第3章 勾股定理 单元测试卷 2026～2027学年苏科版数学八年级上册

第3章 勾股定理 单元测试卷（2026~2027学年） 第3章 勾股定理 单元测试卷 苏科版（2024）八上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第3章 勾股定理 单元测试卷（2026~2027学年） 第3章 勾股定理 单元测试卷 苏科版（2024）八上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第3章 勾股定理 单元测试卷（2026~2027学年） 第3章 勾股定理 单元测试卷 苏科版（2024）八上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（　　） A．5m B．6m C．7m D．8m 2．（3分）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 3．（3分）下列四组数中，是勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52 C．3，4，5 D．，， 4．（3分）如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE于M，QN⊥GF于N，EF=4，则QM+QN的长是（　　） A．4 B．3 C．4 D．2 5．（3分）△ABC在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为1cm，则AB的长为（　　） A．cm B．cm C．4cm D．4.2cm 6．（3分）如图所示，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（　　） A．BC2＝5 B．AB＝5 C．∠ACB＝90° D．AC＝4 7．（3分）如图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第五代勾股树图形中正方形的个数为（　　） A．31 B．51 C．53 D．63 8．（3分）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 　　　　 cm． 10．（3分）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b﹣a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为 　　　　 ． 11．（3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．若a，3，4是一组勾股数，则a的值为 　　　　 ． 12．（3分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝　　　　 ． 13．（3分）下列几组数：①8，15，17；②1，2，；③0.3，0.4，0.5；④，，；⑤12，16，20．其中是勾股数的有 　　　　 ．（填序号） 14．（3分）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2.若BE＝kAE（k＞1），则用含k的式子表示的值是 　　　　 ． 15．（3分）观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根据上面的规律，写出第6组勾股数：　　　　 ． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为（0，8），（6，0），C为线段AB上一点（不与点A，B重合），过点C作AB的垂线交x轴的负半轴于点D，点D和点D′关于y轴对称，当△CDD′为等腰三角形时，点D的坐标为 　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D是格点． （1）求四边形ABCD的周长和面积； （2）判断∠BCD是否为直角？并说明理由． 18．（6分）小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD的长为15米（注：BD⊥CE）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明身高1.7米． （1）求风筝的高度CE． （2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，求BH的长度． 19．（6分）如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处（CA⊥AB于点A）拉船靠岸，开始时绳子BC的长度是AC的3倍． （1）求B处的游船到岸边AC的距离（即AB的长）；（结果保留根号） （2）为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 20．（6分）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160m处有一所学校A，当重型卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100m以内（包括100m）会受到卡车噪声的影响，若已知卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5m/s，且卡车与学校A的距离越近，噪声影响越大． （1）求对学校A的噪声影响最大时卡车与学校的距离． （2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间． 21．（6分）如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，测得AC＝80cm，BC＝60cm． （1）若∠ACB＝90°，求AB的长； （2）为躺着更加舒服，准备将躺椅高度进行调节，调整后测得∠CAB＝30°，求此时AB的长度． 22．（6分）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°）． （1）请求出BD的长度； （2）根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准． 23．（8分）“赵爽弦图”由三国时期数学家赵爽为注解《周髀算经》所创，以四个全等直角三角形拼构，巧妙用面积关系证明勾股定理，是中国古代数学的重要成就．现用四个图1中的直角三角形拼成如图2所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（a＞b），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： （1）请用图2验证勾股定理； （2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，①求ab的值；②求（a+b）2的值． 24．（8分）分析探索题：细心观察图片，认真分析各式，然后解答问题．OA22=1+(=2，S1=，OA32=1+(=3，S2=，OA42=1+(=4，S3=，…（1）计算：OA10＝　　　　 ； （2）用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律：OAn2=　　　　 ，Sn＝　　　　 ； （3）求出S12+S22+S32+S42+⋯+S102的值． 25．（10分）如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m．从点A修了一条垂直BC的小路AE（垂足为E），E恰好是BC的中点，且AE＝12m． （1）求边BC的长； （2）连接AC，判断△ADC的形状； （3）求这块空地的面积． 26．（10分）综合与实线【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个三级台阶两个相对的端点，若A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是多少？（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接AB，经过计算得到AB长度即为最短路程，则AB＝　　　　 dm．【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到与点A相对的点B处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 27．（10分）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，动点P从点B出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈，回到点B后停止，速度为2cm/s，设运动时间为t秒． （1）证明：△ABC是直角三角形； （2）若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求t的值； （3）另有一动点Q，从点B开始，按顺时针方向走一圈回到点B，且速度为1cm/s．若P、Q两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第3章 勾股定理 单元测试卷（2026~2027学年） 第3章 勾股定理 单元测试卷 苏科版（2024）八上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（　　） A．5m B．6m C．7m D．8m 2．（3分）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 3．（3分）下列四组数中，是勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52 C．3，4，5 D．，， 4．（3分）如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE于M，QN⊥GF于N，EF=4，则QM+QN的长是（　　） A．4 B．3 C．4 D．2 5．（3分）△ABC在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为1cm，则AB的长为（　　） A．cm B．cm C．4cm D．4.2cm 6．（3分）如图所示，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（　　） A．BC2＝5 B．AB＝5 C．∠ACB＝90° D．AC＝4 7．（3分）如图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第五代勾股树图形中正方形的个数为（　　） A．31 B．51 C．53 D．63 8．（3分）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 　　　　 cm． 10．（3分）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b﹣a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为 　　　　 ． 11．（3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．若a，3，4是一组勾股数，则a的值为 　　　　 ． 12．（3分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝　　　　 ． 13．（3分）下列几组数：①8，15，17；②1，2，；③0.3，0.4，0.5；④，，；⑤12，16，20．其中是勾股数的有 　　　　 ．（填序号） 14．（3分）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2.若BE＝kAE（k＞1），则用含k的式子表示的值是 　　　　 ． 15．（3分）观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根据上面的规律，写出第6组勾股数：　　　　 ． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为（0，8），（6，0），C为线段AB上一点（不与点A，B重合），过点C作AB的垂线交x轴的负半轴于点D，点D和点D′关于y轴对称，当△CDD′为等腰三角形时，点D的坐标为 　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D是格点． （1）求四边形ABCD的周长和面积； （2）判断∠BCD是否为直角？并说明理由． 18．（6分）小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD的长为15米（注：BD⊥CE）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明身高1.7米． （1）求风筝的高度CE． （2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，求BH的长度． 19．（6分）如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处（CA⊥AB于点A）拉船靠岸，开始时绳子BC的长度是AC的3倍． （1）求B处的游船到岸边AC的距离（即AB的长）；（结果保留根号） （2）为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 20．（6分）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160m处有一所学校A，当重型卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100m以内（包括100m）会受到卡车噪声的影响，若已知卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5m/s，且卡车与学校A的距离越近，噪声影响越大． （1）求对学校A的噪声影响最大时卡车与学校的距离． （2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间． 21．（6分）如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，测得AC＝80cm，BC＝60cm． （1）若∠ACB＝90°，求AB的长； （2）为躺着更加舒服，准备将躺椅高度进行调节，调整后测得∠CAB＝30°，求此时AB的长度． 22．（6分）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°）． （1）请求出BD的长度； （2）根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准． 23．（8分）“赵爽弦图”由三国时期数学家赵爽为注解《周髀算经》所创，以四个全等直角三角形拼构，巧妙用面积关系证明勾股定理，是中国古代数学的重要成就．现用四个图1中的直角三角形拼成如图2所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（a＞b），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： （1）请用图2验证勾股定理； （2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，①求ab的值；②求（a+b）2的值． 24．（8分）分析探索题：细心观察图片，认真分析各式，然后解答问题．OA22=1+(=2，S1=，OA32=1+(=3，S2=，OA42=1+(=4，S3=，…（1）计算：OA10＝　　　　 ； （2）用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律：OAn2=　　　　 ，Sn＝　　　　 ； （3）求出S12+S22+S32+S42+⋯+S102的值． 25．（10分）如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m．从点A修了一条垂直BC的小路AE（垂足为E），E恰好是BC的中点，且AE＝12m． （1）求边BC的长； （2）连接AC，判断△ADC的形状； （3）求这块空地的面积． 26．（10分）综合与实线【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个三级台阶两个相对的端点，若A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是多少？（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接AB，经过计算得到AB长度即为最短路程，则AB＝　　　　 dm．