29.2.3　圆周角导学案2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“圆周角”，涵盖概念、定理及推论、圆内接四边形性质，通过新知要点填空与对点小练衔接圆心角知识，搭建从基础到应用的学习支架。 资料以重点典例研析结合中考题，素养提升融入尺规作图探究，培养几何直观、推理能力和运算能力，分层练习助学生巩固知识，发展创新意识，适合课堂教学与自主学习。

29.2.3　圆周角 【课时目标】 1.理解圆周角的概念.(几何直观、抽象能力) 2.了解并证明圆周角定理及其推论、圆内接四边形的对角互补,并能运用其进行相关的证明和计算.(推理能力、运算能力、几何直观) 基础　主干落实　筑牢根基 　 新知要点 对点小练 1.圆周角概念、定理及推论 (1)概念:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角. (2)圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 知一推四 (3)圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距五者之间的关系:在同圆或等圆中,这五组量中有一组量相等,则其余各组量都相等. (4)推论一:半圆(或直径)所对的圆周角是直角; 推论二:90°的圆周角所对的弦是直径. 1.(1)下列图形中的角是圆周角的是(B) (2)如图,在☉O中,∠ABC=60°,则∠AOC等于(C) 　　　　　 　　　　　　　　　　 A.30° B.60° C.120° D.150° (3)如图,AB是☉O的直径,C是圆上一点,连接AC,BC,则∠C的度数是(C) A.70° B.80° C.90° D.100° 2.圆内接多边形及圆内接四边形的性质 (1)圆内接多边形:所有顶点都在同一个圆上的多边形,这个圆叫作这个多边形的外接圆. (2)圆内接四边形性质:圆内接四边形的对角互补. 2.如图,四边形ABCD内接于☉O,若∠A=70°,则∠C的度数是(C) 　　　　　 　　　　　 A.70° B.90° C.110° D.140° 重点　典例研析　启思凝智　 重点1　圆周角定理及其推论(推理能力、运算能力) 【典例1】(教材再开发·P129例3拓展)如图,△ABC内接于☉O且∠ACB=90°,弦CD平分∠ACB,连接AD,BD.若AB=5,AC=4,则BD= 　,CD= 　.  举一反三 1.(2025·长沙中考)如图,AC,BC为☉O的弦,连接OA,OB,OC.若∠AOB=40°, ∠OCA=30°,则∠BCO的度数为(C) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.40° B.45° C.50° D.55° 2.如图,△ABC内接于☉O,AB是直径,BC=4,AC=3,CD平分∠ACB,则弦AD长为(A) A. B. C. D.3 重点2　圆内接四边形及其性质(推理能力、运算能力) 【典例2】如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,E在BC的延长线上,若∠A∶∠B∶∠D=4∶3∶3,则∠DCE的度数是(D) A.100° B.105° C.110° D.120° 举一反三 1.(2025·东营中考)如图,四边形ABCD内接于☉O,若∠BOD=130°,则∠ECD的度数是(C) A.50° B.55° C.65° D.70° 2.如图,四边形ABCD内接于☉O,AE⊥CB交CB的延长线于点E,若BA平分 ∠DBE,AD=6,CE=4,则AE的长为(D) A.2 B.3 C.2 D.2 素养　思维提升　入境深探　 结对互助 一道尺规作图问题的思考 问题:如图1,弦DE交☉O直径AB于点F,连接AD,AD=AF,用尺规作弦DG∥AB,CG∥AD,C是直径AB上一点. 小蔡的思路:如图2,以E为圆心,AE长为半径作弧,交☉O于另一点G,连接DG,以A为圆心,DG长为半径作弧,交直径AB于点C,连接CG,则DG∥AB,CG∥AD. 小通的思路:以B为圆心,AD长为半径作弧,交☉O于点G,连接DG,以A为圆心,DG长为半径作弧,交直径AB于点C,连接CG,则DG∥AB,CG∥AD. 小蔡:“小通,你的作法有问题.” 经过一番探讨和辩论…… 小通:“哦,我明白了.” 解决问题:(1)说明小蔡的思路正确. (2)指出小通作法中存在的问题. 【解析】(1)∵AF=AD,∴∠AFD=∠ADF. ∵EG=AE, ∴∠FDG=∠ADF.∴∠FDG=∠AFD, ∴DG∥AB. ∵DG=AC, ∴四边形ACGD为平行四边形, ∴CG∥AD. ∴小蔡的思路是正确的. (2)点G还可能在上,此时DG与AB相交,不满足结论,如图. 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.2.3　圆周角 【课时目标】 1.理解圆周角的概念.(几何直观、抽象能力) 2.了解并证明圆周角定理及其推论、圆内接四边形的对角互补,并能运用其进行相关的证明和计算.(推理能力、运算能力、几何直观) 基础　主干落实　筑牢根基 　 新知要点 对点小练 1.圆周角概念、定理及推论 (1)概念:顶点在 ,并且两边都与圆 的角. (2)圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 . 知一推四 (3)圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距五者之间的关系:在同圆或等圆中,这五组量中有一组量相等,则其余各组量 . (4)推论一:半圆(或直径)所对的圆周角是 ; 推论二:90°的圆周角所对的弦是 . 1.(1)下列图形中的角是圆周角的是( ) (2)如图,在☉O中,∠ABC=60°,则∠AOC等于( ) 　　　　　 　　　　　　　　　　 A.30° B.60° C.120° D.150° (3)如图,AB是☉O的直径,C是圆上一点,连接AC,BC,则∠C的度数是( ) A.70° B.80° C.90° D.100° 2.圆内接多边形及圆内接四边形的性质 (1)圆内接多边形:所有顶点都在同一个圆上的多边形,这个圆叫作这个多边形的 . (2)圆内接四边形性质:圆内接四边形的对角 . 2.如图,四边形ABCD内接于☉O,若∠A=70°,则∠C的度数是( ) 　　　　　 　　　　　 A.70° B.90° C.110° D.140° 重点　典例研析　启思凝智　 重点1　圆周角定理及其推论(推理能力、运算能力) 【典例1】(教材再开发·P129例3拓展)如图,△ABC内接于☉O且∠ACB=90°,弦CD平分∠ACB,连接AD,BD.若AB=5,AC=4,则BD= ,CD= .  举一反三 1.(2025·长沙中考)如图,AC,BC为☉O的弦,连接OA,OB,OC.若∠AOB=40°, ∠OCA=30°,则∠BCO的度数为( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.40° B.45° C.50° D.55° 2.如图,△ABC内接于☉O,AB是直径,BC=4,AC=3,CD平分∠ACB,则弦AD长为( ) A. B. C. D.3 重点2　圆内接四边形及其性质(推理能力、运算能力) 【典例2】如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,E在BC的延长线上,若∠A∶∠B∶∠D=4∶3∶3,则∠DCE的度数是( ) A.100° B.105° C.110° D.120° 举一反三 1.(2025·东营中考)如图,四边形ABCD内接于☉O,若∠BOD=130°,则∠ECD的度数是( ) A.50° B.55° C.65° D.70° 2.如图,四边形ABCD内接于☉O,AE⊥CB交CB的延长线于点E,若BA平分 ∠DBE,AD=6,CE=4,则AE的长为( ) A.2 B.3 C.2 D.2 素养　思维提升　入境深探　 结对互助 一道尺规作图问题的思考 问题:如图1,弦DE交☉O直径AB于点F,连接AD,AD=AF,用尺规作弦DG∥AB,CG∥AD,C是直径AB上一点. 小蔡的思路:如图2,以E为圆心,AE长为半径作弧,交☉O于另一点G,连接DG,以A为圆心,DG长为半径作弧,交直径AB于点C,连接CG,则DG∥AB,CG∥AD. 小通的思路:以B为圆心,AD长为半径作弧,交☉O于点G,连接DG,以A为圆心,DG长为半径作弧,交直径AB于点C,连接CG,则DG∥AB,CG∥AD. 小蔡:“小通,你的作法有问题.” 经过一番探讨和辩论…… 小通:“哦,我明白了.” 解决问题:(1)说明小蔡的思路正确. (2)指出小通作法中存在的问题. 学科网（北京）股份有限公司 $