复数专项训练-20277届高三数学一轮复习

《复数》章节综合素养评估训练题(试卷一)答案及解析 一、单选题： 1.设i是虚数单位,则复数z＝－2＋3i2 025的共轭复数在复平面内对应的点位于(　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1.C 因为i2 025＝i4×506+1＝(i4)506·i＝i，所以z＝－2＋3i2 025＝－2＋3i，所以＝－2－3i在复平面内对应的点为(－2，－3)，在第三象限．故选C. 2．若复数z满足＝i－1，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 2.A 由题意得z＝i(i－1)＝－1－i.故选A. 3．若复数z的实部是虚部的两倍，且满足z＋a＝，则实数a＝ (　　) A．－1 B．5 C．1 D．9 3.A 由于z＝－a＝－a＝－a＝(3－a)＋2i，由题意得3－a＝2×2，解得a＝－1.故选A. 4．已知a,b∈R,“复数z＝是纯虚数，i为虚数单位”是“a＝－2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.B 若由a＝－2，则z＝＝＝＝＝－i为纯虚数，必要性成立；若复数z＝＝＋i为纯虚数，则解得a＝±2，充分性不成立；综上知“复数z＝是纯虚数，i为虚数单位”是“a＝－2”的必要不充分条件．故选B. 5．如图，在复平面内，向量对应的复数z1＝2＋i，绕点O逆时针旋转90°后对应的复数为z2，则＝(　　) A． B．3 C． D．4 5.C 由题意可设z2＝a＋bi(a<0，b>0)，在复平面内，z2对应的向量为(a，b)，z1对应的向量为(2，1)，由旋转性质得z2和z1模相等，且它们对应的向量垂直， 则得所以z2＝－1＋2i，所以z1＋z2＝(2＋i)＋(－1＋2i)＝1＋3i，所以＝.故选C． 6．若有两个复数α，β，满足α＋β＝4，αβ＝5，则α－β＝(　　) A．±3i B．±i C．±2 D．±2i 6.D 由α(4－α)＝5⇒α2－4α＋5＝0，同理β2－4β＋5＝0，所以α，β为方程x2－4x＋5＝0的两个虚根，解方程得x＝2±i.所以α－β＝±2i.故选D. 7.设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则关于x，y的方程正确的是(　　) A．(x＋1)2＋y2＝1　　 B．(x－1)2＋y2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1　　 D．x2＋(y＋1)2＝1 7.C 方法1：∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C． 方法2：∵|z－i|＝1表示复数z在复平面内对应的点(x，y)到点(0,1)的距离为1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C． 方法3：在复平面内，点(1,1)所对应的复数z＝1＋i满足|z－i|＝1，但点(1,1)不在选项A，D的圆上，∴排除A，D；在复平面内，点(0,2)所对应的复数z＝2i满足|z－i|＝1，但点(0,2)不在选项B的圆上，∴排除B．故选C． 8．在复平面内,O为坐标原点,复数z1＝i(－4＋3i),z2＝7＋i对应的点分别为Z1,Z2，则∠Z1OZ2的大小为 (　　) A． B． C． D． 8.C 因为z1＝i(－4＋3i)＝－3－4i，z2＝7＋i,所以＝(－3,－4),＝(7，1)，所以·＝－21－4＝－25，所以cos ∠Z1OZ2＝＝－＝－.又∠Z1OZ2∈[0，π]，所以∠Z1OZ2＝.故选C． 二、多选题： 9．已知复数z1，z2是关于x的方程x2＋bx＋1＝0(－2<b<2，b∈R)的两根，则下列说法中正确的是 (　　) A．1＝z2 B．∈R C．|z1|＝|z2|＝1 D．若b＝1，则z＝z＝1 9.ACD 由题易知b2－4<0，所以方程的根为x＝，不妨设z1＝－＋i，z2＝－－i，易知1＝z2，A正确；由韦达定理得z1z2＝1，所以＝＝z＝－i,当b≠0时，∉R，B错误；|z1|＝|z2|＝＝1，C正确；当b＝1时，z1＝－＋i，z2＝－－i，计算得z＝－－i＝z2，所以z＝z1z2＝1，同理得z＝1，D正确．故选ACD. 10.在复平面内，O是平面直角坐标系的原点，复数z1，z2所对应的点分别为Z1，Z2，且z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，则下面结论正确的是(　　) A．|z1－z2|＝ B．|z1－z2|＝ C．// D．⊥ 10.BD 由题意知||＝||＝1，|＋|＝，则(＋)2＝2,即可得||2＋2·＋||2＝2，所以得·＝0，即⊥，于是知选项C错误，选项D正确；由上述推理知||2－2·＋||2＝2，即得|－|2＝2，∴|－|＝，即|z1－z2|＝，可知选项A错误，选项B正确；综上，故选BD. 11．已知复数z满足|z|＝|z－1|＝1，且复数z在复平面内对应的点在第一象限，则下列结论正确的是(　　) A．复数z的虚部为i B．＝－i C．z2＝z－1 D．复数z的共轭复数为－＋i 11.BC 设z＝a＋bi(a，b∈R，且a，b>0)，因为|z|＝|z－1|＝1，即|a＋bi|＝|(a－1)＋bi|＝1，所以解得所以z＝＋i.对于A，复数z的虚部为，故A不正确；对于B，＝＝＝－i，故B正确；对于C，因为z2＝＝＋i－＝－＋i，z－1＝＋i－1＝－＋i，所以z2＝z－1，故C正确；对于D，z的共轭复数为－i，故D不正确．综上，故选BC. 三．填空题： 12.已知复数z＝－2i(其中i为虚数单位)，则z的虚部为_________． 12.－ 由于z＝－2i＝－2i＝＋i－2i＝－i;故z的虚部为－. 13．已知复数ω满足ω－4＝(3－2ω)i(i为虚数单位)，z＝＋|ω－2|.写出一个以z为根的实系数一元二次方程为______________． 13．x2－6x＋10＝0(答案不唯一) 由题知ω(1＋2i)＝4＋3i，即ω＝＝2－i，故z＝＋|－i|＝3＋i.若实系数一元二次方程有虚根z＝3＋i，则必有共轭虚根＝3－i，因为z＋＝6，z·＝10，所以所求的一个一元二次方程可以是x2－6x＋10＝0.故答案：x2－6x＋10＝0. 14．已知z∈C，且＝3，i为虚数单位，则的最大值是______． 14.8 因为z∈C且＝3，所以根据复数模的几何意义，z对应的点Z的集合是以(0,－1)为圆心，3为半径的圆，所以表示圆上的点到点(3，3)的距离，因为圆心(0，－1)到点(3，3)的距离为＝5，则的最大值为3＋5＝8. 四．解答题： 15.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，i为虚数单位，z1＝2＋i；(1)求z1与z2的积z1z2的值；(2)已知a∈R，若为实数，求实数a的值. 解：(1)由题意知z2＝－2＋i，则得z1·z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－22＝－5.故复数z1与z2的积z1z2的值为－5. (2)由于＝＝＝－i为实数，则＝0，解得a＝－2.故实数a的值为－2. 16.已知复数z1＝4＋mi(m∈R)，且z1·(1－2i)为纯虚数． (1)求复数z1；(2)若z2＝，求复数2及. 16.解：(1)由z1＝4＋mi(m∈R)，所以(4＋mi)·(1－2i)＝4＋2m＋(m－8)i， 又z1·(1－2i)为纯虚数，所以解得m＝－2，所以复数z1＝4－2i. (2)由(1)知1＝4＋2i，所以z2＝＝＝＝－1＋2i， 故2＝－1－2i，＝＝. 17.已知复数z1 = (a + i)2 (a∈ R) ， z2 = 4－3i ，其中i 是复数单位. (1)若 i ，求实数a 的值； (2)若 是纯虚数， a 是正实数，求 的值. 17.【答案】 (1)a = 2 ； (2)i 【解析】（1）因为z1 = (a + i)2 ， z2 = 4－3i ， i ，所以z1 = iz2 ，即 (a + i)2 = a2－1+ 2ai = 3 + 4i ，所以 ，解得a = 2 . （2） 由题意得 因为 是纯虚数，所以 解得a = 2 或a 又因为a 是正实数，所以a = 2 ，所以 i ，所以 i + i2 + i3++ i2025= (i + i2+ i3 + i4) + (i5 + i6+ i7 + i8) + + (i2021 + i2022 + i2023 + i2024) + i2025=506 . 0+ i2025=0+ i= i ，即 的值为i . 18．已知虚数z＝a＋icos θ，其中a，θ∈R，i为虚数单位． (1)若对满足条件的任意实数θ，均有|z＋2－i|≤3，求实数a的取值范围；(8分) (2)若z，z2恰好是某实系数一元二次方程的两个解，求a，θ的值．(9分) 18.解：(1)虚数z＝a＋icos θ，则cos θ≠0，不等式|z＋2－i|≤3⇔|a＋2＋(cos θ－1)i|≤3⇔(a＋2)2＋(cos θ－1)2≤9.又θ∈R，所以－2≤cos θ－1≤0，且cos θ－1≠－1，则(cos θ－1)2有最大值4，依题意，(a＋2)2≤5，解得－2－≤a≤－2＋，所以实数a的取值范围是[－2－，－2＋]. (2)虚数z＝a＋icos θ，则z2＝a2－cos2θ＋2aicosθ，因为z，z2恰好是某实系数一元二次方程的两个解，所以z，z2互为共轭复数． 因此而cos θ≠0， 解得则a＝－，θ＝kπ±，k∈Z， 所以a＝－，θ＝kπ±，k∈Z. 19.设z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1，ω＝. (1)求的值以及z1的实部的取值范围；(5分) (2)求证：ω为纯虚数；(5分) (3)求z2－ω2的最小值．(7分) 19.解：(1)设z1＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，则z2＝z1＋＝(a＋bi)＋＝(a＋bi)＋＝(a＋bi)＋＝＋i. 因为z2是实数，所以b－＝0，即b＝0，因为b≠0，所以a2＋b2＝1，即＝1，且z2＝2a，由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－≤a≤，即z1的实部的取值范围为. (2)证明：因为a2＋b2＝1，ω＝＝＝＝， 因为－≤a≤，b≠0，所以ω＝为纯虚数． (3)由(1)(2)可知z2－ω2＝2a＋＝2a＋＝＝＝1＋＝1＋＝1＋＝1＋2(a＋1)－4＋＝2(a＋1)＋－3，由a＋1∈，故z2－ω2＝2(a＋1)＋－3≥2－3＝1，当且仅当2(a＋1)＝，即a＝0时，z2－ω2取得最小值，最小值为1. 学科网（北京）股份有限公司 $ 《复数》章节综合素养评估训练题(试卷一) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设i是虚数单位,则复数z＝－2＋3i2 025的共轭复数在复平面内对应的点位于(　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若复数z满足＝i－1，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 3．若复数z的实部是虚部的两倍，且满足z＋a＝，则实数a＝ (　　) A．－1 B．5 C．1 D．9 4．已知a,b∈R,“复数z＝是纯虚数，i为虚数单位”是“a＝－2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．如图，在复平面内，向量对应的复数z1＝2＋i，绕点O逆时针旋转90°后对应的复数为z2，则＝(　　) A． B．3 C． D．4 6．若有两个复数α，β，满足α＋β＝4，αβ＝5，则α－β＝(　　) A．±3i B．±i C．±2 D．±2i 7.设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则关于x，y的方程正确的是(　　) A．(x＋1)2＋y2＝1　　 B．(x－1)2＋y2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1　　 D．x2＋(y＋1)2＝1 8．在复平面内,O为坐标原点,复数z1＝i(－4＋3i),z2＝7＋i对应的点分别为Z1,Z2，则∠Z1OZ2的大小为 (　　) A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数z1，z2是关于x的方程x2＋bx＋1＝0(－2<b<2，b∈R)的两根，则下列说法中正确的是 (　　) A．1＝z2 B．∈R C．|z1|＝|z2|＝1 D．若b＝1，则z＝z＝1 10.在复平面内，O是平面直角坐标系的原点，复数z1，z2所对应的点分别为Z1，Z2，且z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，则下面结论正确的是(　　) A．|z1－z2|＝ B．|z1－z2|＝ C．// D．⊥ 11．已知复数z满足|z|＝|z－1|＝1，且复数z在复平面内对应的点在第一象限，则下列结论正确的是(　　) A．复数z的虚部为i B．＝－i C．z2＝z－1 D．复数z的共轭复数为－＋i 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知复数z＝－2i(其中i为虚数单位)，则z的虚部为_________． 13．已知复数ω满足ω－4＝(3－2ω)i(i为虚数单位)，z＝＋|ω－2|.写出一个以z为根的实系数一元二次方程为______________． 14．已知z∈C，且＝3，i为虚数单位，则的最大值是______． 四．解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，i为虚数单位，z1＝2＋i. (1)求z1与z2的积z1z2的值；(2)已知a∈R，若为实数，求实数a的值. 16.已知复数z1＝4＋mi(m∈R)，且z1·(1－2i)为纯虚数． (1)求复数z1；(2)若z2＝，求复数2及. 17.已知复数z1 = (a + i)2 (a∈ R) ， z2 = 4－3i ，其中i 是复数单位. (1)若 i ，求实数a 的值； (2)若 是纯虚数， a 是正实数，求 的值. 18．已知虚数z＝a＋icos θ，其中a，θ∈R，i为虚数单位． (1)若对满足条件的任意实数θ，均有|z＋2－i|≤3，求实数a的取值范围；(8分) (2)若z，z2恰好是某实系数一元二次方程的两个解，求a，θ的值．(9分) 19.设z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1，ω＝. (1)求的值以及z1的实部的取值范围；(5分) (2)求证：ω为纯虚数；(5分) (3)求z2－ω2的最小值．(7分) 25 学科网（北京）股份有限公司 $