【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到与点A相对的点B处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 27．（10分）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，动点P从点B出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈，回到点B后停止，速度为2cm/s，设运动时间为t秒． （1）证明：△ABC是直角三角形； （2）若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求t的值； （3）另有一动点Q，从点B开始，按顺时针方向走一圈回到点B，且速度为1cm/s．若P、Q两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第3章 勾股定理 单元测试卷（2026~2027学年） 第3章 勾股定理 单元测试卷 苏科版（2024）八上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（　　） A．5m B．6m C．7m D．8m 【答案】C 【解答】解： ∵△ABC是直角三角形，BC＝3m，AC＝5m ∴AB===4m， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC＝7米．故选：C． （来源：2023春•长岭县期中） 2．（3分）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】A 【解答】解：直角三角形较短的直角边为=6， ∴，正方形EFGH的面积＝10×10﹣8×6÷2×4＝100﹣96＝4．故选：A． （来源：2024春•合阳县期末） 3．（3分）下列四组数中，是勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52 C．3，4，5 D．，， 【答案】C 【解答】解：A、0.32+0.42＝0.52，能构成直角三角形，但不是整数，不是勾股数，故本选项不符合题意；B、（32）2+（42）2≠（52）2，不是勾股数，故本选项不符合题意；C、32+42＝52，是勾股数，故本选项符合题意；D、（+（≠（，不是勾股数，故本选项不符合题意．故选：C． （来源：2022秋•泰兴市期末） 4．（3分）如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE于M，QN⊥GF于N，EF=4，则QM+QN的长是（　　） A．4 B．3 C．4 D．2 【答案】C 【解答】解：连接QG． ∵DG：GE＝1：3， ∴可以假设DG＝k，EG＝3k， ∵GF＝EG，∠D＝90°， ∴FG＝3k，DF==2k， ∵EF＝4，EF2＝DE2+DF2， ∴48＝16k2+8k2， ∴k=或-（舍弃）， ∴DF＝4， ∵S△EFG=•EG•DF=•EG•QM+•GF•QN， ∴QM+QN＝DF＝4，故选：C． （来源：2026春•和平区校级期中） 5．（3分）△ABC在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为1cm，则AB的长为（　　） A．cm B．cm C．4cm D．4.2cm 【答案】A 【解答】解：△ABC在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为1cm，由图形可知AC＝3，BC＝2，且△ABC是直角三角形，则斜边AB====．故选：A． （来源：2026春•玉溪期末） 6．（3分）如图所示，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（　　） A．BC2＝5 B．AB＝5 C．∠ACB＝90° D．AC＝4 【答案】D 【解答】解：由勾股定理得：BC2＝22+12＝5，AB==5，AC==2，故选项A、B不符合题意，选项D符合题意， ∵BC2+AC2＝5+（2＝5+20＝25，AB2＝25， ∴BC2+AC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，故选项C不符合题意；故选：D． （来源：2026春•西和县校级期末） 7．（3分）如图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第五代勾股树图形中正方形的个数为（　　） A．31 B．51 C．53 D．63 【答案】D 【解答】解： ∵第一代勾股树中正方形有1+2＝3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22＝7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23＝15（个）， ∴第四代勾股树图形中正方形的个数有1+2+22+23+24＝31（个）； ∴第五代勾股树图形中正方形的个数有1+2+22+23+24+25＝63（个）；故选：D． （来源：2026春•开州区期中） 8．（3分）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2 【答案】C 【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合， ∴BE＝ED． ∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE． ∴BE＝9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2， ∴32+AE2＝（9﹣AE）2，解得AE＝4． ∴△ABE的面积为3×4÷2＝6（cm2）．故选：C． （来源：2025春•庆云县期末） 9．（3分）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 cm． 【答案】见解析 【解答】解：Rt△ACD中，AC=AB＝4cm，CD＝3cm；根据勾股定理，得：AD==5cm； ∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；故橡皮筋被拉长了2cm． （来源：2025春•新化县期末） 10．（3分）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b﹣a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为 ． 【答案】10 【解答】解：如图2， ∵朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b， ∴GD＝GH＝a，CD＝BC＝b， ∵朱入与朱出的三角形全等， ∴△FNK≌△GHI， ∴FN＝GH＝a， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ∴△IJC≌△KAM，△GFN≌△CMB， ∴S△IJC＝S△KAM，BM＝FN＝a， ∴阴影部分面积为S四边形GDJI+S△KAM+S△BCM＝S四边形GDJI+S△IJC+S△BCM＝S△GDC+S△BCM=GD⋅CD+BM⋅BC =ab+ab ＝ab， ∵b﹣a＝3，a2+b2＝29， ∴ab===10，即阴影部分的面积为10，故答案为：10． （来源：2023•扬州） 11．（3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．若a，3，4是一组勾股数，则a的值为 ． 【答案】5 【解答】解：当4是直角边时， ∵32+42＝52， ∴a＝5，当4是斜角边时，a==（不是整数，舍去），故答案为：5． （来源：2024春•长乐区期中） 12．（3分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ ． 【答案】20 【解答】解： ∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2， ∴AB2+CD2＝AD2+BC2， ∵AD＝2，BC＝4， ∴AB2+CD2＝22+42＝20．故答案为：20． （来源：2020•雅安） 13．（3分）下列几组数：①8，15，17；②1，2，；③0.3，0.4，0.5；④，，；⑤12，16，20．其中是勾股数的有 ．（填序号） 【答案】①⑤ 【解答】解：① ∵82+152＝172， ∴8，15，17是勾股数；②不是整数，故1，2，不是勾股数；③0.3，0.4，0.5不是整数，故0.3，0.4，0.5不是勾股数；④，，不是整数，故，，不是勾股数；⑤ ∵122+162＝202， ∴12，16，20是勾股数；故答案为：①⑤． （来源：2024秋•任城区校级期中） 14．（3分）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2.若BE＝kAE（k＞1），则用含k的式子表示的值是 ． 【答案】 【解答】解：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y， ∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝10， ∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x， ∴S1+S2+S3＝3x+12y＝10，故3x+12y＝10，x+4y=， ∴S2＝x+4y=，故答案为：． （来源：2024•武汉） 15．（3分）观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根据上面的规律，写出第6组勾股数： ． 【答案】13，84，85 【解答】解：①、3＝2×1+1，4＝2×1×（1+1），5＝4+1；②、5＝2×2+1，12＝2×2×（2+1），13＝12+1；③、7＝2×3+1，24＝2×3×（3+1），25＝24+1． ∴第⑥组勾股数为：2×6+1＝13，2×6×（6+1）＝84，84+1＝85．故答案为：13，84，85． （来源：2025春•同步） 16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为（0，8），（6，0），C为线段AB上一点（不与点A，B重合），过点C作AB的垂线交x轴的负半轴于点D，点D和点D′关于y轴对称，当△CDD′为等腰三角形时，点D的坐标为 ． 【答案】（﹣4，0）或（﹣2，0） 【解答】解：在Rt△AOB中，AB==10， ∵点C在线段AB上，且不与A、B重合，点D与点D'关于y轴对称， ∴CD≠CD'， ∴分两种情况讨论，设OD＝a，则OD'＝a，DD'＝2a，①DC＝DD'，此时CD＝2a，BD＝6+a， ∵∠BAO＝∠CDB， ∴=， ∴=，解得a＝4， ∴D（﹣4，0）；②D'D＝D'C，此时∠CDD'＝∠D'CD， ∵∠BCD＝90°， ∴90°﹣∠CDD'＝90°﹣∠DCD'，即∠D'CB＝∠D'BC， ∴D'C＝D'B＝DD'＝2a， ∵OB＝6， ∴D'B＝6﹣a＝2a，解得a＝2， ∴D（﹣2，0）；综上，点D的坐标为（﹣4，0）或（﹣2，0）．故答案为：（﹣4，0）或（﹣2，0）． （来源：2025秋•武侯区校级月考） 17．（6分）如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D是格点． （1）求四边形ABCD的周长和面积； （2）判断∠BCD是否为直角？并说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1）根据勾股定理得：AB==，BC==2，CD==，AD==， ∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD=+2++=+3+，四边形ABCD的面积＝5×5-×5×1-×4×2-×2×1-×4×1﹣1×1＝14.5； （2）∠BCD是直角，理由如下：如图，连接BD，由（1）可知，BC＝2，CD=，由勾股定理得：BD==5， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，且∠BCD是直角． （来源：2026春•海淀区校级期中） 18．（6分）小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD的长为15米（注：BD⊥CE）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明身高1.7米． （1）求风筝的高度CE． （2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，求BH的长度． 【答案】见解析 【解答】解： （1）在Rt△CDB中，由勾股定理，得：CD2＝252﹣152＝202， ∴CD＝20（米）， ∴CE＝CD+DE＝20+1.7＝21.7（米），答：风筝的高度CE为21.7米． （2）由等积法知：BD×DC=BC×DH，解得：DH==12（米）．在Rt△BDH中，由勾股定理得：BH===9，答：BH的长度为9米． （来源：2026•渠县校级开学） 19．（6分）如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处（CA⊥AB于点A）拉船靠岸，开始时绳子BC的长度是AC的3倍． （1）求B处的游船到岸边AC的距离（即AB的长）；（结果保留根号） （2）为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 【答案】见解析 【解答】解： （1）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝4米，BC＝3AC＝12米 ∴AB===8（米），答：B处的游船到岸边AC的距离为8米； （2） ∵作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处， ∴CD＝12﹣1×7＝5（米），在Rt△ACD中， ∴AD===3（米）， ∴BD＝AB﹣AD＝（8-3）米．答：游船向岸边移动的距离为（8-3）米． （来源：2026春•牧野区校级月考） 20．（6分）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160m处有一所学校A，当重型卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100m以内（包括100m）会受到卡车噪声的影响，若已知卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5m/s，且卡车与学校A的距离越近，噪声影响越大． （1）求对学校A的噪声影响最大时卡车与学校的距离． （2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间． 【答案】见解析 【解答】解： （1）作AD⊥ON于点D， ∵∠MON＝30°，AO＝160m， ∴AD=OA=80m，即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离80m． （2）如图，以A为圆心100m为半径画圆，交ON于B、C两点， ∵AD⊥BC， ∴BD=CD=BC， ∴BD===60m， ∴BC＝120m， ∴卡车经过BC的时间＝120÷5＝24秒，答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为24秒． （来源：2026春•湛江校级期中） 21．（6分）如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，测得AC＝80cm，BC＝60cm． （1）若∠ACB＝90°，求AB的长； （2）为躺着更加舒服，准备将躺椅高度进行调节，调整后测得∠CAB＝30°，求此时AB的长度． 【答案】见解析 【解答】解： （1）在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝80cm，BC＝60cm，由勾股定理得：AB===100（cm），答：AB的长为100cm； （2）如图，过点C作CG⊥AB于点G， ∵CG⊥AB，∠CAB＝30°，AC＝80cm，BC＝60cm， ∴CG=AC＝40cm，在直角三角形ACG中，由勾股定理得：AG===40（cm），在直角三角形BCG中，由勾股定理得：BG===20（cm）， ∴AB＝AG+BG＝（40+20）cm，答：此时AB的长为(40+20)cm． （来源：2026•鲁山县开学） 22．（6分）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°）． （1）请求出BD的长度； （2）根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】见解析 【解答】解： （1）在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45， ∴BD＝3，答：BD的长度为3． （2）该车符合安全标准，理由如下：在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45，在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，即∠BCD＝90°， ∴BC⊥CD， ∴该车符合安全标准． （来源：2026春•龙湖区期末） 23．（8分）“赵爽弦图”由三国时期数学家赵爽为注解《周髀算经》所创，以四个全等直角三角形拼构，巧妙用面积关系证明勾股定理，是中国古代数学的重要成就．现用四个图1中的直角三角形拼成如图2所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（a＞b），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： （1）请用图2验证勾股定理； （2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，①求ab的值；②求（a+b）2的值． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵小正方形的面积为（a﹣b）2，大正方形的面积为c2，一个直角三角形面积为ab， ∴c2=4×ab+(a-b)2，整理得c2＝a2+b2，即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和． （2）① ∵大正方形的面积为13， ∴c2＝13，又 ∵a2+b2＝c2， ∴a2+b2＝13， ∵小正方形的面积为3， ∴（a﹣b）2＝3，即a2﹣2ab+b2＝3，将a2+b2＝13代入得13﹣2ab＝3，解得2ab＝10， ∴ab＝5．②由①知a2+b2＝13，2ab＝10， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+10＝23． （来源：2026春•滨城区期末） 24．（8分）分析探索题：细心观察图片，认真分析各式，然后解答问题．OA22=1+(=2，S1=，OA32=1+(=3，S2=，OA42=1+(=4，S3=，…（1）计算：OA10＝ ； （2）用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律：OAn2= ，Sn＝ ； （3）求出S12+S22+S32+S42+⋯+S102的值． 【答案】10 【解答】解： （1） ∵OA22=1+(=2，OA32=1+(=3，OA42=1+(=4，……按此规律，OA102=1+(=10， ∴OA10=（负值已舍去）；故答案为：； （2）OA22=1+(=2，OA32=1+(=3，OA42=1+(=4，……按此规律，OAn2=1+(=n，S1=，S2=，S3=，……按此规律，Sn=（n是正整数）；故答案为：n；； （3）S12+S22+S32+S42+⋯+S102=(+(+(+...+( =×(1+2+3+...+10) =． （来源：2026春•定远县期末） 25．（10分）如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m．从点A修了一条垂直BC的小路AE（垂足为E），E恰好是BC的中点，且AE＝12m． （1）求边BC的长； （2）连接AC，判断△ADC的形状； （3）求这块空地的面积． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°．在Rt△ABE中， ∵AB＝15m，AE＝12m， ∴BE===9m． ∵E是BC的中点， ∴BC＝2BE＝18m． （2） ∵AE⊥BC，E是BC的中点， ∴AC＝AB＝15m． ∵AD＝17m，CD＝8m， ∴CD2+AC2＝AD2， ∴∠ACD＝90°， ∴△ADC是直角三角形． （3）由（2）可知，△ADC是直角三角形，AC＝15m， ∴S△ACD=AC⋅CD=×15×8=60m2，由（1）可知，BC＝18m， ∴S△ABC=BC⋅AE=×18×12=108m2 ∴这块空地得面积为：S△ABC+S△ADC=108+60=168m2． （来源：2025秋•雁塔区校级期末） 26．（10分）综合与实线【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个三级台阶两个相对的端点，若A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是多少？（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接AB，经过计算得到AB长度即为最短路程，则AB＝ dm．【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到与点A相对的点B处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】25 【解答】解： （1）三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252，解得：x＝25．答：蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是25dm．故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图：由题意得：AC=×48＝24（cm），BC＝7cm， ∴AB==25（cm）， ∴该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； （3）如图，将杯平面展开，作B点纵向的对称点C，连接AC，AC即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程，EF＝AG＝3cm，CF＝FB＝（14﹣5）cm＝9cm，AE=×32cm＝16cm，CE＝EF+CF＝12cm，根据勾股定理有：AC===20（cm）， ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为20cm． （来源：2025秋•安宁区校级期末） 27．（10分）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，动点P从点B出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈，回到点B后停止，速度为2cm/s，设运动时间为t秒． （1）证明：△ABC是直角三角形； （2）若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求t的值； （3）另有一动点Q，从点B开始，按顺时针方向走一圈回到点B，且速度为1cm/s．若P、Q两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． 【答案】见解析 【解答】解： （1）在△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，动点P从点B出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈，回到点B后停止，速度为2cm/s，则： ∵在△ABC中，AB2+BC2＝62+82＝36+64＝100，AC2＝102＝100， ∴AB2+BC2＝AC2，△ABC是直角三角形； （2）①若点P在BC上，则BP＝2t，AB＝BP， ∴6＝2t，t＝3；②若点P在AC上，则CP＝2t﹣8，AP＝AC﹣CP＝18﹣2t，（i）当AB＝AP时，6＝18﹣2t，t＝6；（ii）当AB＝BP时，作BD⊥AC于点D，则S△ABC=AB⋅BC=AC⋅BD， BD==， ∴AD==，AP=2AD=， ∴=18-2t，解得t=．综上所述，当t＝3或t=或t＝6时，△ABP是以AB为腰的等腰三角形． （3） ∵△ABC的周长为AB+BC+AC＝24cm，24÷2＝12．①当0≤t≤4时，点P在BC上，点Q在AB上，则BP＝2t，BQ＝t，BP+BQ＝3t， ∴3t＝12，解得t＝4，如图所示，此时点P刚好运动到点C；②当4＜t≤6时，点P在AC上，点Q在AB上，由①得，此时BQ+BC+CP＞12，不符合题意；③当6＜t≤12时，点P、Q都在AC上，PQ＜AC＝10，10＜12，不符合题意；④当9＜t≤12时，点P在AB上，点Q在AC上，则AP＝2t﹣18，AQ＝t﹣6，AP+AQ＝3t﹣24， ∴3t﹣24＝12，解得t＝12，如图所示，此时点P刚好回到点B．综上所述，当t为4或12时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． （来源：2026春•惠城区期中） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第3章 勾股定理 单元测试卷（2026~2027学年） 第3章 勾股定理 单元测试卷 苏科版（2024）八上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（　　） A．5m B．6m C．7m D．8m 【答案】C 【解答】解： ∵△ABC是直角三角形，BC＝3m，AC＝5m ∴AB===4m， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC＝7米．故选：C． （来源：2023春•长岭县期中） 2．（3分）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】A 【解答】解：直角三角形较短的直角边为=6， ∴，正方形EFGH的面积＝10×10﹣8×6÷2×4＝100﹣96＝4．故选：A． （来源：2024春•合阳县期末） 3．（3分）下列四组数中，是勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52 C．3，4，5 D．，， 【答案】C 【解答】解：A、0.32+0.42＝0.52，能构成直角三角形，但不是整数，不是勾股数，故本选项不符合题意；B、（32）2+（42）2≠（52）2，不是勾股数，故本选项不符合题意；C、32+42＝52，是勾股数，故本选项符合题意；D、（+（≠（，不是勾股数，故本选项不符合题意．故选：C． （来源：2022秋•泰兴市期末） 4．（3分）如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE于M，QN⊥GF于N，EF=4，则QM+QN的长是（　　） A．4 B．3 C．4 D．2 【答案】C 【解答】解：连接QG． ∵DG：GE＝1：3， ∴可以假设DG＝k，EG＝3k， ∵GF＝EG，∠D＝90°， ∴FG＝3k，DF==2k， ∵EF＝4，EF2＝DE2+DF2， ∴48＝16k2+8k2， ∴k=或-（舍弃）， ∴DF＝4， ∵S△EFG=•EG•DF=•EG•QM+•GF•QN， ∴QM+QN＝DF＝4，故选：C． （来源：2026春•和平区校级期中） 5．（3分）△ABC在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为1cm，则AB的长为（　　） A．cm B．cm C．4cm D．4.2cm 【答案】A 【解答】解：△ABC在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为1cm，由图形可知AC＝3，BC＝2，且△ABC是直角三角形，则斜边AB====．故选：A． （来源：2026春•玉溪期末） 6．（3分）如图所示，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（　　） A．BC2＝5 B．AB＝5 C．∠ACB＝90° D．AC＝4 【答案】D 【解答】解：由勾股定理得：BC2＝22+12＝5，AB==5，AC==2，故选项A、B不符合题意，选项D符合题意， ∵BC2+AC2＝5+（2＝5+20＝25，AB2＝25， ∴BC2+AC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，故选项C不符合题意；故选：D． （来源：2026春•西和县校级期末） 7．（3分）如图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第五代勾股树图形中正方形的个数为（　　） A．31 B．51 C．53 D．63 【答案】D 【解答】解： ∵第一代勾股树中正方形有1+2＝3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22＝7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23＝15（个）， ∴第四代勾股树图形中正方形的个数有1+2+22+23+24＝31（个）； ∴第五代勾股树图形中正方形的个数有1+2+22+23+24+25＝63（个）；故选：D． （来源：2026春•开州区期中） 8．（3分）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2 【答案】C 【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合， ∴BE＝ED． ∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE． ∴BE＝9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2， ∴32+AE2＝（9﹣AE）2，解得AE＝4． ∴△ABE的面积为3×4÷2＝6（cm2）．故选：C． （来源：2025春•庆云县期末） 9．（3分）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 cm． 【答案】见解析 【解答】解：Rt△ACD中，AC=AB＝4cm，CD＝3cm；根据勾股定理，得：AD==5cm； ∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；故橡皮筋被拉长了2cm． （来源：2025春•新化县期末） 10．（3分）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b﹣a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为 ． 【答案】10 【解答】解：如图2， ∵朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b， ∴GD＝GH＝a，CD＝BC＝b， ∵朱入与朱出的三角形全等， ∴△FNK≌△GHI， ∴FN＝GH＝a， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ∴△IJC≌△KAM，△GFN≌△CMB， ∴S△IJC＝S△KAM，BM＝FN＝a， ∴阴影部分面积为S四边形GDJI+S△KAM+S△BCM＝S四边形GDJI+S△IJC+S△BCM＝S△GDC+S△BCM=GD⋅CD+BM⋅BC =ab+ab ＝ab， ∵b﹣a＝3，a2+b2＝29， ∴ab===10，即阴影部分的面积为10，故答案为：10． （来源：2023•扬州） 11．（3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．若a，3，4是一组勾股数，则a的值为 ． 【答案】5 【解答】解：当4是直角边时， ∵32+42＝52， ∴a＝5，当4是斜角边时，a==（不是整数，舍去），故答案为：5． （来源：2024春•长乐区期中） 12．（3分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ ． 【答案】20 【解答】解： ∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2， ∴AB2+CD2＝AD2+BC2， ∵AD＝2，BC＝4， ∴AB2+CD2＝22+42＝20．故答案为：20． （来源：2020•雅安） 13．（3分）下列几组数：①8，15，17；②1，2，；③0.3，0.4，0.5；④，，；⑤12，16，20．其中是勾股数的有 ．（填序号） 【答案】①⑤ 【解答】解：① ∵82+152＝172， ∴8，15，17是勾股数；②不是整数，故1，2，不是勾股数；③0.3，0.4，0.5不是整数，故0.3，0.4，0.5不是勾股数；④，，不是整数，故，，不是勾股数；⑤ ∵122+162＝202， ∴12，16，20是勾股数；故答案为：①⑤． （来源：2024秋•任城区校级期中） 14．（3分）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2.若BE＝kAE（k＞1），则用含k的式子表示的值是 ． 【答案】 【解答】解：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y， ∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝10， ∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x， ∴S1+S2+S3＝3x+12y＝10，故3x+12y＝10，x+4y=， ∴S2＝x+4y=，故答案为：． （来源：2024•武汉） 15．（3分）观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根据上面的规律，写出第6组勾股数： ． 【答案】13，84，85 【解答】解：①、3＝2×1+1，4＝2×1×（1+1），5＝4+1；②、5＝2×2+1，12＝2×2×（2+1），13＝12+1；③、7＝2×3+1，24＝2×3×（3+1），25＝24+1． ∴第⑥组勾股数为：2×6+1＝13，2×6×（6+1）＝84，84+1＝85．故答案为：13，84，85． （来源：2025春•同步） 16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为（0，8），（6，0），C为线段AB上一点（不与点A，B重合），过点C作AB的垂线交x轴的负半轴于点D，点D和点D′关于y轴对称，当△CDD′为等腰三角形时，点D的坐标为 ． 【答案】（﹣4，0）或（﹣2，0） 【解答】解：在Rt△AOB中，AB==10， ∵点C在线段AB上，且不与A、B重合，点D与点D'关于y轴对称， ∴CD≠CD'， ∴分两种情况讨论，设OD＝a，则OD'＝a，DD'＝2a，①DC＝DD'，此时CD＝2a，BD＝6+a， ∵∠BAO＝∠CDB， ∴=， ∴=，解得a＝4， ∴D（﹣4，0）；②D'D＝D'C，此时∠CDD'＝∠D'CD， ∵∠BCD＝90°， ∴90°﹣∠CDD'＝90°﹣∠DCD'，即∠D'CB＝∠D'BC， ∴D'C＝D'B＝DD'＝2a， ∵OB＝6， ∴D'B＝6﹣a＝2a，解得a＝2， ∴D（﹣2，0）；综上，点D的坐标为（﹣4，0）或（﹣2，0）．故答案为：（﹣4，0）或（﹣2，0）． （来源：2025秋•武侯区校级月考） 17．（6分）如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D是格点． （1）求四边形ABCD的周长和面积； （2）判断∠BCD是否为直角？并说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1）根据勾股定理得：AB==，BC==2，CD==，AD==， ∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD=+2++=+3+，四边形ABCD的面积＝5×5-×5×1-×4×2-×2×1-×4×1﹣1×1＝14.5； （2）∠BCD是直角，理由如下：如图，连接BD，由（1）可知，BC＝2，CD=，由勾股定理得：BD==5， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，且∠BCD是直角． （来源：2026春•海淀区校级期中） 18．（6分）小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD的长为15米（注：BD⊥CE）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明身高1.7米． （1）求风筝的高度CE． （2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，求BH的长度． 【答案】见解析 【解答】解： （1）在Rt△CDB中，由勾股定理，得：CD2＝252﹣152＝202， ∴CD＝20（米）， ∴CE＝CD+DE＝20+1.7＝21.7（米），答：风筝的高度CE为21.7米． （2）由等积法知：BD×DC=BC×DH，解得：DH==12（米）．在Rt△BDH中，由勾股定理得：BH===9，答：BH的长度为9米． （来源：2026•渠县校级开学） 19．（6分）如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处（CA⊥AB于点A）拉船靠岸，开始时绳子BC的长度是AC的3倍． （1）求B处的游船到岸边AC的距离（即AB的长）；（结果保留根号） （2）为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 【答案】见解析 【解答】解： （1）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝4米，BC＝3AC＝12米 ∴AB===8（米），答：B处的游船到岸边AC的距离为8米； （2） ∵作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处， ∴CD＝12﹣1×7＝5（米），在Rt△ACD中， ∴AD===3（米）， ∴BD＝AB﹣AD＝（8-3）米．答：游船向岸边移动的距离为（8-3）米． （来源：2026春•牧野区校级月考） 20．（6分）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160m处有一所学校A，当重型卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100m以内（包括100m）会受到卡车噪声的影响，若已知卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5m/s，且卡车与学校A的距离越近，噪声影响越大． （1）求对学校A的噪声影响最大时卡车与学校的距离． （2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间． 【答案】见解析 【解答】解： （1）作AD⊥ON于点D， ∵∠MON＝30°，AO＝160m， ∴AD=OA=80m，即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离80m． （2）如图，以A为圆心100m为半径画圆，交ON于B、C两点， ∵AD⊥BC， ∴BD=CD=BC， ∴BD===60m， ∴BC＝120m， ∴卡车经过BC的时间＝120÷5＝24秒，答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为24秒． （来源：2026春•湛江校级期中） 21．（6分）如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，测得AC＝80cm，BC＝60cm． （1）若∠ACB＝90°，求AB的长； （2）为躺着更加舒服，准备将躺椅高度进行调节，调整后测得∠CAB＝30°，求此时AB的长度． 【答案】见解析 【解答】解： （1）在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝80cm，BC＝60cm，由勾股定理得：AB===100（cm），答：AB的长为100cm； （2）如图，过点C作CG⊥AB于点G， ∵CG⊥AB，∠CAB＝30°，AC＝80cm，BC＝60cm， ∴CG=AC＝40cm，在直角三角形ACG中，由勾股定理得：AG===40（cm），在直角三角形BCG中，由勾股定理得：BG===20（cm）， ∴AB＝AG+BG＝（40+20）cm，答：此时AB的长为(40+20)cm． （来源：2026•鲁山县开学） 22．（6分）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°）． （1）请求出BD的长度； （2）根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】见解析 【解答】解： （1）在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45， ∴BD＝3，答：BD的长度为3． （2）该车符合安全标准，理由如下：在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45，在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，即∠BCD＝90°， ∴BC⊥CD， ∴该车符合安全标准． （来源：2026春•龙湖区期末） 23．（8分）“赵爽弦图”由三国时期数学家赵爽为注解《周髀算经》所创，以四个全等直角三角形拼构，巧妙用面积关系证明勾股定理，是中国古代数学的重要成就．现用四个图1中的直角三角形拼成如图2所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（a＞b），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： （1）请用图2验证勾股定理； （2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，①求ab的值；②求（a+b）2的值． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵小正方形的面积为（a﹣b）2，大正方形的面积为c2，一个直角三角形面积为ab， ∴c2=4×ab+(a-b)2，整理得c2＝a2+b2，即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和． （2）① ∵大正方形的面积为13， ∴c2＝13，又 ∵a2+b2＝c2， ∴a2+b2＝13， ∵小正方形的面积为3， ∴（a﹣b）2＝3，即a2﹣2ab+b2＝3，将a2+b2＝13代入得13﹣2ab＝3，解得2ab＝10， ∴ab＝5．②由①知a2+b2＝13，2ab＝10， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+10＝23． （来源：2026春•滨城区期末） 24．（8分）分析探索题：细心观察图片，认真分析各式，然后解答问题．OA22=1+(=2，S1=，OA32=1+(=3，S2=，OA42=1+(=4，S3=，…（1）计算：OA10＝ ； （2）用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律：OAn2= ，Sn＝ ； （3）求出S12+S22+S32+S42+⋯+S102的值． 【答案】10 【解答】解： （1） ∵OA22=1+(=2，OA32=1+(=3，OA42=1+(=4，……按此规律，OA102=1+(=10， ∴OA10=（负值已舍去）；故答案为：； （2）OA22=1+(=2，OA32=1+(=3，OA42=1+(=4，……按此规律，OAn2=1+(=n，S1=，S2=，S3=，……按此规律，Sn=（n是正整数）；故答案为：n；； （3）S12+S22+S32+S42+⋯+S102=(+(+(+...+( =×(1+2+3+...+10) =． （来源：2026春•定远县期末） 25．（10分）如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m．从点A修了一条垂直BC的小路AE（垂足为E），E恰好是BC的中点，且AE＝12m． （1）求边BC的长； （2）连接AC，判断△ADC的形状； （3）求这块空地的面积． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°．在Rt△ABE中， ∵AB＝15m，AE＝12m， ∴BE===9m． ∵E是BC的中点， ∴BC＝2BE＝18m． （2） ∵AE⊥BC，E是BC的中点， ∴AC＝AB＝15m． ∵AD＝17m，CD＝8m， ∴CD2+AC2＝AD2， ∴∠ACD＝90°， ∴△ADC是直角三角形． （3）由（2）可知，△ADC是直角三角形，AC＝15m， ∴S△ACD=AC⋅CD=×15×8=60m2，由（1）可知，BC＝18m， ∴S△ABC=BC⋅AE=×18×12=108m2 ∴这块空地得面积为：S△ABC+S△ADC=108+60=168m2． （来源：2025秋•雁塔区校级期末） 26．（10分）综合与实线【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个三级台阶两个相对的端点，若A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是多少？（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接AB，经过计算得到AB长度即为最短路程，则AB＝ dm．【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到与点A相对的点B处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】25 【解答】解： （1）三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252，解得：x＝25．答：蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是25dm．故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图：由题意得：AC=×48＝24（cm），BC＝7cm， ∴AB==25（cm）， ∴该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； （3）如图，将杯平面展开，作B点纵向的对称点C，连接AC，AC即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程，EF＝AG＝3cm，CF＝FB＝（14﹣5）cm＝9cm，AE=×32cm＝16cm，CE＝EF+CF＝12cm，根据勾股定理有：AC===20（cm）， ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为20cm． （来源：2025秋•安宁区校级期末） 27．（10分）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，动点P从点B出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈，回到点B后停止，速度为2cm/s，设运动时间为t秒． （1）证明：△ABC是直角三角形； （2）若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求t的值； （3）另有一动点Q，从点B开始，按顺时针方向走一圈回到点B，且速度为1cm/s．若P、Q两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． 【答案】见解析 【解答】解： （1）在△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，动点P从点B出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈，回到点B后停止，速度为2cm/s，则： ∵在△ABC中，AB2+BC2＝62+82＝36+64＝100，AC2＝102＝100， ∴AB2+BC2＝AC2，△ABC是直角三角形； （2）①若点P在BC上，则BP＝2t，AB＝BP， ∴6＝2t，t＝3；②若点P在AC上，则CP＝2t﹣8，AP＝AC﹣CP＝18﹣2t，（i）当AB＝AP时，6＝18﹣2t，t＝6；（ii）当AB＝BP时，作BD⊥AC于点D，则S△ABC=AB⋅BC=AC⋅BD， BD==， ∴AD==，AP=2AD=， ∴=18-2t，解得t=．综上所述，当t＝3或t=或t＝6时，△ABP是以AB为腰的等腰三角形． （3） ∵△ABC的周长为AB+BC+AC＝24cm，24÷2＝12．①当0≤t≤4时，点P在BC上，点Q在AB上，则BP＝2t，BQ＝t，BP+BQ＝3t， ∴3t＝12，解得t＝4，如图所示，此时点P刚好运动到点C；②当4＜t≤6时，点P在AC上，点Q在AB上，由①得，此时BQ+BC+CP＞12，不符合题意；③当6＜t≤12时，点P、Q都在AC上，PQ＜AC＝10，10＜12，不符合题意；④当9＜t≤12时，点P在AB上，点Q在AC上，则AP＝2t﹣18，AQ＝t﹣6，AP+AQ＝3t﹣24， ∴3t﹣24＝12，解得t＝12，如图所示，此时点P刚好回到点B．综上所述，当t为4或12时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． （来源：2026春•惠城区期中） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $