14.2 三角形全等的判定（第5课时 用“HL”判定直角三角形全等）教案 2026-2027学年数学人教版八年级上册

14.2　三角形全等的判定（第5课时　用“HL”判定直角三角形全等）　教学设计 课题 14.2　三角形全等的判定（第5课时） 学科 数学 年级 八年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第5课时　用“HL”判定直角三角形全等 课型 新授课 教学目标 1. 理解并掌握直角三角形全等的“斜边、直角边（HL）”判定方法，能规范书写几何语言； 2. 学会运用“斜边、直角边（HL）”判定方法进行简单的证明与计算； 3. 经历“猜想—验证—归纳”的探究过程，体会特殊与一般的数学思想方法。 教学重点 掌握“斜边、直角边（HL）”判定方法，并能灵活运用它进行简单的证明。 教学难点 区分“HL”与其他判定方法的适用范围，灵活选择判定方法证明直角三角形全等。 教学方法 讲授法、动手操作、探究归纳、合作交流 教学准备 多媒体课件、三角板、直尺、剪刀、透明直角三角形纸片 课后练习 教科书第43页练习第1、2题，第45页习题14.2第11、12题 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情境 导入新课 1. 悬念激趣，引出课题 教师出示情境：如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住，无法测量。 学生讨论回答：(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？ 教师讲述：工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定这两个直角三角形是全等的。 教师追问：你相信吗？这两个直角三角形具备怎样的特殊条件就能判定全等？ 2. 归纳导入，复习铺垫 教师出示填空，学生集体口头完成：判定两个三角形全等的方法有SAS、ASA、AAS、SSS。 教师出示图形：如图，AB⊥BE于点B，DE⊥BE于点E。 (1)若∠A＝∠D，AB＝DE，则△ABC与△DEF　全等，根据　ASA； (2)若∠A＝∠D，BC＝EF，则△ABC与△DEF　全等，根据　AAS； (3)若AB＝DE，BC＝EF，则△ABC与△DEF　全等，根据　SAS； (4)若AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，则△ABC与△DEF　全等，根据　SSS。 3. 设问过渡，揭示课题 教师引导：我们知道，满足“SSA”条件的两个一般三角形不一定全等；那么满足“SSA”条件的两个直角三角形（这个相等的角是直角）是否全等呢？带着这个问题，今天我们就来研究直角三角形全等的特殊判定方法，揭示课题：14.2　三角形全等的判定（第5课时　用“HL”判定直角三角形全等）。 围绕“花盆遮直角边”的情境展开讨论，判断只带卷尺能否完成；集体口答四种判定方法填空，完成AB⊥BE图形的条件判断，思考“SSA”在直角三角形中的情形。 以悬念激趣引发认知冲突，再通过复习四种判定方法厘清探究起点，聚焦“SSA”中直角这一特殊情形，自然过渡到直角三角形全等特殊条件的探究。 二、探究新知（一） 复习设问 活动1　复习设问，明确探究起点（教材P41　探究5上面部分） 教师出示问题，学生独立思考并交流：(1)判定一般三角形全等的依据是什么？请说出它们的共同点； 预设回答：依据是“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”四种判定方法；它们的共同点都是由三个独立的对应元素分别相等来保证三角形全等。 (2)对于两个直角三角形，除了直角相等外，还需要满足几个条件，就能证明这两个直角三角形全等？ 预设回答：因为直角本身是一组对应相等的角，所以除直角外，再满足两个条件（且不能是两个锐角分别相等）即可，例如两条直角边对应相等（SAS）、一锐角加一直角边（ASA或AAS）、斜边加一条直角边（HL）等。 教师小结：两个直角三角形已经有一组直角相等，因此判定它们全等的条件可以比一般三角形少一个，本节课重点研究“斜边和一条直角边分别相等”的情形。 回顾四种一般三角形的判定方法并说出其共同点，思考直角三角形判定全等所需条件的个数，交流自己的猜想。 通过“少一个条件”的对比设问，让学生体会直角三角形判定的特殊性，为探究“HL”提供逻辑起点。 三、探究新知（二） 叠合探究“HL” 活动2　叠合探究“斜边、直角边”（教材P41　探究5） 教师出示图14.2－21：已知∠C＝∠C′＝90°，B′C′＝BC，且A′B′＝AB（斜边相等）。 教师依次提出问题，学生观察思考、小组交流： (1)观察图14.2－21，有哪些已知条件？ 预设回答：∠C＝∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB。 (2)∠C′＝∠C＝90°，则可以得到哪些点重合，哪些射线重合？ 预设回答：把△ABC放到△A′B′C′上，直角顶点C与C′重合；射线CB与射线C′B′重合，射线CA与射线C′A′重合。 (3)B′C′＝BC，可得到什么结论？ 预设回答：点B与点B′重合（线段CB与C′B′重合且长度相等）。 (4)点A与点A′重合吗？观察图14.2－22，说明理由。 预设回答：由斜边相等A′B′＝AB，A、A′同在射线C′A′（CA）上，且到点B（B′）的距离相等，故点A与点A′重合。 (5)根据上面的探究，你能否得出判定两个直角三角形全等的条件？ 预设回答：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 教师引导归纳：两个直角三角形的直角相等，若能再满足“斜边与一条直角边分别相等”，三个顶点就能完全重合，故两直角三角形全等。 观察图形，跟随教师的连环问题依次说理“点的重合、射线的重合”，小组交流归纳出直角三角形全等的判定条件。 利用叠合与“点的重合”思路完成探究5的完整说理过程，让学生亲历判定条件的形成，渗透特殊与一般的数学思想，突破探究难点。 四、探究新知（三） 知识归纳 活动3　知识归纳 知识归纳1（学生填空）： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。 几何语言：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，BC＝B′C′，则Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）。 知识归纳2（学生填空）： 判定两个直角三角形全等的方法有SAS、ASA、AAS、SSS、HL。HL只适用于直角三角形，对于一般三角形不适用。 教师重点强调：“HL”是直角三角形独有的判定方法，它的条件是“斜边＋一条直角边”，即“SSA”在直角三角形这一特殊情形下恰好成立；证明时先指明三角形是直角三角形，再使用“HL”。 完成两条知识归纳填空，跟随教师书写HL的几何语言，理解HL只适用于直角三角形的限定条件。 把探究结果提炼为规范的判定方法，明确HL的使用前提与几何语言，强化“直角三角形专用”这一关键点。 五、应用举例 典例精讲 【典例精讲】 命题角度1　依据“HL”补充判定两个直角三角形全等的条件 例1（补充条件）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则需要添加的一个条件是AC＝AD（或BC＝BD）。 【答案】AC＝AD（或BC＝BD） 【讲评要点】 两个直角三角形已有公共斜边AB，再用“HL”判定还缺一条直角边对应相等，故添加AC＝AD或BC＝BD；注意“HL”要求的是“斜边＋一条直角边”，不能补直角边以外的边或角。 【追问】 若要用“SAS”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，应添加什么条件？为什么？ 命题角度2　利用“HL”判定两直角三角形全等 例2（选择判定）如图，已知AC⊥BD，垂足为点O，若AO＝CO，AB＝CD，则Rt△AOB≌Rt△COD，理由是（　） A．HL　　B．SAS　　C．ASA　　D．AAS 【答案】A（∠AOB＝∠COD＝90°，AB、CD分别是两个直角三角形的斜边且AB＝CD，AO＝CO是直角边，符合“HL”） 【讲评要点】 识别垂直条件产生两个直角三角形，AB与CD是斜边，AO与CO是直角边，满足“斜边＋一条直角边”分别相等，故选A；若只盯住AO＝CO而不看斜边关系，容易误选SAS。 【追问】 本题能否用“SAS”证明？若可以，需要什么条件？ 例3（HL证明）如图，已知∠C＝∠D＝90°，BC与AD交于点E，AC＝BD。求证：△ACB≌△BDA。 【答案】 证明：∵∠C＝∠D＝90°，∴△ACB和△BDA是直角三角形。 在Rt△ACB和Rt△BDA中，AC＝BD（已知），AB＝BA（公共边）， ∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL）。 【讲评要点】 先由直角条件说明两三角形是直角三角形，这是使用“HL”的前提；再找出“斜边＋一条直角边”两组对应相等（注意公共边AB），规范书写“HL”判定格式。 【追问】 若把条件AC＝BD换成∠ABC＝∠DAB，又该用什么方法判定全等？ 例4（HL证明＋性质应用）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC。求证：(1)AB＝CD；(2)AD∥BC。 【答案】 证明：(1)∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°。 在Rt△ABD和Rt△CDB中，AD＝BC（已知），BD＝DB（公共边）， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），∴AB＝CD（全等三角形的对应边相等）。 (2)∵Rt△ABD≌Rt△CDB，∴∠ADB＝∠CBD（全等三角形的对应角相等），∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）。 【讲评要点】 由“HL”证得全等后，借助全等三角形的对应边、对应角相等完成线段相等与平行关系的证明；注意第(2)问依据“内错角相等”判定两直线平行，体现“先证全等、再用性质”的完整推理链。 【追问】 如果题目只给AB＝CD，要证明AD∥BC，还需要添加什么条件？ 命题角度3　综合运用全等三角形的性质 例5（计算填空）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，BE＝BC。如果AC＝6，那么AD与DE的长度和为6。 【答案】6（先证Rt△BDE≌Rt△BDC（HL），得DE＝DC，故AD＋DE＝AD＋DC＝AC＝6） 【讲评要点】 识别∠BDE＝∠BCD＝90°与公共斜边BD，用“HL”证△BDE≌△BDC，把求AD与DE的长度和转化为求AD与DC的和，即AC的长，渗透线段转化的思想。 【追问】 本题中判定Rt△BDE与Rt△BDC全等时，用到了哪两组相等的边？它们分别是什么边？ 例6（综合证明）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E。若B，C在DE的同侧且AD＝CE。求证：AB⊥AC。 【答案】 证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°。 在Rt△ABD和Rt△CAE中，AB＝AC（已知），AD＝CE（已知）， ∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL），∴∠DBA＝∠EAC（全等三角形的对应角相等）。 ∵∠BAD＋∠DBA＝90°，∴∠BAD＋∠EAC＝90°， ∴∠BAC＝180°－（∠BAD＋∠EAC）＝90°，∴AB⊥AC。 【讲评要点】 先由垂直条件构造直角三角形，用“HL”证明Rt△ABD≌Rt△CAE，把角的相等关系传递到∠DBA＝∠EAC；再借助“直角三角形两锐角互余”与平角定义完成求角，实现从线段相等到垂直关系的转化。 【追问】 若把条件AD＝CE改为BD＝AE，结论AB⊥AC还成立吗？请尝试证明。 独立完成例1的补充条件、例2的判定选择并说明依据；跟随例3、例4规范书写HL证明，分析例5、例6的推理思路，参与追问交流。 按“补充条件、选择判定、证明全等、计算求值、综合证明”五个层次组织例题，全面训练HL判定方法的运用，突破“灵活选择判定方法”这一难点。 六、当堂检测 【当堂检测】 1.（教材例6）如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD。求证：BC＝AD。 【答案】 证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠ACB＝∠ADB＝90°。 在Rt△ABC和Rt△BAD中，AC＝BD（已知），AB＝BA（公共斜边）， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴BC＝AD（全等三角形的对应边相等）。 2.（HL证明）如图，已知AB＝CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且BF＝DE。求证：AB∥CD。 【答案】 证明：∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠AFB＝∠CED＝90°。 在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB＝CD（已知），BF＝DE（已知）， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴∠BAF＝∠DCE（全等三角形的对应角相等），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）。 3.（HL证明＋位置关系）如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，试说明BE与AC的位置关系，并说明理由。 【答案】 解：BE⊥AC。理由如下： ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°。 又∵BF＝AC，FD＝CD，∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），∴∠DBF＝∠DAC。 又∵∠DAC＋∠C＝90°，∴∠EBC＋∠C＝90°， ∴∠BEC＝90°，∴BE⊥AC。 4.（判定辨析）下列叙述不正确的是（　） A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等　　B．有两边对应相等的两个直角三角形全等 C．有两个锐角对应相等的两个直角三角形全等　　D．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等 【答案】C（两个锐角对应相等的两个直角三角形只有角相等、没有边相等的条件，不能判定全等；A可用AAS，B可用SAS或HL，D可用ASA或AAS） 5.（判定辨析）如图，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，下列结论不成立的是（　） A．∠DAE＝∠CBE　　B．CE＝DE　　C．△DAE与△CBE不一定全等　　D．∠1＝∠2 【答案】C（由AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，可先证Rt△ADE≌Rt△BCE（HL或AAS），故△DAE与△CBE全等，A、B、D均成立） 6.（动点综合）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC到点E，使CE＝2，连接DE。动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC－CD－DA向终点A运动。设点P的运动时间为t s，当△ABP和△DCE全等时，t的值为（　） A．1　　B．1或3　　C．1或7　　D．3或7 【答案】C（当P在BC上时，AB＝DC＝4，需BP＝CE＝2，即2t＝2，t＝1；当P在DA上时，∠A＝∠C＝90°，需AP＝CE＝2，此时AP＝16－2t，即16－2t＝2，t＝7） 7.（HL证明）如图，已知CE⊥AB，DF⊥AB，AC＝BD，CE＝DF。求证：AC∥BD。 【答案】 证明：∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠CEA＝∠DFB＝90°。 又∵AC＝BD，CE＝DF，∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL）， ∴∠A＝∠B（全等三角形的对应角相等），∴AC∥BD（内错角相等，两直线平行）。 独立完成七道检测题，重点说明第2、3、7题选择“HL”的依据，交流第4、5题判定辨析和第6题动点分类讨论的过程。 通过教材例题、证明、位置关系、判定辨析、动点综合等多类题目即时反馈学习效果，强化HL的适用前提与五种判定方法的灵活选择，落实本课难点。 七、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1. “斜边、直角边（HL）”的认识：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写“斜边、直角边”或“HL”； 2. 判定两个直角三角形全等的方法有五种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL，其中HL只适用于直角三角形，对于一般三角形不适用； 3. “HL”的运用：证明时先指明三角形是直角三角形，再找“斜边＋一条直角边”两组对应相等，规范书写判定格式，并结合全等三角形的性质完成证明与计算。 回顾HL的探究过程与判定条件，复述五种判定方法及其适用范围，举例说明何时选用“HL”。 系统梳理本课知识与探究路径，突出特殊与一般的数学思想，帮助学生形成完整的知识结构。 八、布置作业 必做： 教科书第43页练习第1、2题。 选做： 教科书第45页习题14.2第11、12题及对应课时练习。 记录作业内容。 通过教材练习与习题巩固“HL”判定方法，规范直角三角形全等证明的书写格式。 板书设计 14.2　三角形全等的判定（第5课时　用“HL”判定直角三角形全等） 一、HL判定方法 斜边和一条直角边分别相等的 两个直角三角形全等 简写：“斜边、直角边”或“HL” 适用范围：直角三角形 二、五种判定方法 SAS、ASA、AAS、SSS、HL HL只适用于直角三角形 三、几何语言 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， AB＝A′B′，BC＝B′C′ ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL） 四、易错提醒 先指明直角三角形，再用HL 辨析HL与其他判定方法 板演：例3、例4、当堂检测1、2 学生板演区 教学反思 本节课以“悬念激趣＋归纳导入”双重情境展开：先借“舞台背景两个直角三角形，一条直角边被花盆遮住”的生活问题制造悬念，让学生围绕“只带卷尺能否判定全等”展开猜想；再复习SAS、ASA、AAS、SSS四种判定方法，聚焦“SSA”中直角这一特殊情形能否判定全等，自然引出对直角三角形全等特殊条件的探究，体现特殊与一般的数学思想。 在探究环节，依托教材P41探究5，引导学生从“点的重合、射线的重合”逐步说理，经历“观察—猜想—验证—归纳”的完整过程，得出“斜边、直角边（HL）”判定方法；通过对比HL与其他四种判定方法的适用范围，强调“HL只适用于直角三角形”，并借助例题辨析“SSA”在直角三角形中的特殊性，突破本课难点。 例题按“补充条件、选择判定、证明全等、计算求值、综合证明”五个层次组织：先以补充条件题落实HL使用的两个必要条件，再用选择题辨析HL与其他判定的选择，最后以线段和差、垂直证明等综合题渗透“两次全等、等量代换”的推理思想。当堂检测以判定叙述辨析、动点全等分类讨论等题目，帮助学生实现灵活运用五种方法判定直角三角形全等的目标。 学科网（北京）股份有限公司 $