【类比探究】如图②，是的平分线，是上任意一点，点M、N分别在、上，连接和，若，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：，，， 是的平分线，， 在和中，，，； （2）证明：如图②，过点作于，于，    是的平分线，，，， ，，， 在和中，，，． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）模型 【模型提炼与证明】 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，点D在内部，平分，且，连接．若的面积为2，则的面积为 ． 【答案】4 【详解】延长交于点， ，，平分，， 在和中，．∴，， ，，．故答案为：4． 【典例2】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，平分，于E，若，，则的长为（    ） A．5 B．1 C．3 D．2 【答案】D 【详解】解：延长交于，如图： 平分，，，， 在和中，，， ，，，， ，，， 是的一个外角，， ， ，，，，故选D． 【典例3】（25-26湖北黄冈·八年级校考期中）如图， 中， 是 的角平分线， ；若的最大值为，则长为 ． 【答案】 【详解】解：延长和相交于点，如图： ∵ 是 的角平分线∴ ∵ ∴ ，；当时， 有最大值； 此时，即： 【典例4】（25-26七年级下·广东深圳·期中）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法， (1)如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据_______，证明，则，（即点C为的中点）． (2)【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得_______． (3)【拓展延伸】如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (4)【实际应用】亚太经合组织（）第三十三次领导人非正式会议将于2026年11月18日~19日在深圳市福田区香蜜湖新金融中心举行．为建设会议配套景观广场，政府统一规划一块三角形土地，如图4，其中与香蜜湖路相邻．规划人员进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知米，米，面积为4200平方米，则划出的的面积是多少平方米？ 【详解】（1）解：平分，， ，， 在和中，，， ，则可根据证明； （2）解：如图，延长交于点，同理（1）得，， ， ， ， (3)解：，证明如下：如图，延长、交于点，则， ，， ，， 又，，， 同理（1）得，，； （4）解：如图，延长交于E， 同理（1）得，，米，∴， ∵，∴ ∴；答：的面积是． 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）模型 【模型提炼与证明】 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 【模型运用】 【典例1】（25-26山东·八年级专题练习）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：如图，在上截取，连接 平分，平分，， ，，，，， 在和中，，， ，，， 在和中，，， ，， 周长为，，， ，．故选：B． 【典例2】（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在四边形中，，平分，，则下列结论中错误的是（  ） A．平分 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴， ∵，，， ， ∵平分，，， ∴平分，故A结论正确，不符合题意； 如图所示，在上截取，连接， 在和中，，，， ，∴，， 在和中，，， ，，，故D结论正确，不符合题意； ∵，，， ，∴，故C结论正确，不符合题意； 根据现有条件无法得到，故无法得到，故B结论错误，符合题意；故选：B． 【典例3】（24-25八年级上·辽宁大连·期中）【问题初探】（1）综合与实践数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1，若，，平分，求证：． ①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为与的数量关系； ②如图3，小强同学从平分这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点E，使，连接，将线段之间的数量关系转化为与的数量关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程： 【类比分析】（2）李老师发现两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将问题进行变式，请你解答：如图4，在四边形中，E是的中点，若平分，，请你探究的数量关系并证明； 【学以致用】（3）如图5，在中，，和的平分线交于点P，M，N为上的点，且P为中点，若，，，求的值． 【答案】（1）选择小明同学的思路：在上截取，连接，如下图． ∵平分，∴， 在和中，∴，∴，， 在中，，∴，∴， ∵是的外角，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴． 选择小强同学的思路：延长至点E，使，连接，如下图． 在中，，∴，∴， ∵平分，∴， 在和中，∴，∴， ∵是的外角，∴，∴， ∴，∴，∵，∴． （2），证明：在上截取，连接，如下图． ∵平分，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵E是的中点，∴，∵，∴，， ∵，∴，又∵，∴， ∴，∵，∴． （3）在上截取，，连接，如下图， ∵平分，平分，∴，， 在中，，∴， 在中，， ∴， ∴，同（1）得，， ∴，，，， ∴，∴， ∵P为中点，∴，∴，∵，∴为等边三角形， ∴，∴． 【典例4】（24-25七年级下·山东青岛·期末） 【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B．结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 【答案】模型证明：见解析；模型运用：；解决问题：50 【详解】模型证明：证明：如图，作于，于，则， ∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴； 模型运用：如图，在上截取点，使得，连接， ∵平分，∴，∵，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵平分，∴，∵，∴，∴， ∵，∴；故答案为：； 解决问题：由题意可得：米，米，米，米， ∴米，米， 如图，延长至点，使得，连接， ∵，，∴， ∵，，∴，∴米，，， ∵，， ∴，∴，∴， ∴米，即此时甲、乙两人的距离为米．故答案为：50． 模型常见易错点 1）直接默认 “角平分线上点到两边线段相等”，忽略必须是垂线段。 解决方案：审题看清楚，不是垂直的线段，不能直接相等；只有垂线段才满足性质。 2）分不清什么时候用截长、什么时候补短，辅助线画错。 解决方案：求证线段和差等式，角平分线在角上，长边截短边（截长）；短边向外延长（补短）。 3）角平分线 + 垂直，只看到直角，想不到延长线段构造全等。 解决方案：条件出现【角平分线 + 一条垂线，垂足在角平分线上】，优先延长垂线，构造对称全等。 解题方法总结 步骤 1：标记条件 找到题干中角平分线，标出相等两角； 步骤 2：匹配模型，做辅助线（四选一） ①有垂直求距离：向角两边作垂线； ②证明线段和差：角边上截取等长线段； ③角平分线 + 垂线：延长垂线，构造全等； ④ 有平行线：倒角，找等腰三角形； 步骤 3：写出全等条件，证明三角形全等； 步骤 4：转化线段 / 角度，代换，推导出结论； 步骤 5：检查：确认线段是否为垂线段，全等判定使用正确。 模型口诀：遇角分，四套路；作垂线，截等长；作平行，出等腰；角分垂，延长造。 1．（25-26八年级上·广东深圳·阶段练习）如图所示，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E．若AB＝8，则△DEB的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【详解】解：∵DE⊥AB，∠C＝90°∴∠C＝∠AED＝90°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠EAD， 在△ACD和△AED中，∵，∴△ACD≌△AED（AAS）， ∴AC＝AE，CD＝DE，∴BD+DE＝BD+CD＝BC＝AC＝AE， BD+DE+BE＝AE+BE＝AB＝8，∴△DEB的周长为8．故选：B． 2．（25-26·山东泰安·七年级统考期末）如图，的外角的平分线与内角的平分线交与点P，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：延长，作，，，设， 平分，，， 平分，，，， ，， ，， 在和中，，，．故选：C．    3．（25-26·浙江宁波·八年级校考期中）如图，△ABC的面积为16，∠PBC与∠PAB互余，AP⊥BP，则△PBC的面积 ． 【答案】8 【详解】解：如图，延长AP交BC于D，∵AP⊥BP，∴∠ABP+∠PAB=90°， 又∵∠PBC与∠PAB互余，∴∠ABP=∠PBC，即BP为∠ABC的角平分线， 又∵AP⊥BP，∴AP=DP，∴=，=， ∴故答案为：8 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在中，已知，的平分线与的平分线相交于点O，的平分线交于F，则： （1）的度数是 ．（2）若，，则的长是 ． 【答案】 /60度 9 【详解】解：（1）∵在中，，∴， ∵的平分线与的平分线相交于点O，∴， ∴， ∴，故答案为：； （2）∵平分，∴， 又∵，∴，∴，同理， ∵，，∴，即， ∴，故答案为：9． 5.（25-26四川广元·八年级校考阶段练习）如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD．（1）求证：∠B与∠AHD互补；（2）若∠B+2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）AG＝AH+HD，证明见解析 【详解】证明：（1）在上取一点，使得，连接 ∵ ∴∴， ∵∴∴ ∵∴ 即与互补． （2）由（1） ∵ ∴ 又∵ ∴即 ∴∴∵∴． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，是角平分线，E，F分别为上的点，且．与有何数量关系？请说明理由． 【答案】，理由见详解 【详解】，理由如下：过点D分别作于点M，于点N，如图， ∴，∵是角平分线，∴， ∵，，∴ 在和中，∵∴，∴ 1.（25-26八年级上·陕西安康·阶段练习）如图，平分，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过作，交的延长线于， 平分，，，， 在和中，，，， ，，故A正确，不符合题意；， ，， 在和中，，，， ，故C正确，不符合题意； ，故D正确，不符合题意； 不一定等于，不一定等于，故B错误，符合题意．故选：B． 2．（25-26八年级上·河南·期末）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；已知，且于点．若，则线段长为 ． 【答案】 【详解】解：延长交的延长线于点，由作图可知，为的角平分线，∴， ∵，∴，又∵，∴， ∴，∴，∵，∴， ∵，，∴， 又∵，∴，∴，故答案为：． 3．（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，，是的角平分线. (1)当时，求的度数；(2)当时，求证：. 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）延长至，使，连接，则． ，．平分，． ，，． 设，则，.∵，． 在中，，，解得，； （2）∵，且，， 在BC上截取，连接DF．平分，． ，，， ，，，，． 4．（25-26绵阳市·八年级期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E．若AB=BF，求证：BD垂直平分AF． （2）如图2，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由． （3）如图3，点F为BC上一点，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点M．直接写出线段CE与线段FM的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）BD=2CE，理由见解析；（3）FM=2CE． 【详解】证明(1) ∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE， ∵BA=BF，BE=BE，∴△ABE≌△FBE（SAS）， ∴AE=FE，∠AEB=∠FEB=× 180°=90°，∴BD垂直平分AF． （2）BD=2CE，理由如下：延长CE，交BA的延长线于G， ∵CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，∴GE=2CE=2GE， ∵∠CED=90°=∠BAD，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD=∠GCA， 又AB=AC，∠BAD=∠CAG，，∴△BAD≌△CAG（ASA），∴BD=CG=2CE， （3）FM=2 CE，理由如下：作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H， ∴FN=MN，MH=FH=FM，∴∠NMH=∠NBH， ∵∠EFC=∠ABC=22.5°，∴∠MNC=2∠NFH=2×∠ABC=∠ABC， ∵AB=AC，∠BAC=90，∴∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，∴NM=CM=FN， ∵∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，∴∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，∴∠NFH=∠MCE， 又∵∠FHN=∠E=90°，∴△FNH≌△CME（AAS），∴FH=CE，∴FM=2FH=2CE． 5.（24-25湖北十堰·九年级期末）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD．      （1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 【答案】（1）；证明见解析；（2）；证明见解析． 【详解】（1）猜想：．证明：如图②，在上截取，连结， ∵为的角平分线时，∴，∵， ∴，∴，，∵，∴． ∵，∴，∴，∴． （2）猜想：．证明：在的延长线上截取，连结． ∵平分，∴．在与中，，，， ∴．∴，．∴． 又，，． ∴．∴．∴． 6.（25-26八年级上·吉林长春·期中）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容． 角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图1，是的平分线，点是上的任何一点，，，垂足分别为点和点．求证：．请写出完整的证明过程：… (1)请根据教材内容，结合图2，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)【应用】如图3，在中，，平分于点，点在上，，若，则的长为______． (3)【拓展】如图4，在中，平分交于点于点，若，，，则的面积为____． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：是的平分线，， ，，， 又，，； （2）解：，，平分，， 同（1）法可得：，，， ，，又，，，， ，，， ∵，∴，；故答案为：； （3）解：过点作，交于点，如图， 平分交于点，，，， ，，，，， ∵，，；故答案为：． 1．（25-26江苏·八年级期末）如图，中， ， ，平分，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示延长交于点E， ∵平分，，∴ ，， 在与中，∵ ， ，， ∴∴ ， ， ∵∴ ，∵，∴ ， ∴当，最大，即最大， ∴答案为． 2.（25-26七年级下·山东·期末）如图，在中，和的角平分线，相交于点，于点 ，连接． 下列结论： 平分 ；；若，则 ；若 的周长为， ， 则 其中正确的是 ．（请填写序号） 【答案】 【详解】解：过点作于，于，如图所示： ∵和的角平分线，相交于点，， ∴，，∴，∴点在的平分线上，∴平分，故结论正确； ∵在中, ，∴， ∵和的角平分线，相交于点，∴，， ∴， 在中，， ∴，故结论不正确； 在上截取，连接，如图所示： ∵，∴，∴ ∵和的角平分线，相交于点，∴，， 在和中，，∴，∴， ∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，故结论正确； 如图所示：由（）可知：，∵， ，， ∴， ∵的周长为，，∴， ∴，故结论不正确；综上所述：正确的结论是，故答案为：． 3．（25-26河北·八年级校考期末）定理的回顾与应用： (1)填空：角平分线的性质定理：角平分线上的点到 　 　． 符号语言：∵如图1，为上的平分线，且 　 　，∴　 　． (2)解答：已知：如图2，，为的平分线，以点为顶点的与角的两边相交于点、 ，且．求证：． (3)作图：根据以上种情况，再次寻找其它情况，点 P为的平分线上的点，请你用尺规作图3，分别在角的两边上找点、，使得（要求保留作图痕迹，不写作法） (4)思考：如图4，为的平分线，以点为顶点的与角的两边相交于点、，当与有怎样的数量关系时，．（只写数量关系，不必证明） 【答案】(1)角两边的距离相等；，(2)见解析(3)见解析(4) 【详解】（1）解：定理直接得出结果：角两边的距离相等；，； （2）证明：证明：如图1， 作于，作于，， 平分，，在四边形中，，， ，，， ，，（ASA）； （3）证明：如图2，作射线，交于，作，反向延长，交于，则；, （4）解：如图3，当和互补时，，理由如下： 作于，作于，， 平分，，在四边形中，， ，，， ，，(ASA) ． 4．（25-26七年级下·广东深圳·期末）在学习七下课本121页“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学．    (1)【问题原型】定理：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．如图，在中，平分．根据图形1用几何语言写出该定理 ①∵，平分， ∴ ， ； ②在中，的周长为32，的周长为23，则的长为 ．    (2)【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现了同学们有以下两种解题思路，请任选其中一种，完成命题的证明． 已知：在中，平分，且点D是的中点．求证：． 方法一：如图2，延长到点E，使， 连接． 方法二：如图3，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F． (3)【拓展延伸】如图4，在中，平分，点E为中点，与相交于点F，过点B作交延长线于点H，设的面积分别为，若，试求的最大值． 【详解】（1）解：如图：      ∵，平分，∴，，故答案为：，； 设，，，∵的周长为32，∴，∴， ∵的周长为23，∴，∴，故答案为：． (2)证明：方法一：如图2， 延长到点E，使， 连接，∵点D是的中点，∴， 在和中，∵，∴，∴，， ∵平分，∴，∴，∴，∴； 方法二：如图3，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F，   ∵平分，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵点D是的中点，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴； （3）解：延长交的延长线为点，如图：   ∵平分，∴，∵，∴， 在和中，∵，∴，∴， ∵，∴， ∵的面积分别为，∴， ∵点E为中点，∴， ∵，∴，∴， 当以为底边， 为高时，有最大值，即有最大值， ∴的最大值为：，∴的最大值为． 5.（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，射线平分，在射线，上分别截取线段．；使；在射线上任取一点D，连接，．则与的数量关系为______． （2）如图2，在中，，平分，求证：； （3）如图3，在四边形中，，，，C为边中点，若平分，平分，，求的值． 【答案】（1）（2）详见解析（3） 【详解】（1）证明：射线平分，， 又，，，，故答案为：； （2）证明：在上截取，连接，如图2所示： 平分，，又，， ，，，，，， 又，，，，， ，； （3）解：在上取点，使，连接，在上取点，使，连接，如图3所示： 是边的中点，，， 平分，，又，， ，，．同理可证：， ，，，，， ，，， ，是等边三角形，，． 6．（25-26八年级上·宁夏石嘴山·期末）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据_____证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】如图，在中，平分，于，若，，通过上述构造全等的办法，可求得_____． 【拓展延伸】如图，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【实际应用】如图，李刚同学将一块直角三角形纸片沿折叠，使得点的对应点在的角平分线上．已知，，的面积为，求的面积． 【详解】[问题情境]∵平分，∴，∵，∴， 在和中，，∴， ∴，，故答案为：； [类比解答]如图，延长交于点， ∵平分，， ，， 由[问题情境]可知：，∴， ∴，故答案为：； [拓展延伸] ，证明：如图，延长、交于点， ∵中，，，∴， ∵，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵平分，，由[问题情境]可知：，∴； [实际应用]如图，延长交于， ∵将一块直角三角形纸片沿折叠，使得点的对应点在的角平分线上，，， ∴，即， 由[问题情境]可知：，，∴， ∵的面积为，∴， ∴，∴的面积为． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $