第3章 勾股定理 单元巩固提升测试卷 2026-2027学年苏科版八年级上册数学

第3章勾股定理单元巩固提升测试卷 (满分100分 时间90分钟) 一、单选题（每题2份 共20分） 1．（26-27九年级上·福建福州·开学考试）下列四组线段中，不可以构成直角三角形的是（     ） A．3，4，5 B．8，15，17 C．14，48，49 D．5，12，13 2．（26-27九年级上·四川绵阳·开学考试）已知一个直角三角形的两边长分别为12和13，则第三边长的平方是（     ） A．25 B．5 C．313 D．25或313 3．（26-27九年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图，山坡的高，水平距离，若在山坡上每隔栽一棵茶树，则从上到下共可栽茶树（   ） A．17 B．18 C．20 D．21 4．（25-26八年级下·云南德宏·期末）如图，在数轴上点A所对应的实数是2，过点A作且，以O为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点C对应的实数为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27八年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在中，，点是的中点，点是边上一点，且，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·云南曲靖·开学考试）如图，将一根长的吸管放进一个底面直径为，高为的圆柱形空水杯中，则吸管在杯口外的长度不可能是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）手机的屏幕尺寸是指其屏幕对角线的长度，通常以英寸（1英寸）为单位．某5.8英寸的手机，有可能用以下哪种尺寸的长方形口袋完全装下（     ） A．宽，长的口袋 B．宽，长的口袋 C．宽，长的口袋 D．宽，长的口袋 8．（2026·广东广州·中考真题）如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，点是的中点．已知，的周长为12，则长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 9．（26-27九年级上·广东深圳）一副三角板如图①放置，，斜边，把三角板绕点顺时针旋转得到（如图②），此时与交于点O，则线段的长度为（     ） A． B．5 C． D． 10．（25-26八年级下·四川自贡·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．在正方形两边、分别取点，，使，与交于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分 共30分） 11．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）木工用三根木条围框架，长度分别为、、2，这个框架是_____三角形． 12．（25-26八年级下·云南大理·阶段检测）在中，，，则_______． 13．（25-26八年级下·河南商丘·期中）已知等腰三角形的腰长为，底边上的中线长为，则它的周长为_____ 14．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，在中，，分别以为边向外部作正方形，甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23，则的长为___________． 15．（25-26八年级下·安徽芜湖·阶段检测）明代数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．”大意：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺）．需求秋千绳索（或）的长度．设秋千绳索的长为x尺，则可列方程：________． 16．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________． 17．（25-26八年级下·河南新乡·期中）2026年3月20日下午，在完成既定任务后，中越海军舰艇编队举行分航仪式，标志着第40次北部湾联合巡逻暨首次海上联合训练顺利结束．如图，在演习过程中一艘船以5海里/时的速度从港口出发，向西北方向航行，另一艘船以12海里/时的速度同时从港口出发，向西南方向航行，离开港口1小时后，两船相距_______海里． 18．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则______． 19．（25-26八年级下·山西大同·期中）一个圆柱形饮料罐底面周长为，高为．一只蚂蚁从底面圆周上的点处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______． 20．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，点P是右侧一点，连接、、，若，，则的最大值为______． 三、解答题（共50分） 21．（5分）（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，，求的长． 22．（8分）（26-27八年级上·辽宁沈阳·开学考试）按要求作图 (1)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点，，均在小正方形的顶点上． ①在图中画出与关于直线成轴对称的； ②在直线上找一点，使得的周长最小； ③的面积为________ (2)如图，画出一个面积为的正方形． 23．（7分）（25-26八年级下·贵州安顺·期末）为了防止电线杆倾斜、倒伏，一般会用钢丝绳将其固定．如图，钢丝绳一端固定在电线杆的点处，另一端固定在地面上的点处，电线杆垂直于地面．已知，（钢丝绳不可拉伸，始终处于紧绷状态）． (1)求钢丝绳的长度． (2)为了提升安全性能，有关部门将钢丝绳与地面的固定点由点调整为点（点在的延长线上），点的位置不变．若，两点的距离为，求钢丝绳增加的长度． 24．（6分）（26-27八年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变．，，三点在一条直线上，． 回答下列问题： (1)_________（填“”“”或“”）； (2)若，，，求小男孩向右移动的距离 25．（6分）（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于A，于．已知，，现要在铁路上建设一个特产收购站，使得，两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？ 26．（8分）（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为N，M． (1)如图1，当点落在的延长线上，且，，，求的长； (2)如图2，绕点顺时针旋得到，延长交于点，连接并延长至点，使得，连接，连接交于点，且，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想； 27．（10分）（26-27八年级上·广东深圳·开学考试）综合探究： “在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”． 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是________； (2)若的三边的长分别为、、，请你利用构图法在图2中，画出符合题意的，并写出它的面积________． (3)已知，均为正实数，且，求的最小值． 小明同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长，通过分析，小明想到了构图法解决此问题，于是构造出图3，将问题转化为求线段的长，如图，，，，，，，则、的长分别表示为，．由于，当、、共线时，取等号，所以只要求出的长，就可以解决问题．请在图3中，求出的长，并说明理由．所以的最小值是________． (4)拓展应用：求代数式：（）的最小值． 试卷第8页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D B A A D B C B 1．C 【详解】解：，A、B、D均可以构成直角三角形. ，， ，C不可以构成直角三角形. 2．D 【详解】解：由直角三角形两边长为12和13，未明确两条边是直角边还是斜边，分两种情况讨论： ①当12和13均为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得，第三边长的平方为； ②当13为斜边，12为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得，第三边长的平方为； ∴第三边长的平方是25或313． 3．D 【详解】解：山坡的高，水平距离， ， 每隔栽一棵茶树， 棵， ∴从上到下共21棵． 4．B 【详解】解：点所对应的实数是2， ， ， ， 在 中，，， 由勾股定理可得， 以为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点， 点对应的实数为． 5．A 【详解】解：点是的中点，， 垂直平分， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 6．A 【详解】解：设吸管在杯内的长度为，在杯口外的长度为，则， 当吸管竖直放置时，取最小值，此时取最大值； 当吸管倾斜放置，底端与杯底边缘接触，顶端与杯口相对边缘接触时，取最大值，由勾股定理得，此时取最小值； ∴， ∴吸管在杯口外的长度不可能是． 7．D 【详解】解：手机对角线长度为， A选项，口袋对角线长，小于，不符合； B选项，口袋对角线长，小于，不符合； C选项，口袋对角线长，小于，不符合； D选项，口袋对角线长，大于，符合． 8．B 【详解】解：是的角平分线，， ∴， 又， ∴， ， ， ， 点是的中点， ， 的周长为， ， ， ， ∵在中，， ． 9．C 【详解】解：为等腰直角三角形， ，，， 由勾股定理，， ， ． ，， ， ． 由旋转性质可知，，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 由勾股定理，， , ， ， 在中，． 10．B 【详解】四边形和均为正方形， 图形关于点中心对称，，，共线， ， ，， ，，， 点是的中点， ， 过点作于点，则为中点，， 设， ， ，，， ， 在中，， ， 解得：（负值已舍去）， ，， 在中，， ，，，共线， ． 11．等腰直角 【详解】解：由题意可知，三角形三边长分别为，，． 该三角形是等腰三角形． 又，， ． 根据勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形． 12． 【详解】解：在中，， 故； ∴， ∵， 故， 即． 13． 【详解】解：等腰三角形的腰长为，底边上的中线长为， 由等腰三角形三线合一的性质可得，该中线垂直于底边，即该中线为底边上的高， 底边的一半长 底边长 等腰三角形的周长． 14．7 【详解】解：∵甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23， ∴， 在中，， ∴由勾股定理得， ∴或（舍去）． 15． 【详解】解：设尺， 由题意可知：尺，尺，尺， 尺， 尺， 在中，， ． 16．，， 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为． 17． 【详解】解：由题意得，西北方向与西南方向的夹角为， ∴如图，两艘船的航行路线构成直角三角形，港口为直角顶点，即， 由题意得，，， ∴． 18． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知：，，，． 在直角和中，， 即， ，， ． ∴． 19． 【详解】解：该圆柱形饮料罐底面周长为，高为， 如下图，其侧面展开图长为，宽为， 由勾股定理得，其侧面展开图对角线长为， 蚂蚁爬行的最短路径长度为． 20． 【详解】解：将点P绕点C顺时针旋转到点M，连接、， 由旋转的性质可得，， ∴，即， 又∵， 则有，即， ∵， 在和中有， ， ∴， ∴， ∵当、、三点共线时，有最大值为， ∴的最大值为． 21．的长为. 【详解】解：已知， 是直角三角形，为斜边． 根据勾股定理： ， ∴(边长取正数)． 22．(1)解：①如图，即为所求； ②如图，点即为所求； ③； 的面积； (2)解：如图，正方形即为所求； 23．(1)钢丝绳的长度为 (2)钢丝绳增加的长度为 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， 答：钢丝绳的长度为． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴钢丝绳增加的长度为， 答：钢丝绳增加的长度为． 24．(1) (2)小男孩向右移动的距离为. 【详解】（1）解：由题意，绳长始终保持不变， 故； （2）解：∵，，，，三点在一条直线上， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得，， ∵， ∴， 由题意，小男孩向右移动的距离即为的长， 故小男孩向右移动的距离为. 25．E站应建在离A站处 【详解】解：∵C，D两村到E站的距离相等， ∴． ∵于A，于B， ∴， ∴， ∴， 设，则． ∵，， ∴， 解得：， ∴． 答：E站应建在离A站处． 26．(1) 解：∵将绕点顺时针旋转得到， ， ∵，点落在的延长线上， ， ∵， ，， ； 即的长为； (2)线段，，之间存在的数量关系：； 证明： 由旋转可知，，旋转角， 如图，将绕点顺时针旋转，可使与重合，得到． ，即， 三点共线， 由旋转可知：，旋转角， 是等边三角形， ． 由旋转可知，旋转角，，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，即， ， ． 27．(1) (2)如图，即为所求， ； 3 (3)的长为5，理由如下： 如图，过点C作交的延长线于点， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ，， ，， 在中，， 则的长为5； 5 (4)5 【详解】（1）解：如图， ， 则的面积是； （2）解：如图，即为所求， ， 则的面积是； （3）解：， 当、、共线时，取得最小值，即的长为5， 的最小值是5； （4）解：如图，，，，，，，则、的长分别表示为，， 则（）的最小值即为的最小值，即的长， 如图，过点C作交的延长线于点， 同（3）可得，，， 在中，， 则（）的最小值为5． $