三次函数专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三次函数图像类型与导数应用，通过分类题型构建从概念到综合应用的逻辑体系，培养数学眼光与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图像与极值|题1,2,10|判断极值、识别图像|导函数符号与图像类型关联，体现数学观察与抽象| |零点与参数|题3,4,5,7,8|零点个数、单调区间、参数范围|导数应用于函数性质分析，培养逻辑推理| |切线与综合|题9,11|切线方程、公共点、单调性讨论|从几何意义到代数运算，发展数学表达与应用|

1.下列关于函数的说法中正确的是（ ） A. 极大值为5，无极小值 B. 极小值为，无极大值 C. 极大值为5，极小值为 D. 极大值为5，极小值为 【答案】A 【解析】，由，得，由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极大值，为5，无极小值.故选. 2.多选题 函数的大致图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】 ABC 【解析】 的定义域为，.当，即时，对任意恒成立，且不恒为0，所以在上单调递增，故正确；当，即或时，设方程的两根分别为,，且,则,，因为，所以,同号，令，得；令，得或，所以在,上单调递增，在上单调递减，故，正确，错误.故选. 3. [（2024· 新课标Ⅱ卷·11,6分）]多选题 设函数,则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在,,使得为曲线的对称轴 D. 存在,使得点为曲线的对称中心 【答案】 AD ,.对于，当时，的单调递增区间为,，单调递减区间为，且,,当 时， ,当 时， ,的大致图象如图所示，由图可知正确.对于,当时，的单调递增区间为,，单调递减区间为，是的极小值点，故错误.对于，任意一元三次函数的图象都不存在对称轴，故错误.对于,,,当时，, 存在,使得点为曲线的对称中心，故正确. 4.函数在上存在极大值和极小值，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】.观察选项可知一定是大于0的（或通过分析可知函数先增后减再增，其导函数一定先正后负再正，即的图象开口向上，故），则方程在上有两个不同的实根,，且，则解得.故选. 5.（2026·河北张家口联考）若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意得，若函数恰好有三个单调区间，则有两个不相等的实数根，即，解得或.故的取值范围是.故选. 6.多选 已知函数，则（ ） A. 可能没有零点 B. 有两个极值点 C. ,在上有最大值 D. ,在上单调递增 【答案】BC 【解析】选项，由，得当 时, ，当 时, ，所以至少有一个零点，选项中说法错误； 选项，由，得，令，则，故恒有两个零点，即有两个极值点，选项中说法正确； 选项，由及根与系数的关系，得的两个零点之积为，所以的两个零点一正一负，故在上仅有一个极值，由于的二次项系数为正，所以该极值为的极大值，也为最大值，选项中说法正确； 选项，由在上单调递增，得在上恒成立，但图象的开口向上，且必有一个正的变号零点，所以在上存在单调递减区间，选项中说法错误.故选. 7.（2026·福建厦门质检）已知函数在区间内存在最大值与最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】， 令，得或， 易知在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，故的极小值为，极大值为， 所以，由，即，得或， 由，得或，所以，，所以，即.故选. 8.［2023·全国乙卷（文）·8，5分］函数存在3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为有3个零点，且易知不是的零点，所以有3个解.令,，则,， 令，得或，令，得,所以函数的单调递增区间为，,单调递减区间为，易知，当 时，,当时， ,当时， ,当时， ，画出的大致图象如图， 若有3个解，则直线与的图象有3个交点，由图可得，即的取值范围为，故选. 9.［2024·全国甲卷（文）·16,5分］当时，曲线与曲线有两个交点，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】令，即，令,则，由，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，,，当 时， , 因为当时，曲线与曲线有两个交点， 所以当时，直线与的图象有两个交点，所以. 10. 已知函数，当时，取得极小值，当时,取得极大值. （1） 求函数的图象在点处的切线方程； （2） 求函数在上的最大值与最小值. 【解析】 （1） 由，得， 因为函数在处取得极小值，在处取得极大值，所以，是方程的两个实根，则解得 则， 则， 令，得；令，得或， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 则函数在处取得极小值，在处取得极大值，满足题意， 则,. 由，得， 又，所以函数的图象在点处的切线方程为，即. （2） 由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 因为,,,，所以函数在上的最大值为2，最小值为. 11.已知函数. （1） 讨论的单调性； （2） 求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标. 【解析】 （1） .若，则在上恒成立，所以在上单调递增；若，则当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在,上单调递增，在上单调递减. （2） 曲线在点处的切线方程为.由该切线过坐标原点得，即，可得.又，所以该切线方程为.由可得，所以或.因此曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为，. 学科网（北京）股份有限公司 $ 三次函数 函数图像类型（四类）(导函数的符号及的符号) 1.下列关于函数的说法中正确的是（ ） A. 极大值为5，无极小值 B. 极小值为，无极大值 C. 极大值为5，极小值为 D. 极大值为5，极小值为 2.（多选题） 函数的大致图象可能为（ ） A. B. C. D. 3. [（2024· 新课标Ⅱ卷·11,6分）]多选题 设函数,则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在,,使得为曲线的对称轴 D. 存在,使得点为曲线的对称中心 4.函数在上存在极大值和极小值，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5.（2026·河北张家口联考）若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.多选 已知函数，则（ ） A. 可能没有零点 B. 有两个极值点 C. ,在上有最大值 D. ,在上单调递增 7.已知（2026·福建厦门质检）已知函数在区间内存在最大值与最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8.［2023·全国乙卷（文）·8，5分］函数存在3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9.［2024·全国甲卷（文）·16,5分］当时，曲线与曲线有两个交点，则的取值范围是__________. 10.函数，当时，取得极小值，当时,取得极大值. （1） 求函数的图象在点处的切线方程； （2） 求函数在上的最大值与最小值. 11．已知函数. （1） 讨论的单调性； （2） 求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $