第3章勾股定理 综合素质评价卷 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

第3章勾股定理 一、单选题 1．下面几组数据中，可以作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长米，高米的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为米，则共需购买（    ）的红地毯． A． B． C． D． 3．如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，都在格点上，与相交于点P，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，于，和都是等腰直角三角形，如果，，那么的长为（   ） A． B． C．7 D．13 5．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也下滑，则梯子的长度为（    ） A． B． C． D． 6．如图，，且，，，分别交于，两点，若，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 7．一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，则A，C两港之间的距离为（　　） A． B． C． D． 8．如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点S的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点落在边的中点处，压平后得到折痕，则线段的长为 ． 10．如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断（地面），其树顶端恰好落在树乙（乙⊥地面）的根部C处．若米，米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为 米． 11．如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ． 12．如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则 ． 13．如图，在中，，，，点是边上的一个动点，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒．当点在边上运动时，出发 秒后，是以为腰的等腰三角形． 三、解答题 14．如图，在中，． (1)尺规作图：作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，求角平分线的长． 15．思考题：如图，在中，，于点，，，求的长． 16．一辆装满货物的卡车，高，宽，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞（如图所示）．已知半圆的直径为，长方形的另一条边长为． (1)这辆卡车能否安全通过桥洞？请说明理由． (2)为了适应车流量的增加，要将桥洞改为双行道．如果要使宽为、高为的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？ 17．如图，点M、N把线段依次分成、、三段，若以、、为边组成的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的“勾股分点”． (1)若，，，则点M、N______线段的“勾股分点”（填“是”或“不是”）； (2)若M、N是线段的“勾股分点”，，，且是组成的直角三角形的一条直角边，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，三角形的三边关系． 根据勾股定理的逆定理，以及三角形的三边关系，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．，，，最长边为，，不可以作为直角三角形的三边长，不符合题意； B．，，，最长边为，，可以作为直角三角形的三边长，符合题意； C．，，，最长边为，，不可以作为直角三角形的三边长，不符合题意； D．，，，，不能构成三角形，不符合题意． 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息求出地毯的长度是解题关键．利用勾股定理解图中直角三角形得台阶的地面长度为米，则通过观察台阶可知需买红地毯的总长度为米，根据红地毯的宽是台阶的宽米，即可求解． 【详解】解：依题意图中直角三角形一直角边为米，斜边为米， 另一直角边长：（米）， 需购买红地毯的长为（米）， 红地毯的宽则是台阶的宽米， 红地毯面积是：（平方米）． 故选：C． 3．C 【分析】本题考查构造直角三角形，勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，根据勾股定理，求出． 【详解】解：如图，过点作， ， 过格点， 连接， ， ， ， ， ， 故选：C． 4．B 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟知等腰三角形两腰相等的性质是解答此题的关键． 根据等腰三角形性质得到，，再结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】解： 和都是等腰直角三角形，，， ，， ． 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先根据题意可得，，，，再设，则，利用勾股定理求出，然后根据建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴， 设，则， ∴，， 又∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直定义，等角的余角相等，线段和差等知识，设与交于点，与交于点，由垂直定义可得，再通过等角的余角相等可得，则有，然后，由全等三角形性质得，，最后通过线段的和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 7．C 【分析】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键．根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，根据题意，得，，，， ∵ ∴ ∴ ∴在中， 即，两港之间的距离为． 故选：C． 8．A 【分析】本题考查勾股定理，圆柱的侧面展开，先把侧面展开，得到一个矩形，然后再利用两点间线段最短，利用勾股定理求出长． 【详解】解：展开后矩形的长为，高为， 所以利用勾股定理可得最短距离为． 故选：A． 9． 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，连接，，，折叠得到，设，则，在和中，，进而得到，列出方程进行求解即可． 【详解】解：如图①，连接，，， ∵将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕， ∴垂直平分，，， ∴，， 设，则，   在和中， ∴， 即， 解得． 故线段的长为． 故答案为：． 10．19 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，延长，过点C作延长线于点D，利用勾股定理先求出，即可得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示：过点C作交延长线于点D，则， 由题意可得：， 故， ∴， 则， 故， 故答案为：19． 11．/ 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理，根据作图过程得到垂直平分是解答的关键．连接，，设与相交于O，先根据线段垂直平分线的判定与性质得到根据作图过程，，再利用勾股定理求得，然后利用三角形的面积求得即可解答． 【详解】解：连接，，设与相交于O， 根据作图过程，得，， ∴垂直平分，则，， ∵在中，，，， ∴， 由得 ， ∴， 故答案为：． 12．231 【分析】该题考查了勾股定理，在 、、、中，由勾股定理得出，再代入求解即可． 【详解】证明：在 中，由勾股定理，得①， 在 中，由勾股定理，得②， 得． 在 中，由勾股定理，得③， 在 中，由勾股定理，得④， 得， 所以， ∵，， ∴． 故答案为：231． 13．或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，先利用勾股定理可得，再分和两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 当时，如图， ∵， ∴ (秒)； 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴(秒)； 综上，出发秒或秒，是以为腰的等腰三角形， 故答案为：或． 14．(1)作图见解析 (2) 【分析】（）根据角平分线的作法作图即可； （）由等腰三角形的性质可得，，进而利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了角平分线的作法，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：∵，平分， ∴，， ∴， ∴． 15．的长为 【分析】本题考查了勾股定理，垂直的定义，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 由，得，设，则，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴的长为． 16．(1)能安全通过，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据题目做出辅助线，利用勾股定理进行求解. （1）通过计算卡车在桥洞中间位置时顶部到桥洞顶部半圆的垂直距离，与卡车高度比较来判断能否通过. （2）根据给定卡车的尺寸，利用勾股定理求出桥洞半圆部分所需的半径，进而得到桥洞的宽度. 【详解】（1）解：这辆卡车能安全通过桥洞．理由如下： 如图①，为卡车的宽度． 过点分别作的垂线交半圆于两点， 连接，过点作于点E， 则， 所以． 因为， 所以在中，由勾股定理，得，所以， 所以． 因为，所以这辆卡车能安全通过桥洞． （2）解：如图②，为卡车的宽度，为道路的中点． 过点E作于点F，交半圆于点B， 连接，过点作，交的延长线于点G． 根据题意可知，，所以． 在中，根据勾股定理，得， 所以． 故此桥洞的宽至少应增加到． 17．(1)不是； (2)5或13 【分析】本题考查勾股定理，结合勾股定理求解是解决问题的关键． （1）结合勾股分割点，由已知条件得到，，，从而根据，即可得出答案； （2）点M，N是线段的勾股分割点，且为直角边，分两种情况，利用勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴以，，为边的三角形不是一个直角三角形， ∴根据勾股分割点定义，M，N不是线段的勾股分割点， 故答案为：不是； （2）∵点M，N是线段的勾股分割点，且为直角边，有两种情况： ①为斜边时，有， 设，则， ∴； ②为斜边时，有， 设，则， ∴； ∴的长为5或13， ∴的长为或， ∴的长为5或13． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $