3.5 三次函数的图象和性质专项训练-2027届高三数学一轮复习

3.5 三次函数的图象和性质 基础知识梳理 1.三次函数的概念 形如的函数，称为“三次函数”.三次函数的最高次项为x的三次项，且该项的系数不为0，二次项、一次项及常数项的系数可以有部分为0，也可全为0. 2.三次函数的基本性质 （1）定义域为. （2）值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值. （3）奇偶性：①f(x)不可能为偶函数；②当且仅当b=d=0时是奇函数. （4）三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个. （5）对称性：三次函数的图象是中心对称曲线，且对称中心是；无对称轴。 3．三次函数的图象 “”形图 单调递增 倒“”形图 单调递减 4.三次函数的单调性和极值 ①当 时 若，则 在 上是增函数；若，则 在 上是减函数. ②当 时，设 的两根为，，且： 当 时，的单调递增区间为 和，单调递减区间为； 当 时，的单调递减区间为 和，单调递增区间为 5.三次函数的韦达定理 设的三个零点分别为，， ，则： ； (2)； (3) ； (4) . 6.三次函数的切线条数问题 (1)过曲线外部的点作的切线，有且仅有3条； (2)过曲线内部的点以及曲线的对称中心作的切线，有且仅有 1 条； (3)过 图象（除去对称中心）上的点及过对称中心的切线上的点（除去对称中心）作 切线，有且仅有 2 条； 题型一 三次函数的图象 1.函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析的符号以及该函数的零点，结合排除法可得合适的选项. 【详解】因为，则，得， 所以排除BD． 由，可得或，排除A. 2.已知三次函数的图象如图所示，则（    ） A．5 B．－5 C．2 D．－2 【答案】D 【分析】求导结合图象可得为极值点，进而列式得出的关系，再代入化简求解即可 【详解】求导得：， 结合图像可得为导函数的零点，即， 则，变形得， 所以． 故选：D． 3.已知函数，若函数的图象如图所示，则一定有（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∴,   因为从左到右先增后减再增， 所以二次函数的图象开口向上， ， 因为的极值点都为正， 所以有两个不同的正根， 所以则，且则.故选：B 4.（2026·云南楚雄·一模）若，则函数的图象可能是（    ） A．B．  C．  D．   【答案】B 【详解】对比各个选项可知， 由三次函数图象与性质可得，（）是函数的零点， 令， 可知（）且，都是函数的极值点，由此可以排除A，C； 若，则函数的图象形状为增减增， 在单调递增，在单调递减，在单调递增，可知B符合； 若，则函数的图象形状为减增减， 在单调递减，在单调递增，在单调递减，可知D不符合． 故选B. 题型二 三次函数的基本性质 1．关于三次函数的图象，下列叙述中正确的是（    ）． A．仅有一个对称中心 B．仅有一条对称轴 C．仅有一个对称中心 D．没有对称轴，但对称中心不止一个 【答案】C 【分析】由三次函数性质即可判断. 【详解】，其图象的对称轴为直线，代入，得， 易知原函数图象的对称中心为，无对称轴． 故选：C. 2.函数图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设的对称中心为，则对任意恒成立， 代入解析式，有，即对任意恒成立， 所以，解得，故对称中心为. 3. 函数的对称中心是____________________． 【答案】 【解析】由题意三次函数存在对称中心，则对称中心点的二阶导数为0，因为，令， 则，由解得， 又，所以函数的对称中心是. 4.已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点．若，则（    ） A．0 B．4 C． D． 【答案】B 【详解】二级结论：三次函数对称中心的横坐标是其二阶导数的零点。由题，，故二阶导函数的零点为，即对称中心的横坐标为1， 设对称中心为，则，可解得， 由，故 5.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（    ） A．2024 B．2025 C．1012 D．1013 【答案】B 【分析】根据“拐点”的概念可判断函数的对称中心，进而求解. 【详解】，，， 令，解得：， 而，故函数关于点对称， ， ， 故选：B. 6.（多选）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．的极大值为0 C．的图象是轴对称图形 D．的图象关于点对称 【答案】ABD 【分析】A求导，解不等式、即可；B利用单调性可知；C由时；时，可判断；D计算即可. 【详解】依题意，， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减，故A正确； 而的极大值为，故B正确； 因，结合单调性可知时；时，， 故不是轴对称图形，故C错误；， 则关于点对称，故D正确. 故选：ABD. 题型三 三次函数的单调性 1.已知函数 在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【详解】， 令，解得或， 所以在上单调递增， 又函数 在区间上单调递增， 所以或，解得或， 所以的取值范围是或. 2.若函数的单调递减区间为，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ 函数的定义域为，对其求导得. ∵ 函数的单调递减区间为，∴ 不等式的解集为， 即和是方程的两个根， 由韦达定理得，解得. ∴ . 3.若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数求导得，， 若函数在上是单调函数，则， 解得，故实数的取值范围是. 4.若函数的单调递减区间为，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对函数求导，根据单调递减区间对应导数小于等于0的解集，可知区间端点是导数等于0的根，代入求解即可得到的值. 【详解】 对求导，得. 已知的单调递减区间为，因此方程的两个实根为. 将代入，得，解得. 当时，，当时，，即恒成立，符合题意. 5.函数在上单调递增的必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数在上单调递增，得在上恒成立， 则，解得， 因此A是充分条件，B是充要条件，C是既不充分也不必要条件，D是必要不充分条件. 故选：D 6.若对于任意的实数，函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对含参函数求导，增函数条件转化为导函数恒非负，分离参数后先对配方求最小值，再对求最值，得到参数范围. 【详解】函数在上为增函数，等价于对任意，都有恒成立. 对求导得，因此条件转化为对任意恒成立. 由于为开口向上的二次函数，最小值在顶点处取得， 代入得， 因此， 问题转化为对任意恒成立. 设，求导得，令得. 时，，递减；时，，递增. 因此，则. 因此，即的取值范围是. 7.已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值； (2)讨论函数的单调性. 【详解】（1）求导得，因为曲线在点处的切线与直线平行，所以曲线在点处的切线斜率为2. 所以解得. （2）令，解得或，当时，恒成立，所以函数在上单调递增； 当时，，当变化时，，的变化情况如下， 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当时，，当变化时，，的变化情况如下， 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 综上所述： 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 题型四 三次函数的极值和最值问题 1.已知函数在处取得极大值，则的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．-1或2 【答案】B 【详解】. 因为函数在处取得极大值，故， 解得或， 当时，， 且仅在处为零，导函数不变号，函数在上单调递减，不是极值点，舍去； 当时，， 当时，当时， 故函数在处取得极大值，符合题意. 2.函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，则， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 因，则当在内存在最小值时，有得， 则实数的取值范围是.故选：C. 3.已知函数在区间 内有极小值，则实数的取值范围是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 当时，恒成立，即在定义域内单调递增，不合题意； 当时，或， 所以或时，单调递增， 时，单调递减， 所以在处取得极小值，所以，解得 . 4.已知函数在处有极值44，则（    ） A．-6或10 B．-6 C．6 D．10 【答案】D 【解析】对函数求导可得，， 由题意可得，， ∴， ∴，即得，所以或， 当时，，所以， 所以单调递减，单调递增， 在处有极小值，符合题意； 当时，，所以， 所以单调递增，无极值，不符合题意，舍去 ∴ 5.函数在区间上的最大值是________. 【答案】2 【解析】函数，定义域为R， ，在区间上， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 又，，所以函数在区间上的最大值是2. 6.（多选）已知函数的极大值为4，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数有3个零点 C．若，则 D．过点有且仅有2条直线与函数的图象相切 【答案】ACD 【分析】对于A，求导，分，，三种情况求函数的极大值点，根据极大值为求出的值；对于B，根据零点定义，令求解判断零点的个数；对于C，根据函数的单调性判断大小；对于D，设切点，列切线方程，根据在切线上求出切点的个数. 【详解】对于A，因为，所以， 当时，为极大值点，而，不合题意； 当时，没有极值，不合题意； 当时，为极大值点，所以，解得，A正确； 对于B ，由A选项可知， 令，则或，所以有且仅有2个零点，B错误； 对于C，， 当时，，在上单调递增， 因为，则，所以，C正确； 对于D，，所以， 设切点为，则切线方程为， 又点在切线上，所以， 所以或，所以过点有且仅有2条直线与函数的图象相切，D正确. 7.设函数，则（    ） A．有两个极值点 B．当时，关于对称 C．当时，在上单调递减 D．当时， 【答案】BD 【详解】因为，则 对于A：若有两个极值点，则必须有两个不相等的根，即， 而，即当时，，此时函数没有极值点，故A错误； 对于B：当时，， 因为， 所以关于对称，故B正确； 对于C：因为， 由，得，，当时，， 因为是开口向上的二次函数， 当时，，所以单调递减， 当时，，所以单调递增. 所以当，即时，，所以在上单调递减； 当，即时，在单调递减，在上单调递增； 故C错误； 对于D：当时，， 所以当时，，单调递增； 8.已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在极小值，且极小值小于零，求实数的取值范围. 【详解】（1）定义域为，， 当时，或，， 单调增区间为，，单调减区间为； 当时，，在上是增函数； 当时，或；， ∴的单调增区间为，，单调减区间为. 综上，时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知时，的极小值为， 令，即，解得； 当时，无极值，不符合题意； 当时，的极小值为，不符合题意，舍去. 综上，实数的取值范围为. 9.设函数在区间上有最大值23，最小值3，则（    ） A． B．17 C． D．18 【答案】D 【详解】， 令，解得，令，解得或， 因此函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因此函数的最大值为， 函数的最小值为， 因为，则，即， 所以， 则，解得， 因此. 10.已知函数的图象过点，且. (1)求的单调区间和极值； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)的单调递增区间为，；单调递减区间为;极大值：;极小值： (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）结合题意求得，，再求导研究函数的单调性与极值即可； （2）结合（1）得在区间上的单调性，再结合极值与端点值求解即可. 【详解】（1）解：对求导得 因为函数的图象过点，且 所以，解得，， 所以， 令，解得， 所以，，与的变化情况如下表： + 0 − 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以，的单调递增区间为，；单调递减区间为. 极大值： 极小值： （2）解：由（1）知在区间上的单调性的情况为： 函数在单调递增，在上单调递减， 因为，， 所以，在区间上的最大值为，最小值为. 11.已知函数，其中，，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)求函数的单调区间和极值． 【答案】(1)， (2)增区间是，减区间是和，极大值为，极小值为 【详解】（1）对求导，可得． 而切线方程的斜率为， 则，即， 又点在切线上，则， 所以，即， 解方程组，可得，． （2）由（1）知， 则． 令，得，故的增区间是， 令，得，故的减区间是和， 故的极大值为，的极小值为． 12.已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，求函数在区间上的最大值． 【答案】(1)当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减． (2)当时，最大值为；当时，最大值为2 【分析】（1）求导后，分、及进行讨论即可得； （2）结合函数单调性，分及进行讨论即可得. 【详解】（1）因为，所以， 令，解得或， 当时，恒成立，所以函数在上单调递增； 当时，，所以当或时，， 当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，所以当或时，， 当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以函数在区间上的最大值为； 当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为和中的较大者， 因为，， 解，得，解，得， 所以当时，函数在区间上的最大值为； 当时，函数在区间上的最大值为； 综上，当时，函数在区间上的最大值为； 当时，函数在区间上的最大值为2． 题型五 三次函数的零点 1.函数存在3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，根据导数极值列不等式组计算即可. 【详解】，则， 当时，则恒 成立，函数单调递增，至多一个零点，不合题意； 若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或， 且当时，，当，， 所以，在，上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，即，解得， 故选：C. 2.已知函数，则在上零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】令，求导，得到函数单调性，结合特殊点函数值和零点存在性定理可得答案. 【详解】令，，， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 其中，，． ∴，． ∴在内有一个零点，在内有一个零点． ∴在内有两个零点． 3.函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用导数研究函数的单调性，进而得函数的极值，即可得函数的零点个数. 【详解】，， 令，得或；令，得， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，极小值为， 当时，，当时，， 所以函数的零点个数为2． 故选：C． 4.已知函数，则（    ） A．函数有3个零点 B．曲线存在一条对称轴 C．函数有3个极值点 D．曲线的对称中心在x轴上 【答案】A 【分析】根据导数作出函数图象，数形结合依次判断即可. 【详解】对函数求导可得， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，，当时，，，， 所以函数大致图象如下： 由图象可知，函数有3个零点，2个极值点 ， 图象关于成中心对称，没有对称轴，故A正确，BCD错误. 5．（多选）设函数，则（    ） A．有两个零点 B．过点仅可以作一条直线与的图象相切 C．当时， D．若在区间上有最大值，则m的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据零点的定义判断即可；对于B，根据导数的几何意义求解即可；对于C，根据导数与单调性的关系及不等式的性质判断即可；对于D，根据题意列不等式组求解即可. 【详解】对于A，. 令，即，解得或，所以有两个零点，A正确. 对于B，求导得. 设切点为，则切线斜率， 所以切线方程为， 即. 因为切线过点，则，整理得， 即，解得或，即有两个不同的切点. 所以过点可以作两条直线与的图象相切，B错误. 对于C，求导得. 令，即，解得或. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 当时，，所以，C正确. 对于D，由选项C知，在处取得极大值. 要使在区间上有最大值，则应在区间内，且. 故，即，所以. 若在区间上有最大值，则m的取值范围为，D正确. 6．（多选）已知函数，则（    ） A．是的极小值点 B．有三个不同零点 C．的对称中心是 D．若过点存在3条直线与曲线相切，则实数 【答案】ACD 【分析】求导分析单调性可判断A；求导分析单调性再求出各极值点后可判断B；求二阶导，令二阶导为零可求对称中心，进而判断C；求解切点处的切线方程，将经过的点代入，利用方程的根即可判断D. 【详解】，，令，解得或， 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极大值，在处取得极小值，A正确； 计算，，进而作出图像，故有两个不同零点，B错误 ，，令，解得， ，所以的对称中心是，C正确； 对于D，设切点横坐标为，切点坐标为 过点且与相切的直线的斜率为， 由点斜式，切线方程为， 该切线过点，将代入切线方程得： ， 过点存在3条直线与曲线相切， 故， 化简得有三个解， 令， 令，解得或， 当或时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 且极大值为，极小值为， 所以，D正确. 7．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．有两个极值点 B．对于，在上无零点 C．对于，在上无零点 D．对于，在上有且只有一个零点 【答案】CD 【分析】本题通过求导分析函数的单调性、极值，结合零点存在性定理判断各选项正误. 【详解】，且，时，时； 选项A：当时，，在上单调递增，无极值点，A错误； 选项B：当时，的零点为和，在上单调递增，在上单调递减，极大值，取时，，结合时，，可知上有两个零点，B错误； 选项C：当时，，当，，在上单调递增，且，所以当时，故在上无零点，C正确； 选项D：当时，，在上单调递增，且，时，所以在上有且只有一个零点； 当时，在上单调递增，且，时，所以在上有且只有一个零点； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且，则，又时， 所以在上没有零点，在上有且只有一个零点，即在上有且只有一个零点； 综上，对于，在上有且只有一个零点，D正确. 8．已知函数的图像与直线有3个不同的交点，则c的取值范围为_____________． 【答案】 【分析】先求导确定三次函数单调区间与极大、极小值，再利用水平线与函数图像有三个交点的数形关系，得到介于极小值与极大值之间，求出取值范围 【详解】 令，得或 令，得 在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 在处取得极大值，在处取得极小值， 要使的图象与有三个不同的交点，则， c的取值范围为. 9．已知函数的两个极值点分别为和． (1)求的解析式； (2)若直线与曲线有且仅有两个公共点，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）极值点是导函数的零点，先求，，由极值点，是方程的两根，利用韦达定理求出，，得到函数解析式； （2） 直线与曲线仅有两个公共点，等价于方程只有两个不同实根，整理后构造新函数，转化为新函数有两个零点，即新函数一个极值等于0． 【详解】（1）， 由题意，得和是关于的方程的两根， 由韦达定理，得，解得， 此时， 当时，；当时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点，符合题意. 综上，； （2）直线与曲线有且仅有两个公共点， 等价于关于的方程仅有两个实根，即关于的方程仅有两个实根， 设，则， 当时，；当时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点， 且，， 根据题意，得或，解得或． 10．已知函数． (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若恰有一个零点，求的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）代入后对函数求导，利用导函数的正负求得单调区间，进而求得极大值与极小值. （2）对含参的函数求导并分类讨论其单调性，在函数存在极值的情况下，令其极小值严格大于零，从而确保三次函数的图像与轴仅有一个交点即可. 【详解】（1）当时，，则， 令，解得或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的极大值为， 极小值为， 且的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）由题意得， 当时，恒成立，此时单调递增， 当时，，当时，， 由零点存在性定理可得，有且仅有1个零点，符合题意， 当时，令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 此时的极大值为， 因为，所以极大值恒成立， 极小值为， 若只有个零点，则有，即，即， 即，结合，解得， 综上，的取值范围为. 11．已知函数在和处取得极值． (1)求，的值，并求函数的极值； (2)若函数有三个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)，极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即得； （2）结合（1）可得，则，分和两种情况讨论的单调性和极值即可求解. 【详解】（1）由题可得， 由题意，得，则， 解得， 此时，， 令，解得：， 令，解得：，或，所以的单调递增区间为， 令，解得：，所以的单调递减区间为， 经检验，当时，在和处取得极值， 函数的极大值为：，极小值为 （2）结合（1）可得函数， 所以， 当时，在上恒成立，此时在上单调递增，此时只有唯一零点，故不满足题意， 当，， 令，解得：或，所以的单调增区间为，， 令，解得：，所以的单调减区间为， 要使函数有三个零点，则， 解得：， 综上实数的取值范围为： 12．函数，． (1)若，求函数的单调区间； (2)判断函数的零点个数． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为； (2)当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点. 【分析】（1）利用函数求导，由导函数的符号即可确定函数的单调区间； （2）根据函数的零点定义，将函数的零点个数问题转化为求函数与直线的交点个数，利用求导判断函数的单调性与极值，图象趋势情况，数形结合即可求得参数在不同取值情况下函数的零点个数. 【详解】（1）当时，，则， 由可得，由可得或， 故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）由可得，依题意，函数的零点个数即函数与直线的交点个数. 因，当时，，当或时，， 则函数在上单调递增；在和上单调递减， 且当时，，当时，，， 故当或时，两函数有1个交点；当时，两函数有2个交点；当时，两函数有3个交点； 即当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点. 13．已知函数 (1)当时，求在处的切线方程； (2)若的极小值为，求的值； (3)讨论的零点个数. 【答案】(1) (2) (3)当时，有一个零点； 当时，有两个零点； 当时，有三个零点． 【分析】（1）由导数的几何意义求得在处的切线的斜率，根据直线的点斜式方程可得； （2）通过讨论导函数的零点，并结合的极小值为，可确定的值； （3）利用导数分析的单调性及极值，从而得到的零点个数. 【详解】（1）当时，，. ，. 所以在处的切线方程为：， 整理得：. （2）由题得，其中， 当时，恒成立，所以是增函数，无极值，不合题意. 所以. 令，解得或； 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，极小值为， 解得. （3）由（2）知当时， 的极小值为， 的极大值为， 当时，；当时，. 所以当即时，有三个零点，如图①曲线； 当，即时，有两个零点，如图②曲线； 当，即时，有一个零点，如图③曲线； 当时，，所以有一个零点. 综上所述， 当时，有一个零点； 当时，有两个零点； 当时，有三个零点． 题型六 三次函数的韦达定理 1.已知恰有3个零点，则 ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】C 【详解】c = -1，d = 1，所以. 2.已知恰有3个零点，则 【答案】1 【详解】a=1，d=1，所以. 3.（多选）已知函数（）有三个不同零点，，，其中，则（   ） A．的取值范围为 B．若，，成等差数列，则 C． D． 【答案】BCD 【分析】将题设等价转化成直线与函数图像有三个不同的交点，作出函数图像，数形结合即可分析求解判断AB；利用求出得到，接着由方程的根与系数关系分析得到即可判断C；由C得到，通分即可求解判断D. 【详解】由题可得方程（）有三个不同的根、、，其中， 则直线与函数图像有三个不同的交点， ，则时，时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 且时，时， 作出函数图像如下图所示， 由图可知的取值范围为，故A错误； 因为导函数关于直线对称， 所以如图所示函数图像关于点对称， 所以由图可知若、、成等差数列，则，故B正确； 由图可知， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 又由题方程即的根为、、， 且方程的根为、、， 所以即，由图可知，所以， 所以，故C正确； 由C可知，所以.故D正确. 故选：BCD 4.（多选）已知三次函数，则下列选项正确的是（    ） A．函数的对称中心是 B．若函数有3个零点，则 C．若函数的极值点为m，n，则 D．若的三个根分别为，，， 【答案】ACD 【分析】对A ，构造奇函数，利用奇函数对称中心平移，直接得到的对称中心；对B ，求导找到极值点，算出极大、极小值，依据三次函数有三个零点的充要条件，解不等式判断正误；对C ，由导函数方程得到两个极值点，代入式子通分或直接代入计算，可得两极值点倒数之和为 0；对D ，将三次多项式写成零点因式乘积形式，展开后和原式对比对应项系数，利用多项式恒等求出根两两乘积之和. 【详解】对于A：令，满足， 即是奇函数，对称中心为， 因此的对称中心为，A正确； 对于B：求导得，令得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 若有3个零点，需极大值大于0且极小值小于0， 即，解得，B错误； 对于C：由以上计算可知的极值点为， 则，C正确； 对于D：若的三根分别为， 则， 又， 所以，即，D正确. 5.（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数有三个零点 B． C．曲线上不同的两点，处的切线分别为，，若，则 D．若方程有三个不同的实数根，，，则 【答案】BCD 【分析】求导，根据导数得函数单调性，根据零点的存在性定理判断A；根据对称性质及单调性计算判断B；根据导数的几何意义解方程判断C；根据题意化简计算判断D. 【详解】由，得， 令，得，令，得或， 所以在区间单调递减，在区间，单调递增. 对于A，因为，，， 所以在区间内存在1个零点，故在上有2个零点，故A错误； 对于B，因为， 所以的图象关于点中心对称， 令，得， 又，所以，故B正确； 对于C，依题意，即， 所以，因为，所以.故C正确； 对于D，设， 所以，所以为定值，故D正确. 6.（多选）设函数，则（   ） A．点是图像的对称中心 B．当时，函数有三个零点 C．当时，直线不是曲线的切线 D．若有三个不同的零点，则 【答案】ABD 【分析】对于A计算即可判断，对于B由函数的单调性结合三次函数的图像特征即可判断，求切线方程即可判断C，结合零点的定义代入计算，即可判断D， 【详解】对于A：由， 所以是图像的对称中心，故A正确； 对于B：当时，，所以， 令，得或，由有：或，由有：， 所以在单调递减，在单调递增， 又，所以函数有三个零点，故B正确； 对于C：当时，，所以，由，， 所以在处的切线方程为：，故C错误； 对于D：设的三个零点为， 所以， 对比项的系数有：，故D正确； 故选：ABD. 题型七 三次函数的切线问题 1．已知函数，则（     ） A．的极小值为 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【答案】C 【分析】对函数求导，确定单调区间，进而确定极值和零点个数，结合对称中心公式以及导数的定义逐项计算判断即可. 【详解】对函数求导得，令，则. 当时，或；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极小值为，A错误； 当时，；当时，； 当时，； 当时，； 所以函数只有一个零点，B错误； 因为，所以点是曲线的对称中心，C正确； 令，即，解得，所以切点坐标为. 所以切线方程为和，即和，所以D错误. 2．如果过点作曲线的切线恰有三条，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点为，求出切线方程，再将点代入，转化为和的图象有三个交点，利用导函数可求. 【详解】设切点为，因为，所以， 则切线方程为，即， 将代入得， 因为切线恰有三条，所以方程有三个根， 则和的图象有三个交点， 因为，所以当或时，单调递减； 当时，单调递增； 则，即， 则实数的取值范围为 3．若过点可作曲线的三条切线，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】切点的坐标为，求出切线方程，将点代入切线方程可将问题转化为方程有三个不同的实数根，令，可将问题转化为有三个零点，结合导数研究其单调性，极值即可求解. 【详解】设切点的坐标为，，所以切线方程为， 因为切线过点，所以，整理得， 令，,由，得或，由，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以，，解得，故的取值范围为. 故选：A 4．曲线过点的切线条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由题意，设切点，利用导数求得切线方程，进而，设，利用导数研究函数的零点个数，即为所求切线条数. 【详解】首先判断点是否在已知曲线上. 因为，所以点不在函数的图象上. 由题意知，， 设曲线过点的切点为， 则     (1)     (2) 切线的方程为， 因为切线过点，代入切线方程：     (3) 由得 整理得. 设，则， 令，或， 所以在上单调递减，在、上单调递增， 则的极大值为，极小值为， 且， 故的图象与轴有3个不同的交点，即方程有3个不同的根， 所以曲线过点的切线有3条. 故选：D 5．已知过点可以作函数的三条切线，如果，则和应该满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求出过点的切线方程，再构造函数并利用导数求出函数有3个零点的条件即可. 【详解】设切点，由，求导得， 则切线方程为，由切线过点， 得，整理得， 令函数，求导得，而， 当或时，，当时，， 因此函数在，上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，在处取得极大值， 由过点可以作函数的三条切线，得有3个不等实根， 即函数有3个零点，所以. 故选：D. 6．经过点可以作与曲线相切的不同直线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】D 【分析】设切点为，则切线的斜率为，又切线过点，可得，设，由导数的单调性和零点的存在性可得与轴有3个交点，则有3条切线. 【详解】设切点为，， 则切线的斜率为， 又切线过点， 所以， 则，设， 则，令， 解得或， 当和时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 又，， ，， 所以存在,；；， 所以与轴有3个交点， 则经过有3条切线. 故选：D. 7．过点且与曲线相切的直线斜率为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出切线斜率. 【详解】设过点与曲线相切的切点坐标为， 由求导得：，则切线方程为， 于是，整理得，解得， 所以所求切线的斜率为1. 故选：C 8．过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先设过点的切线，再根据点在曲线上及切线斜率等于导数值解方程即可求值进而求出切线. 【详解】设过点的曲线的切线为： ， 有, 解得或, 代入可得或. 故选： 9．已知函数，则过点且与曲线相切的直线的方程为________. 【答案】或 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】，设切点为， 则切线方程为， 整理得， 故有， 整理得， 故或， 当时，直线的方程为，即； 当时，直线的方程为， 即； 即直线的方程为或. 10．已知函数， （1）函数在上的值域为___________ （2）过存在___________条直线与曲线相切． 【答案】 3 【分析】（1）求出导数，判断出单调性，即可求出最值； （2）设切点为，表示出切线方程，可得出，构造函数，利用导数求出其变化情况，根据零点个数判断即可． 【详解】解：（1）， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 在处取得极大值， 在处取得极小值为， 又， 在上的值域为； （2）设切点为，则切线斜率为， 所以切线方程为， 又切线过点，则， 整理得， 则曲线切线方程的条数等价于的零点个数， ， 令解得或，令解得， 在单调递增，在单调递减， 在处取得极大值，在处取得极小值， 又， 在区间分别有一个零点， 即有3个解， 故过存在3条直线与曲线相切． 11．已知函数，若过点可作曲线的3条切线，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】设出切点，写出切线方程，将点代入，参变分离，将原问题转化为直线与函数有三个交点，画出的草图，即可得出答案. 【详解】设切点为，因为函数，所以，则， 所以切线方程为：，又切线方程过点， 所以，化简得：， 令，所以 所以当或时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的极小值为，极大值为， 的草图如下： 过点可作曲线的3条切线等价于直线与函数有三个交点，则， 所以. 12．过点作曲线的切线，则该切线的斜率为___________． 【答案】 【详解】，设切点横坐标为， 故曲线在处的切线方程为， 将代入，得，解得， 所以． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.5 三次函数的图象和性质 基础知识梳理 1.三次函数的概念 形如的函数，称为“三次函数”.三次函数的最高次项为x的三次项，且该项的系数不为0，二次项、一次项及常数项的系数可以有部分为0，也可全为0. 2.三次函数的基本性质 （1）定义域为. （2）值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值. （3）奇偶性：①f(x)不可能为偶函数；②当且仅当b=d=0时是奇函数. （4）三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个. （5）对称性：三次函数的图象是中心对称曲线，且对称中心是；无对称轴。 3．三次函数的图象 “”形图 单调递增 倒“”形图 单调递减 4.三次函数的单调性和极值 ①当 时 若，则 在 上是增函数；若，则 在 上是减函数. ②当 时，设 的两根为，，且： 当 时，的单调递增区间为 和，单调递减区间为； 当 时，的单调递减区间为 和，单调递增区间为 5.三次函数的韦达定理 设的三个零点分别为，， ，则： ； (2)； (3) ； (4) . 6.三次函数的切线条数问题 (1)过曲线外部的点作的切线，有且仅有3条； (2)过曲线内部的点以及曲线的对称中心作的切线，有且仅有 1 条； (3)过 图象（除去对称中心）上的点及过对称中心的切线上的点（除去对称中心）作 切线，有且仅有 2 条； 题型一 三次函数的图象 1.函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2.已知三次函数的图象如图所示，则（    ） A．5 B．－5 C．2 D．－2 3.已知函数，若函数的图象如图所示，则一定有（  ） A． B． C． D． 4.（2026·云南楚雄·一模）若，则函数的图象可能是（    ） A．B．  C．  D．   题型二 三次函数的基本性质 1．关于三次函数的图象，下列叙述中正确的是（    ）． A．仅有一个对称中心 B．仅有一条对称轴 C．仅有一个对称中心 D．没有对称轴，但对称中心不止一个 2.函数图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 3. 函数的对称中心是____________________． 4.已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点．若，则（    ） A．0 B．4 C． D． 5.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（    ） A．2024 B．2025 C．1012 D．1013 6.（多选）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．的极大值为0 C．的图象是轴对称图形 D．的图象关于点对称 题型三 三次函数的单调性 1.已知函数 在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 2.若函数的单调递减区间为，则等于（     ） A． B． C． D． 3.若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.若函数的单调递减区间为，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 5.函数在上单调递增的必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 6.若对于任意的实数，函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值； (2)讨论函数的单调性. 题型四 三次函数的极值和最值问题 1.已知函数在处取得极大值，则的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．-1或2 2.函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知函数在区间 内有极小值，则实数的取值范围是（　） A． B． C． D． 4.已知函数在处有极值44，则（    ） A．-6或10 B．-6 C．6 D．10 5.函数在区间上的最大值是________. 6.（多选）已知函数的极大值为4，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数有3个零点 C．若，则 D．过点有且仅有2条直线与函数的图象相切 7.设函数，则（    ） A．有两个极值点 B．当时，关于对称 C．当时，在上单调递减 D．当时， 8.已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在极小值，且极小值小于零，求实数的取值范围. 9.设函数在区间上有最大值23，最小值3，则（    ） A． B．17 C． D．18 10.已知函数的图象过点，且. (1)求的单调区间和极值； (2)求在区间上的最大值和最小值. 11.已知函数，其中，，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)求函数的单调区间和极值． 12.已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，求函数在区间上的最大值． 题型五 三次函数的零点 1.函数存在3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.已知函数，则在上零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3.函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4.已知函数，则（    ） A．函数有3个零点 B．曲线存在一条对称轴 C．函数有3个极值点 D．曲线的对称中心在x轴上 5．（多选）设函数，则（    ） A．有两个零点 B．过点仅可以作一条直线与的图象相切 C．当时， D．若在区间上有最大值，则m的取值范围为 6．（多选）已知函数，则（    ） A．是的极小值点 B．有三个不同零点 C．的对称中心是 D．若过点存在3条直线与曲线相切，则实数 7．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．有两个极值点 B．对于，在上无零点 C．对于，在上无零点 D．对于，在上有且只有一个零点 8．已知函数的图像与直线有3个不同的交点，则c的取值范围为_____________． 9．已知函数的两个极值点分别为和． (1)求的解析式； (2)若直线与曲线有且仅有两个公共点，求的值． 10．已知函数． (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若恰有一个零点，求的取值范围． 11．已知函数在和处取得极值． (1)求，的值，并求函数的极值； (2)若函数有三个零点，求实数的取值范围． 12．函数，． (1)若，求函数的单调区间； (2)判断函数的零点个数． 13．已知函数 (1)当时，求在处的切线方程； (2)若的极小值为，求的值； (3)讨论的零点个数. 题型六 三次函数的韦达定理 1.已知恰有3个零点，则 ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.已知恰有3个零点，则 3.（多选）已知函数（）有三个不同零点，，，其中，则（   ） A．的取值范围为 B．若，，成等差数列，则 C． D． 4.（多选）已知三次函数，则下列选项正确的是（    ） A．函数的对称中心是 B．若函数有3个零点，则 C．若函数的极值点为m，n，则 D．若的三个根分别为，，， 5.（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数有三个零点 B． C．曲线上不同的两点，处的切线分别为，，若，则 D．若方程有三个不同的实数根，，，则 6.（多选）设函数，则（   ） A．点是图像的对称中心 B．当时，函数有三个零点 C．当时，直线不是曲线的切线 D．若有三个不同的零点，则 题型七 三次函数的切线问题 1．已知函数，则（     ） A．的极小值为 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 2．如果过点作曲线的切线恰有三条，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若过点可作曲线的三条切线，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．曲线过点的切线条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知过点可以作函数的三条切线，如果，则和应该满足的关系是（   ） A． B． C． D． 6．经过点可以作与曲线相切的不同直线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 7．过点且与曲线相切的直线斜率为（    ） A． B． C．1 D．4 8．过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 9．已知函数，则过点且与曲线相切的直线的方程为________. 10．已知函数， （1）函数在上的值域为___________ （2）过存在___________条直线与曲线相切． 11．已知函数，若过点可作曲线的3条切线，则实数的取值范围为______． 12．过点作曲线的切线，则该切线的斜率为___________． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $