第十三章 三角形 单元检测卷- 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第十三章 三角形 单元检测卷 （时间：120分钟 满分：100分） 一．选择题（共15小题，每小题2分，共30分。） 1．安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（　　） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 第1题图 第3题图 2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　） A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A＝22°，则∠B等于（　　） A．42° B．67° C．68° D．77° 4．如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得PA＝7m，PB＝5m，那么A，B之间的距离可能是（　　） A．2m B．9m C．12m D．13m 第4题图 第5题图 5．在数学实验课上，小华想用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，他想出了以下方法来确定这个平衡点的位置，其中做法正确的是（　　） A．画出三角形薄板的三条中线，取其交点 B．画出三角形薄板的三条高线，取其交点 C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D．画出三角形薄板三边的垂直平分线，取其交点 6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是DC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 第6题图 第8题图 7．如图，在△ABC中，画出AC边上的高，正确的图形是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝26°，则∠DAC的大小是（　　） A．20° B．22° C．24° D．26° 9．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AC，BD，AE的中点，若阴影部分的面积为4，则△ABC的面积是（　　） A．32 B．36 C．28 D．30 第9题图 第10题图 10．如图，AB∥CD，且∠A＝40°，∠D＝24°，则∠E等于（　　） A．40° B．32° C．24° D．16° 11．三角形的一个外角为36°，则这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 12．在下列条件中：①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A﹣∠B＝90°，③∠A：∠B：∠C＝2：3：5，④∠A∠B∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．数学活动课上，小明将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 第13题图 第14题图 第15题图 14．如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 15．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝80°，则∠BPC的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 二．填空题（共4小题，每小题2分，共8分。） 16．已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则它的周长为_______ ． 17．如图，在△ABC中，点D在边AB上，若∠1＝∠2＝36°，∠3＝∠4，则∠BCD的度数为________ ． 第17题图 第18题图 18．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC的度数是 ________ ． 19．当三角形中一个内角β是另一个内角α的时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中角α称为“希望角”．如果一个“希望三角形”中有一个内角为54°，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为______________ ． 三．解答题（共8小题，共62分。） 20．（7分）已知△ABC的三边长为a，b，c． （1）若a＝3，b＝5，求边长c的取值范围； （2）化简|a+b﹣c|﹣|a﹣b+c|． 21．（6分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是∠ACB的平分线，若∠B＝42°，∠AEC＝75°，求∠CAD的度数． 22．（7分）在△ABC中，AB＝8，AC＝1． （1）若BC是整数，求BC的长； （2）已知AD是△ABC的中线，若△ACD的周长为10，求三角形ABD的周长． 23．（6分）如图，位于A处的一艘军舰观测到一艘巡逻艇B在其南偏西60°的方向上，巡逻艇C在其南偏东20°方向上，已知∠CBE＝80°，求∠C的度数． 24．（8分）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数． 25．（8分）如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线交于点O， （1）求证：； （2）若∠BOC＝120°，则∠A的度数是多少？ 26．（8分）在三角形三个内角中，如果满足其中一个内角α是另一个内角β的2倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中内角α称为“主特征角”，内角β称为“次特征角”． （1）已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，判断△ABC是否为“特征三角形”，并说明理由； （2）在△DEF中，∠D＝96°，若△DEF是“特征三角形”，且∠E是“次特征角”，求∠E的度数． 27．（12分）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化为熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题． （1）在图1中，∠BPC，∠B，∠C，∠BAC之间有何数量关系？并证明你的结论； （2）根据（1）题的结论，求出图2中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数； （3）请写出图3中六个角∠A，∠ABC，∠C，∠EDC，∠DEF，∠AFE之间的一个等量关系，并利用（1）的结论进行证明． 第十三章 三角形 单元检测卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题，每小题2分，共30分。） 1．解：根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性； 故选：A． 2．解：A、3+4＜8，不能摆成三角形，本选项不符合题意； B、8+7＝15，不能摆成三角形，本选项不符合题意； C、5+5＜11，不能摆成三角形，本选项不符合题意； D、13+12＞20，能摆成三角形，本选项符合题意； 故选：D． 3．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝22°， ∴∠B＝90°﹣22°＝68°， 故选：C． 4．解：连接AB， 由三角形三边关系定理得到：PA﹣PB＜AB＜PA+PB， ∴7﹣5＜AB＜7+5， ∴2＜AB＜12， ∴A，B之间的距离可能是9m． 故选：B． 5．解：依题意得：铅笔的支点是三角形薄板的重心， ∴画出三角形薄板的三条中线，取其交点，则可得出三角形薄板的重心． 故选：A． 6．解：∵∠BAC＝90°， ∴△ABC为直角三角形， ∵AD是BC边上的高， ∴△ADB、△ADE、△ADC是直角三角形， ∴图中的直角三角形共有4个， 故选：C． 7．解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为D， 纵观各图形，A、B、C都不符合高线的定义， D符合高线的定义． 故选：D． 8．解：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABE＝2×26°＝52°， ∵AD是BC边上的高， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣52°＝38°， ∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝60°﹣38°＝22°． 故选：B． 9．解：由题知， 因为点F为AE的中点，阴影部分的面积为4， 所以△ADE的面积为8． 因为点E为BD的中点， 所以△ABD的面积为16． 因为点D为AC的中点， 所以△ABC的面积为32． 故选：A． 10．解：∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠A＝40°， ∵∠ACD＝∠D+∠E，∠D＝24°， ∴40°＝24°+∠E， ∴∠E＝16°， 故选：D． 11．解：∵三角形的一个外角为36°， ∴180°﹣36°＝144°，即与此外角相邻的内角为90°， ∴三角形有一个内角为144°，即为钝角三角形． 故选：C． 12．解：①由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B﹣∠C得到：2∠B＝180°，则∠B＝90°，则△ABC是直角三角形，故符合题意； ②∠A﹣∠B＝90°得到：∠A＞90°，则△ABC不是直角三角形，故不符合题意； ③由∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∠C，则△ABC是直角三角形，故符合题意；④由∠A+∠B+∠C＝180°，，得到：∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，故符合题意； 综上所述，是直角三角形的是①③④，共3个． 故选：C． 13．解：∵图中是一副三角板叠放， ∴∠ACB＝90°，∠BCD＝45°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝90°﹣45°＝45°， ∵∠α是△ACE的外角， ∴∠α＝∠A+∠ACD＝30°+45°＝75°． 故选：D． 14．解：连接BC，如图所示， ∵∠A＝60°，∠ABE＝40°，∠ACD＝30°， ∴∠1+∠2＝180°﹣∠A﹣∠ABE﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°﹣30°＝50°， ∵∠D+∠E＝∠1+∠2， ∴∠D+∠E＝50°， 故选：C． 15．解：∵将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合， ∴由折叠可知：∠PDE＝∠ADE，∠PED＝∠AED， ∴∠1+2∠ADE＝180°，∠2+2∠AED＝180°． ∴∠1+∠2+2（∠ADE+∠AED）＝360°， 又∵∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A， ∴∠1+∠2+2（180°﹣∠A）＝360°，即， ∵，，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝90°， ∴． 故选：B． 二．填空题（共4小题，每小题2分，共8分。） 16．解：利用三角形的三边关系分情况讨论： 若等腰三角形的另一边长为3，此时三边分别为3，3，6，因为3+3＝6，不能构成三角形； 若等腰三角形的另一边长为6，此时三边分别为3，6，6，因为3+6＞6，能构成三角形，所以三角形周长为：3+6+6＝15， 即三角形的周长为15； 故答案为：15． 17．解：∵∠1＝∠2＝36°， ∴∠3＝∠1+∠2＝36°+36°＝72°（三角形外角的性质）， ∴∠3＝∠4＝72°， ∴∠BCD＝180°﹣72°﹣72°＝36°， 则∠BCD的度数为36°， 故答案为：36°． 18．解：∵BE是∠ABC的平分线，CE是∠ACM的平分线， ∴∠ABE＝∠CBE∠ABC，∠ACE＝∠MCE∠ACM， 又∵∠ACM＝∠A+∠ABC，∠MCE＝∠BEC+∠CBE， ∴2（∠BEC+∠CBE）＝∠A+∠ABC， ∴∠BEC∠A＝30°． 故答案为：30°． 19．解：分三种情况讨论： （1）54°是“希望角”α，则“希望角”度数为54°； （2）54°是“希望角”β，则， ∴α＝54°×3＝162°， 此时α+β＝162°+54°＝216°＞180°，不合题意； （3）54°角既不是α也不是β， 则α+β+54°＝180°， ∴， 解得α＝94.5°， ∴“希望角”度数为94.5°； 综上可知：这个“希望三角形”的“希望角”度数为：54°或94.5°． 故答案为：54°或94.5°． 三．解答题（共8小题，共62分。） 20．解：（1）由三角形三边关系定理得到：5﹣3＜c＜5+3， ∴2＜c＜8； （2）由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，a+c＞b， ∴a+b﹣c＞0，a﹣b+c＞0， ∴|a+b﹣c|﹣|a﹣b+c| ＝a+b﹣c﹣（a﹣b+c） ＝a+b﹣c﹣a+b﹣c ＝2b﹣2c． 21．解：∵∠B＝42°，∠AEC＝75°， ∴∠BCE＝33°， ∵CE是∠ABC的平分线， ∴∠ACB＝2∠BCE＝66°． ∵AD是BC边上的高线， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣∠ACB＝24°． 22．解：（1）由题意得：AB﹣AC＜BC＜AC+AB， ∴7＜BC＜9， ∵BC是整数， ∴BC＝8； （2）∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD ∵△ACD的周长为10， ∴AC+AD+CD＝10， ∵AC＝1， ∴AD+CD＝9， ∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+AD+CD＝8+9＝17． 23．解：∵位于A处的一艘军舰观测到一艘巡逻艇B在其南偏西60°的方向上，巡逻艇C在其南偏东20°方向上， ∴∠DAB＝60°，∠CAD＝20°，BE∥AD， ∴∠EBA＝∠DAB＝60°， ∵∠CBE＝80°， ∴∠ABC＝∠CBE﹣∠EBA＝80°﹣60°＝20°， ∵∠CAB＝∠BAD+∠CAD＝60°+20°＝80°， ∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣80°﹣20°＝80°． 故答案为：80°． 24．解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60° ∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°， 又∵AD是高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°， ∵AE、BF是角平分线， ∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°， ∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°， ∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°， ∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°． 故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°． 25．（1）证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O， ∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB， ∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2（180°﹣∠BOC）， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣2（180°﹣∠BOC）， ∴∠A＝180°﹣360°+2∠BOC＝2∠BOC﹣180°， ∴； （2）∵∠BOC＝120°，， ∴， 解得∠A＝60°． 26．解：（1）∵在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°， ∴∠C＝180°﹣30°﹣50°＝100°， 由于∠C＝2∠B， ∴△ABC是“特征三角形”； （2）在△DEF中，∠D＝96°， ∴∠E+∠F＝180°﹣96°＝84°， 由于△DEF是“特征三角形”，且∠E是“次特征角”， ①当∠D＝2∠E时，即2∠E＝96°， ∴∠E＝48°； ②当∠F＝2∠E时，即2∠E+∠E＝84°， 解得∠E＝28°； 综上所述，∠E＝48°或∠E＝28°． 27．（1）证明：∠BPC＝∠B+∠C+∠BAC，理由如下， 如图1，连接AP并延长至E， ∵∠BPE＝∠B+∠BAP，∠CPE＝∠C+∠CAP， ∴∠BPE+∠CPE＝∠B+∠BAP+∠C+∠CAP＝∠B+∠C+∠BAC． 即∠BPC＝∠B+∠C+∠BAC； （2）解：如图2，由（1）可知∠1＝∠A+∠B+∠D， ∵∠2＝∠C+∠E，∠1+∠2＝180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°； （3）证明：∠AFE+∠EDC＝∠A+∠ABC+∠DEF+∠C， 如图3，连接BE， 由（1）中的结论得，∠5＝∠A+∠1+∠4，∠6＝∠C+∠2+∠3， ∠5+∠6＝∠A+∠1+∠2+∠3+∠4+∠C＝∠A+∠ABC+∠DEF+∠C． 即∠AFE+∠EDC＝∠A+∠ABC+∠DEF+∠C． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $