第十三章 三角形 自我评估卷 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第十三章 三角形 自我评估卷 （本试卷满分100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 观察下列图形，其中是三角形的是（　　） A B C D 2. 如图1，α+β的度数为（　　） A. 70° B. 100° C. 140° D. 180° 图1 3. 已知三角形的两条边长分别为4 cm和9 cm，则该三角形的第三条边的长可能是（　　） A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 13 cm 4. 如图2，在△ABC中，D，E分别为BC，AB上的点，则以D为顶点的三角形的个数为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 图2 图3 图4 5. 某次数学综合实践课上，小明将一副三角板按如图3所示方式叠放在一起，则∠1的度数为（　　） A. 75° B. 70° C. 85° D. 80° 6. 已知△ABC中，∠A︰∠B︰∠C=3︰4︰7，则△ABC一定是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 7. 如图4，CM是△ABC的中线，BC=8 cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大4 cm，则AC的长为（　　） A. 3 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 6 cm 8. 如图5，在证明“△ABC的内角和等于180°”时，可延长BC到点D，过点C作CE∥AB，得到∠B=∠ECD，∠A=∠ACE.由∠BCD=180°，可得∠B+∠ACB+∠A=180°.这个证明方法体现的数学思想是（　　） A. 方程思想 B. 特殊到一般的思想 C. 一般到特殊的思想 D. 转化思想 图5 图6 9. 下列说法中正确的是（　　） A. 三角形的角平分线是射线 B. 三角形的外角大于任何一个内角 C. 三角形中最大的一个内角的度数可以小于60° D. 一个三角形中，最少有两个锐角 10. 如图6，嘉嘉将一根笔直的铁丝AB放置在数轴上，点A，B对应的数分别为-5，5，从点C，D两处将铁丝弯曲两头对接，围成一个三角形，其中点C对应的数为-2，则点D在数轴上对应的数可能为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图7，乐谱架的底座设计成可调节的三角形支架，使底盘更稳定，其中应用的数学原理是 . 图7 图8 12. 在直角三角形中，若其中一个锐角等于54°，则另一个锐角的度数为 . 13. 如图8，AD为△ABC的中线，E为AD的中点，连接BE.若△ABE的面积为2，则△ABC的面积是　　　 　. 14. 如图9，已知小岛B在基地A的南偏东30°方向上，与基地A相距10海里，货轮C在基地A的南偏西70°方向，货轮C在小岛B的北偏西60°方向上，则∠C= °. 图9 图10 15. 已知一个等腰三角形的周长为12，三条边的长度均为整数，则该等腰三角形的腰长为 . 16. 如图10，在△ABC中，BP是∠ABC的平分线，CP是△ACB的外角∠ACM的平分线.若∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P的度数是 . 三、解答题（本大题共6小题，共52分） 17.（6分）点A，B，C，D，E的位置如图11所示，以其中任意三个点画三角形. （1）请画出所有以AB为边的三角形，并用符号表示这些三角形； （2）找出图中以AB为边的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形. 图11 18. （6分）如图12，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，D重合），连接CE.若∠C=15°，∠AEC=60°，求∠A的度数. 图12 19.（7分）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a=7，b=2. （1）求c的取值范围； （2）若c的长为奇数，请判断△ABC的形状. 20.（10分）如图13，在△ABC中，∠ABC＞∠C，AD平分∠BAC，过点B作BE⊥AD于点E. （1）若∠ABC=60°，∠C=40°，求∠EBD的度数； （2）请写出∠EBD与∠ABC，∠C之间的数量关系 ，并说明理由. 图13 21.（11分）数学经验：三角形的中线、角平分线、高是三角形的重要线段，同时，我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点. （1）如图14-①，在△ABC中，∠A=90°，则△ABC的三条高所在直线交于点 ； （2）如图14-②，在△ABC中，∠BAC＞90°，已知两条高BE，AD，请你仅用一把无刻度的直尺画出△ABC的第三条高；（不写画法，保留画图痕迹） （3）如图14-②，若BC=6，AC=4，求BE︰AD的值. ① ② 图14 22.（12分）【探究发现】在学习完三角形内容后，小明对几何推理证明问题产生浓厚的兴趣，他从中华人民共和国国旗中的五角星开始探究，已知国旗中五角星的五个角均相等，他画出了图15-①所示的五角星，并利用所学的知识很快得出五个角的度数，此度数为　　 ； 【拓展延伸】如图15-②，小明改变了这五个角的度数，使它们均不相等，小明发现∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的和是一个定值并进行了证明，请你猜想出结果并加以证明； 【类比迁移】如图15-③，小明将点A落在BE上，点C落在BD上，那么∠CAD，∠B，∠ACE，∠D，∠E存在怎样的数量关系？请直接写出结果． ① ② ③ 图15 附加题（20分，不计入总分） 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在△ABC中，如果∠A＝80°，∠B＝40°，那么∠A与∠B互为“友爱角”，△ABC为“友爱三角形”． （1）如图①，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A＞∠B），∠ACB＝90°. ①求∠A，∠B的度数； ②若CD是△ABC中AB边上的高，则△ACD，△BCD都是“友爱三角形”吗？为什么？ （2）如图②，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠A＝66°，D是边AB上一点（不与点A，B重合），连接CD.若△ACD是“友爱三角形”，求∠ACD的度数． ① ② 参考答案 一、1. B 2. C 3. C 4. B 5. A 6. B 7. B 8. D 9. D 10. A 二、11. 三角形具有稳定性 12. 36° 13. 8 14. 50 15. 4或5 16. 90° 三、17. 解：（1）如图1，以AB为边的三角形有△ABC，△ABD，△ABE； 图1 （2）以AB为边的锐角三角形是△ABD，直角三角形是△ABC，钝角三角形是△ABE. 18. 解：因为∠C=15°，∠AEC=60°，∠AEC是△CDE的外角，所以∠D=∠AEC-∠C=45°. 因为AB∥CD，所以∠A=∠D=45°. 19. 解：（1）因为a=7，b=2，所以7-2＜c＜7+2，即5＜c＜9. （2）因为5＜c＜9，且c的长为奇数，所以c=7. 因为a=c=7，所以△ABC是等腰三角形. 20. 解：（1）因为∠ABC=60°，∠C=40°，所以∠BAC=180°-∠ABC -∠C=180°-60°-40°=80°. 因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠BAC=×80°=40°. 因为BE⊥AD，所以∠AEB=90°. 所以∠ABE=90°-∠BAD=90°-40°=50°. 所以∠EBD=∠ABC-∠ABE=60°-50°=10°. （2）2∠EBD=∠ABC-∠C.理由如下： 因为BE⊥AD，所以∠AEB=90°. 所以∠ABE=90°-∠BAD. 所以∠EBD=∠ABC-∠ABE=∠ABC+∠BAD-90°. 因为AD平分∠BAC， 所以∠BAD=∠CAD=∠BAC. 因为∠BAC=180°-∠ABC-∠C， 所以∠BAD=90°-∠ABC-∠C. 所以∠EBD=∠ABC+∠BAD-90°=∠ABC+90°-∠ABC-∠C -90°=∠ABC-∠C. 所以2∠EBD=∠ABC-∠C. 21. 解：（1）A （2）如图2，延长BE，DA交于点F，连接CF，延长BA交CF于点G，则CG为△ABC的第三条高. 图2 （3）因为BE，AD是△ABC的两条高，所以S△ABC=AC·BE=BC·AD. 因为BC=6，AC=4，所以2BE=3AD. 所以BE︰AD=3︰2. 22. 解：【探究发现】36° 【拓展延伸】∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°.理由如下： 如图3，因为∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，∠1+∠2+∠E＝180°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°. 图3 【类比迁移】∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E＝180°.解析：因为∠BAC+∠CAD+∠DAE＝180°，∠BAC＝∠ACE+∠E，∠DAE＝∠B+∠D，所以∠ACE+∠E+∠CAD+∠B+∠D＝180°，即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E＝180°. 附加题 解：（1）①因为△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A＞∠B），所以∠A＝2∠B. 因为∠ACB＝90°，所以∠A+∠B＝90°，即2∠B+∠B＝90°.解得∠B＝30°.所以∠A＝60°. ②△ACD，△BCD都是“友爱三角形”.理由如下： 因为CD是△ABC中AB边上的高，所以∠ADC＝∠BDC＝90°. 因为∠A＝60°，∠B＝30°，所以∠ACD＝30°，∠BCD＝60°. 在△ACD中，∠A＝60°，∠ACD＝30°，所以∠ACD＝∠A.所以△ACD是“友爱三角形”； 在△BCD中，∠BCD＝60°，∠B＝30°，所以∠B＝∠BCD.所以△BCD是“友爱三角形”. （2）因为△ACD是“友爱三角形”，∠A＝66°，当∠ADC＝2∠A=132°或∠ACD＝2∠A=132°时，均不成立. 当∠ACD＝∠A时，∠ACD＝×66°=33°. 当∠ACD＝∠ADC时，∠A+∠ACD+∠ADC＝66°+3∠ACD＝180°.所以∠ACD＝38°. 当∠ADC＝∠A=33°时，∠ACD＝180°-66°-33°=81°，不成立. 当∠ADC＝∠ADC时，∠A+∠ACD+∠ADC= 66°+∠ACD＝180°.所以∠ACD＝76°，不成立. 综上，∠ACD的度数为33°或38°. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $