第二十五章 一元二次方程 知识清单 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十五章　一元二次方程　知识清单 依据人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册（2024年版新教材）编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共三节：25.1一元二次方程的概念；25.2降次——解一元二次方程（配方法、公式法、因式分解法，以及根与系数的关系）；25.3实际问题与一元二次方程。本章从实际问题抽象出一元二次方程，研究其解法并用于解决实际问题。 【考点地位】一元二次方程的解法、根的判别式、列方程解应用题是中考“数与代数”的核心与必考内容；根与系数的关系（韦达定理）为教材选学拓展内容，供学有余力者了解。也是二次函数、二次不等式学习的基础，常与函数、几何综合命题。 【学习目标】①理解一元二次方程及其一般形式，能识别二次项、一次项、常数项及其系数；②掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；③理解根的判别式，会判断根的情况；④掌握根与系数的关系并能简单应用；⑤能列一元二次方程解决实际问题，增强模型观念。 【知识结构图】一图速查本章全貌，下表按“章→节→核心知识点”三层呈现。 第二十五章　一元二次方程 25.1　一元二次方程的概念 只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程；一般形式 ax²+bx+c=0（a≠0） 二次项 ax²、一次项 bx、常数项 c；方程的解也叫根 25.2　降次——解一元二次方程 配方法：配方成 (x+n)²=p，开方降次 公式法：求根公式 x=；判别式 Δ=b²-4ac 因式分解法：一边为两个一次因式之积、另一边为0，分别令各因式为0 根与系数关系（韦达定理）：x₁+x₂=，x₁x₂= 25.3　实际问题与一元二次方程 增长率问题、面积问题、传播（握手/单循环）问题、利润问题；检验根的实际意义 二、核心公式定理 【速查表】本章核心概念、公式、定理集中列表如下，逐条对照教材，复习时以表代翻书。 名称 公式·定理·性质内容 说明与易错提示 一元二次方程 只含一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数最高次数是2的方程 a≠0 是一般形式的前提，漏掉“a≠0”会出错 一般形式 ax²+bx+c=0（a≠0），ax²为二次项，bx为一次项，c为常数项 写系数时连同前面的符号一起写，如 -8 直接开平方法 如如 x²=p（p≥0） 依据平方根的意义实现降次 求根公式 仅当 Δ≥0 时方程有实数根，公式才可用 根的判别式 Δ>0两不等实根；Δ=0两相等实根；Δ<0无实根 韦达定理 使用前提是方程有实根（Δ≥0），先化一般形式 配方法步骤 化二次项系数为1→移项→两边加“一次项系数一半的平方”→写成完全平方→开方 二次项系数不为1时先除以a 三、考点知识梳理 （一）25.1　一元二次方程的概念 【知识定位】一元二次方程的概念与一般形式是本章的基础，中考常以选择、填空考查系数识别与方程的判定。 【一元二次方程的概念】如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程。它必须同时满足三个条件：①是整式方程；②只含一个未知数；③未知数最高次数为2。 【一般形式】任何一个一元二次方程经过整理都可化为ax²+bx+c=0（a≠0）的形式，其中 ax² 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。规定 a≠0，否则就不是二次方程了；b、c 可以为0。 【方程的根】使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个方程的解，一元二次方程的解也叫作方程的根。一元二次方程最多有两个实数根。 （二）25.2　降次——解一元二次方程 【基本思路】解一元二次方程的基本思想是降次，即把二次方程转化为两个一元一次方程来解。 【配方法】通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫配方法。步骤：①把二次项系数化为1；②移项，使左边为二次项和一次项；③方程两边都加上一次项系数一半的平方，配成 (x+n)²=p 的形式；④当 p≥0 时直接开方求解。 【公式法】一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0），当 Δ=b²-4ac≥0 时，它的实数根为，这个式子叫作求根公式。利用它解方程的方法叫公式法。 【根的判别式】叫作根的判别式：Δ>0 时方程有两个不相等的实数根；Δ=0 时有两个相等的实数根；Δ<0 时没有实数根。 【因式分解法】先把方程一边化为两个一次因式的乘积，另一边为0，再分别令每个一次因式等于0，从而实现降次。适合左边容易分解的方程（如缺常数项、可用平方差或十字相乘）。 【根与系数的关系】当 Δ≥0 时，方程 ax²+bx+c=0 的两根 x₁、x₂ 满足，即两根之和等于一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数之比（韦达定理）。 （三）25.3　实际问题与一元二次方程 【知识定位】列方程解应用题考查建模能力，是中考解答题的常见题型。 【常见模型】①增长率（下降率）问题：连续两次变化，基础量×(1±x)²=结果量；②面积问题：如矩形四周等宽截去、道路穿插，用面积相等列方程；③单循环/传播问题：n 支球队单循环共 n(n-1) 场；④利润问题：每件利润×销售量=总利润。 【验根】求出根后必须检验：既要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合实际意义（如边长、人数不能为负），不合题意的根要舍去。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】求根公式：二次系数化一般，判别式先算一遍；b方减4ac，开方顶在分子间；分子-b±根号下，分母是2a要记全。判别式：大于零两根异，等于零两根同，小于零无实根。韦达定理：两根和是负b比a，两根积是c比a。配方法：系数化1再移项，半项平方两边放，写成平方再开方。 【对比记忆】三种解法适用范围对比如下表。 方法 适用方程 关键步骤 配方法 所有一元二次方程 配方成完全平方后开方 公式法 所有一元二次方程 先算 Δ，再代入求根公式 因式分解法 左边易分解的方程 右边化0，左边分解为两个一次因式 五、解题方法总结 题型1　选择适当方法解一元二次方程 【解题方法】①先看能否直接开方（缺一次项或左边是完全平方）；②再看能否因式分解（缺常数项用提公因式，或十字相乘、平方差）；③不能简便分解时用公式法（先算 Δ）；④需要配方时才用配方法。优先顺序：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法。 【数学思想】转化（降次）思想：把二次方程转化为一次方程。 题型2　根的判别式的应用 【解题方法】①先把方程化为一般形式，确定 a、b、c（连同符号）；②计算 Δ=b²-4ac；③由 Δ 的符号判断根的情况；④逆用：已知根的情况列不等式（如方程有两个不相等实根即 Δ>0）。 【数学思想】分类讨论思想：按 Δ>0、=0、<0 三类讨论。 题型3　韦达定理的应用 【解题方法】①先确认方程有实根（Δ≥0）；②熟记两根之和、两根之积；③求关于两根的对称式时，用 x₁+x₂、x₁x₂ 整体代入，如 x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂，+=。 【数学思想】整体（方程）思想：不解方程，用两根之和、积整体代换。 题型4　列一元二次方程解应用题 【解题方法】①审题，设未知数 x；②找等量关系列方程；③化为一般形式求解；④检验根是否符合实际意义并作答。增长率问题套用 a(1±x)²=b，面积问题画图标注长度。 【数学思想】方程（建模）思想：把实际问题抽象为方程模型。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，复习时先自查再对照下表。 常见易错点 正确做法 写系数时丢掉符号，如把 3x²-8x-10=0 的一次项系数写成 8 系数连同前面的符号一起写：一次项系数 -8，常数项 -10 用求根公式时不先化一般形式、不先算判别式 先化一般形式、定 a、b、c，算 Δ；Δ<0 时方程无实根，不能套公式 忘记 a≠0 的条件，讨论含字母系数方程时漏解 二次项系数含字母时，必须讨论其是否为0 用韦达定理时忽略“方程有实根”的前提 先确认 Δ≥0，再用 x₁+x₂、x₁x₂ 因式分解时方程右边未化为0就令因式为0 必须先移项使右边为0，再分解左边 应用题求出负根不舍去，直接作答 求出根后结合实际取舍：边长、人数、增长率的绝对值须合理 配方法中二次项系数未化1就加“半项平方” 先两边同除以二次项系数，再配方 七、高频考点速记 ①一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0（a≠0）。 ②解一元二次方程的基本思路是降次，把二次转化为一次。 ③求根公式： ④Δ=b²-4ac，Δ>0两不等实根，Δ=0两相等实根，Δ<0无实根。 ⑤韦达定理：x₁+x₂=，x₁x₂=。 ⑥连续两次平均增长率为 x，则a(1+x)²=b。 ⑦应用题求出根后必须检验是否符合实际意义。 八、学情自测 （一）选择题（每题2分，共5题） 1．已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 2．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． （二）填空题（每空2分，共5题） 1．如图，在菱形中，点为边的中点，连接，．若，且，则菱形的边长为________． 2．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 3．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 4．已知方程的两个根是和，则_________． 5．若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． （三）解答题（每题8分，共2题） 1. 用适当方法解下列方程： （1）x²-6x+5=0；　　（2）2x²-4x-1=0。 2. 要在一块长20m、宽12m的矩形绿地四周修一条宽度相等的步行道，使中间绿地面积为140m²，求步行道的宽度。 九、参考答案 【选择题】 1．【答案】D 解题步骤： ①∵x=2是方程x²−mx=6的一个根，∴把x=2代入原方程， ②得 2²−2m=6，即 4−2m=6， ③移项得 −2m=2，解得 m=−1，故选D。 【知识点睛】已知方程的根求参数：把根代入原方程，得到关于参数的一元一次方程，解之即可；代入时注意各项符号。 2．【答案】C 解题步骤： ①∵ 方程有实数根， ②∴ ， ③即，解得． 【知识点睛】有实数根求参数：一元二次方程有实数根⇔判别式Δ≥0。把含参数的方程化为标准式，由Δ≥0列不等式求m的范围（注意二次项系数不为0）。 3．【答案】A 解题步骤： ①∵一元二次方程x²+bx−1=0中，a=1，b=b，c=−1， ②∴判别式 Δ=b²−4ac=b²−4×1×(−1)=b²+4， ③∵b²≥0，∴Δ=b²+4>0，方程有两个不相等的实数根，故选A。 【知识点睛】判别式判断根的情况：Δ=b²−4ac，Δ>0有两个不相等的实数根，Δ=0有两个相等的实数根，Δ<0没有实数根，据此对照选项。 4．【答案】A 解题步骤： ①∵，是一元二次方程的两个根，且，，． ②∴，． ③∴x₁+x₂−2x₁x₂=−2−2×(−9)=−2+18=16，故选A。 【知识点睛】根与系数关系求值：x₁+x₂=，x₁·x₂=。把目标代数式用两根和、积表示，代入计算。 5．【答案】C 解题步骤： ①∵3月份产量为1200台，月平均增长率为x，∴4月份产量为1200(1+x)台， ②∴5月份产量为1200(1+x)²台， ③又∵5月份实际产量为1600台，∴可列方程 1200(1+x)²=1600，故选C。 【知识点睛】增长率问题列方程：连续两次增长后产量=原产量×(1+月平均增长率)²，按时间顺序逐月表示产量再列方程。 1．【答案】2 解题步骤： ①， ②， ③， ④在和中， ⑤， ⑥， ⑦设， ⑧在中，， ⑨在中，∵， ⑩， ⑪， ⑫， ⑬在中，∵， ⑭， ⑮， ⑯∴， ⑰∴， ⑱将代入①得， ⑲即， 【知识点睛】解一元二次方程——直接开平方法是中考基础考点。解题时按法则逐步运算，特别注意负号、括号和运算顺序。 【知识点睛】已知一元二次方程的解（根），把根代入原方程得关于参数的方程，解参数即可；注意一元二次方程二次项系数不能为0． 2．【答案】6 解题步骤： ①∵m是方程x²+2x−3=0的一个根，∴m²+2m−3=0，即 m²+2m=3。 ②∴2m²+4m=2(m²+2m)=2×3=6。 【知识点睛】已知根求代数式值：把已知根代入方程得到关于参数的关系式（如a²=2a+3），再整体代入目标代数式化简求值。 3．【答案】a<4 解题步骤： ①∵方程x²−4x+a=0有两个不相等的实数根， ②∴Δ=(−4)²−4×1×a=16−4a>0， ③解得 a<4。 【知识点睛】两个不等实根求参数：Δ>0。先化标准式，由b²-4ac>0列不等式，解出a的范围（含二次项系数限制）。 4．【答案】3 解题步骤： ①∵方程的两个根是和， ②∴． 【知识点睛】两根积：由根与系数关系x₁x₂=，直接计算即可。 5．【答案】2 解题步骤： ①∵方程(x−2)(x−m)=0，∴x−2=0或x−m=0， ②解得 x=2 或 x=m，即方程的两根为2和m， ③∵方程的一个根是10，∴m=10，因此另一个根为2。 【知识点睛】因式分解法解一元二次方程：(x−a)(x−b)=0的两根为x=a和x=b，已知其中一根可直接确定另一根。 【解答题】 1. 解：（1）左边因式分解，得 (x-1)(x-5)=0，所以 x₁=1，x₂=5。 （2）a=2，b=-4，c=-1，Δ=(-4)²-4×2×(-1)=24>0。代入求根公式： ，即 x₁=，x₂=。 2. 解：设步行道宽为 x m，则中间绿地长为 (20-2x) m、宽为 (12-2x) m。依题意列方程： (20-2x)(12-2x)=140。整理：240-64x+4x²=140，即 x²-16x+25=0。 解得 。因 12-2x>0，x<6，故舍去 x=8+≈14.2，取 x=8-≈1.7（m）。答：步行道宽约 1.7 m。 学科网（北京）股份有限公司 $