第15讲 三角函数 章末题型大总结综合训练（12类热点题型讲练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以12类核心题型系统整合三角函数概念、性质、图象及综合应用，典例与变式结合，覆盖章节高频考点，培养数学思维与问题解决能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数的概念|2典例+3变式|结合终边定义考查三角函数值计算|从坐标定义到单位圆应用，构建概念基础| |同角三角函数基本关系|2典例+3变式|平方关系与商数关系的灵活应用|衔接三角函数定义，强化公式推理能力| |三角函数的性质|2典例+3变式|单调性、奇偶性等综合判断|基于图象特征分析函数性质，培养数学眼光| |三角函数值域与最值|2典例+3变式|结合参数与图象变换求最值|综合性质与变换，提升数学语言表达能力| |零点个数问题|2典例+3变式|方程解的个数与参数范围分析|深化函数与方程思想，体现数学思维的逻辑性|

第15讲 三角函数 章末题型大总结 题型01三角函数的概念 【典例1】（25-26高一下·河南驻马店·期中）已知角的终边经过点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知角的终边经过点，若，则，解得. 【典例2】（26-27高二上·湖南衡阳·开学考试）已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则________． 【答案】 【详解】角终边过，P到坐标原点的距离为， 故，，， 又，，， 原式. 【变式1】（26-27高三上·北京丰台·阶段检测）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与以原点为圆心的单位圆交于点，则______；______． 【答案】 /0.5 【详解】因为圆为单位圆，所以. 由题意可知，点可能位于第一象限或第二象限，，所以. 【变式2】（25-26高一下·上海静安·期末）若角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边过点，则______． 【答案】 【详解】由角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边过点， 得. 【变式3】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知角的终边过点，且，求的值. 【答案】 【分析】首先根据正切的定义求出，进而可求得，从而求解. 【详解】根据三角函数的定义可得，解得，所以，， 所以，，从而. 题型02 扇形的弧长与面积（含最值） 【典例1】（25-26高二下·江苏常州·期末）两个相互啮合的齿轮，大轮有60齿，小轮有45齿．已知大轮的转速为（转/分钟），小轮圆周的半径为，那么小轮圆周上一点每转过的弧长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过大轮的转速，得到小轮的转速，从而求出小轮上每一点的转速，再根据弧长公式计算可得. 【详解】大轮有60齿，小轮有45齿，当大轮转动一周时小轮转动周， 当大轮的转速为时，小轮转速为， 小轮周上一点每1s转过的弧度数为：. 又小轮的半径为，所以小轮周上一点每1s转过的弧长为：. 【典例2】某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值． 【答案】(1)； (2)当时，y的值最大，最大值为． 【分析】 (1)根据弧长公式和周长列方程得出关于的函数解析式； (2)根据面积公式求出关于的函数表达式，根据二次函数性质可得的最大值． 【详解】（1） 根据题意，弧的长度为米，弧的长度米， ， ． （2） 依据题意，可知， 化简得：，， 当，． ∴当时，y的值最大，且最大值为． 【变式1】（25-26高一下·重庆·期中）已知某扇形的圆心角为2弧度，半径为5，则该扇形的周长为（    ） A．15 B．20 C．25 D．35 【答案】B 【分析】先求出弧长，再求周长， 【详解】设扇形的弧长为， 则， 所以该扇形的周长为. 【变式2】（23-24高一上·云南昆明·阶段检测）若某扇形的面积为，半径为，弧长满足，则该扇形圆心角的弧度数是___________ 【答案】5或 【分析】由扇形的面积公式构造关于，的方程组，解出方程，由圆心角即可算出圆心角大小的弧度数． 【详解】据题意得，解得或. 所以该扇形圆心角的弧度数是或. 【变式3】《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差. （1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积； （2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？ 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）令圆弧的半径为，由定义知求，进而由弧田面积，即可求其面积； （2）由题意得，扇形面积，利用基本不等式求其最大值，确定最大值时的值即可. 【详解】（1）由题意，如下图示，令圆弧的半径为，， ∴，即，得， ∴弧田面积，而， ∴. （2）由题意知：弧长为，即该扇形周长，而扇形面积， ∴当且仅当时等号成立. ∴当时，该扇形面积最大. 【点睛】关键点点睛： （1）根据“矢”的定义，结合扇形中弦、半径、圆心角的关系求其半径，进而由面积关系求弧田面积即可； （2）由扇形周长、面积公式列出扇形面积关于圆心角的函数，应用基本不等式求最值并确定等号成立的条件. 题型03 同角三角函数基本关系 【典例1】（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）已知钝角满足，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换、因式分解结合钝角的取值范围求解. 【详解】由二倍角公式，代入原方程得：， 整理得： 利用替换常数项， ， 合并同类项得：， 因式分解得：， 分情况讨论： ，即，已知是钝角（），此时，不符合条件，舍去； 当，整理得：， 联立，解得或， 因为为钝角，故， 所以，所以. 【典例2】（25-26高一下·贵州遵义·期中）计算： (1)已知为第二象限角，，求 (2)已知 （i）求的值 （ii）求的值 【答案】(1)， (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用同角三角函数的商数关系和平方关系求解即可； （2）（i）利用同角商数关系可求得，再利用齐次式可求值；（ii）利用，结合齐次式即可求值. 【详解】（1）由为第二象限角，得，由，得， 所以， （2）由，得，解得. （i）； （ii） . 【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知，，则下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将两边同时平方，整理得，解得，D正确； 因为且，则， ，A正确； 由，得，，C正确，B错误． 【变式2】（26-27高三上·陕西西安·开学考试）已知，，则___________． 【答案】 【详解】因为，所以， 又，所以，则， 由同角三角函数关系可得，， 所以. 【变式3】（2026·山东烟台·模拟预测）若，，则的值为______． 【答案】/ 【详解】因为分子： 分母：，. 所以原式. 已知，两边同时平方可得： ， 所以. 题型04 利用诱导公式化简 【典例1】（26-27高一上·全国·课后作业）化简： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式＝； （2）原式＝ . 【典例2】（25-26高一下·上海·期中）（1）已知角的终边经过点，求的值； （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据三角函数的定义即可求解； （2）根据三角函数的诱导公式化简即可. 【详解】（1）角的终边经过点， 则， ； （2）原式. 【变式1】（25-26高一下·黑龙江伊春·期中）化简 【答案】 【分析】利用诱导公式和同角三角函数的关系化简即可． 【详解】． 【变式2】（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角α终边上点的坐标，结合任意角三角函数定义求出、，代入目标式计算即可； （2）利用三角函数诱导公式化简原式为，再结合终边上点的坐标求的值. 【详解】（1）点到坐标原点的距离， 根据任意角三角函数的定义： ，， 代入得； （2）利用诱导公式化简原式： 分子部分：，， ，， 因此分子， 分母部分：，，， 因此分母， 约分化简得原式， 根据定义. 【变式3】（25-26高一下·四川南充·期中）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题意角的终边过点，则， 根据任意角三角函数的定义可得，． （2）由诱导公式得． 题型05 三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 【典例1】（多选）（2026·福建漳州·模拟预测）已知函数，则（    ） A．在区间上单调递增 B．的最大值是 C．的一条对称轴为 D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】BCD 【分析】先利用三角恒等变换化简，再结合正弦函数的单调性、最值、对称轴和图象平移规律逐项判断即可。 【详解】， 对于A：，单调递增区间应满足， 解得，所以单调递增区间为， 因为不完全在增区间内，故A错误； 对于B：，当取到最大值时，函数取最大值为，故B正确； 对于C：，此时取到了的最大值，所以函数的一条对称轴为，故C正确； 对于D：的图象向左平移个单位长度，得，故D正确. 【典例2】（多选）（26-27高三上·湖北·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（    ）． A．的最小正周期为 B．为偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减 【答案】ABD 【分析】根据正弦型函数的图象及性质，结合函数图象的平移变换求解即可. 【详解】由题意知，，所以. 由，得，又，得. 由，得， 所以，所以． 又，即，所以，故， 所以，所以的最小正周期为，即A正确； ， 所以为偶函数，即B正确； 又，所以直线不是的图象的对称轴，即C不正确； 当时，， 故在上单调递减，即D正确． 【变式1】（多选）（26-27高一上·全国·课后作业）关于函数，有以下命题，其中不正确的是（　　） A．函数的周期是 B．函数的定义域是且 C．是奇函数 D．的一个单调递增区间为 【答案】BCD 【详解】对于A，的周期，故A正确； 对于B，，解得， 故定义域为：且，故B不正确； 的定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数，故C不正确； 对于D，，解得， 故的单调递增区间为，，故D不正确． 【变式2】（多选）（26-27高三上·湖南怀化·开学考试）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为1 B．的最小值为 C．的图象关于直线对称 D．的单调递增区间为 【答案】BD 【分析】对于A，直接利用周期公式即可判断；对于B，利用正弦函数的有界性即可求得最小值；对于C，代入验证是否等于即可判断；对于D，直接求出单调递增区间即可判断． 【详解】对于A，的最小正周期，故A错误； 对于B，由于的最小值为，所以的最小值为，故B正确； 对于C，当时，， 所以直线不是的对称轴，故C错误； 对于D，令，解得， 所以的单调递增区间为，故D正确． 【变式3】（多选）（25-26高一下·辽宁辽阳·期末）关于函数的叙述中，正确的有（     ） A．的最小正周期为 B．在区间内单调递增 C．的图象关于点对称 D．是偶函数 【答案】ABD 【详解】A. ， 则的最小正周期为，A正确; B.当时，，又在 上为增函数，所以在区间内单调递增，B正确； C.当时，，此时， 即的图象关于点对称，C错误； D.， 令，则， 故是偶函数，D正确. 题型06 三角函数图象变换 【典例1】（2026·四川眉山·二模）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 B．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 C．先将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 D．先将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 【答案】A 【详解】A选项，先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到， 再向右平移个单位长度，得到，A正确； B选项，先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到， 再向左平移个单位长度，得到，B错误； C选项，先将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到， 再向左平移个单位长度，得到，C错误； D选项，先将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到， 再向右平移个单位长度，得到，D错误； 【典例2】（多选）若函数，为了得到函数的图象，下面有四种变换：①先横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度；②先向右平移个单位长度，再横坐标伸长为原来的2倍；③先向右平移个单位长度，再横坐标伸长为原来的2倍；④先横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度.则只需将的图象（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AC 【分析】先利用诱导公式将转换成正弦函数的形式，然后根据伸缩和平移变换即可得到答案. 【详解】由于函数， 为了得到函数的图象，则只需将的图象，先横坐标伸长为原来的2倍得到，再向右平移个单位长度得到图象，即①正确； 或先将的图象向右平移个单位长度得到的图象，再横坐标伸长为原来的2倍得到图象，即③正确； 故选：AC. 【变式1】（26-27高三上·贵州·阶段检测）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【详解】由题， 所以的图象可由的图象向左平移个单位得到. 【变式2】（多选）（25-26高一上·安徽淮北·期末）以下四种变换方式，能将函数的图象变换为的图象的是（    ） A．先向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标扩大为原来的2倍 B．先向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标扩大为原来的2倍 C．先将每个点的横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移个单位长度 D．先将每个点的横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移个单位长度 【答案】AD 【分析】根据相位变换与周期变换的先后分别判断即可. 【详解】先相位变换时：因为的解析式中对应于的值为，值为， 所以将函数的图象先向左平移个单位长度得到的图象， 再将每个点的横坐标扩大为原来的2倍得到的图象； 先周期变换时：因为， 所以先将函数的图象上每个点的横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移个单位长度. 【变式3】（多选）（2024·云南·一模）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位 B．向左平行移动个单位 C．向右平行移动个单位 D．向右平行移动个单位 【答案】ACD 【分析】根据已知条件，逐项分析各个选项，利用诱导公式化简函数解析式即可判断. 【详解】A选项，向左平行移动个单位，有，A正确； B选项，向左平行移动个单位，有，B错误； C选项，向右平行移动个单位，有， ，C正确； D选项，向右平行移动个单位，有， ，D正确； 故选：ACD 题型07 根据图象求解析式 【典例1】（26-27高三上·天津北辰·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是______． ① ②的图象关于点中心对称 ③在区间上单调递增 ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】①③④ 【详解】由图象可知，函数的最大值为2，因为，所以. 又图象经过点，代入解析式得：，即，解得. 因为，所以.故选项①正确. 由图象可知，函数在处取得零点，且此时图象处于下降阶段. 对于正弦曲线，当时，函数值为0且处于下降趋势. 所以，整理得：，解得：， 因为，且，所以.即函数解析式为. 选项②：将代入解析式：. 因为，所以点不是函数图象的对称中心，故选项②错误. 选项③：令，当时，， 正弦函数在区间上是单调递增的. 因为，所以函数在区间上单调递增，故选项③正确. 选项④：将的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为： ，代入，得： ，这与函数的解析式完全一致.故选项④正确. 【典例2】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知函数的一段图象如图所示，若将图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则___________． 【答案】 【分析】由图可得解析式，再利用三角函数性质计算即可得解. 【详解】由图可得，，则，故， ，解得， 由，故，则， 由将图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数， 则，解得. 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）函数（其中，，）的图象如图所示，若将函数的图象上的各点的横坐标伸长为原来的3倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则 ______. 【答案】 【分析】根据振幅求得，利用图象过点及的范围求得，利用图象过点求得，可得，进而利用三角函数图象变换法则得，最后利用两角和的正弦公式求解即可. 【详解】由图象易知，，图象过点，即，， 因为，所以， 又图象过点且该点位于单调递增区间，即， 所以，所以， 又，，所以，所以， 所以函数的解析式为， 将函数的图象上的各点的横坐标伸长为原来的3倍（纵坐标不变）得到函数的图象， 则可得， 故， 故答案为： 【变式2】（25-26高三上·黑龙江佳木斯·期中）若函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，若在上恰有3个零点，则的取值范围为_____．    【答案】 【分析】先根据图象里的最值求出A，根据周期求出，根据最大值点或最小值点求出，从而确定的解析式，根据函数图象变换求出的解析式，最后结合图象及在上恰有3个零点即可求出m的范围． 【详解】记的最小正周期为，由题图可得， ∴， ∴， 又，∴， ∴． 将的图象向右平移个单位长度后得到的图象， 再将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，故． 当时，． ∵在上恰有3个零点，如图：    则，解得， 故答案为：． 【变式3】（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，其中，若的图象向右平移个单位长度后关于原点对称，则______．    【答案】 【分析】首先求得，可得，再由函数平移变换法则、三角函数性质可得，结合即可求解. 【详解】设的最小正周期为，依题意得，则， 所以，所以， 则将的图象向右平移个单位长度得到的图象对应解析式为， 因为平移后的图象关于原点对称，所以， 因为，所以，则． 故答案为：. 题型08 拼凑角 【典例1】（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，则___________． 【答案】 【分析】通过观察已知角与所求角的数量关系，结合诱导公式和二倍角余弦公式化简求值. 【详解】令，则，且, 所以 , 因此. 【典例2】（2026·广西·模拟预测）已知，则______. 【答案】 【分析】根据两角差的正弦公式和辅助角公式化简已知得，再利用诱导公式求值. 【详解】根据题意， ， 所以， 所以. 【变式1】（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测），则__________. 【答案】 【分析】根据题意，利用诱导公式和余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由，则 . 【变式2】（25-26高一下·山西·阶段检测）若，则___________． 【答案】 【详解】注意到， 由二倍角公式得. 【变式3】（25-26高一下·江苏苏州·期中）已知角满足，则________． 【答案】 【详解】, . 题型09 三角函数值域与最值 【典例1】（26-27高三上·河北衡水·开学考试）已知函数（）的最小正周期为． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)求函数的最小值，并求取得最小值时的取值集合． 【答案】(1) (2) (3)，． 【分析】（1）利用三角恒等公式化简函数式，再代入最小正周期公式，求出得出解析式； （2）通过整体代换法，令相位落在正弦函数的单调递增区间内，解不等式求出的范围即得答案； （3）根据正弦函数有界性，直接令，求出最小值为，并解方程得到的取值集合. 【详解】（1） 因为函数的最小正周期为， 所以，所以， 所以． （2）令， 解得， 所以函数的单调递增区间为 （3）因为，所以， 当时，， 此时，即， 所以取得最小值时的取值集合为． 【典例2】（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将函数向左平移个单位后得到函数，若，求的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）利用图象可求得，进而可求得，利用图象经过点，可求得，可求得解析式； （2）利用图象变换规律求得的解析式，再结合，可求得的最大值与最小值． 【详解】（1）由最大值可确定，因为，所以， 所以，解得，此时， 又函数过点，所以，所以， 所以，又，所以， 所以. （2）由题意，， 若，则， 所以，所以， 所以的最大值为，最小值为. 【变式1】（26-27高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)求函数在时的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简得，由，，求单调递增区间； （2）由得，求出在上的值域，得解. 【详解】（1）， 由，，得，. 所以的单调递增区间为，. （2）当时， 因为在上单调递增，在上单调递减， 且，，， 所以在上的值域为. 【变式2】（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期末）已知函数，，又且图象的相邻的两个对称中心之间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)设函数，，求函数的最值及取最值时的值. 【答案】(1) (2)最大值 ，此时 ；最小值 ，此时 . 【分析】（1）利用周期公式可求，再由，结合范围，可求的值， 即可得解函数解析式； （2）化简得，根据余弦函数的单调性即可计算得解 【详解】（1）因为图象的相邻的两个对称中心之间的距离为， 所以，得， 又，得，由，得， 故函数的解析式为：． （2） ， 因为，所以， 当，即时，取得最大值为1， 当，即时，取得最小值为． 【变式3】（25-26高一下·广西钦州·期末）已知函数. (1)求的最小正周期及对称中心坐标； (2)求函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)，， (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）首先化简函数解析式，进而根据公式可得最小正周期，由整体法可得对称中心坐标； （2）结合整体法及正余弦函数的图象性质可求解. 【详解】（1），   的最小正周期， 令，，解得，， 所以的对称中心的坐标为，； （2）当时，有， 当时，单调递减；当时，单调递增， ∴当，即时，取得最大值，为； 当，即时，取得最小值，为， 综上，在上的最小值为，最大值为. 题型10 五点法作图问题 【典例1】（25-26高一下·广东汕头·阶段检测）已知函数，. (1)列表并用五点法画出函数在上的简图； x (2)若，，求. 【答案】(1)表格为 x 0 0 3 0 0 图象为 (2)或. 【分析】（1）分别令x等于、、、和，可得的取值，根据五点法，作出图象即可. （2）由题意得，即可得的表达式，根据的范围，即可得答案. 【详解】（1）由“五点作图法”列表如下： x 0 0 3 0 0 图象如下： （2）由，得， 所以或，（） 即或， 又因为，所以k取0，得或. 【典例2】（23-24高一上·湖北·期末）已知函数 (1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； x 0    (2)将的图象向下平移1个单位，横坐标扩大为原来的4倍，再向左平移个单位后，得到的图象，求的对称中心． 【答案】(1) x 0 0 0 (2) 【分析】（1）首先根据五点法将表格补充完整，然后描点，最终用一条“光滑”的曲线连接起来即可. （2）根据三角函数图形的平移变换、伸缩变换法则求得的表达式，通过整体代换即可求解. 【详解】（1）略 （2）的图象向下平移1个单位得的图象， 横坐标扩大为原来的4倍得，， 再向左平移个单位后，得， 令，得， 所以函数的对称中心为 【变式1】（25-26高一下·江西南昌·阶段检测）设（），图象的一条对称轴是直线. (1)写出函数的振幅、周期和初相，并说明函数的图象可以由正弦曲线经过怎样的变换得到； (2)用“五点作图法”画出函数在区间上的图象. 【答案】(1)函数的振幅为1，周期为，初相为；① 把图象上所有点向右平移个单位，得到函数的图象； ② 把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. (2) 【分析】（1）根据正弦函数的图象对称性列出方程求解即得解析式，由解析式直接读取振幅、周期和初相，利用平移伸缩变换说明变换过程； （2）利用五点法作图即可. 【详解】（1）因为直线是函数的一条对称轴， 所以，则，解得， 又，所以. （2）由知，函数的振幅为1，周期为，初相为； 要得到函数的图象，可以把正弦曲线进行如下变换： ① 把图象上所有点向右平移个单位，得到函数的图象； ② 把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. （2）由可知，列表如下： 故函数在区间上的图象如下： 【变式2】设，函数 ()，且.    (1)求的值； (2)在给定坐标系中作出函数在上的图象； (3)求函数单调递增区间. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）利用给定函数值，求出的值. （2）利用列表、描点法作出函数图象. （3）利用余弦函数的性质求出单调递增区间即得. 【详解】（1）由，得，而，即， 于是，解得， 所以. （2）由（1）知，列表如下： x 0 0 1 0 0 函数在上的图象，如图：    （3）由（1）知，由，， 得，， 所以函数在的单调递增区间. 题型11 三角函数中零点（根）个数问题 【典例1】（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）已知函数的图象经过点，其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)方程在区间上有三个解，求t的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据函数最值差、相邻零点距离求出和，再代入已知点坐标求得得到函数解析式； （2）通过分析给定区间内函数的图像特征，数形结合求得方程有三个解时的取值范围. 【详解】（1）由题可知，，所以， 所以， 又函数图象经过点，所以， 所以， 因为，所以，所以，即， 所以； （2）因为，所以， 所以，，画出对应的函数图象， ， 方程在区间上有三个解等价于直线与图象有三个不同的交点， 由图可知，所以t的取值范围为 【典例2】（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知函数 (1)求函数的对称轴方程； (2)将函数的图象向右平移 个单位长度后得到的图象，求函数的解析式； (3)若函数在区间 上没有零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦型函数对称轴的性质，令相位等于求解即可； （2）根据三角函数图象平移“左加右减”的规则代入化简，结合诱导公式得到的解析式； （3）先求在给定区间的值域，无零点等价于不在的值域内，由此得到的取值范围。 【详解】（1）对于，正弦函数的对称轴满足相位等于， 令， 移项得，解得， 即的对称轴方程为. （2）将的图象向右平移个单位，根据图象平移“左加右减”的变换规则， 得， 化简相位：， 利用诱导公式，得， 故. （3）函数在上没有零点，等价于方程在该区间上无解， 令，当时，， 由正弦函数的单调性，在上单调递增，在上单调递减， 故的最小值为，最大值为，即， 因此， 要使无解，则或， 即的取值范围为. 【变式1】（25-26高一下·北京石景山·期末）已知函数．若的最小正周期为，且． (1)求，的值； (2)若函数在区间上有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）先利用两角和的正弦公式将函数化简，再根据最小正周期公式求出的值，最后结合求出的值； （2）先根据（1）的结果确定函数的表达式，根据题意，求得的取值范围为，再结合正弦函数的图象性质，可知，解不等式即可求得的取值范围． 【详解】（1）由题意，， 又因为函数的最小正周期为，且， 所以，解得，所以， 又，所以，即， 又，所以， 综上所述，，； （2）由（1）可知，，所以， 又，所以， 又函数在区间上有两个零点， 所以根据正弦函数的图象，可得，解得， 所以函数在区间上有两个零点，则的取值范围为. 【变式2】（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）已知函数． (1)求函数的最小正周期． (2)若关于的方程在上有两个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数性质求解． （2）确定函数在上的单调性及对应函数值变化情况，再利用直线与函数的上的图象有两个交点求出范围． 【详解】（1）函数， 所以函数的最小正周期为； （2）当时，， 由，得，由，得， 因此函数在上单调递减，函数值从递减到； 函数在上单调递增，函数值从增大到， 由方程在上有两个不同的实根， 得在上有两个不同的实根， 即直线与函数的上的图象有两个不同交点， 因此， 所以实数m的取值范围是． 【变式3】（25-26高一下·江西上饶·阶段检测）已知函数的图像经过点，其最大值与最小值的差为，且相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式并求其单调递增区间； (2)若函数在区间上有零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】（1）根据已知条件可知，，分别求出和，再代入求出即可求出函数表达式；根据正弦函数单调递增区间，整体代入即可求出的单调递增区间； （2）将有零点问题转化为两个函数有公共点，即求函数的值域即可解决问题. 【详解】（1）（1）解：由函数最大值与最小值的差为，且， 则，所以， 又因为相邻两条对称轴之间的距离为，即，又，所以， 所以， 又函数图像经过点，则， 所以，因此， 又，所以当时，，所以； 当，，即，， 所以，，即递增区间为，. （2）（2）由在区间上有零点， 令，则，即与在上有交点， 因为，则，所以， 因此，所以的取值范围为. 题型12 三角函数中零点（根）的代数和问题 【典例1】（25-26高一下·贵州遵义·期末）已知函数，其中． (1)若，求的最小正周期与对称轴方程； (2)若的最大值为1． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求方程在区间上的所有实数根之和． 【答案】(1)，； (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）根据三角函数恒等变换将转化为，然后利用三角函数的周期公式与对称轴公式求解即可. （2）（ⅰ）利用辅助角公式得到关于的最大值，建立方程即可求解. （ⅱ）利用复合函数的性质,得到，再结合三角函数的对称性即可求解. 【详解】（1）因为 所以 令得， 所以函数的最小正周期为 对称轴方程为 （2）（ⅰ）由得 其最大值为 故 由得 （ⅱ）由（ⅰ）得 先解外方程，得 但要求，在内满足的只有 故只需解，即 因为，则令 又在上有两解记为，， 由对称性得 所以，解得 【典例2】（25-26高一下·四川雅安·期末）已知函数满足下列两个条件：①函数的最大值为2；②函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)求方程在区间上所有解的和． 【答案】(1) (2) , (3) 【详解】（1）由条件①得. 由条件②知，则，，故. （2）令()，解得， 所以单调递增区间为(). （3），即，，则或()， 解得或，， 在内解为，，，，其和为. 【变式1】（25-26高一下·云南昆明·期末）已知函数（，）图象的相邻两个对称中心之间的距离为，． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，（）且满足，求实数m的取值范围，及的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）正弦函数相邻对称中心间距为半个周期，先求得；再代入结合范围求初相； （2）先利用平移法则求出，换元划分单调区间，算出区间端点函数值；结合图像有两交点得范围，由对称轴性质求. 【详解】（1）由题，得，所以， 又，故，所以． 由于，所以，又，所以， 即． （2）由题． 当时，则， 由，得，故函数在上单调递增； 由，得，故函数在上单调递减． 又，， ， 由于，（）且， 即在内的图象与直线有两个不同的交点，所以． 由于的图象关于直线对称，所以． 【变式2】（25-26高一下·江西上饶·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若是偶函数，求的值； (3)求关于的方程在上所有的实数根之和． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据函数图象可知，，可求出，再由函数图象经过点，结合即可求出函数解析式； （2）根据偶函数满足的条件可得，，结合求出的值即可； （3）根据正弦函数性质，可知在一个周期内有两个根，且两个根关于对称轴对称，找出对称轴即可解决问题. 【详解】（1）由图可得最小值为，则，又， ，令，则有，， 解得，又，故，即． （2）因为是偶函数， 则，，所以，， 又，所以当时，；当时，， 所以或. （3）令，则， 当时，， 由，则，则有四个不同的根， 设这四个根从小到大分别为，，，，由有对称轴与， 则，， 即，，故实数根之和为； 另外：利用换元法（整体思想），令， 当时，，即， 所以，， 则，， 即有，， 故实数根之和为. 【变式3】（25-26高一下·上海·期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期、对称轴和零点； (2)若，，求的值； (3)若关于x的方程在上有两个不同的解、，求实数m的取值范围及的值． 【答案】(1)，对称轴，零点或． (2) (3)且，或 【分析】（1）利用降幂公式、诱导公式及辅助角公式化简函数为，再利用正弦型函数的性质求最小正周期、对称轴和零点； （2）利用已知条件求出，进而根据求出，最后利用余弦的和角公式计算求解； （3）把零点问题转化为与直线的交点问题，作出的大致图象，结合图象及正弦型函数的对称性求实数m的取值范围及的值． 【详解】（1） ， 函数的最小正周期为， 令，解得对称轴为， 令，即，则或， 解得或． （2），解得， ， ，则位于第四象限，， ， ． （3）方程在上有两个不同的解、，等价于与 在有两个不同交点， ， 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 最大值为，最小值为，且， 作出函数大致图象如下： 由图象可知，且时，直线与有两个交点， 解得且， 当，即时，两交点关于对称轴对称， 则； 当，即时，两交点关于对称轴对称， 则． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 三角函数 章末题型大总结 题型01三角函数的概念 【典例1】（25-26高一下·河南驻马店·期中）已知角的终边经过点，若，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】（26-27高二上·湖南衡阳·开学考试）已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则________． 【变式1】（26-27高三上·北京丰台·阶段检测）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与以原点为圆心的单位圆交于点，则______；______． 【变式2】（25-26高一下·上海静安·期末）若角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边过点，则______． 【变式3】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知角的终边过点，且，求的值. 题型02 扇形的弧长与面积（含最值） 【典例1】（25-26高二下·江苏常州·期末）两个相互啮合的齿轮，大轮有60齿，小轮有45齿．已知大轮的转速为（转/分钟），小轮圆周的半径为，那么小轮圆周上一点每转过的弧长是（   ） A． B． C． D． 【典例2】某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值． 【变式1】（25-26高一下·重庆·期中）已知某扇形的圆心角为2弧度，半径为5，则该扇形的周长为（    ） A．15 B．20 C．25 D．35 【变式2】（23-24高一上·云南昆明·阶段检测）若某扇形的面积为，半径为，弧长满足，则该扇形圆心角的弧度数是___________ 【变式3】《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差. （1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积； （2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？ 题型03 同角三角函数基本关系 【典例1】（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）已知钝角满足，则（） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一下·贵州遵义·期中）计算： (1)已知为第二象限角，，求 (2)已知 （i）求的值 （ii）求的值 【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知，，则下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27高三上·陕西西安·开学考试）已知，，则___________． 【变式3】（2026·山东烟台·模拟预测）若，，则的值为______． 题型04 利用诱导公式化简 【典例1】（26-27高一上·全国·课后作业）化简： (1)； (2). 【典例2】（25-26高一下·上海·期中）（1）已知角的终边经过点，求的值； （2）化简：. 【变式1】（25-26高一下·黑龙江伊春·期中）化简 【变式2】（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求的值. 【变式3】（25-26高一下·四川南充·期中）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 题型05 三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 【典例1】（多选）（2026·福建漳州·模拟预测）已知函数，则（    ） A．在区间上单调递增 B．的最大值是 C．的一条对称轴为 D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【典例2】（多选）（26-27高三上·湖北·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（    ）． A．的最小正周期为 B．为偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减 【变式1】（多选）（26-27高一上·全国·课后作业）关于函数，有以下命题，其中不正确的是（　　） A．函数的周期是 B．函数的定义域是且 C．是奇函数 D．的一个单调递增区间为 【变式2】（多选）（26-27高三上·湖南怀化·开学考试）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为1 B．的最小值为 C．的图象关于直线对称 D．的单调递增区间为 【变式3】（多选）（25-26高一下·辽宁辽阳·期末）关于函数的叙述中，正确的有（     ） A．的最小正周期为 B．在区间内单调递增 C．的图象关于点对称 D．是偶函数 题型06 三角函数图象变换 【典例1】（2026·四川眉山·二模）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 B．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 C．先将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 D．先将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 【典例2】（多选）若函数，为了得到函数的图象，下面有四种变换：①先横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度；②先向右平移个单位长度，再横坐标伸长为原来的2倍；③先向右平移个单位长度，再横坐标伸长为原来的2倍；④先横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度.则只需将的图象（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1】（26-27高三上·贵州·阶段检测）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【变式2】（多选）（25-26高一上·安徽淮北·期末）以下四种变换方式，能将函数的图象变换为的图象的是（    ） A．先向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标扩大为原来的2倍 B．先向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标扩大为原来的2倍 C．先将每个点的横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移个单位长度 D．先将每个点的横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移个单位长度 【变式3】（多选）（2024·云南·一模）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位 B．向左平行移动个单位 C．向右平行移动个单位 D．向右平行移动个单位 题型07 根据图象求解析式 【典例1】（26-27高三上·天津北辰·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是______． ① ②的图象关于点中心对称 ③在区间上单调递增 ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【典例2】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知函数的一段图象如图所示，若将图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则___________． 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）函数（其中，，）的图象如图所示，若将函数的图象上的各点的横坐标伸长为原来的3倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则 ______. 【变式2】（25-26高三上·黑龙江佳木斯·期中）若函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，若在上恰有3个零点，则的取值范围为_____．    【变式3】（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，其中，若的图象向右平移个单位长度后关于原点对称，则______．    题型08 拼凑角 【典例1】（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，则___________． 【典例2】（2026·广西·模拟预测）已知，则______. 【变式1】（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测），则__________. 【变式2】（25-26高一下·山西·阶段检测）若，则___________． 【变式3】（25-26高一下·江苏苏州·期中）已知角满足，则________． 题型09 三角函数值域与最值 【典例1】（26-27高三上·河北衡水·开学考试）已知函数（）的最小正周期为． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)求函数的最小值，并求取得最小值时的取值集合． 【典例2】（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将函数向左平移个单位后得到函数，若，求的最大值与最小值． 【变式1】（26-27高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)求函数在时的值域. 【变式2】（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期末）已知函数，，又且图象的相邻的两个对称中心之间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)设函数，，求函数的最值及取最值时的值. 【变式3】（25-26高一下·广西钦州·期末）已知函数. (1)求的最小正周期及对称中心坐标； (2)求函数在区间上的最大值与最小值. 题型10 五点法作图问题 【典例1】（25-26高一下·广东汕头·阶段检测）已知函数，. (1)列表并用五点法画出函数在上的简图； x (2)若，，求. 【典例2】（23-24高一上·湖北·期末）已知函数 (1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； x 0    (2)将的图象向下平移1个单位，横坐标扩大为原来的4倍，再向左平移个单位后，得到的图象，求的对称中心． 【变式1】（25-26高一下·江西南昌·阶段检测）设（），图象的一条对称轴是直线. (1)写出函数的振幅、周期和初相，并说明函数的图象可以由正弦曲线经过怎样的变换得到； (2)用“五点作图法”画出函数在区间上的图象. 【变式2】设，函数 ()，且.    (1)求的值； (2)在给定坐标系中作出函数在上的图象； (3)求函数单调递增区间. 题型11 三角函数中零点（根）个数问题 【典例1】（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）已知函数的图象经过点，其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)方程在区间上有三个解，求t的取值范围. 【典例2】（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知函数 (1)求函数的对称轴方程； (2)将函数的图象向右平移 个单位长度后得到的图象，求函数的解析式； (3)若函数在区间 上没有零点，求的取值范围． 【变式1】（25-26高一下·北京石景山·期末）已知函数．若的最小正周期为，且． (1)求，的值； (2)若函数在区间上有两个零点，求的取值范围． 【变式2】（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）已知函数． (1)求函数的最小正周期． (2)若关于的方程在上有两个不同的实根，求实数的取值范围． 【变式3】（25-26高一下·江西上饶·阶段检测）已知函数的图像经过点，其最大值与最小值的差为，且相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式并求其单调递增区间； (2)若函数在区间上有零点，求实数的取值范围． 题型12 三角函数中零点（根）的代数和问题 【典例1】（25-26高一下·贵州遵义·期末）已知函数，其中． (1)若，求的最小正周期与对称轴方程； (2)若的最大值为1． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求方程在区间上的所有实数根之和． 【典例2】（25-26高一下·四川雅安·期末）已知函数满足下列两个条件：①函数的最大值为2；②函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)求方程在区间上所有解的和． 【变式1】（25-26高一下·云南昆明·期末）已知函数（，）图象的相邻两个对称中心之间的距离为，． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，（）且满足，求实数m的取值范围，及的值． 【变式2】（25-26高一下·江西上饶·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若是偶函数，求的值； (3)求关于的方程在上所有的实数根之和． 【变式3】（25-26高一下·上海·期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期、对称轴和零点； (2)若，，求的值； (3)若关于x的方程在上有两个不同的解、，求实数m的取值范围及的值． 学科网（北京）股份有限公司 $